เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม
Introduced| English | ไทย |
|---|---|
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล |
| exponent/ekˈspəʊnənt/ | เลขชี้กำลัง |
| natural logarithms/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəmz/ | ลอการิทึมธรรมชาติ |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | ดอกเบี้ยทบต้น |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | การลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล |
การคูณซ้ำสร้างโมเดล
- ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล เช่น $y=a^x$ มีตัวแปรอยู่ใน เอ็กซ์โพเนนต์ โดยมี $a>0$ และ $a\ne1$
- ค่าของมันเติบโตสำหรับ $a>1$ และลดลงสำหรับ $0
การเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียลเทียบกับเส้นตรง
$y = a^x$
ปัจจัยคงที่มักจะชนะปริมาณคงที่ ไม่ว่าเส้นจะชันแค่ไหนก็ตาม
ใช้ลอการิทึมเป็นInverse
- $\log_a y=x$ หมายความว่า $a^x=y$ ลอการิทึมจริงต้องการArgumentที่เป็นบวกและฐานที่เป็นบวกที่ไม่เท่ากับ 1
- ลอการิทึมธรรมชาติ ใช้ฐาน e กราฟ $y=\ln x$ ผ่าน $(1,0)$ และมีเส้นกำกับแนวตั้ง $x=0$; กราฟเอ็กซ์โพเนนเชียลมีy-intercept ที่ 1 และมีเส้นกำกับแนวนอน $y=0$
log₁₀ 1000 มีค่าเท่าไร?
ถามว่า 10 ยกกำลังเท่าใดจะได้ 1000 และ 10³ = 1000
ใช้กฎเฉพาะภายในDomainของมัน
- สำหรับ m และ n ที่เป็นบวกที่มีฐานValidSame, $\log(mn)=\log m+\log n$ และ $\log(m/n)=\log m-\log n$
- กฎกำลัง $\log(m^k)=k\log m$ นำเอ็กซ์โพเนนต์เข้าไปในผลคูณ ไม่มีกฎที่สอดคล้องกันในการแยกลอการิทึมของผลบวก
กฎใดที่ช่วยให้แก้หาค่าที่ไม่ทราบซึ่งอยู่ในเอกซ์โพเนนต์?
กฎเอกซ์โพเนนต์ดึง k ลงมาไว้ข้างหน้าเพื่อแบ่งออกได้ ตัวเลือกที่สี่ไม่ใช่กฎเลย
log(m + n) เท่ากับ log m + log n
กฎการบวกใช้กับผลคูณภายในลอการิทึม ไม่เคยใช้กับผลบวก
ระบุสมมติฐานด้านเวลาและทางการเงิน
- ดอกเบี้ยทบต้น ใช้ $A=P(1+r)^n$ สำหรับอัตราที่กำหนดต่อช่วงเวลาและไม่มีกระแสเงินสดอื่น อัตรา r เป็นเศษส่วน ไม่ใช่ตัวเลขเปอร์เซ็นต์
- การสลายตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ใช้ค่าตัวแปรระหว่าง 0 กับ 1 Threshold ในเวลาต่อเนื่องอาจแตกต่างจากตัวอย่างช่วงเวลาแรกที่มีคุณสมบัติจริงกระบวนการต้องการหลักฐานก่อนใช้โมเดล
5000 เติบโตที่ 4% ต่อปี หลังกี่ปีจำนวนเต็มเท่านั้นที่มันจะเกิน 7000 ครั้งแรก?
n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58 และปีเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นคำตอบคือ 9
ฐานใดที่ทำให้เกิดการลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล?
ฐานระหว่าง 0 ถึง 1 ลดค่าลงทุกขั้นตอน ฐาน 1 ไม่เปลี่ยนแปลงค่าเลย
ในประโยคภาษาอังกฤษหนึ่ง บอกว่าคุณจะใช้อะไรในการแก้สมการด้วยลอการิทึม
ตัวอย่าง: "ฉันใช้ลอการิทึมเมื่อตัวแปรที่ไม่ทราบค่าอยู่ในเลขชี้กำลัง เพราะกฎเลขชี้กำลังจะดึงมันลงมา"
Threshold ทั้งปี ด้วย $A(n)=500(1.04)^n$ شرط $A(n)>600$ ให้ $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$ ปีแรกคือ 5 ตรวจสอบปีที่ 4 และ 5เพื่อยืนยันอสมการเข้มงวด
ตรวจสอบสมการและSketch Domain แยกต่างหาก ใน $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$ สมการต้องการ $x>1$ และมีคำตอบเป็น 6 กราฟพื้นฐานแยกต่างหาก $y=\ln x$ กำหนดสำหรับ $x>0$ ใบงาน 1.6 ฝึกหัดทั้งสมการและลักษณะกราฟ
โมเดลการสลายตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่เป็นบวกยังคงอยู่เหนือศูนย์ในทุกเวลาที่มีจำกัด ปริมาณทางกายภาพที่วัดได้เป็นศูนย์อาจสะท้อนขอบเขตการตรวจจับหรือความล้มเหลวของโมเดล แทนที่จะเป็นศูนย์ที่แม่นยำที่สูตรทำนาย