N · Statistical distributions

Toán học A-level AQA 7357, phần N (Phân phối thống kê), phiên bản 1.3 (đánh giá đầu tiên 2018). Ghi chú giảng dạy gốc.

Tiên quyết: xác suất từ phần M.

Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.

Câu hỏi

• Một máy đóng chai có độ phân tán nhỏ quanh 500 ml, trong khi số lượng lỗi đếm được luôn là số nguyên. Một mô hình sử dụng diện tích dưới đường cong trơn; mô hình kia đếm xác suất rời rạc. Cái nào phù hợp với cái nào?
• Trước khi đọc tiếp, hãy nói về yếu tố khiến một phép đếm tuân theo phân phối nhị thức, và một mô hình liên tục cần gì.

Phương pháp

• Phân phối nhị thức yêu cầu n cố định, các phép thử độc lập, hai kết quả và p không đổi: P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, với E(X) = np và Var(X) = np(1 − p). Giá trị kỳ vọng là trung bình có trọng số xác suất.
• Một đại lượng liên tục tuân theo đường mật độ: xác suất là DIỆN TÍCH, và P(X = x) = 0 cho bất kỳ giá trị chính xác nào. Phân phối chuẩn chuẩn hóa bằng z = (x − μ)/σ trước khi tra xác suất đuôi. Mô hình Poisson đếm các sự kiện ở tốc độ không đổi, với trung bình bằng phương sai.
• Phân phối nhị thức: Số lần thành công trong n phép thử độc lập hai kết quả với xác suất p không đổi; Giá trị kỳ vọng: Trung bình có trọng số xác suất của biến ngẫu nhiên; Phân phối chuẩn: Mô hình hình chuông đối xứng cho các đại lượng liên tục, chuẩn hóa bởi z = (x − μ)/σ.

Kiểm tra bài làm

• Kiểm tra các điều kiện nhị thức trước khi dùng công thức: lấy mẫu không hoàn lại khiến các phép thử phụ thuộc và thay đổi p, nên mô hình thất bại. Không phải phép đếm nào cũng là nhị thức.
• Đối với biến liên tục, tuyệt đối không hỏi P(X = đúng 130): hãy tính phần đuôi hoặc khoảng. Declare sự kiện trước khi tính toán, và vẽ vùng được tô màu trước.

Ví dụ giải chi tiết

• Đã biết: X ~ nhị thức(5, 0.2). P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.32768. E(X) = np = 1 và Var(X) = np(1 − p) = 0.8. Với đại lượng chuẩn có μ = 100, σ = 15, giá trị 130 có z = (130 − 100)/15 = 2, do đó nằm hai độ lệch chuẩn phía trên trung bình.

Ví dụ:

Đối với X ~ nhị thức(5, 0.2), tìm P(X = 1) theo cùng quy trình: chọn mô hình → công thức → thế số. (Đáp án: P(X = 1) = C(5,1) × 0.2 × 0.8⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096.)

Giới hạn và bẫy logic

• Các moment nhị thức chỉ tuân theo khi cả bốn điều kiện đều được thỏa mãn. Mô hình chuẩn cần dữ liệu tương đối đối xứng; việc hiệu chỉnh tính liên tục trở nên quan trọng khi xấp xỉ phân phối rời rạc bằng mô hình chuẩn.

Cảnh báo:

Mọi số lần thành công đều có phân phối nhị thức bất kể sự phụ thuộc. Phát biểu này là sai: mô hình yêu cầu các phép thử độc lập với xác suất p không đổi — lấy mẫu không hoàn lại hoặc tỷ lệ thành công thay đổi sẽ phá vỡ giả định, do đó công thức sẽ đưa ra độ chính xác giả mạo.

Tóm tắt:

Các phân phối thống kê: phân phối nhị thức cho số lượng đếm cố định n độc lập (E = np, Var = np(1 − p)); phân phối chuẩn cho đại lượng liên tục qua z = (x − μ)/σ; xác suất là diện tích đối với mô hình liên tục và các số hạng chính xác đối với mô hình rời rạc.