อนุกรม, ผลต่างจำกัด และการขยายเทย์เลอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | พหุนามเทย์เลอร์ |
โพลิโนมิอัลสามารถแทนที่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลใกล้จุดหนึ่งได้หรือไม่?
- ใกล้จุดที่ทราบค่าแล้ว ฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามารถถูกแทนที่ด้วยการประมาณค่าด้วยโพลิโนมิอัล การประมาณค่านี้จำเป็นต้องมีจุดศูนย์กลางและสเกลที่เหมาะสม
- บทเรียนนี้ศึกษา โพลิโนมิอัลเทย์เลอร์: โพลิโนมิอัลที่สร้างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดศูนย์กลางที่กำหนดไว้
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- รอบ x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+... เมื่อการกระจายตัวมีความถูกต้อง ที่ a=0 จะเป็นการกระจายตัวแบบแมคลอเรน ผลรวมจำกัดอาจลดรูปได้ง่ายขึ้นด้วยการตัดทอนหรือสูตรผลรวมมาตรฐาน
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไม 1+x+x²/2 จึงเป็นการประมาณ eˣ เท่านั้น?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุกรมเต็มรูปแบบมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด: eˣ=1+x+x²/2!+x³/3!+.... การหยุดหลังจากสามพจน์จะทำให้ส่วนท้ายหายไป ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นการประมาณที่แม่นยำเฉพาะใกล้จุดศูนย์กลาง x=0เท่านั้น
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สามพจน์แรกของการขยาย e^x คือ 1+x+x²/2. ที่ x=0.1 ค่าที่ได้คือ 1.105 ซึ่งใกล้เคียงกับ e^0.1≈1.105170. สำหรับผลบวกของ k² จาก k=1 ถึง 5, n(n+1)(2n+1)/6 ให้ค่า 5×6×11/6=55.
อนุกรม, ผลต่างจำกัด และการขยายเทย์เลอร์
รอบๆ x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
ใช้ 1+x+x²/2 เพื่อประมาณค่า e^0.1
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พหุนามตัดทอนคือ 1+0.1+0.1²/2=1.105
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- ตัวคูณ factorial ควรอยู่ในตัวส่วนของสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ทุกตัว จุดศูนย์กลางของการกระจายตัวไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์เสมอไป การประมาณค่าที่ใกล้จุดศูนย์กลางอาจให้ผลลัพธ์ที่แย่ลงเมื่ออยู่ไกลออกไป
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
โพลิโนมิอัลเทย์เลอร์ให้ค่าที่แม่นยำเท่ากับฟังก์ชันต้นฉบับสำหรับทุกค่าเข้า นี่คือข้ออ้างที่ผิด อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
หาผลรวมของ k² สำหรับ k=1 ถึง 5
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เพิ่มพจน์กำลังสอง: 1+4+9+16+25=55
พหุนามเทย์เลอร์จะแม่นยำเสมอสำหรับฟังก์ชันต้นฉบับที่ทุกอินพุต
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แฟกทอเรียลอยู่ในตัวส่วนของสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ทุกตัว จุดศูนย์กลางของการขยายไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ การประมาณค่าใกล้จุดศูนย์กลางอาจไม่ดีเมื่ออยู่ไกลออกไป
ตีความสถานการณ์ใหม่
- สำหรับอนุกรมแบบเทเลสโคปิก (telescoping series) ให้เขียนพจน์หลายพจน์และระบุพจน์ที่เหลืออยู่ทั้งสองข้าง สำหรับการใช้ประมาณค่าเทย์เลอร์ ระบุอันดับของการประมาณค่าและเปรียบเทียบกับค่าที่ทราบหรือค่าความผิดพลาดคงเหลือตามต้องการ
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หาสัมประสิทธิ์ของ x² ในการขยาย Maclaurin ของ e^x
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์อันดับสองของ e^x ที่ศูนย์คือ 1; หารด้วย 2!=2 จะได้ 1/2
จับคู่เครื่องมืออนุกรมแต่ละชนิดกับการใช้งาน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ผลรวมมาตรฐานจัดการกับพหุนาม; พหุนามเทย์เลอร์ประมาณค่าฟังก์ชันเรียบใกล้จุดศูนย์กลาง; การลดรูปแบบ telescoping รวบรวมผลต่าง
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- edexcel IAL Further Mathematics; หน่วย FP2 อย่างเป็นทางการ การเสริมเนื้อหาจากหน่วยอื่นระบุไว้ในขอบเขตการทบทวน; ไม่ใช่ข้อกำหนดในการชำระเงินเพิ่มเติม
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
โพลิโนมิอัลที่สร้างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดศูนย์กลางที่กำหนดไว้ เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์