การประมาณค่าพื้นที่ด้วยผลรวมรีแมน (Riemann Sums)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | ผลรวมรีมันน์ |
| left/left/ | จุดเริ่มต้นด้านซ้าย |
| right/raɪt/ | ด้านขวา |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | จุดกึ่งกลาง |
| trapezoid/ˈtræpɪzɔɪd/ | สี่เหลี่ยมคางหมู |
| trapezoidal rule/ˈtræpɪzɔɪdl ruːl/ | กฎสี่เหลี่ยมคางหมู |
ประมาณหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้า
- พื้นที่ใต้เส้นโค้งมักไม่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สมบูรณ์แบบ — ดังนั้นให้ประมาณค่าโดยใช้ สี่เหลี่ยมผืนผ้า บางๆ จำนวนมาก
- ตัดช่วงเวลาออกเป็นแถบ แล้วสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนแต่ละแถบ แล้วรวมพื้นที่ของพวกมันเข้าด้วยกัน
- ผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้เรียกว่า **ผลรวมรีแมน
- สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มากขึ้นและบางลง → ให้ค่าประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้นของพื้นที่จริง
พื้นที่ที่เราประมาณค่า
y = x²
สี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมคางหมูเติมเต็มพื้นที่ทึบสีใต้เส้นโค้ง — ยิ่งมีจำนวนมากและบางเท่าไร การประมาณยิ่งแม่นยำขึ้นเท่านั้น
การใช้สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีจำนวนมากและบางมากขึ้นโดยทั่วไปช่วยปรับปรุงการประมาณผลรวมรีแมน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แถบที่บางกว่าโอบล้อมเส้นโค้งได้ดีกว่า
สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านซ้าย ด้านขวา และตรงกลาง
- ความสูงของแต่ละสี่เหลี่ยมผืนผ้ามาจากฟังก์ชัน — แต่คุณต้องวัดที่ ตำแหน่งใด ภายในแถบ?
- ผลรวมด้านซ้าย: ความสูงจากขอบซ้ายของแต่ละแถบ
- ผลรวมด้านขวา: ความสูงจากขอบขวา
- ผลรวมตรงกลาง: ความสูงจากตรงกลาง — โดยทั่วไปแล้วมีความแม่นยำที่สุดเมื่อเทียบกับอีกสองแบบ
สำหรับ $f(x)=x^2$ บน $[0,2]$ ด้วย $2$ สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขวา (ความกว้าง $1$): ความสูง $f(1)=1$, $f(2)=4$. จงหาผลรวมรีแมนด้านขวา
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1\cdot1+4\cdot1=5$.
จัดตั้งแบบเดียวกัน แต่เป็นผลรวมรีแมน ด้านซ้าย: ความสูง $f(0)=0$, $f(1)=1$. จงหา
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$0\cdot1+1\cdot1=1$.
สิ่งใดเป็นวิธีการมาตรฐานในการเลือกความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในผลรวมรีแมน?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ซ้าย ขวา และจุดกึ่งกลางเป็นตัวเลือกมาตรฐาน
的形状ที่เหมือนสี่เหลี่ยมคางหมูแม่นยำกว่า
- แทนที่จะใช้สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ด้านบนแบน ให้เชื่อมความสูงของขอบทั้งสองด้วยด้านบนเฉียง: รูปสี่เหลี่ยมคางหมู
- กฎรูปสี่เหลี่ยมคางหมู คำนวณค่าเฉลี่ยของความสูงด้านซ้ายและด้านขวาของแต่ละแถบ
- มันแนบกับเส้นโค้งที่ลื่นไหลได้ใกล้เคียงกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้า จึงให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำกว่าในส่วนใหญ่
- พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแต่ละรูป $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$
กฎ ____ ใช้ยอดเฉียง (ค่าเฉลี่ยของความสูงขอบ) เพื่อให้เข้ากันได้ดีกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้า
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สี่เหลี่ยมคางหมูแต่ละชิ้นค่าเฉลี่ยความสูงด้านซ้ายและด้านขวา
ประเมินค่าเกินหรือต่ำกว่า?
- สำหรับฟังก์ชันที่ เพิ่มขึ้น: ผลรวมด้านซ้ายจะ ประเมินค่าต่ำกว่า, ผลรวมด้านขวาจะ ประเมินค่าเกิน
- สำหรับฟังก์ชันที่ ลดลง: จะเกิดผลตรงกันข้าม — ด้านซ้ายประเมินค่าเกิน, ด้านขวาประเมินค่าต่ำกว่า
- ความคลาดเคลื่อนของกฎรูปสี่เหลี่ยมคางหมูขึ้นอยู่กับความโค้ง (ประเมินค่าเกินเมื่อเว้าขึ้น, ประเมินค่าต่ำกว่าเมื่อเว้าลง)
- การทราบทิศทางของความคลาดเคลื่อนช่วยให้สามารถกำหนดขอบเขตของพื้นที่จริงได้
สำหรับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ผลรวมรีแมนด้านซ้ายจะให้...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความสูงด้านซ้ายเป็นขอบด้านเล็กบนเส้นโค้งที่เพิ่มขึ้น ⇒ ประเมินค่าต่ำเกินจริง (underestimate)
对于较少的条带数，三种矩形法则可能会给出相当不同的答案——它们是近似值，而非精确面积。左和右黎曼和是高估还是低估，取决于函数是递增还是递减，而不仅仅取决于法则本身。务必检查函数的行为。
估计 $f(x)=x^2$ 在 $[0,2]$ 下方、使用 $2$ 个右矩形的面积（宽度为 $1$）。
- 右高度：$f(1)=1$ 和 $f(2)=4$。
- 右和：$=1\cdot1+4\cdot1=5$。
- （真实面积为 $\tfrac83\approx2.67$；由于 $x^2$ 是递增的，右和高估了结果——这是预期的。）
黎曼和用矩形来近似面积：左、右或中点高度。梯形法则使用倾斜顶边（平均边缘高度）以获得更紧密的拟合。对于递增函数，左和会低估，右和会高估；条带越多 → 近似效果越好。