Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Diễn giải biên độ, chu kỳ và dịch chuyển dọc trong quy tắc hàm sin
- Sử dụng dấu trên vòng tròn lượng giác và các đồng nhất thức cơ bản
- Chọn hệ thức sin, cos hoặc diện tích cho tam giác bất kỳ
Kiến thức nền tảng: Radian; tỷ số tam giác vuông; tọa độ vòng tròn lượng giác.
Giải thích và chọn phương pháp
Đối với tam giác vuông, sin là cạnh đối/cạnh huyền, cos là cạnh kề/cạnh huyền và tan là cạnh đối/cạnh kề so với góc đã chọn. Tam giác đồng dạng giải thích tại sao các tỷ lệ này phụ thuộc vào góc hơn là kích thước. Trên đường tròn đơn vị, tọa độ là (cos θ,sin θ), mở rộng các tỷ lệ sang các góc phần tư khác với dấu phù hợp.
sin²θ+cos²θ=1 và tan θ=sin θ/cos θ khi cos θ≠0. Đối với y=A sin(Bx)+D với x theo radian, biên độ là |A|, chu kỳ 2π/|B| và đường trung bình D. A âm phản xạ sóng; D dịch chuyển nó theo chiều dọc. Kiểm tra xem đầu vào có phải radian hay độ trước khi sử dụng khoảng đồ thị.
Đối với tam giác tổng quát, công thức cosin c²=a²²+b²²-2ab cos C sử dụng gócincluded C giữa a và b. Công thức sin so sánh mỗi cạnh với sin của góc đối diện. Diện tích là ab sin C/2 khi biết hai cạnh và gócincluded của chúng. Chọn mối quan hệ phù hợp với thông tin đã cho.
Không suy ra góc vuông từ hình vẽ. Phương trình dựa trên sin có thể cho nhiều hơn một góc trong khoảng cho phép; giữ nguyên thông tin về tứ giác và mọi điều kiện tổng các góc của tam giác. Giữ biên độ riêng biệt với tổng chiều cao đỉnh-đáy, bằng hai lần biên độ.
Biên độ là một nửa khoảng cách từ đỉnh xuống đáy. Trong $y=A\sin(Bx)+D$, nó là $|A|$; chu kỳ radian là $2\pi/|B|$. Đối với tam giác không vuông, hãy khớp các cạnh đã biết và góc xen giữa trước khi chọn định lý cosin. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Ví dụ minh họa. y=3 sin(2x)+1 có biên độ 3, chu kỳ π và giá trị nằm giữa -2 và 4. Một tam giác có hai cạnh 5 và 7 xen nhau góc 60° có cạnh thứ ba là $\sqrt{25+49-70(1/2)}=\sqrt{39}$ và diện tích 35√3/4. Tại 150°, sine là 1/2 và cosine là -√3/2.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Với đầu vào radian $y=-4\sin(2x)+3$, hãy tìm biên độ, chu kỳ, tập giá trị và giá trị tại $x=\pi/4$.
Lập luận. Biên độ là 4, chu kỳ $2\pi/2=\pi$, tập giá trị $-1\le y\le7$. Tại $x=\pi/4$, $y=-4\sin(\pi/2)+3=-1$. Hệ số âm phản xạ sóng; nó không làm cho biên độ trở thành số âm.
Thực hành 2
Một tam giác có hai cạnh 6 cm và 10 cm bao quanh góc 60°. Tìm cạnh thứ ba và diện tích mà không giả sử nó là tam giác vuông.
Lập luận. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(6\,\mathrm{cm})^2+(10\,\mathrm{cm})^2-2(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\cos60^\circ=76\,\mathrm{cm^2}$, do đó $c=2\sqrt{19}\,\mathrm{cm}$. $A=ab\sin C/2=(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\sin60^\circ/2=15\sqrt3\,\mathrm{cm^2}$.
Thực hành 3
Tìm mọi góc trong $0^\circ\le\theta<360^\circ$ thỏa mãn $\sin\theta=1/2$. Với mỗi góc, hãy cho biết cosin và tangent.
Lập luận. Các góc là 30 và 150 độ. Cosine là $\sqrt3/2$ và $-\sqrt3/2$; tangent là $1/\sqrt3$ và $-1/\sqrt3$. Sine dương ở góc phần tư I và II, nên chỉ có một đáp án nhọn sẽ chưa đầy đủ.
Thực hành 4
Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 9 và 12 cm. Tìm cạnh huyền và sin/cos của góc đối diện với cạnh 9 cm. Một tam giác khác có hai góc là 30° và 45° cùng cạnh 8 cm đối diện với góc 30°. Tìm cạnh đối diện với góc 45°, giải thích tại sao định lý sin phù hợp.
Lập luận. $c=\sqrt{(9\,\mathrm{cm})^2+(12\,\mathrm{cm})^2}=15\,\mathrm{cm}$. Do đó $\sin\theta=9/15=3/5$ và $\cos\theta=12/15=4/5$; tổng bình phương của chúng là 1. Trong tam giác thứ hai, cặp cạnh đối – góc đã biết cho phép tính $b/\sin45^\circ=(8\,\mathrm{cm})/\sin30^\circ$. Vậy $b=(8\,\mathrm{cm})(\sqrt2/2)/(1/2)=8\sqrt2\,\mathrm{cm}$. Tam giác này không giả định vuông; góc thứ ba của nó là 105°.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Nêu đơn vị góc và xác định góc xen giữa. Giá trị cao nhất là đường trung bình cộng với biên độ, chứ không chỉ riêng biên độ.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.