แนะนำปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | การหาค่าเหมาะสมที่สุด |
| variable/ˈveərɪəbl/ | ตัวแปร |
| objective function/ɒbˈdʒektɪv ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันเป้าหมาย |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | ข้อจำกัด |
ทำให้อะไรสักอย่างมีขนาดใหญ่ที่สุด (หรือเล็กที่สุด)
- ปัญหาจริงถามว่า: ขนาดใดให้ พื้นที่ มากที่สุด? ต้นทุน ต่ำที่สุด? เวลา สั้นที่สุด?
- นี่คือปัญหา การหาค่าสูงสุดและต่ำสุด — หาค่า max หรือ min ของปริมาณหนึ่ง.
- คำนวณเชิงอนุพันธ์แก้ปัญหานี้ได้ เพราะจุดสุดขั้วอยู่ที่ที่อนุพันธ์เป็นศูนย์.
- บทเรียนนี้เกี่ยวกับ การจัดตั้ง; การแก้จะมาในขั้นตอนถัดไป.
ตั้งชื่อตัวแปรและเขียนเป้าหมาย
- เลือก ตัวแปร สำหรับปริมาณที่คุณควบคุมได้ (เช่น ความยาว, รัศมี, ราคา).
- เขียนสิ่งที่ต้องการเพิ่มหรือลดให้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรนั้น — ฟังก์ชันเป้าหมาย.
- ตัวอย่าง: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีรอบคงที่ ให้เขียน พื้นที่ ในเทอมของความยาวด้านเดียว.
- วาดภาพและระบุฉลาก — ข้อผิดพลาดในการจัดตั้งส่วนใหญ่เกิดจากแผนภาพที่ไม่มีฉลาก.
ใน "การหาพื้นที่สูงสุดด้วยรอบ perimeter ที่กำหนด" พื้นที่คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คุณปรับค่าให้เหมาะสมตามเป้าหมาย (พื้นที่); ส่วนรอบ perimeter คือข้อจำกัด
ใช้ข้อจำกัดเพื่อหาตัวแปรเดียว
- โดยทั่วไปเป้าหมายเริ่มด้วย สอง ตัวแปร (เช่น ยาวและกว้าง).
- สมการ ข้อจำกัด เชื่อมโยงมันทั้งสอง (รอบคงที่, ปริมาตรคงที่, งบประมาณ).
- แก้สมการข้อจำกัดเพื่อหาตัวแปรหนึ่งแล้ว แทนค่า, เพื่อให้เป้าหมายขึ้นอยู่กับตัวแปร เดียว.
- ตอนนี้กลายเป็นปัญหา "หาค่าสุดขั้ว" ปกติ.
พื้นที่เป็นพาราโบลาคว่ำหนึ่งอัน
y = ax² + bx
หลังจากใช้ข้อจำกัดแล้ว พื้นที่จะกลายเป็น $A=10x-x^2$ — ซึ่งเป็นพาราโบลาที่คว่ำลงและมีจุดยอดเพียงจุดเดียวที่ต้องค้นหา
สมการข้อจำกัดถูกใช้เพื่อ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แก้สมการข้อจำกัดเพื่อหาตัวแปรหนึ่งแล้วแทนค่า
วัตถุประสงค์ของการจัดตั้งคือเขียนฟังก์ชันเป้าหมายในรูปของตัวแปร ____ ตัว
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตัวแปรเดียว ⇒ เป็นปัญหาหาค่าสุดแบบธรรมดา
เรียงลำดับขั้นตอนการจัดตั้งปัญหาการปรับค่าให้เหมาะสม
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
ตัวแปร, ฟังก์ชันเป้าหมาย, ข้อจำกัด, แทนค่า
ตัวอย่างการจัดตั้งแบบทำเป็นขั้นตอน
- "เกษตรกรมี $40$ เมตร ของรั้วสำหรับทำคอกสี่เหลี่ยมหน้ากำแพง (ไม่มีการใช้รั้วที่ด้านกำแพง)."
- ข้อจำกัด: รั้วที่ใช้ $=2x+y=40$, ดังนั้น $y=40-2x$.
- เป้าหมาย: พื้นที่ $A=xy=x(40-2x)=40x-2x^2$, ปัจจุบันเป็นฟังก์ชันของ $x$ เพียงอย่างเดียว.
- พร้อมที่จะเพิ่ม $A(x)$ สูงสุด — นั่นคือบทเรียน 5.11.
เมื่อมี $2x+y=40$ (กำแพงอยู่ด้านหนึ่ง) พื้นที่ $A=xy$ จะกลายเป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y=40-2x$, ดังนั้น $A=x(40-2x)=40x-2x^2$.
การพิจารณาโดเมนของตัวแปร (เช่น $0<x<10$) เป็นส่วนหนึ่งของการจัดตั้งปัญหาการปรับค่าให้เหมาะสมที่ถูกต้อง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ขอบเขตของโดเมนคือตำแหน่งที่คำตอบที่มีนัยสำคัญสามารถเกิดขึ้นได้
เก็บ เป้าหมาย (สิ่งที่เราหาค่าสูงสุด/ต่ำสุด) แยกต่างหากจาก ข้อจำกัด (ความสัมพันธ์ที่คงที่) เราเพิ่ม/ลดเป้าหมาย และใช้ข้อจำกัดเพียงเพื่อลบตัวแปรออก นอกจากนี้ยังต้องพิจารณา โดเมน ของตัวแปร (เช่น $x>0$ และ $y>0$) — เพื่อกำหนดขอบเขตที่คำตอบที่เป็นไปได้จะอยู่.
การจัดตั้ง: เพิ่มพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีรอบ $20$.
- ให้ด้านเป็น $x$ และ $y$. ข้อจำกัด: $2x+2y=20\Rightarrow y=10-x$.
- เป้าหมาย: $A=xy=x(10-x)=10x-x^2$.
- โดเมน: $0<x<10$. ปัญหายากว่า "เพิ่ม $A(x)=10x-x^2$ สูงสุด".
ปัญหา การหาค่าสูงสุดและต่ำสุด หาค่า max หรือ min จัดตั้งโดยการตั้งชื่อ ตัวแปร, เขียน ฟังก์ชันเป้าหมาย ที่ต้องการเพิ่ม/ลด, และใช้สมการ ข้อจำกัด เพื่อลดเหลือตัวแปร เดียว ระวังโดเมน จากนั้นกลายเป็นปัญหาค่าสุดขั้วมาตรฐาน (บทเรียนถัดไป).