Reciprocal graphs and asymptotes
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | เส้นประ |
โมเดลผกผันมีค่าเพิ่มขึ้นอย่างมากเมื่อตัวแปรเข้าใกล้ศูนย์ ศูนย์คือตัวแปรที่หายไป ไม่ใช่จุดที่จะเชื่อมข้าม
- โมเดลผกผันมีค่าเพิ่มขึ้นอย่างมากเมื่อตัวแปรเข้าใกล้ศูนย์ ศูนย์คือตัวแปรที่หายไป ไม่ใช่จุดที่จะเชื่อมข้าม
- บทเรียนนี้ศึกษา เส้นประ (asymptote): เส้นที่เส้นโค้งเข้าใกล้ในทิศทางลิมิต
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับ a ที่ไม่เท่ากับศูนย์, y=a/x มีโดเมน x≠0 และช่วง y≠0, โดยมีเส้นประ x=0 และ y=0. a บวกให้สาขาอยู่ในจตุภาคที่ I และ III; a ลบให้ II และ IV. สำหรับ y=a/x² โดเมนคือ x≠0, แต่กราฟมีความสมมาตรรอบแกน y; ทั้งสองสาขามีค่าบวกหาก a>0 และมีค่าลบหาก a<0
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
How do the negative-x branches of y=4/x and y=4/x² differ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Squaring removes the sign: y=4/x² has both branches above the axis, symmetric about the y-axis, while y=4/x keeps quadrant III negative. The reciprocal-square graph is not a pruned reciprocal graph.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ y=4/x, จุดตรวจสอบคือ (1,4), (2,2), (−1,−4), (−2,−2). เมื่อ x เข้าใกล้ศูนย์จากฝั่งขวา, y เพิ่มขึ้นเป็นบวก; จากฝั่งซ้ายเพิ่มลงเป็นลบ. เมื่อ |x| เพิ่มขึ้น, y เข้าใกล้ศูนย์. สำหรับ y=4/x², (1,4) และ (−1,4) ให้ค่าเท่ากัน และทั้งสองฝั่งเพิ่มขึ้นเป็นบวกใกล้ศูนย์. ตัดกับ y=4/x กับ y=x ได้ x²=4, ดังนั้น (2,2) และ (−2,−2). ตัดกับ y=4/x² กับ y=1 ได้ x²=4, ดังนั้น (2,1) และ (−2,1)
Reciprocal graphs and asymptotes
For nonzero a, y=a/x has domain x≠0 and range y≠0, with asymptotes x=0 and y=0
Connect graph shape to algebraic branches and allowed inputs.
Evaluate 4/x at x=−2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4/(−2)=−2.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- ห้ามพล็อต x=0 หรือวาดเส้นเชื่อมสองสาขาผ่านจุดนั้น กราฟผกผันกำลังสองไม่ใช่กราฟผกผันที่เอาสาขาลบออก; สาขาซ้ายทั้งหมดสะท้อนขึ้นไปเหนือแกน x สำหรับ a บวก. โค้งเหล่านี้ไม่ตัดกับ y=0, แต่ “ไม่มีโค้งใดสามารถตัดเส้นประได้” ไม่ใช่กฎทั่วไปที่ถูกต้อง
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
กราฟ y=4/x และ y=4/x² ให้ค่าเดียวกันสำหรับทุก x เป็นลบ ข้ออ้างนี้ผิด อธิบายว่าขัดต่อนิยามหรือข้อสมมติใด
Evaluate 4/x² at x=−2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Square the whole denominator input: 4/(−2)²=4/4=1.
The graphs y=4/x and y=4/x² have the same outputs for every negative x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Never plot x=0 or draw a stroke joining the two branches through it. The reciprocal-square graph is not the reciprocal graph with the negative branch removed; the entire left branch is reflected above the x-axis for positive a. These particular curves do not meet y=0, but “no curve can ever cross any asymptote” is not a valid general rule.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- สำหรับอินพุตทางกายภาพที่เป็นบวก, y=a/x สามารถเป็นโมเดลความแปรผกผัน และ y=a/x² เป็นโมเดลความแปรผกผันกำลังสอง. หาก y=4/x แทนความสัมพันธ์ระหว่างเวลาและความเร็ว, สาขาลบValidทางคณิตศาสตร์แต่อยู่นอกโดเมนทางกายภาพของโมเดลนี้. การคูณสอง x ที่เป็นบวกทำให้ 4/x ลดลงครึ่งหนึ่ง และ 4/x² ลดลงเป็น四分之一. ตรวจสอบจุดตัดกราฟในความสัมพันธ์ต้นฉบับหลังคูณด้วยตัวส่วนที่ไม่เป็นศูนย์
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
Find the positive x-coordinate where y=4/x meets y=x.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
With x≠0, 4/x=x gives x²=4; the positive root is 2.
Match each asymptote behaviour of y=4/x to its direction.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Asymptotes describe limiting behaviour; never draw a stroke joining the branches through the excluded x=0.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · B. จับคู่ระดับเป้าหมายและสเปกก่อนกำหนดการขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
เส้นตรงที่เส้นโค้งเข้าใกล้ในทิศทางลิมิต เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีทำ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์