เชื่อมโยงลิมิตที่อนันต์กับเส้นประบวกรายแนวนอน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | พฤติกรรมปลาย |
| limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/ | ลิมิตที่อนันต์ |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | เส้นประแนวนอน |
ย่อภาพออก: เกิดอะไรขึ้นไกลๆ?
- แทนที่จะ $x\to c$ ให้ $x$ พุ่งไปยัง $+\infty$ หรือ $-\infty$
- อธิบาย พฤติกรรมปลาย (end behavior) ของฟังก์ชัน — รูปร่างที่ซ้ายสุดและขวาสุด
- เราเขียน $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$: เมื่อ $x$ มีขนาดใหญ่ $f$ จะหยุดนิ่งเข้าหา $L$
- เหล่านี้คือ ลิมิตที่อนันต์ (limits at infinity) และเปิดเผยแนวโน้มแนวนอน
การแข่งกันของกำลังสูงสุด
- สำหรับฟังก์ชันพหุนาม พฤติกรรมปลายคือการแข่งกันระหว่างดีกรีของเศษและส่วน
- ส่วนชนะ (ตัวหารมีดีกรีสูงกว่า): $f\to0$ ตัวอย่าง $\dfrac{x}{x^2+1}\to0$
- เสมอ (ดีกรีเท่ากัน): $f\to$ อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ ตัวอย่าง $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\to3$
- เศษชนะ (ตัวเศษมีดีกรีสูงกว่า): $f\to\pm\infty$ — ไม่มีเส้นประแนวนอน (มันเติบโต)
โค้งที่ราบเรียบเมื่ออยู่ไกลออกไป
y = a / (x − b) + d
เลื่อน $x$ ไปยังขอบ — โคลนประเภทผกผันจะราบเรียบเข้าหาเส้นประบวกรายแนวนอนเมื่อ $x\to\pm\infty$
ค่าของ $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2+1}$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ดีกรีของตัวส่วนสูงกว่า,ดังนั้น fractions หดตัวลงสู่ $0$
เลือก ทั้งหมด ฟังก์ชันเรขาคณิตที่มีเส้นประบวกรายแนวนอน $y=0$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ดีกรีตัวส่วนสูงกว่า → $y=0$. ตัวที่สามเสมอในดีกรี, ให้ $y=3$ แทน
เส้นประแนวนอน
- ถ้า $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ (จำนวน有限的), เส้น $y=L$ เป็น เส้นประแนวนอน
- กราฟราบเรียบและวิ่งขนานกับ $y=L$ ห่างจากจุดกำเนิด
- เทคนิค: หารทุกพจน์ด้วยกำลังสูงสุดของ $x$ ในตัวหาร แล้วส่ง $x\to\infty$ (each $\tfrac1{x^n}\to0$)
- $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=\dfrac{3+\tfrac1{x^2}}{1-\tfrac5{x^2}}\to\dfrac{3}{1}=3$.
หาค่า $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ดีกรีเท่ากัน → อัตราของสัมประสิทธิ์นำ $\frac31=3$
ลิมิต有限ที่อนันต์, $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$, ให้ _______ ประบวกราย $y=L$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กราฟราบเรียบเข้าหา $y=L$
ปลายทั้งสองอาจต่างกัน
- ฟังก์ชันอาจเข้าใกล้ค่าหนึ่งเมื่อ $x\to+\infty$ และค่า ต่าง เมื่อ $x\to-\infty$
- $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$ ทางขวาแต่ $\to-\tfrac{\pi}{2}$ ทางซ้าย — สอง เส้นประแนวนอน
- ดังนั้นตรวจสอบทั้งสองทิศทางเสมอ; อย่าสันนิษฐานว่ามีความสมมาตร
- ต่างจากเส้นประแนวตั้ง (ช่องว่างตรงกลาง) เส้นประแนวนอน是关于ระยะไกล และเส้นโค้งอาจทะลุผ่านมันได้
กราฟสามารถตัดผ่านเส้นประบวกรายแนวนอนตรงกลางและยังคงเข้าหามันที่ปลายได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นประบวกรายแนวนอนอธิบายพฤติกรรมที่ห่างไกลเท่านั้น; การตัดผ่านตรงกลางอนุญาตได้
สำหรับ $\arctan x$, ลิมิตสองข้าง $\lim_{x\to+\infty}$ และ $\lim_{x\to-\infty}$ เป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สองปลายอาจแตกต่างกัน — ที่นี่มีเส้นประบวกรายแนวนอนสองเส้น
เส้นประแนวตั้งและเส้นประแนวนอนเป็นเรื่องคนละอย่าง แนวตั้ง ($x=c$): ผลลัพธ์ระเบิดที่อินพุตเฉพาะ — กราฟไม่เคยทะลุผ่าน แนวนอน ($y=L$): แนวโน้มระยะไกลเมื่อ $x\to\pm\infty$ — กราฟ อาจ ทะลุผ่านตรงกลางและยังเข้าหา它以ที่ปลาย
หา $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-3x}{5x^2+7}$ และเส้นประแนวนอน
- ดีกรีเสมอ (both $2$), ดังนั้นหารด้วย $x^2$: $\dfrac{2-\tfrac3x}{5+\tfrac7{x^2}}$
- เมื่อ $x\to\infty$, พจน์ $\tfrac3x$ และ $\tfrac7{x^2}$ $\to0$
- ลิมิต $=\dfrac{2}{5}$, ดังนั้น $y=\tfrac25$ เป็นเส้นประแนวนอน
ลิมิตที่อนันต์ อธิบาย พฤติกรรมปลาย สำหรับฟังก์ชันพหุนาม: ส่วนชนะ → $0$; ดีกรีเสมอ → อัตราของสัมประสิทธิ์นำ; เศษชนะ → $\pm\infty$ (ไม่มีเส้นประแนวนอน) ค่า有限 $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ ให้ เส้นประแนวนอน $y=L$ และปลายทั้งสองอาจต่างกัน