Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Chọn dạng khai triển, dạng phân tích nhân tử hoặc dạng đỉnh tương đương cho một nhiệm vụ
- Giải phương trình tuyến tính và đa thức bằng cấu trúc
- Xác định vùng bất đẳng thức bậc hai từ dấu hơn là chỉ từ nghiệm
Tiền đề: Góp các hạng tử đồng dạng; thay thế cặp có thứ tự; số học có dấu.
Giải thích và chọn phương pháp
Chuyển đổi mối quan hệ thành biểu thức trước khi biến đổi chúng. Phí cố định cộng với khoản thu theo đơn vị là mô hình tuyến tính affine, trong khi tích của các kích thước có thể tạo ra hàm bậc hai. Một dạng tương đương nên bảo toàn biểu thức gốc trên miền xác định của nó. Phân tích các hạng tử chung và nhận diện các hằng đẳng thức trước khi khai triển mọi tích.
Một phương trình bậc nhất có thể có một nghiệm, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm sau khi rút gọn; hãy kiểm tra các hệ số bằng 0 trước khi chia. Nhân hoặc chia bất đẳng thức với một số âm sẽ đảo ngược chiều của nó. Một tích đa thức bằng 0 khi ít nhất một thừa số bằng 0. Giữ lại tất cả các thừa số, bao gồm cả x được tách ra, để tránh bỏ sót nghiệm.
Dạng nhân tử của tam thức bậc hai làm lộ rõ các nghiệm và dạng đỉnh làm lộ rõ cực trị. Đối với bất đẳng thức, sắp xếp các nghiệm thực theo thứ tự và xét dấu trong mỗi khoảng. Chỉ bao gồm biên nếu là ≤ hoặc ≥. Parabol hướng lên trên thì mang giá trị âm giữa hai nghiệm thực phân biệt và dương ở ngoài chúng.
Sử dụng phép thế vào biểu thức ban đầu để kiểm tra các giá trị ứng viên. Câu hỏi về hệ số khai triển có thể yêu cầu gộp nhiều đóng góp cho cùng một lũy thừa. Đa thức bậc ba không nhất thiết phải dùng công thức tổng quát: một thừa số chung hoặc nghiệm đã biết có thể đưa nó về các thừa số đơn giản hơn. Chọn phương pháp dựa trên cấu trúc.
Một đẳng thức đúng với mọi đầu vào được phép. Bắt đầu từ $ax+b=cx+d$. Gom các số hạng: $(a-c)x=d-b$. Kiểm tra $a-c$ trước khi chia. Nếu $a=c$ và $b=d$, mọi giá trị thực đều thỏa mãn. Nếu chỉ có $a=c$, không có giá trị nào thỏa mãn. Trong trường hợp khác, $x=(d-b)/(a-c)$ cho một nghiệm duy nhất.
Ví dụ giải mẫu. x²-5x+6=(x-2)(x-3), do đó x²-5x+6<0 cho 2<x<3. x³-4x=x(x-2)(x+2), cho nghiệm -2,0,2. Biểu thức 2(x-3)²+5 đạt giá trị nhỏ nhất 5 tại x=3. Trong (2x+1)(x-4), hệ số của x là -8+1=-7.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Giải $x^3-9x=0$ và $(x+2)(x-5)\ge0$. Giải thích vì sao việc chia đa thức bậc ba cho $x$ ngay từ đầu sẽ làm mất đi một nghiệm.
Lý luận. Phân tích thừa số $x(x-3)(x+3)=0$, thu được $-3,0,3$. Chia cho $x$ một cách sai lầm sẽ loại bỏ nghiệm bằng không hợp lệ. Đối với bất phương trình, các nghiệm là $-2,5$; tích mang giá trị không âm bên ngoài các nghiệm, bao gồm cả đầu mút, nên $x\le-2$ hoặc $x\ge5$.
Thực hành 2
Viết $2x^2-12x+23$ dưới dạng đỉnh và nêu giá trị nhỏ nhất. Tìm hệ số của $x$ trong $(2x-3)(x+4)$.
Lập luận. Hoàn thành bình phương thu được $2(x-3)^2+5$, với giá trị nhỏ nhất 5 tại $x=3$. Khai triển tích là $2x^2+5x-12$, nên hệ số là 5.
Thực hành 3
Một máy in tính phí 25 tệ để chuẩn bị công việc và 0.40 tệ cho mỗi trang. Viết tổng chi phí cho $n$ trang và giải bất đẳng thức ngân sách 65 tệ để tìm số nguyên trang. So sánh điều này với biểu thức diện tích của hình chữ nhật có các cạnh $x$ và $x+3$ mét.
Lý luận. $C=f+pn=25\,\mathrm{yuan}+(0.40\,\mathrm{yuan/page})(n\,\mathrm{pages})$. Ngân sách $25+0.40n\le65$ tạo ra $0\le n\le100$, với số nguyên $n$. Phí tính toán phụ thuộc tuyến tính vào $n$. Hình chữ nhật có diện tích $A=x(x+3)=x^2+3x$ mét vuông đối với các độ dài số học theo mét và $x>0$; việc nhân hai độ dài biến số tạo ra hàm bậc hai, thay vì một khoản phí cố định cộng với tỷ lệ.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Không bỏ sót thừa số đã tách ra, không bao gồm ranh giới bất phương trình nghiêm ngặt, và không báo cáo tọa độ x của điểm đỉnh khi câu hỏi yêu cầu giá trị nhỏ nhất.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.