Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Nhận biết và diễn giải các dạng tiêu chuẩn của đường tròn, elip, parabol và hyperbol
- Sử dụng các mối quan hệ góc trong đường tròn, tiếp tuyến và cát tuyến dưới các điều kiện của chúng
- Tính diện tích, diện tích bề mặt hoặc thể tích với đơn vị và kích thước đúng
Tiền đề: Hoàn thành bình phương; bán trục vuông; hình học đường tròn; đơn vị thể tích.
Giải thích và chọn phương pháp
Một đường tròn có phương trình (x-h)²+(y-k)²=r². Một elip sử dụng hai số hạng bình phương dương chia cho bình phương bán trục; một hyperbola có hiệu của các số hạng như vậy. Một parabol có một tọa độ bình phương trong dạng chuẩn căn chỉnh của nó. Trong y²=4px, đỉnh là gốc tọa độ và tiêu điểm là (p,0); hãy đọc dấu và trục trước khi diễn giải hướng.
Đối với (x-1)²/9+(y+2)²/4=1, tâm là (1,-2), bán trục ngang 3 và bán trục dọc 2. Hãy hoàn thành bình phương khi tâm bị ẩn trong một đường tròn khai triển. Các hệ số và dấu của phương trình phân biệt các loại đường conic; một bản phác thảo sơ bộ không cung cấp thông tin đại số bị thiếu.
Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn một cung. Đối với hai tia cắt từ cùng một điểm ngoài, tích đoạn bên ngoài và toàn bộ tia cắt là bằng nhau đối với cả hai; bình phương độ dài tiếp tuyến bằng tích đó. Độ dài toàn phần bao gồm cả phần bên ngoài, vì vậy đừng chỉ nhân đoạn bên ngoài và đoạn bên trong.
Phân biệt các đo lường biên từ đo lường không gian. Chu vi đường tròn là 2πr và diện tích πr²; thể tích trụ là πr²h; thể tích nón là πr²h/3; thể tích cầu là 4πr³/3. Diện tích bề mặt là tổng các mặt tiếp xúc. Nếu tất cả các độ dài tương ứng tỷ lệ k, diện tích tỷ lệ k² và thể tích tỷ lệ k³; thay đổi chỉ một chiều cần công thức gốc.
Một elip $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$ có tâm $(h,k)$. Các bán trục là căn bậc hai của các mẫu số dương. Một parabol $y^2=4px$ có tiêu điểm $(p,0)$ và đường directrix $x=-p$. Phân biệt các phương trình này với hyperbola có hiệu của các bình phương.
Ví dụ đã giải. Elip (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 có các đầu ngang (-2,-2) và (4,-2). y²=8x có p=2 và tiêu điểm (2,0). Các đường cát ngoài/có độ dài 3/12 và 4/9 đều có tích 36, do đó tiếp tuyến từ cùng một điểm có độ dài 6. Một nón bán kính 3, chiều cao 8 có thể tích 24π.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Đối với $(x+2)^2/25+(y-1)^2/9=1$, nêu tâm, bán trục ngang và bán trục dọc, cũng như bốn đầu mút trục. Đối với $y^2=-12x$, nêu đỉnh và tiêu điểm.
Lập luận. Tâm là $(-2,1)$, bán trục là 5 và 3, các điểm cuối $(-7,1),(3,1),(-2,-2),(-2,4)$. Trong parabol, $4p=-12$, nên $p=-3$; đỉnh $(0,0)$, tiêu điểm $(-3,0)$.
Thực hành 2
Từ một điểm ngoài, tiếp tuyến có độ dài 6 cm. Một tia cắt có đoạn ngoài là 4 cm. Tìm độ dài toàn phần và đoạn bên trong của nó.
Lập luận. Sử dụng hệ thức tiếp tuyến – dây cung $t^2=ew$. Sắp xếp lại $w=t^2/e=(6\,\mathrm{cm})^2/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$. Độ dài bên trong là $w-e=9\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$. Tích số sử dụng độ dài toàn phần, không chỉ độ dài bên trong.
Thực hành 3
Một hộp chứa hình trụ có bán kính 3 cm và chiều cao 8 cm. Tìm thể tích và tổng diện tích bề mặt đóng kín của nó. Điều gì sẽ xảy ra với mỗi cái nếu mọi độ dài gấp đôi?
Lập luận. $V=\pi r^2h=\pi(3\,\mathrm{cm})^2(8\,\mathrm{cm})=72\pi\,\mathrm{cm^3}$. $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\,\mathrm{cm})^2+2\pi(3\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=66\pi\,\mathrm{cm^2}$. Nhân đôi tất cả các độ dài làm tăng thể tích gấp 8 lần và diện tích gấp 4 lần.
Thực hành 4
Phân loại $x^2/16-y^2/9=1$ và $x^2+y^2=16$. Tìm chu vi và diện tích đường tròn. Đối với hai tia cắt từ cùng một điểm ngoài, một tia có độ dài ngoài/tổng thể là 3/12 cm và tia kia có độ dài ngoài là 4 cm: tìm độ dài toàn phần và đoạn bên trong của nó.
Lập luận. Hiệu của các số hạng bình phương xác định một hyperbola tâm tại gốc tọa độ. Tổng với các hệ số bằng nhau xác định một đường tròn bán kính 4. Chu vi của nó là $C=2\pi r=8\pi$ và diện tích $A=\pi r^2=16\pi$ theo đơn vị độ dài tọa độ và đơn vị diện tích tương ứng. Tích cát tuyến khớp: $e_1w_1=e_2w_2$. Do đó $w_2=(3\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$; độ dài bên trong là $9-4=5\,\mathrm{cm}$. Tích ngoài nhân trong sẽ áp dụng sai mối quan hệ.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Lấy căn bậc hai cho bán kính và bán trục; sử dụng toàn bộ độ dài đường cắt và đơn vị lập phương cho thể tích.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.