การแจกแจงแบบต่อเนื่องและฟังก์ชันความหนาแน่น
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น |
ความสูงเท่ากับความน่าจะเป็นหรือไม่?
- เวลาที่รอสามารถมีค่าใดก็ได้ในช่วง ความน่าจะเป็นมาจากพื้นที่ ไม่ใช่ความสูงของกราฟ ณ วินาทีหนึ่ง
- บทเรียนนี้ศึกษา ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น: ฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบ whose integral over an interval gives its probability
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- f ต้องไม่เป็นลบและอินทิเกรตได้ 1 บน support ของมัน F(x) คืออินทิกรัลจนถึง x สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง P(X=x)=0 และ E(X) คืออินทิกรัลของ xf(x)
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ทำไม P(X=1)=0 แม้ฟังก์ชันหนาแน่นอาจมีค่าบวกที่ 1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความหนาแน่นให้ความน่าจะเป็นผ่านการอินทิเกรตบนช่วงหนึ่ง ช่วงจุดมีความกว้างเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงมีพื้นที่เป็นศูนย์ และมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ - ไม่ว่าความหนาแน่นจะสูงเพียงใดก็ตาม
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
ให้ f(x)=kx on 0≤x≤2 และศูนย์ที่อื่น การทำให้เป็นมาตรฐานให้ integral_0^2 kx dx=2k=1, ดังนั้น k=1/2 จากนั้น P(X≤1)=integral_0^1 x/2 dx=1/4 และ E(X)=integral_0^2 x²/2 dx=4/3
การแจกแจงแบบต่อเนื่องและฟังก์ชันความหนาแน่น
ฟังก์ชันความหนาแน่น f ต้องไม่เป็นลบและอินทิเกรตได้เท่ากับ 1 บนขอบเขตรองรับ
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
หาค่า k เมื่อ f(x)=kx บนช่วง [0,2] เป็นฟังก์ชันความหนาแน่น
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พื้นที่ความหนาแน่นทั้งหมด k[x²/2] จาก 0 ถึง 2=2k=1 ดังนั้น k=1/2
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- f สามารถมากกว่า 1 โดยไม่ผิดกฎ; พื้นที่ทั้งหมดต้องเท่ากับ 1 F ไม่สามารถลดลงได้ รวมบริเวณความหนาแน่นศูนย์นอก support เมื่อกำหนดโมเดลสมบูรณ์
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ตัวแปรต่อเนื่องมี P(X=x) เท่ากับความสูงของ f(x) ข้ออ้างนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
สำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นนี้ ให้หา P(X≤1)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความน่าจะเป็น=integral x/2 จาก 0 ถึง 1=[x²/4]=1/4
ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องมี P(X=x) เท่ากับความสูงของความหนาแน่น f(x)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความหนาแน่นสามารถเกิน 1 ได้โดยไม่ผิดกฎ; พื้นที่รวมต้องเท่ากับ 1 ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมไม่สามารถลดลงได้ ควรระบุบริเวณที่มีความหนาแน่นเป็นศูนย์ภายนอกขอบเขตรองรับเมื่อกำหนดโมเดลที่สมบูรณ์
ตีความสถานการณ์ใหม่
- สำหรับ uniform distribution, f คือผลกลับของความยาวช่วง หาค่ามัธยฐานหรือเปอร์เซนไทล์โดยใช้ cumulative probability และใช้ support-aware integral สำหรับ moments
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
สำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นนี้ ให้หา E(X)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
E(X)=integral x²/2 จาก 0 ถึง 2=[x³/6]=4/3
จับคู่เงื่อนไขของแต่ละฟังก์ชันความหนาแน่นกับข้อความให้ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความหนาแน่นอาจมีค่าเกิน 1 ในบางจุด; พื้นที่รวมทั้งหมดถูกกำหนดไว้ที่ 1 ฟังก์ชันสะสมทำการอินทิเกรตและค่าคาดหวังคำนวณโดยคูณด้วย x
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- edexcel IAL คณิตศาสตร์ขั้นสูง; หน่วย S2 อย่างทางการ การเสริมเนื้อหาจากหน่วยอื่นระบุไว้ในขอบเขตการทบทวน ไม่ใช่เงื่อนไขการชำระเงินเพิ่ม
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบ whose integral over an interval gives its probability. เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีทำ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์