Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Phân biệt số hữu tỉ và số vô tỉ mà không giả định tổng của chúng giữ nguyên loại
- Áp dụng quy tắc lũy thừa và căn thức trên miền xác định cho phép
- Tính toán với số phức sử dụng i²=-1 và số phức liên hợp
Kiến thức nền: Quy tắc phân phối; căn bậc chính; $i^2=-1$.
Giải thích và chọn phương pháp
Số hữu tỉ là tỉ số của hai số nguyên với mẫu số khác không; thập phân chấm dứt hoặc lặp lại là số hữu tỉ. Số thực vô tỉ không phải là tỉ số như vậy. Tính đóng của số hữu tỉ dưới phép cộng và nhân không ngụ ý tính đóng của số vô tỉ. Căn bậc chính xác có thể rút gọn: √18=3√2 vẫn là số vô tỉ, trong khi √16=4 là số hữu tỉ.
Đối với cơ số dương, a^(m/n) kết hợp căn bậc n và lũy thừa nguyên. Lũy thừa âm tạo thành nghịch đảo và yêu cầu cơ số khác không. Phân biệt √(x²)=|x| với x. Khi liên quan đến căn chẵn, hãy tôn trọng miền xác định thực và căn principal phi âm. Phân phối lũy thừa qua tích, không qua tổng: (a+b)² bao gồm số hạng chéo.
Toán học phức sử dụng i²=-1. Cộng phần thực và phần ảo riêng biệt, và nhân bằng phân phối trước khi rút gọn i². Để chia cho a+bi, nhân cả tử số và mẫu số với a-bi; mẫu số thu được là a²+b² khi biểu thức ban đầu khác không. Căn phức cho phép tìm nghiệm của các phương trình như x²=-9 vốn không có nghiệm thực.
ACT nâng cao vẫn bao gồm một số chủ đề nâng cao được chọn lọc, và không có bảng công thức nào được cung cấp. Hãy xây dựng sự quen thuộc với các quy tắc định nghĩa thay vì phỏng đoán từ màn hình máy tính cầm tay. Kiểm tra xem câu hỏi yêu cầu nghiệm thực hay nghiệm phức, căn bậc chính xác hay xấp xỉ thập phân. Các kiểm tra địa phương ở đây mang tính chất hình thành, không phải là bài thi chính thức có điểm số.
Số phức liên hợp thay đổi dấu phần ảo. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ đối với thực $a,b$. Do đó $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$. Mẫu số khác không; phân biệt giá trị chính xác với xấp xỉ thập phân của nó.
Ví dụ minh họa. 16^(3/4)=2³=8. (2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i. Đối với (1+i)/(1-i), nhân với 1+i ta có (1+i)²/2=2i/2=i. Nghiệm của x²+9=0 là ±3i; không cái nào là số thực.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Tính $(3-2i)/(1+i)$ theo dạng $a+bi$.
Lý luận. Nhân cả tử và mẫu với $1-i$. Tử số là $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$. Mẫu số là 2. Kết quả là $1/2-(5/2)i$. Nhân ngược lại với $1+i$ sẽ trả về $3-2i$.
Thực hành 2
Đánh giá $32^{2/5}$ và $\sqrt{(-7)^2}$. Giải $z^2+16=0$ trên tập số phức.
Lý luận. Căn bậc năm của 32 là 2, do đó $32^{2/5}=2^2=4$. Căn bậc hai chính là $|-7|=7$. Đối với phương trình, $z^2=-16$ cho ra $z=4i,-4i$, cả hai đều không thực.
Thực hành 3
Đưa ra một ví dụ cho thấy tích của hai số vô tỉ có thể là hữu tỉ, và một ví dụ khi nó là vô tỉ.
Lý luận. $\sqrt2\sqrt2=2$ là số hữu tỷ. $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ là số vô tỷ. Không có tính đóng hay không đóng đối với mọi tích nào suy ra chỉ từ nhãn “vô tỷ” duy nhất.
Thực hành 4
Phân loại $\sqrt{50}$ và $\sqrt{50}\sqrt2$ là số hữu tỉ hay số vô tỉ. Đánh giá $32^{2/5}$ và $2^{-3}$. Sử dụng $\sqrt2$ và $-\sqrt2$ để kiểm tra xem liệu tổng của các số vô tỉ có nhất thiết là số vô tỉ hay không.
Lý luận. $\sqrt{50}=5\sqrt2$ là số vô tỷ, trong khi $\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ là số hữu tỷ. $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ và $2^{-3}=1/2^3=1/8$. Hai số vô tỷ cộng lại bằng không, là số hữu tỷ; số vô tỷ không đóng dưới phép cộng. Các tích căn bậc chẵn này sử dụng các radicand (số dưới dấu căn) thực không âm.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Đừng suy diễn rằng tổng của hai số vô tỉ nhất thiết phải là số vô tỉ, phân phối bình phương qua phép cộng, hay thay thế √(x²) bằng x khi x có thể âm.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.