การใช้ฟังก์ชันสะสมและอินทิกรัล_examples ในบริบทการใช้งาน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | อินทิกรัลจำกัดเขต |
เริ่มต้นที่นี่ บวกการเปลี่ยนแปลง ลงที่จุดหมาย
- ปัญหาประยุกต์หลายข้อให้ อัตรา และปริมาณเริ่มต้น แล้วถามหามูลค่ารวมในภายหลัง
- ความสัมพันธ์หลัก: ค่าสุดท้าย = ค่าเริ่มต้น + ผลรวมการเปลี่ยนแปลงสะสม
- ผลรวมการเปลี่ยนแปลงสะสมคืออินทิกรัล_examples ของอัตรานั้นบนช่วงเวลาที่กำหนด
- แนวคิดเดียวนี้ขับเคลื่อนระบบถัง, ประชากร, บัญชี และอื่นๆ อีกมากมาย
สูตรผลรวมสะสม
- หาก $R(t)$ คืออัตราและ $Q$ คือปริมาณ แล้ว:
-
$$Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$$
- เริ่มด้วย $Q(a)$, บวกผลรวมการเปลี่ยนแปลงสะสมสุทธิ $\displaystyle\int_a^b R(t)\,dt$, จะได้ $Q(b)$
- นี่คือ FTC ในบริบท的应用: อินทิกรัลของอัตราคือผลรวมการเปลี่ยนแปลงสุทธิของปริมาณนั้น
ปริมาณน้ำไหลเข้าสะสมคือพื้นที่
y = 4t (อัตราการไหลเข้า)
พื้นที่ใต้อัตราการไหลเข้า $R(t)$ คือน้ำที่เพิ่มเข้าไป; รวมคือปริมาณเริ่มต้นบวกกับพื้นที่นั้น
ความสัมพันธ์การสะสมเชิงประยุกต์คือ: ค่าสุดท้าย = ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าสุดท้าย = ค่าเริ่มต้น + การเปลี่ยนแปลงสะสม
เพื่อหาปริมาณสุดท้าย, บวกการเปลี่ยนแปลงสะสมเข้ากับค่า ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าสุดท้าย = ค่าเริ่มต้น + อินทิกรัลของอัตรา
อ่านบริบทและหน่วยวัด
- อินทิกรัล_examples ของอัตรามีหน่วยเป็น (หน่วยอัตรา)$\times$(เวลา) = หน่วยของปริมาณนั้น
- $\int$ ของลิตร/นาที บน นาที ให้ผลลัพธ์เป็นลิตร; $\int$ ของคน/ปี บน ปี ให้ผลลัพธ์เป็นคน
- เครื่องหมายสำคัญ: อัตราลด (การระบาย, การทำความเย็น) ลดทอน จากมูลค่ารวม
- ตัดสินใจความหมายของอินทิกรัลโดยใช้คำและหน่วยของโจทย์เสมอ
ถังมี $50$ ลิตร; น้ำไหลเข้าที่ $R(t)=4t$ เป็นเวลา $0\le t\le 3$ ($\int_0^3 4t\,dt=18$). หาปริมาณรวมที่ $t=3$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$50+18=68$ L.
หาก $R$ เป็นลิตร/นาที และ $t$ เป็นนาที, $\int R\,dt$ มีหน่วยเป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(ลิตร/นาที)×(นาที) = ลิตร
การเปลี่ยนแปลงสุทธิ vs รวม
- อินทิกรัล $\int_a^b R\,dt$ คือ การเปลี่ยนแปลงสุทธิ — น้ำไหลเข้าลบน้ำไหลออก
- ถ้าเติมถัง และ ระบายน้ำออก อินทิกรัลสุทธิจะคำนวณทั้งสองอย่างให้อัตโนมัติ
- เพื่อหาค่าเพิ่มหรือลดลงทั้งหมดแยกกัน ให้อินทิเกรตเฉพาะส่วนที่เป็นบวกหรือลบเท่านั้น
- แต่ "ค่าสุดท้าย = ค่าเริ่มต้น + ผลรวมการเปลี่ยนแปลงสะสมสุทธิ" ใช้ sempre อินทิกรัลที่มีเครื่องหมายธรรมดา
อินทิกรัล_examples ของอัตราให้ผลเป็นการเปลี่ยนแปลง ไม่ใช่ผลรวมสุดท้ายโดยตรง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คุณต้องบวกค่าเริ่มต้น
สำหรับอัตราการไหลออก (ระบายน้ำ), อินทิกรัลบนช่วงนี้จะเป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราการไหลออกเป็นลบ → ลดลง
อย่ารายงาน อินทิกรัลเพียงอย่างเดียว เป็นค่าสุดท้าย — มันคือเพียง การเปลี่ยนแปลง คุณต้องบวก ค่าเริ่มต้น: ค่าสุดท้าย $=$ ค่าเริ่มต้น $+\int_a^b R\,dt$. และรักษาเครื่องหมายของอัตรา: อัตราการไหลออกเป็นลบ ดังนั้นอินทิกรัลจึงลบออกจากมูลค่าเริ่มต้นได้อย่างถูกต้อง
ถังเก็บ $50$ L ที่ $t=0$. น้ำไหลเข้า $R(t)=4t$ L/min เป็นเวลา $0\le t\le 3$. มีน้ำทั้งหมดเท่าไรที่ $t=3$?
- ผลรวมการเปลี่ยนแปลงสะสม: $\displaystyle\int_0^3 4t\,dt=\Big[2t^2\Big]_0^3=18$ L.
- ค่าสุดท้าย $=$ ค่าเริ่มต้น $+$ ผลรวมการเปลี่ยนแปลง $=50+18=68$ L.
- (อินทิกรัล $18$ คือน้ำที่ เพิ่ม; $68$ คือ รวม)
ในบริบท的应用 ค่าสุดท้าย = ค่าเริ่มต้น + ผลรวมการเปลี่ยนแปลงสะสม โดยที่การเปลี่ยนแปลงคือ อินทิกรัล_examples ของอัตรา: $Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$. อินทิกรัลมีหน่วยของปริมาณและเครื่องหมายของมัน (น้ำเข้าเพิ่ม, น้ำออกลด) อย่าลืมบวกค่าเริ่มต้น