การแปลงเมทริกซ์, เมทริกซ์ผกผัน และค่าเฉพาะ (Eigenvalues)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | ดีเทอร์มิแนนต์ |
เวกเตอร์พื้นฐานไปอยู่ที่ไหน?
- ฟังก์ชันแปลงจะยืด在某direction และบิด某direction เมทริกซ์บันทึกการเปลี่ยนแปลงของแต่ละเวกเตอร์พื้นฐาน
- บทเรียนนี้ศึกษา ดีเทอร์มิแนนต์: สเกลาร์ที่กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถกลับด้านได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- เมทริกซ์ขนาด 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์เป็น ad-bc และมีเมทริกซ์역คือ [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ เปลี่ยนเวกเตอร์คอลัมน์ด้วยการคูณทางซ้าย ในผลคูณเมทริกซ์ เมทริกซ์ที่อยู่ทางขวาจะทำงานก่อน
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไมการกำหนดค่าเป็นศูนย์จึงทำให้เมทริกซ์ 2×2 ไม่มีอินเวอร์ส?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การกำหนดค่าคือปัจจัยปรับขนาดพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย det=0 ทำให้มิติหนึ่งยุบตัว จุดที่แตกต่างกันมีภาพเดียวกัน จึงไม่สามารถแยกจุดเหล่านั้นด้วยการแปลงผกกลับ และการหารด้วย ad-bc ล้มเหลว
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ A=[[2,1],[0,3]], det A=6. A(1,2)=(4,6). อินเวอร์สคือ [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. สมการลักษณะเฉพาะคือ (2-λ)(3-λ)=0 ดังนั้นค่าเฉพาะ (eigenvalues) คือ 2 และ 3.
การแปลงเมทริกซ์, เมทริกซ์ผกผัน และค่าเฉพาะ (Eigenvalues)
เมทริกซ์ขนาด 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์ ad-bc และมีเมทริกซ์ผกผัน [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
หาดีเทอร์มิแนนต์ของ [[2,1],[0,3]]
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ดีเทอร์มิแนนต์คือ 2×3-1×0=6
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การคูณเมทริกซ์มักจะไม่สลับที่ได้ ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์หมายความว่ามีการสูญเสียมิติในการแปลงและไม่เมทริกซ์역을ไม่มี ค่าเฉพาะและการทำให้อยู่ในรูปทแยงมุมเป็นเรื่องระดับสูง ไม่ใช่เนื้อหาเวกเตอร์ GCSE ปกติ
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ทุกเมทริกซ์สี่เหลี่ยมมีเมทริกซ์역 ข้ออ้างนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
หาองค์ประกอบ x หลังเมทริกซ์ทำทรานส์ฟอร์ม (1,2)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พิกัดที่เปลี่ยนไปครั้งแรกคือ 2×1+1×2=4
เมทริกซ์สี่เหลี่ยมทุกตัวมีเมทริกซ์ผกผัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การคูณเมทริกซ์มักไม่เป็นแบบสลับที่ ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์หมายถึงการเปลี่ยนแปลงสูญเสียมิติหนึ่งและไม่มีการผกผัน ค่าเฉพาะและการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเป็นเนื้อหาขั้นสูง ไม่ใช่เนื้อหาเวกเตอร์ GCSE ทั่วไป
ตีความสถานการณ์ใหม่
- หาเวกเตอร์เฉพาะ (eigenvector) โดยการแก้ (A-λI)v=0 โดยที่ v≠0 อธิบายความหมายทางเรขาคณิต: เวกเตอร์นี้จะคงทิศทางเส้นไว้ภายใต้การแปลงนี้
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หา eigenvalue ที่มีค่ามากที่สุดของเมทริกซ์นี้
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เมทริกซ์สามเหลี่ยมนี้มี eigenvalue ที่กำหนดโดยสมาชิกบนเส้นทแยงมุม 2 และ 3 ดังนั้นค่าที่ใหญ่กว่าคือ 3
จับคู่แนวคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์กับบทบาทของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ผลคูณเมทริกซ์ทำจากขวาไปซ้าย และมีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อการกำหนดค่าไม่เป็นศูนย์เท่านั้น
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- การประยุกต์ใช้และการตีความสำหรับการประเมินครั้งแรก-2021 ระดับ HL. นี่คือส่วนสนับสนุนแนวคิดที่จัดทำขึ้นเอง; ต้องใช้คู่มือฉบับเต็มเพื่อยืนยันวัตถุประสงค์ทุกข้อ
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
สเกลาร์ที่กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถกลับด้านได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์