คณิตศาสตร์: ทำไมการพิสูจน์จึงให้ผลมากกว่าแค่ตัวอย่าง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | ข้อสันนิษฐาน |
| proof/pruːf/ | การพิสูจน์ |
| induction/ɪnˈdʌkʃn/ | การอุปมาอุปไมยทางคณิตศาสตร์ |
รูปแบบดูเหมือนจะต่อเนื่อง
- จำนวนคี่แรกคือ 1; สองจำนวนแรกรวมกันได้ 4; สามจำนวนแรกรวมกันได้ 9. นักเรียนอ้างว่าผลบวกของจำนวนคี่บวก n ตัวแรกจะเท่ากับ n² เสมอ
- สมมติฐาน คือข้อความที่เสนอไว้รอการพิสูจน์ การตรวจสอบสามกรณีชี้ให้เห็นถึงรูปแบบแต่ยังคงมีจำนวนเต็มบวกอีก vô数ที่ยังไม่ได้ตรวจสอบ
stating claim and its domain
- คำอ้างเกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัวและรายการ 1, 3, 5, ไปจนถึง 2n−1 ไม่เกี่ยวข้องกับกลุ่มของจำนวนคี่ใดๆ ที่เลือกมา
- บทพิสูจน์ ให้เหตุผลที่ถูกต้องเรียงต่อกันครอบคลุมโดเมนที่กำหนด/example could defeat a universal claim, while many successful examples do not by themselves establish it.
ผลบวก 1, 4 และ 9 ยืนยันอะไรได้ด้วยตนเอง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ข้อสังเกตที่มีจำนวนจำกัดไม่ครอบคลุมขอบเขตทั้งหมด
อธิบายว่ากรณีถัดไปตามมาจากอะไร
- สมมติว่าผลบวกของจำนวนคี่บวก n ตัวแรกเท่ากับ n². จำนวนคี่ถัดไปคือ 2n+1 ดังนั้นผลบวกถัดไปคือ n²+2n+1=(n+1)². ขั้นตอนนี้ใช้ได้กับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ
- กรณีเริ่มต้นคือ n=1 ซึ่งผลบวกคือ 1=1². เริ่มต้นจาก那里และใช้ขั้นทั่วไปเพื่อEstablish each successive positive integer case.
เลขคี่ถัดจาก 2n−1 คืออะไร
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เลขคี่ติดกันมีความต่างกัน 2
ตรวจสอบว่าเหตุผลสมมติอะไร
- นี่คือ การ induction: กรณีเริ่มต้นที่ถูกต้อง plus ขั้นตอนจากกรณีใดๆ ไปยังกรณีถัดไป ทั้งสองส่วนมีความสำคัญ ขั้นตอนเพียงอย่างเดียวไม่ยืนยันว่าลูกโซ่เริ่มขึ้น
- ตรวจสอบว่าพีชคณิต นิยามของพจน์ถัดไป และโดเมนถูกต้องหรือไม่ ความผิดพลาดในการคำนวณหรือลำดับเริ่มต้นที่เปลี่ยนไปอาจทำให้ข้อโต้แย้งล้มเหลวได้
ขั้นตอนการเหนี่ยวนำที่ถูกต้องเพียงพอ แม้จะไม่มีการยืนยันกรณีเริ่มต้น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเปลี่ยนผ่านแบบทั่วไปจำเป็นต้องมีกรณีที่ยืนยันแล้วเป็นจุดเริ่มต้นของลำดับ
ทำไมผลรวม 3+5+7=15 จึงไม่ใช่ตัว反驳 (Counterexample)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
รายการนี้แตกต่างจากรายการที่กำหนดไว้ในข้อความอ้าง
เปรียบเทียบการพิสูจน์กับการสังเกตอย่างยุติธรรม
- เหตุผลของความมั่นใจคือลูกโซ่ทั่วไป ไม่ใช่จำนวนตัวอย่างที่ทดสอบ กราฟของสี่เหลี่ยมบางอันสามารถอธิบายแนวคิดได้ แต่ข้อโต้แย้งต้องแสดงว่าทำไมการสร้างนี้จึงขยายออกไปได้
- ถามว่าการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ต่างจากการตรวจสอบการสังเกตซ้ำๆ อย่างไร อย่าสรุปว่าการพิสูจน์แก้ข้ออ้างนอกเหนือจากสมมติฐาน หรือการทดสอบเชิงประจักษ์ไม่มีคุณค่าในสาขาของตนเอง
จับคู่แต่ละส่วนของบทพิสูจน์กับบทบาทของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การพิสูจน์ต้องเชื่อมโยงจุดเริ่มต้น การเปลี่ยนแปลง และขอบเขตเข้าด้วยกัน
เหตุผลใดที่สนับสนุนข้ออ้างแบบสากล?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เหตุผลทั่วไป ร่วมกับจุดเริ่มต้นที่ถูกต้อง จะกำหนดขอบเขตได้
สำหรับ n=1, ผลรวมคือ 1. สมมติว่าผลรวมจนถึง 2n−1 เป็น n². เมื่อเพิ่ม 2n+1 จะได้ n²+2n+1, ซึ่งเท่ากับ (n+1)². กรณีฐานและการเปลี่ยนผ่านทั่วไปยืนยันข้ออ้างสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด รายการ 3,5,7 มีผลรวม 15, ไม่ใช่ 9, เนื่องจากไม่เริ่มที่ 1. รายการต่างนี้อยู่นอกขอบเขตของข้ออ้างเดิม ไม่ใช่ตัวอย่าง反驳 (counterexample) ต่อข้ออ้างนั้น.
อย่าใช้การตรวจสอบเครื่องคิดเลขที่สำเร็จสำหรับ n=100 แทนการเปลี่ยนแปลงทั่วไป มันเป็นการตรวจสอบอีกกรณีหนึ่ง
ระบุโดเมน ให้เหตุผลเกี่ยวกับกรณีเริ่มต้น และกำหนดขั้นตอนทั่วไปที่ถูกต้อง อธิบายว่าข้อพิสูจน์ที่ได้ครอบคลุมอะไรอย่างชัดเจน