Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Cộng và nhân vô hướng vector từng thành phần
- Nhân ma trận với vector có kích thước tương ứng
- Giải thích các thành phần và đơn vị trong mô hình định lượng
Tiền đề: Cặp có thứ tự; Pythagoras; phép nhân và cộng.
Giải thích và chọn phương pháp
Một vector hai chiều ghi lại một độ dịch chuyển có thứ tự hoặc một đại lượng ghép đôi khác. Cộng các thành phần tương ứng và nhân cả hai với một vô hướng. Vector từ A đến B là B-A, không phải A-B. Độ lớn của nó là √(u²+v²) trong hệ tọa độ Euclid; hướng và độ lớn là những thông tin riêng biệt.
Ma trận sắp xếp các phần tử thành các hàng và cột. Chỉ cộng các ma trận có cùng hình dạng, từng phần tử một. Đối với phép nhân, số cột của thừa số đầu tiên phải bằng số dòng của thừa số thứ hai. Một ma trận 2-dòng-by-3-cột nhân với vector 3-dòng-by-1-cột tạo ra kết quả 2-dòng-by-1-cột: mỗi giá trị đầu ra là tích vô hướng của một hàng với vector đó.
Thứ tự quan trọng: phép nhân ma trận nói chung không giao hoán. Nếu A times B được xác định, B times A có thể không xác định hoặc tạo ra kết quả khác. Đối với hàng chứa số lượng mặt hàng và cột chứa đơn giá theo cùng thứ tự mặt hàng, tích vô hướng cho tổng chi phí. Thứ tự mặt hàng không khớp sẽ tạo ra câu trả lời về mặt toán học gọn gàng nhưng vô nghĩa.
Ghi nhãn từng thành phần và đơn vị trước khi tính toán. Vector độ dịch chuyển sử dụng đơn vị khoảng cách, trong khi phần tử ma trận có thể là số đếm, chi phí hoặc tỷ lệ. Sau khi nhân, hãy giải thích đơn vị của đầu ra. Các bài toán ACT có thể cung cấp định nghĩa phép toán; hãy tuân theo định nghĩa đó thay vì giả định rằng ký hiệu lạ luôn có nghĩa là phép nhân thông thường.
Ma trận sử dụng các hàng và cột có nhãn. Hàng số lượng $(2,3)$ và cột giá $(4,5)^T$ cho chi phí $2(4)+3(5)=23$. Các kích thước bên trong phải khớp nhau trước khi tồn tại tích ma trận. Véc-tơ dịch chuyển từ $A$ đến $B$ là $B-A$.
Ví dụ đã giải. Các độ dịch chuyển (3,4) và (-1,2) cộng lại thành (2,6); đại lượng đầu tiên có độ lớn 5. Hai hàng mua sắm (2,1) và (1,3), với giá cả (4,5), tạo ra tổng chi phí là $2\times4+1\times5=13$ và $1\times4+3\times5=19$. Ma trận [[2,1],[1,3]] nhân với cột [4,5] tạo ra cột [13,19]. Các phần tử biểu thị số lượng nhân với đơn giá mỗi mặt hàng.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Các điểm A và B theo mét là $(1,-2)$ và $(7,6)$. Tìm độ dịch chuyển từ A đến B và độ lớn của nó. Sau đó, tìm tọa độ điểm cuối sau khi cộng thêm độ dịch chuyển $(-3,2)$ mét vào B.
Lý luận. $\overrightarrow{AB}=B-A=(6,8)\,\mathrm{m}$. Độ lớn $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{m}$. Tọa độ điểm mới $B+(-3,2)=(4,8)$ mét. Hướng phải không bị đảo ngược.
Thực hành 2
Hai đơn hàng của cửa hàng có các hàng số lượng $(3,2)$ và $(1,4)$ cho bút và vở ghi chú. Giá lần lượt là 2 và 7 nhân dân tệ. Hãy đưa ra tích ma trận và tổng chi phí của cả hai đơn hàng.
Lý luận. $Q=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$, $p=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$ nhân dân tệ mỗi món. Tổng $Qp=\begin{pmatrix}3(2)+2(7)\\1(2)+4(7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\30\end{pmatrix}$ nhân dân tệ. Thứ tự sắp xếp món hàng phải khớp với thứ tự sắp xếp giá.
Thực hành 3
A có kích thước 2 bởi 3 và B có kích thước 3 bởi 4. Xác định kích thước của AB và liệu BA có xác định hay không.
Lý luận. AB có chiều trong khớp nhau là 3 và các chiều ngoài là 2 bởi 4. BA sẽ yêu cầu 4=2, nên không xác định. Đảo ngược thứ tự tích không phải là việc vô hại.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Giữ nguyên dạng hàng/cột và thứ tự mặt hàng rõ ràng. Độ lớn của vector không phải là tổng các thành phần của nó.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.