การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันผกผัน |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | ค่าส่วนกลับ |
ความชันของฟังก์ชันและภาพสะท้อนของมัน
- ฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ทำลายผลของ $f$: มันสะท้อนกราฟข้ามเส้นตรง $y=x$
- การสะท้อนสลับบทบาทระหว่าง rise และ run — จึงทำให้ความชันกลับหัว
- สิ่งนี้ให้ทางลัดที่漂亮: คุณสามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันได้จากของฟังก์ชันเดิม
- สิ่งที่ดีที่สุดคือ คุณมักจะไม่จำเป็นต้องมีสูตรสำหรับ $f^{-1}$ เลย
กฎความชันส่วนกลับ
- ที่จุดจับคู่กัน ความชันของ $f$ และ $f^{-1}$ เป็น ส่วนกลับ ของกันและกัน
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- อ่านได้ว่า: ความชันของฟังก์ชันผกผันที่ $x$ คือ $1$ หารด้วยความชันของ $f$ ที่อินพุตที่จับคู่กัน
- อินพุตที่จับคู่กันคือ $f^{-1}(x)$ — จุดบน $f$ ที่แมปไปยัง $x$
อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันคือ $\big(f^{-1}\big)'(x)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ส่วนกลับของอนุพันธ์เดิมที่อินพุตที่สอดคล้องกัน $f^{-1}(x)$
คำนวณค่าโดยไม่ต้องหาค่าผกผัน
- โดยปกติคุณต้องการแค่อนุพันธ์ที่ จุดเดียว และสามารถข้ามการหาค่า $f^{-1}$ ได้
- สมมติ $f(2)=5$ และ $f'(2)=3$ จากนั้นจุด $(5,2)$ อยู่บน $f^{-1}$, ดังนั้น $f^{-1}(5)=2$
- ใช้กฎ: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$
- คุณไม่เคยต้องใช้สูตรเลย — เพียงแค่คู่ที่จับคู่กันและค่าอนุพันธ์หนึ่งค่า
ถ้ามี $f(2)=5$ และ $f'(2)=4$, จงหาค่า $\big(f^{-1}\big)'(5)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f^{-1}(5)=2$, ดังนั้น $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$.
ในการคำนวณ $\big(f^{-1}\big)'(c)$ ที่จุดหนึ่ง คุณจำเป็นต้องใช้ สิ่งใด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
คุณต้องการอินพุตที่สอดคล้องกันและค่า $f'$ ที่จุดนั้น (ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ เพื่อให้ส่วนกลับมีอยู่) ไม่ต้องใช้สูตรฟังก์ชันผกผันเต็มรูปแบบ
ทำไมถึงเป็นส่วนกลับ? ดูการสะท้อน
- การสะท้อนผ่าน $y=x$ เปลี่ยน "ความชัน $3$ ต่อฐาน $1$" ให้เป็น "ความชัน $1$ ต่อฐาน $3$"
- ดังนั้น ความชัน $3$ จึงกลายเป็น $\tfrac13$ — คือการพลิกกลับอย่างแท้จริง
- นี่คือเหตุผลที่ $f$ และ $f^{-1}$ มีความชัน ผกผัน ที่จุดที่สอดคล้องกัน
- (และยังเตือนคุณว่า: ถ้า $f'=0$ มีค่าเป็นศูนย์ที่จุดหนึ่ง ฟังก์ชันผกผันจะมีเส้นสัมผัสแนวตั้งที่จุดนั้น — ซึ่งมีความชันไม่กำหนด)
ความชันและส่วนกลับของความชัน
y = x³ + 1
การสะท้อนกราฟตาม $y=x$ จะสลับระหว่าง rise และ run — ความชัน $3$ จะกลายเป็น $\tfrac13$ บนฟังก์ชันผกผัน
ในการหาค่า $\big(f^{-1}\big)'(5)$ คุณต้องแทนค่า $f'$ ที่ $5$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คุณต้องแทนค่า $f'$ ที่อินพุตที่สอดคล้องกัน $f^{-1}(5)$ ไม่ใช่ที่ $5$
ที่จุดที่สอดคล้องกัน ความชันของ $f$ และ $f^{-1}$ เป็น ____ ของกันและกัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การสะท้อนตาม $y=x$ จะเปลี่ยนเครื่องหมายความชัน
หาก $f'(a)=0$ ที่อินพุตที่สอดคล้องกัน ฟังก์ชันผกผันที่จุดที่สอดคล้องกันจะมี...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การหารด้วย $0$ ไม่สามารถทำได้ — เส้นสัมผัสที่สะท้อนจะเป็นแนวตั้ง
ใช้ผลต่างของ $f$ ที่ อินพุตที่จับคู่กัน $f^{-1}(x)$ ไม่ใช่ที่ตัว $x$ เอง สำหรับ $\big(f^{-1}\big)'(5)$ คุณต้องใช้ $f'$ ที่อินพุตซึ่ง映射ไปหา $5$ นั่นคือ $f'(f^{-1}(5))$ ไม่ใช่ $f'(5)$ การแทนค่า $5$ ลงใน $f'$ โดยตรงคือข้อผิดพลาดแบบคลาสสิก
$f(x)=x^3+1$ มี $f(1)=2$ และ $f'(x)=3x^2$ จงหาค่า $\big(f^{-1}\big)'(2)$
- อินพุตที่จับคู่กัน: $f^{-1}(2)=1$ (เนื่องจาก $f(1)=2$)
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
ผลต่างของ ฟังก์ชันผกผัน คือ ผลผกผัน ของผลต่างเดิมที่จุดที่สอดคล้องกัน: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ การสะท้อนผ่าน $y=x$ สลับความชันกับฐาน ทำให้ความชันเปลี่ยนทิศทาง คุณสามารถคำนวณที่จุดใดก็ได้โดยใช้คู่ข้อมูลเพียงคู่เดียว — ไม่ต้องใช้สูตรสำหรับ $f^{-1}$