อนุพันธ์ฟังก์ชันแบ่งส่วน, ความผันผวนของพลังงาน และความจุความร้อน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Helmholtz free energy/ˈhelmhəʊltz friː ˈenədʒi/ | พลังงานอิสระของเฮลมโฮลตซ์ |
| energy fluctuation/ˈenədʒi ˌflʌktʃuːˈeɪʃn/ | การแปรปรวนของพลังงาน |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- ช่องว่างพลังงานความร้อนสามารถรักษาความจุความร้อนให้ต่ำได้ทั้งที่อุณหภูมิต่ำและสูง แม้ในขณะที่ความน่าจะเป็นของสถานะกระตุ้นจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง
- เป้าหมายของคุณ: ได้ค่าพลังงานเฉลี่ยและพลังงานอิสระมาตรฐานจากสเปกตรัมพลังงานที่กำหนดไว้
แยกแยะสเปกตรัมที่กำหนดไว้
- สำหรับระบบที่แลกเปลี่ยนพลังงานกับอ่างที่อุณหภูมิ T โดยที่ N และ V คงที่ ให้กำหนด β=1/(kBT) จам Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) เหนือระดับพลังงานโดยรวมความเบี่ยงเบน (degeneracy) ความน่าจะเป็นของแต่ละระดับคือ g_i exp(−βE_i)/Z; พลังงานเฉลี่ย U คือผลรวมพลังงานที่คูณด้วยน้ำหนักความน่าจะเป็น การหาอนุพันธ์ของสเปกตรัมที่ไม่ขึ้นกับอุณหภูมิจะได้ U=−∂lnZ/∂β
- รักษาช่องว่างพลังงานและความเบี่ยงเบนให้คงที่ระหว่างการหาอนุพันธ์ การเขียน Δ=kBT ln3 เพื่ออธิบายการประเมินที่อุณหภูมิหนึ่งไม่ควรตีความว่าทำให้ Δ เปลี่ยนแปลงตาม T สำหรับ N ระบบย่อยที่เป็นอิสระและจำแนกชนิดกันได้ Z_total=z^N และ U_total=N u อนุภาคที่ไม่สามารถจำแนกชนิดได้และมีปฏิกิริยาลูกน้ำต้องการการนับสถานะเฉพาะแทนสมมติฐานผลคูณนี้
Two nondegenerate levels have energies 0 and fixed Δ. At Δ/(kBT)=ln4, excited probability is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p_exc=1/(1+e^x)=1/(1+4)=1/5.
ระบุปริมาณทางอุณหพลศาสตร์
- พลังงานอิสระเฮลมโฮลตซ์คือ F=−kBT lnZ เอนโทรปีแบบคานอนิกเกิดจาก S=kB(lnZ+βU) หรือเทียบเท่ากับ −kBΣ p_j ln p_j เหนือไมโครสเตตแต่ละตัว ความจุความร้อนที่ปริมาตรคงที่คือ C_V=(∂U/∂T)_V,N ปริมาณเหล่านี้มีหน่วยต่างกันและอธิบายอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน
- การเพิ่มค่าเลื่อนพลังงาน ε ไปยังทุกสถานะจะทำให้ Z คูณด้วย exp(−βε), เพิ่ม U และ F ขึ้น ε และไม่เปลี่ยนความน่า可能性 เอนโทรปี และความจุความร้อนเมื่อ ε ไม่ขึ้นกับ T ดังนั้นค่าพลังงานเฉลี่ยที่เลือกให้เป็นลบจึงไม่ใช่หลักฐานของการมีความจุความร้อนเป็นลบ ใช้จุดอ้างอิงพลังงานเดียวกันในความน่าจะเป็นและนิพจน์ทางอุณหพลศาสตร์
A constant temperature-independent energy ε is added to every state. Which quantity stays unchanged?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
All probabilities are unchanged. U and F shift by ε and Z gains e^(−βε), but entropy and heat capacity remain the same.
