Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Biến đổi tọa độ trong khi phân biệt các chuyển động cứng và phép co giãn
- Sử dụng khoảng cách, điểm giữa và hệ số góc như bằng chứng hình học
- Sử dụng các quan hệ đồng dạng và góc hợp lệ thay vì vẻ ngoài của sơ đồ
Kiến thức nền tảng: Hiệu tọa độ; đồng dạng tam giác; các góc trên đường thẳng song song.
Giải thích và chọn phương pháp
Phép tịnh tiến thêm một vector dịch chuyển vào mỗi điểm; phản xạ qua trục x biến (x,y) thành (x,-y). Phép quay 90° ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ biến (x,y) thành (-y,x). Các chuyển động cứng này bảo toàn độ dài và góc. Phép co giãn theo tỷ lệ k quanh gốc tọa độ nhân tọa độ và độ dài với k khi k là số dương, bảo toàn hình dạng nhưng thường thay đổi kích thước.
Khoảng cách giữa hai điểm tuân theo định lý Pythagoras: bình phương hiệu tọa độ, cộng lại và lấy căn bậc hai. Điểm giữa là trung bình cộng của từng tọa độ. Hệ số góc so sánh sự thay đổi dọc và ngang; các hệ số góc vuông góc (không đứng) có tích bằng -1. Các đường thẳng đứng và ngang cần xử lý riêng biệt thay vì chia cho không.
Một lập luận hình học bắt đầu từ các điều kiện đã nêu hoặc đánh dấu. Góc đối đỉnh bằng nhau; đường thẳng song song tạo ra các mối quan hệ về góc đồng vị và góc so le. Tổng các góc của tam giác là 180°. SSS, SAS và ASA/AAS có thể thiết lập sự đồng dạng với tương ứng đúng, trong khi hai góc bằng nhau thiết lập sự đồng dạng nhưng không phải bằng nhau.
Lập luận xây dựng sử dụng compa để chuyển độ dài và vẽ các cung có bán kính bằng nhau. Giao điểm của các cung cách đều nhau xác định đường trung trực; đây không phải là điểm giữa được đoán từ bản phác thảo. Bằng chứng tọa độ có thể hỗ trợ một chứng minh, nhưng một hình ảnh được chọn đặc biệt không thiết lập một phát biểu chung cho mọi tam giác.
Chuyển động cứng bảo toàn độ dài và góc. Phép quay 90° ngược chiều kim đồng hồ gửi $(x,y)$ đến $(-y,x)$ quanh gốc tọa độ. Khoảng cách là $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Góc bằng nhau thiết lập sự đồng dạng, nhưng bằng nhau cũng cố định kích thước.
Ví dụ giải. Điểm (2,-1) tịnh tiến theo vector (3,4) trở thành (5,3); quay 90° ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ nó trở thành (1,2). Giữa (1,2) và (7,10), khoảng cách là √(6²+8²)=10 và điểm chính giữa (4,6). Hai tam giác có độ dài cạnh tương ứng 3,4,5 thì bằng nhau theo trường hợp SSS; các tam giác có góc bằng nhau có thể khác nhau về tỷ lệ thu phóng.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Xoay A = $(2,-3)$ qua 90° ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ, sau đó tịnh tiến theo vector $(4,1)$. Đảo ngược thứ tự và so sánh các điểm cuối.
Lập luận. Quay trước đến $(3,2)$, sau đó tịnh tiến đến $(7,3)$. Tịnh tiến trước đến $(6,-2)$, sau đó quay đến $(2,6)$. Các điểm cuối khác nhau, vì vậy thứ tự biến đổi là quan trọng.
Thực hành 2
A = $(-1,2)$ và B = $(5,10)$ là hai đầu mút của một đoạn thẳng. Tìm độ dài, điểm giữa và phương trình đường trung trực của nó.
Lập luận. $d=\sqrt{(5+1)^2+(10-2)^2}=10$. Điểm chính giữa $M=(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$. Độ dốc đoạn thẳng là $8/6=4/3$, nên độ dốc vuông góc là $-3/4$. Đường phân giác là $y-6=-(3/4)(x-2)$.
Thực hành 3
Hai tam giác có các góc 40°,60°,80°. Tam giác này có cạnh dài nhất là 9 cm; tam giác kia là 15 cm. Nêu kết quả được chứng minh và tỷ số diện tích của chúng.
Lập luận. Các tam giác đồng dạng theo góc bằng nhau, không phải bằng nhau vì các cạnh dài nhất tương ứng khác nhau. Tỷ lệ độ dài là $15/9=5/3$ và tỷ lệ diện tích lớn hơn so với nhỏ hơn là $25/9$.
Thực hành 4
Mô tả phép dựng bằng compa và thước kẻ của đường trung trực đoạn thẳng AB. Đưa ra lý do hợp lệ cho mọi điểm được dựng, và phân biệt với việc đo lường trên một sơ đồ. Sau đó giải thích điều mà SSS chứng minh đối với các tam giác có độ dài cạnh tương ứng là 3,4,5 cm.
Lập luận. Sử dụng cùng bán kính la bàn, lớn hơn một nửa AB, để vẽ cung tròn tâm A và B cắt nhau tại P và Q ở hai phía đối diện. Vẽ PQ. PA=PB và QA=QB do bán kính bằng nhau. Do đó cả P và Q đều nằm trên tập hợp các điểm cách đều A và B; PQ là đường trung trực. Tương đương, sử dụng tam giác bằng nhau và dây cung chung để chứng minh tính vuông góc và chia đôi. Một phép đo thước kẻ trên một hình ảnh cụ thể không chứng minh được tập hợp chung. SSS chứng minh hai tam giác đã nêu bằng nhau, cố định cả kích thước lẫn hình dạng; Pythagoras cũng cho thấy các tam giác đặc biệt này là tam giác vuông.
Thực hành 5
Hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường chéo. Một góc đồng vị là 68°. Tìm góc đồng vị tương ứng của nó và góc kề bên trên đường thẳng thứ hai. Giải thích điều kiện nào đã cho justification cho từng bước.
Lập luận. Tính song song tạo ra góc tương ứng khớp 68°. Cặp kề nhau tạo thành góc bẹt, nên góc kia là 180°−68°=112°. Góc tương ứng bằng nhau yêu cầu các đường thẳng song song được nêu; tổng góc bẹt sử dụng tính kề nhau trên một đường thẳng. Một bản vẽ tương tự nhưng không có sự song song sẽ không làm cơ sở cho đẳng thức đầu tiên.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Làm theo tâm và thứ tự biến đổi đã chỉ định. Không sử dụng một cặp song song hoặc vuông góc trực quan như là điều kiện được nêu.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.