การหาลิมิตโดยใช้ทฤษฎีบท挤压 (Squeeze Theorem)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Squeeze Theorem/skwiːz ˈθɪərəm/ | ทฤษฎีบทการบีบอัด |
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | อสมการ |
กักขังฟังก์ชันที่วุ่นวายไว้ระหว่างสองฟังก์ชันที่สงบ
- บางลิมิตต้านทานทั้งการแทนค่า และ พีชคณิต — เช่น $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$ ที่แกว่งตัวเร็วอย่างไม่จำกัด
- ทางออก: กักขัง ฟังก์ชันที่ยุ่งเหยิงไว้ระหว่างสองฟังก์ชันที่เป็นมิตรกว่า
- ถ้า "กำแพง" ด้านบนและด้านล่างทั้งสองมุ่งไปที่ความสูงเดียวกัน ฟังก์ชันที่ถูกกักขังก็ไม่มีทางอื่นไป
- นี่คือ ทฤษฎีบทการบีบอัด (เรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทแซนด์วิช)
การกักขังฟังก์ชันระหว่างสองฟังก์ชันที่มีลิมิตเท่ากันใช้ ____ ทฤษฎีบท
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หรือเรียกว่าทฤษฎีบทแซนด์วิช
สิ่งที่ทฤษฎีบทบอก
- สมมติว่าใกล้ $c$ (อาจยกเว้นที่ $c$ เอง) เราได้ $g(x)\le f(x)\le h(x)$
- ถ้า $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, แล้ว $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ ด้วย
- ขอบเขตทั้งสอง บีบอัด $f$ ลง onto ค่าเดียว $L$
- คุณต้องการสองสิ่ง: อสมการ ที่ถูกต้องใกล้ $c$, และลิมิตเท่ากันของขอบเขต
การใช้ทฤษฎีบท挤压กับ $f$ ใกล้ $c$ คุณต้องการ ทั้งหมด ของ...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
คุณต้องการขอบเขตสองด้านที่มีลิมิตเท่ากันValidNear $c$ $f$ ไม่จำเป็นต้องเป็นพหุนาม — นั่นคือใจความสำคัญ
การแกว่งตัวคลาสสิก
- $\sin\tfrac1x$ สลับระหว่าง $-1$ และ $1$ ตลอดเวลาเมื่อ $x\to0$ — ไม่มีลิมิตในตัวเอง
- แต่คูณด้วย $x^2$: เนื่องจาก $-1\le\sin\tfrac1x\le1$, เราจะได้ $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$
- กำแพงทั้งสอง $\pm x^2 \to 0$ เมื่อ $x\to0$
- ถูกบีบอัดระหว่างพวกมัน, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$
กำแพง挤压 $y=x^2$
y = ax²
พาราโบลา $y=x^2$ และภาพสะท้อน $-x^2$ บังคับให้เข้าหากันที่ $0$ ที่จุดกำเนิด — ทุกสิ่งที่ถูกกักขังระหว่างพวกมันจะถูกบังคับไปที่ $0$
ใช้ $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$ เพื่อหาค่า $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
กำแพงทั้งสองข้าง $\pm x^2\to 0$ ดังนั้นฟังก์ชันที่ถูกกักขังอยู่คือ $\to 0$
ตรวจสอบการตั้งค่าอย่างสุจริต
- อสมการจำเป็นต้องเป็นจริงเฉพาะ ใกล้ $c$ เท่านั้น ไม่จำเป็นต้องทุกที่ — ช่วงเล็กๆ รอบ $c$ ก็เพียงพอแล้ว
- ลิมิตของขอบเขตต้อง เท่ากัน; ถ้ากำแพงมุ่งไปที่ความสูงต่างกัน ทฤษฎีบทจะบอกอะไรไม่ได้เลย
- การบีบอัดเป็นเส้นทางมาตรฐานสู่ $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ ที่มีชื่อเสียง, จากขอบเขตเชิงเรขาคณิต $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$
- ต้องระบุชื่อฟังก์ชันขอบเขตทั้งสองของคุณอย่างชัดเจน — นั่นคือหัวใจของการพิสูจน์
การกำหนดขอบเขต $f$ จากด้านบนเท่านั้น ด้วย $f(x)\le h(x)$ เพียงพอที่จะใช้ทฤษฎีบท挤压
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คุณต้องการขอบเขตทั้ง สอง ด้านที่มีลิมิตเท่ากัน — ขอบเขตเดียวพิสูจน์อะไรไม่ได้
ทฤษฎีบท挤压 With $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$ Gives $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เมื่อ $x\to0$ $\cos x\to1$ และขอบเขตบนคือ $1$ ดังนั้นค่าตรงกลางถูก挤压ไปที่ $1$
หากขอบเขตล่างมุ่งสู่ $2$ และขอบเขตบนมุ่งสู่ $5$ ทฤษฎีบท挤压บอกให้คุณว่าลิมิตที่ถูกกักขังคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ขอบเขตต้อง มี ลิมิตเท่ากัน; กำแพงที่ไม่เท่ากันไม่ให้ข้อสรุป
ทฤษฎีบทการบีบอัดต้องการให้ขอบเขตบีบอัดจาก ทั้งสอง ด้านด้วย ลิมิตเท่ากัน หากคุณกำหนดขอบเขต $f$ เพียงด้านบน ($f\le h$), หรือขอบเขตทั้งสองมุ่งไปที่ค่าต่างกัน คุณไม่ได้พิสูจน์อะไรเลย และอสมการต้องเป็นจริงอย่างแท้จริงใกล้ $c$ — ตรวจสอบมัน, อย่าเพิ่งสรุปเอาเอง
แสดง $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$
- สำหรับทุก $x\neq0$: $-1\le\cos\tfrac1x\le1$
- คูณด้วย $x^2\ (\ge0)$: $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ และ $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$
- โดยทฤษฎีบทการบีบอัด, ลิมิตตรงกลางก็เป็น $0$ ด้วย
ทฤษฎีบทการบีบอัด: ถ้า $g\le f\le h$ ใกล้ $c$ และ $\lim g=\lim h=L$, แล้ว $\lim f=L$ ใช้มันเมื่อฟังก์สชันมีการสั่นหรือต้านทานวิธีโดยตรงอื่น ๆ — กำหนดขอบเขตเหนือและใต้ด้วยฟังก์ชันที่มี ลิมิตเท่ากัน, ตรวจสอบ อสมการ ใกล้ $c$, และ $f$ จะถูกบีบ onto $L$