Rational indices and real domains
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| rational exponent/ˈræʃənl ekˈspəʊnənt/ | เลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ |
ลูกบาศก์ขยายขนาดเป็น 27 เท่าของปริมาตรเดิม ทำไมด้านจึงขยายเพียง 3 เท่า?
- ลูกบาศก์ขยายขนาดเป็น 27 เท่าของปริมาตรเดิม ทำไมด้านจึงขยายเพียง 3 เท่า?
- บทเรียนนี้ศึกษา เลขชี้กำลังตรรกยะ: เลขชี้กำลังที่เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับฐานบวก a, a^(p/q) คือรากที่ q ของ a ยกกำลัง p โดย q เป็นบวก เลขชี้กำลังลบทำให้ต้องหาส่วนกลับ ดังนั้นฐานต้องไม่เป็นศูนย์ ลดรูป p/q ก่อน สำหรับฐานจริงที่เป็นลบ รากที่ตัวส่วนคี่ที่ลดรูปแล้วอนุญาตให้รากเป็นจริง; ตัวส่วนคู่ไม่อนุญาต
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
Why does x^(2/3)=4 have TWO real solutions while x^(1/2)=-2 has none?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
With u=∛x, u²=4 gives u=±2, hence x=±8 - both real because odd roots accept negatives. The square root is principal and nonnegative, so it can never equal -2.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
27^(2/3)=(รากที่สามของ 27)²=9, ในขณะที่ 16^(−3/4)=1/(รากที่สี่ของ 16)³=1/8. สำหรับ x^(2/3)=4 บนจำนวนจริง, ให้ u เป็นรากที่สามของ x: u²=4, ดังนั้น u=±2 และ x=±8. ทั้งสองค่าเข้าข่ายตรวจสอบได้ ในทางตรงกันข้าม x^(1/2)=−2 ไม่มีคำตอบจริงเพราะรากที่สองหลักเป็นค่าไม่ลบ. สำหรับฐานติดลบ, (−8)^(1/3)=−2 และ (−8)^(2/3)=4.
Rational indices and real domains
For a positive base a, a^(p/q) is the qth root of a raised to p, with q positive
Check the conditions behind each index or surd manipulation.
Evaluate 16^(−3/4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The fourth root of 16 is 2; its cube is 8, then take the reciprocal.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- อย่าเปลี่ยนเลขชี้กำลังลบให้เป็นคำตอบลบ อย่ายกเลิกรูปแบบคำตอบที่เป็นลบเมื่อรากที่มีดีกรีคี่ถูกยกกำลังสอง การจัดการเลขชี้กำลังแบบยกกำลังซ้ำอาจล้มเหลวนอกเหนือจากฐานบวก: ((−1)²)^(1/2)=1, ในขณะที่ (−1)^(2×1/2)=−1.
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
สมการ x^(2/3)=4 มีเพียงคำตอบเดียวคือ x=8. ข้ออ้างนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้ออ้างนี้ขัดต่อนิยามหรือสมมติฐานใด
Find the negative real solution of x^(2/3)=4.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Let u be the cube root of x. The negative root u=−2 gives x=−8.
The equation x^(2/3)=4 has only the solution x=8.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not change a negative exponent into a negative answer. Do not discard a negative solution when an odd root is squared. General power-of-a-power manipulations can fail outside positive bases: ((−1)²)^(1/2)=1, whereas (−1)^(2×1/2)=−1.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ใช้ค่าสัมประสิทธิ์สเกลาร์เป็นบวกสำหรับความยาวและปริมาตร: อัตราส่วนปริมาตร 27 ให้ค่าอัตราส่วนความยาว 27^(1/3)=3 และอัตราส่วนพื้นที่ 27^(2/3)=9. ในสมการ ต้องระบุโดเมนจริงและแทนค่าทุกตัวที่เสนอ ความศูนย์ยกกำลังลบไม่มีนัยสำคัญ; บทเรียนนี้ไม่ได้กำหนดค่าให้ 0^0.
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
Evaluate (−8)^(2/3).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The real cube root of −8 is −2; its square is 4.
Match each rational exponent to its evaluation.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The denominator of a reduced fraction takes the root first; a negative exponent reciprocates; even denominators forbid negative bases in real work.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · B. จับคู่ระดับเป้าหมายและสเปกก่อนกำหนดการขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
เลขชี้กำลังที่เขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์