เชื่อมโยงความผันแปรและการตอบสนอง
- อนุพันธ์อันดับสองของ lnZ ให้ค่าความแปรปรวน Var(E)=⟨E²⟩−U² สำหรับโมเดลคานอนิกสเปกตรัมคงที่เดียวกัน C_V=Var(E)/(kBT²) ดังนั้น C_V/kB=β²Var(E) ความแปรปรวนที่ไม่เป็นลบบ่งชี้ว่า C_V เป็นไม่เป็นลบภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ส่วนประกอบในตัวส่วนประกอบด้วย kB ไม่ใช่ kB² เมื่อความจุความร้อนรักษายูนิท J/K ปกติ
- สูตรความผันผวนนี้เกี่ยวข้องกับ توزيعพลังงาน canonical; ไม่ได้หมายความว่าแต่ละอนุภาคมีพลังงานเฉลี่ยเป๊ะๆ สำหรับ子系统อิสระความแปรปรวนบวกกัน และค่าเฉลี่ยก็บวกเช่นกัน ความผันผวนของพลังงานสัมพัทธ์มักลดลงเช่น 1/√N เมื่อค่าเฉลี่ยและความแปรปรานต่อ子系统คงที่และมีค่าไม่เท่ากับศูนย์
สำหรับระดับ 0 และช่องว่าง Δ ที่คงที่ที่อุณหภูมิที่ x=ln3, z=1+1/3=4/3 และ p_exc=1/4 ดังนั้น u=Δ/4, ⟨E²⟩=Δ²/4 และ Var(E)=3Δ²/16. C/kB=3(ln3)²/16=0.226303. F=−kBT ln(4/3); S/kB=ln(4/3)+(ln3)/4=0.562335. การยกค่าอ้างอิงขึ้น ε จะเปลี่ยน u เป็น ε+Δ/4 แต่รักษาความแปรปรวนและความจุความร้อนไว้
For equally probable energies 0 J and 2 J, energy variance is ____ J².
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mean=1 J and second moment=2 J², so variance=2−1²=1 J².
ทดสอบขีดจำกัดอุณหภูมิของระดับพลังงานจำกัด
- สำหรับสถานะพื้นหนึ่งสถานะที่ E=0 และสถานะกระตุ้นหนึ่งสถานะที่ E=Δ>0 ที่คงที่ ให้กำหนด x=Δ/(kBT) จากนั้น z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc และ C/kB=x²e^x/(1+e^x)². ที่อุณหภูมิต่ำ การกระตุ้นและความจุความร้อนหายไปแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ที่อุณหภูมิสูง p_exc มีแนวโน้มเป็นครึ่งหนึ่งและพลังงานอิ่มตัว ทำให้ความจุความร้อนมีแนวโน้มเป็นศูนย์อีกครั้ง
- เอนโทรปีเพิ่มขึ้นจากศูนย์สำหรับสถานะพื้นที่มีเอกลักษณ์เข้าใกล้ kB ln2 เมื่อสองสถานะมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ยอดความจุความร้อนที่อุณหภูมิจำกัดที่เกิดขึ้นนี้เฉพาะเจาะจงต่อโมเดลระดับพลังงานจำกัด ไม่ใช่ค่าออสซิลเลเตอร์คลาสสิกที่คงที่ ความเบี่ยงเบนของสถานะพื้นหรือระดับเพิ่มเติมจะเปลี่ยนเอนโทรปีrition และการตอบสนองของอุณหภูมิ
รักษา Δ ให้คงที่ขณะหาอนุพันธ์ รวมความเบี่ยงเบนลงใน Z และใช้ความแปรปรวนของพลังงานแทนกำลังสองของค่าเฉลี่ยพลังงานในสูตรความจุความร้อน
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
หาค่าเฉลี่ยพลังงานและพลังงานอิสระตามแบบแผนจากสเปกตรัมพลังงานที่กำหนด
For a fixed two-level nondegenerate spectrum, canonical heat capacity tends to zero as T becomes arbitrarily high.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Energy approaches Δ/2 and its temperature derivative tends to zero; a finite spectrum saturates.
รักษาระยะห่าง
- ความแปรปรวนของพลังงาน — การกระจายตัวแบบมาตรฐานของพลังงานรอบค่าเฉลี่ยในชุดสถิติ ซึ่งวัดได้ด้วยความแปรปรวนของพลังงาน
- พลังงานอิสระเฮลมโฮลตซ์ — ฟังก์ชันเทอร์โมไดนามิก F=U−TS มีค่าเท่ากับ −kBT lnZ สำหรับชุดสถิติแบบคาโนนิกัล
- หาค่าเฉลี่ยพลังงานและพลังงานอิสระแบบคาโนนิกัลจากสเปกตรัมพลังงานที่กำหนดให้
- เชื่อมโยงความแปรปรวนของพลังงานกับความจุความร้อนที่ปริมาตรคงที่ภายใต้เงื่อนไขสเปกตรัมคงที่
- ประเมินค่าเอนโทรปีและขอบเขตอุณหภูมิต่ำ/สูงสำหรับโมเดลระดับพลังงานจำกัดดั้งเดิม
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.