Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Đọc tâm, độ rộng và hình dạng từ biểu đồ dữ liệu được gán nhãn
- Diễn giải mô hình chuẩn dùng trung bình và độ lệch chuẩn
- Phân biệt mối liên hệ hai biến với bằng chứng nguyên nhân
Kiến thức nền: Dữ liệu có thứ tự; tần số; trung bình và trung vị.
Giải thích và chọn phương pháp
Trung bình cộng gộp tất cả các quan sát; trung vị sử dụng giá trị giữa theo thứ tự. Biểu đồ hình thoi nhóm giá trị số vào khoảng, biểu đồ hộp thể hiện tứ phân vị và biểu đồ cột so sánh các danh mục. Kiểm tra đơn vị, thang đo và tần số trước khi so sánh độ rộng hoặc chiều cao apparent. Sử dụng quy ước tứ phân vị được nêu trong đề bài khi thực hiện tính toán.
Thêm một hằng số sẽ dịch chuyển trung bình và trung vị nhưng làm thay đổi độ lệch chuẩn không đổi; nhân các giá trị với một hệ số dương sẽ co giãn cả trung tâm và độ phân tán. Đối với mô hình chuẩn, trung bình nằm ở trung tâm đối xứng; khoảng 68% nằm trong một độ lệch chuẩn và 95% nằm trong hai độ lệch chuẩn. Các xấp xỉ này chỉ áp dụng cho mô hình chuẩn đã nêu, không phải mọi tập dữ liệu đối xứng mơ hồ nào.
Biểu đồ scatter (tán xạ) ghép cặp các phép đo định lượng. Đường hồi quy dự đoán một biến phản hồi; phần dư là giá trị quan sát trừ đi giá trị dự đoán. Bảng hai chiều thay thế để so sánh các danh mục và tỷ lệ điều kiện. Xu hướng có thể cho thấy mối liên hệ mà không chứng minh được nguyên nhân, vì các biến khác hoặc quá trình chọn lọc có thể giải thích mối quan hệ đó.
Đường hồi quy phi chính thức nên đi theo xu hướng chính, không nối mọi điểm. Mô tả hướng, hình dạng và các điểm bất thường. Nội suy bên trong phạm vi quan sát có cơ sở tốt hơn ngoại suy xa. Thay đổi thang đo đồ thị có thể khiến một mối quan hệ không đổi trông mạnh hoặc yếu hơn, do đó hãy đọc tọa độ thực tế và trục tung.
Tần suất đếm các quan sát lặp lại. Các giá trị 1, 3, 7 với tần số 2, 1, 1 đại diện cho bốn quan sát: 1, 1, 3, 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. Median là $(1+3)/2=2$; nó không cần bằng trung bình cộng.
Ví dụ minh họa. Dữ liệu phân phối theo mô hình chuẩn có trung bình là 50 và độ lệch chuẩn là 5, khoảng 68% nằm giữa 45 và 55, và khoảng 95% nằm giữa 40 và 60. Việc cộng thêm 10 sẽ dịch chuyển trung bình sang 60 nhưng giữ nguyên độ lệch chuẩn ở 5. Với phương trình y=2x+4 tại x=3, giá trị dự đoán là y=10; nếu giá trị quan sát thực tế là 12, thì phần dư là +2. Đây là các mô hình giả định dùng để giảng dạy.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Một mô hình chuẩn có trung bình 80 và độ lệch chuẩn 6. Hãy đưa ra các khoảng trung tâm xấp xỉ 68% và 95%. Mọi điểm số đều được thay đổi thành $z=2x+5$; hãy cho biết trung bình và độ lệch chuẩn đã biến đổi.
Lập luận. Dưới giả thiết mô hình chuẩn, khoảng 68% nằm trong khoảng 74–86 và 95% nằm trong 68–92. Trung bình đã biến đổi là $2(80)+5=165$ và độ lệch chuẩn là $2(6)=12$. Đây là tỷ lệ theo mô hình, không phải sự đảm bảo cho một mẫu hữu hạn.
Thực hành 2
Một mô hình được điều chỉnh phù hợp có hệ số là $y=4x+3$. Tại điểm quan sát $x=5$, giá trị đo được là $y=20$. Hãy tìm giá trị dự đoán và phần dư. Liệu hệ số góc dương duy nhất có chứng minh được mối quan hệ nhân quả?
Lập luận. Giá trị dự đoán là $4(5)+3=23$. Phần dư là $e=y_{obs}-y_{pred}=20-23=-3$. Hệ số góc dương chỉ thể hiện mối liên hệ trong phạm vi mô hình; yếu tố gây nhiễu hoặc việc chọn mẫu có thể giải thích kết quả này mà không cần có nguyên nhân trực tiếp.
Thực hành 3
Dữ liệu là 2,4,4,6,9,11,12,16. Sử dụng trung vị của nửa dưới và nửa trên, hãy tìm bộ năm số và khoảng tứ phân vị. Loại biểu đồ nào bảo toàn được bộ số này: biểu đồ hộp, biểu đồ cột phân loại hay biểu đồ phân tán?
Lập luận. Trung vị là $Q_2=(6+9)/2=7.5$. Nửa dưới 2,4,4,6 chứa $Q_1=4$; nửa trên 9,11,12,16 chứa $Q_3=11.5$. Bộ năm số gồm $(2,4,7.5,11.5,16)$ và $IQR=Q_3-Q_1=7.5$. Biểu đồ hộp hiển thị các giá trị này. Biểu đồ cột phân loại so sánh tần suất theo danh mục; biểu đồ phân tán yêu cầu dữ liệu định lượng cặp đôi. Neither không biểu diễn trực tiếp bộ năm số đơn biến này. Quy ước tứ phân vị được nêu ra tránh sự bất đồng với các quy ước hợp lệ khác.
Thực hành 4
Một biểu đồ tần suất giả định có các ô rộng bằng nhau [0,10), [10,20), [20,30] với tần số là 2,6,2. Hãy phát biểu tỷ lệ nằm dưới 20 và liệu giá trị trung bình chính xác có được xác định hay không. Một biểu đồ phân tán giữa giờ làm và sản lượng tăng theo xu hướng cong và có một giá trị ngoại lai cao: hãy giải thích tại sao đường thẳng nối mọi điểm là không phù hợp.
Lập luận. Dưới 20 có 2+6=8 trong số 10 quan sát, tức là 80%. Vì các quan sát chính xác trong từng nhóm bin là không rõ, nên không có giá trị trung bình chính xác nào; các ước lượng trung điểm phải được gắn nhãn là ước lượng. Biểu đồ phân tán biểu diễn các cặp số, và mối quan hệ phù hợp nên mô tả xu hướng chính của nó với điểm bất thường được xem xét. Nối mọi quan sát sẽ tạo ra một đường nối giữa các trường hợp riêng biệt và bỏ qua xu hướng cong. Hãy kiểm tra thang đo trục thực tế và điểm ngoại lai trước khi phù hợp hoặc ngoại suy.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Không sử dụng phần trăm chuẩn mà không có điều kiện mô hình chuẩn, và cũng không diễn giải độ dốc của biểu đồ scatter như một hiệu ứng nguyên nhân - kết quả tự động.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.