Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Tính giá trị và chuyển đổi giữa quy tắc hàm, bảng số liệu và đồ thị
- Theo dõi thứ tự đầu vào và miền xác định thông qua phép hợp thành
- Giới hạn miền xác định của hàm số cho đến khi nó là ánh xạ một-một, sau đó tìm nghịch đảo của nó
Kiến thức nền tảng: Ký hiệu hàm; thay thế; giải phương trình.
Giải thích và chọn phương pháp
Một hàm cho một kết quả duy nhất cho mỗi đầu vào cho phép. Đồ thị cắt đường đứng tại hai điểm kết quả khác nhau không phải là hàm theo x. Miền xác định liệt kê các đầu vào cho phép; tập giá trị liệt kê các kết quả đạt được. Chuyển đổi bảng số liệu thành quy tắc chỉ khi mối quan hệ được hỗ trợ, và diễn giải vai trò của từng biến số.
Trong f(g(x)), hàm bên trong g hoạt động trước và kết quả của nó phải thuộc miền xác định của f. Với f(u)=1/(u-1) và g(x)=x²+1, hợp thành cho 1/x² và loại trừ x=0. Việc kiểm tra miền xác định thuộc về cả các hàm gốc cũng như kết quả rút gọn.
Sự thay đổi kết quả f(x)+k dịch chuyển dọc theo trục tung một khoảng k; f(x-h) dịch chuyển sang phải một khoảng h. Hệ số nhân bên ngoài thay đổi tỷ lệ kết quả, trong khi hệ số nhân bên trong thay đổi tốc độ mà đầu vào tiếp cận các điểm cũ. Xác định một điểm đã biết để xác nhận phép biến đổi thay vì đoán hướng từ dấu.
Hàm ngược hoán đổi đầu vào và đầu ra, yêu cầu mối quan hệ một-một trên miền xác định đã chọn. Giải y=f(x) theo x, sau đó hoán đổi tên biến. Hàm bậc hai thường phải bị giới hạn ở một phía của đỉnh. Hàm ngược f⁻¹ không phải là nghịch đảo 1/f. Kiểm tra thành phần theo cả hai chiều trên miền cho phép.
Thành phần áp dụng quy tắc bên trong trước. Nếu $f(u)=1/(u-2)$ và $g(x)=x^2+2$, $f(g(x))=1/x^2$, với $x\ne0$. Hàm ngược đảo ngược đầu vào và đầu ra trên miền một-một. Giới hạn $h(x)=(x-1)^2$ trong $x\ge1$ trước khi lấy $h^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$.
Ví dụ giải. f(x)=2x+3 và g(x)=x² cho f(g(x))=2x²+3, nhưng g(f(x))=(2x+3)². Với h(x)=(x-2)² bị giới hạn bởi x≥2, hàm ngược là 2+√x với miền x≥0. Phép dịch dọc của h bằng 4 có đỉnh (2,4); nếu không bị giới hạn, hàm bậc hai sẽ không có hàm ngược đơn giá trị.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Cho $f(u)=1/(u-3)$ và $g(x)=x^2+3$. Tìm $f(g(x))$ kèm miền xác định. Tìm $g(f(4))$ và giải thích tại sao các hợp thành này khác nhau.
Lý luận. $f(g(x))=1/(x^2+3-3)=1/x^2$, loại trừ $x=0$. Đối với thứ tự khác, là $f(4)=1$ và $g(1)=4$. Thứ tự thành phần thay đổi cả phép toán và có thể thay đổi miền; $f(g(4))=1/16$ là khác nhau.
Thực hành 2
Giới hạn $h(x)=(x+2)^2$ trong $x\le-2$. Tìm hàm ngược của nó, bao gồm miền và tập giá trị. Giải thích tại sao nhánh nghiệm dương là sai.
Lý luận. Giải $y=(x+2)^2$ theo $x+2\le0$ để thu được $x=-2-\sqrt y$. Do đó $h^{-1}(x)=-2-\sqrt x$, miền $x\ge0$, tập giá trị $y\le-2$. Nhánh cộng trả về các giá trị nằm ngoài miền ban đầu đã chọn.
Thực hành 3
Đồ thị của $f(x)=x^2$ được biến đổi thành $g(x)=3f(x+4)-2$. Tìm đỉnh và tập giá trị, kiểm tra một điểm được ánh xạ.
Lý luận. $g(x)=3(x+4)^2-2$ có đỉnh $(-4,-2)$ và tập giá trị $y\ge-2$. Điểm cũ $(1,1)$ ánh xạ sang $(-3,1)$ vì $3(1)-2=1$; thay thế xác nhận $g(-3)=1$.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Bảo toàn thứ tự hợp và nhánh hàm ngược bị giới hạn. Superscript -1 trong ký hiệu hàm không có nghĩa là nghịch đảo.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.