ผลรวมรีมันน์, การเขียนสัญลักษณ์ผลบวก และการเขียนสัญลักษณ์อินทิกรัลจำกัด
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| summation notation/sʌˈmeɪʃn nəʊˈteɪʃn/ | สัญลักษณ์ผลบวก |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | อินทิกรัลจำกัดเขต |
| limits of integration/ˈlɪmɪts ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | ขอบเขตของการอินทิเกรต |
将“把所有矩形加起来”紧凑地写出来
- 包含大量矩形的黎曼和需要简洁的记号——输入求和记号。
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ 表示“将 $f(x_i)\,\Delta x$ 从 $i=1$ 加到 $n$”。
- 每个条带的宽度为 $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$，样本点处的高度为 $f(x_i)$。
- $\Sigma$ 仅仅表示“将这些矩形面积相加”。
สำหรับ $n$ ช่วงเท่าๆ บน $[a,b]$ ความกว้าง $\Delta x$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความกว้างของช่วงหารด้วยจำนวนช่วง
สัญลักษณ์ $\sum_{i=1}^{n}$ บอกให้คุณ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ซิกมาหมายถึงผลรวมตามช่วงดัชนี
让矩形变得无限薄
- 当 $n$ 增大且 $\Delta x$ 缩小时，估计值会改善。取极限 $n\to\infty$。
- 在该极限下，矩形和变为精确面积——不再有近似。
- 该极限值即为定积分。
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
อินทิกรัลคือพื้นที่ที่แท้จริง
y = x²
เมื่อสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางลงจนเหลือศูนย์ ผลรวมของ他们会จะกลายเป็นพื้นที่ทึบสีที่แท้จริง — ซึ่งคืออินทิกรัลจำกัด
อินทิกรัลจำกัด $\int_a^b f\,dx$ คือลิมิตของผลรวมรีมันน์เมื่อ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สี่เหลี่ยมผืนผ้าบางเป็นอนันต์ → พื้นที่ที่แท้จริง
阅读积分记号
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$：其中的 $\int$ 是拉长的“S”，代表求和；$a$ 和 $b$ 是积分限。
- $f(x)$ 是被积函数（你正在累加的内容）；$dx$ 是无限薄的宽度。
- 读作“$f$ 对 $x$ 的积分，从 $a$ 到 $b$”。
- 它表示曲线与 $x$-轴之间在 $[a,b]$ 范围内的精确有符号面积。
ใน $\int_a^b f(x)\,dx$ ฟังก์ชัน $f(x)$ ที่กำลังถูกสะสมเรียกว่า ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$a,b$ คือขอบเขต; $f(x)$ คือตัวอินทิกรัล
它仍然是有符号面积
- 就像黎曼和一样，定积分也是有符号的。
- 在 $f>0$ 处，积分增加面积；在 $f<0$ 处，它减去面积。
- ดังนั้น $\int_a^b f\,dx$ อาจมีค่าเป็นบวก, ลบ หรือศูนย์ก็ได้
- $\Delta x$ 携带方向：从 $a$ 到 $b$ 且 $a<b$ 为正时，宽度为正。
อินทิกรัลจำกัด $\int_a^b f\,dx$ มีค่าเท่ากับตัวเลขเดียว
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันเป็นตัวเลขพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย ไม่ใช่ฟังก์ชัน
หาก $f(x)<0$ ครอบคลุมทั้ง $[a,b]$ แล้ว $\int_a^b f\,dx$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พื้นที่ใต้แกนเป็นพื้นที่มีลบ
定积分是一个数值（有符号面积），而不是一个函数——不要将其与不定积分（一族原函数，第6.8课）混淆。此外，$\int_a^b f\,dx$ 是有符号面积：低于轴的曲线会产生负贡献，因此积分不等于“总几何面积”。
将 $f(x)=x^2$ 在 $[0,2]$ 下方的面积表示为定积分。
- $n$ 个条带中每个的宽度：$\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$。
- 黎曼和：$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$。
- 精确面积：$\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$（等于 $\tfrac83$）。
以求和记号表示的黎曼和是 $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$，其中 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$。其当 $n\to\infty$ 时的极限是定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$——即精确有符号面积，其中 $a,b$ 为积分限，$f(x)$ 为被积函数。