คณิตศาสตร์เชิงไม่ต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นและวิธีการเชิงตัวเลข
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| recurrence/rɪˈkʌrəns/ | recurrences |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | mutually exclusive |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- เครื่องคิดเลขให้ราก แต่ค่าเริ่มต้นและอนุพันธ์กำหนดว่าวิธีนิวตันจะเข้าหามันได้หรือไม่
- เป้าหมายของคุณ: ใช้การนับ สมการเวียนกลับ การวิเคราะห์กราฟ และตรรกศาสตร์
อ่านความสัมพันธ์
- เลือกแบบจำลองการนับก่อน: การเลือก r วัตถุที่แตกต่างกันแบบมีลำดับใช้ n(n−1)⋯(n−r+1), ส่วน subset ที่ไม่มีลำดับใช้ C(n,r) กราฟสมบูรณ์ (complete simple graph)上有 n จุดยอด มี edge เดียวสำหรับทุกคู่จุดยอดแบบไม่มีลำดับ ทำให้ได้ n(n−1)/2 edges; loops และ multiple edges จะเปลี่ยนโมเดล สำหรับ n เส้นในตำแหน่งทั่วไป (general position) บนระนาบ เส้นที่ k ตัดกับเส้นก่อนหน้า k−1 เส้นที่จุดที่แตกต่างกันและเพิ่ม k พื้นที่ รวมทั้งหมดคือ 1+n(n+1)/2; เส้นขนานหรือการตัดกันแบบสามเส้นที่จุดเดียวกันจะทำให้การนับนี้ไม่ถูกต้อง
- คำนวณความน่าจะเป็นและคุณสมบัติของการแจกแจง
How many unordered pairs can be chosen from 5 objects?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
5 choose 2 =5×4/2=10.
ใช้กฎที่กำหนด
- ใช้ complement ในการนับ至少有一次 occurrence, และ condition กับประชากรที่เหลือจริงหลัง draw without replacement สำหรับ r iid outcomes ที่เลือกจาก n ค่าที่เท่าเทียมกัน ความน่าจะเป็นที่ทั้งหมดต่างกันคือ n(n−1)⋯(n−r+1)/n^r เมื่อ r≤n Complement ของมันนับผลลัพธ์ที่ซ้ำ สำหรับ binomial count ด้วย N independent trials และ success probability p ที่คงที่ ค่าเฉลี่ยคือ Np และความแปรปรวนคือ Np(1−p) ความน่า برابرกันเพียงอย่างเดียวไม่ได้证实 independence
- นำการประมาณค่าเชิงตัวเลขไปใช้และประเมินความผิดพลาด
A tree has 8 vertices. Its edge count is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A finite tree has n−1 edges.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- สมการรีเคอร์เรนซ์อธิบายค่าถัดไปจากค่าก่อนหน้าและต้องการข้อมูลเริ่มต้นเพียงพอที่จะกำหนดลำดับ แยกดัชนีออกจากค่า: a_n=2a_(n−1) กับ a_0=3 ให้ a_n=3·2^n กราฟและเหตุผลเกี่ยวกับอัลกอริทึมมักพิสูจน์สมการรีเคอร์เรนซ์โดยการระบุสิ่งที่โหนดหรือขั้นตอนใหม่เพิ่มเข้าไป สูตรปิดควรสอดคล้องทั้งกับสมการรีเคอร์เรนซ์และเงื่อนไขเริ่มต้น การจับคู่พจน์ที่สังเกตได้ไม่กี่พจน์ไม่พิสูจน์ได้ว่าถูกต้องสำหรับทุกดัชนี
- นำการประมาณค่าเชิงตัวเลขไปใช้และประเมินความผิดพลาด
สำหรับ f(x)=x²−2 และ x₀=1, ขั้นตอนของนิวตันให้ 1−(1−2)/2=1.5. ค่าถัดไปคือ 1.5−0.25/3=1.4167. ค่าเหล่านี้ประมาณ sqrt(2), แต่ f′(0)=0 ทำให้จุดเริ่มต้นเป็นศูนย์ไม่ถูกต้อง
For a fair die, P(even) = ____ (decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Three of six equally likely outcomes are even.
ใช้รูปแบบงาน
- การประมาณด้วยตัวเลขต้องใช้การประเมินความผิดพลาด Bisection รักษาค่าขอบเขตที่เปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องและลดความกว้างลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้น; จุดศูนย์อาจไม่มีหากความต่อเนื่องล้มเหลว การอัปเดตของ Newton คือ x_new=x−f(x)/f′(x) ซึ่งต้องการอนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ที่จุดปัจจุบัน; การลู่เข้าไม่เกิดขึ้นอัตโนมัติจากทุกค่าเริ่มต้น ค่าคงเหลือของการประมาณและความคลาดเคลื่อนใน x เป็นสิ่งต่างกัน ระบุสมมติฐานของวิธีและเกณฑ์หยุดRather than treating extra displayed decimals as accuracy
- นำการประมาณค่าเชิงตัวเลขไปใช้และประเมินความผิดพลาด
เหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นบวกไม่สามารถเป็นอิสระต่อกันและเป็นเหตุขัดแย้งกันได้พร้อมกัน
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
ใช้การนับ, สมการผลึกซ้ำ, การวิเคราะห์กราฟ และตรรกะ
Newton’s method is guaranteed to converge from every starting value.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A zero derivative or unsuitable starting value can prevent convergence.
รักษาระยะห่าง
- ** recurrence (ความสัมพันธ์แบบย้อนกลับ)** — กฎที่เชื่อมโยงพจน์ของลำดับเข้ากับพจน์ก่อนหน้า
- mutually exclusive (เหตุขัดแย้งกัน) — เหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้พร้อมกัน
- ใช้การนับ, ความสัมพันธ์แบบย้อนกลับ, การพิจารณากราฟ และตรรกะ
- คำนวณความน่าจะเป็นและคุณสมบัติของการแจกแจง
- นำการประมาณค่าเชิงตัวเลขไปใช้และประเมินความผิดพลาด
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.