การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน |
ผลต่างที่มีรากกำลังสองซ่อนอยู่
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน — เช่น $\arcsin$, $\arctan$ และอื่นๆ — ทำหน้าที่ย้อนกลับจากไซน์, แทนเจนต์ ฯลฯ
- ผลต่างของพวกมันน่าประหลาดใจที่เป็น พหุนาม: ไม่มีตรีโกณมิติเลย มีเพียงเลขชี้กำลังและรากเท่านั้น
- สองข้อแรกควรจำได้ทันที ส่วนที่เหลือมีรูปแบบเดียวกัน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน เหล่านี้มักปรากฏในการหาอนุพันธ์ในบทถัดไป ดังนั้นการรู้ผลต่างของมันจึงให้ประโยชน์สองเท่า
สองข้อที่คุณต้องรู้
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- หมายเหตุ: $\arcsin$ มี ราก อยู่ส่วนตัวหาร; ในขณะที่ $\arctan$ มี $1+x^2$ ที่สะอาดและง่าย
- ทั้งสองมีค่าบวกเสมอบนโดเมนของมัน — ฟังก์ชันผกผันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
ความชันที่นุ่มนวลของ arctangent
y = a·tanh(bx) (รูปร่างคล้าย arctan)
$\arctan x$ เติบโตเร็วที่สุดที่ $0$ (ความชัน $1$) และจะแบนราบลง — อนุพันธ์ $\tfrac{1}{1+x^2}$ จะลดลงเข้าใกล้ $0$
ค่าของ $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arcsin$ มีรากฐานแบบ $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
ค่าของ $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arctan$ มีรูปแบบที่เรียบง่าย $\tfrac{1}{1+x^2}$ (ไม่มีราก)
ส่วนที่เหลือของครอบครัว
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — เหมือนกับ $\arcsin$ แต่มีเครื่องหมาย ลบ
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — เป็นค่าลบของ $\arctan$'s
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- ฟังก์ชันผกผัน 'co-' จะมีการใส่เครื่องหมายลบ สะท้อนรูปแบบตรีโกณมิติปกติ
$\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ เป็น ____ ของ $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ (ขนาดเท่ากัน แต่เครื่องหมายตรงข้าม)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arccos$ มีเครื่องหมายลบ
เลือก ทุก อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันที่มีราก
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\arcsin$, $\arccos$, และ arcsec มีราก; ส่วน $\arctan$ คือ $\tfrac{1}{1+x^2}$ ซึ่งไม่มีราก
เชื่อมต่อด้วยกฎลูกโซ่
- ด้วย กฎลูกโซ่ ให้แทน $x$ ด้วยฟังก์ชันภายใน $u$ แล้วคูณด้วย $u'$
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- ใช้ขั้นตอนเดียวกับปัญหากฎลูกโซ่ทั่วไป: สูตรภายนอกก่อน แล้วตามด้วย $\times\,u'$
สำหรับ $y=\arctan(3x)$, $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$. หา $y'$ ที่ $x=0$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ที่ $x=0$: $\tfrac{3}{1+0}=3$
$\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$ (ไม่มีตัวประกอบภายใน)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กฎลูกโซ่เพิ่มอนุพันธ์ภายใน $3$: $\tfrac{3}{1+9x^2}$
อย่าสับสนระหว่างรูปทรงทั้งสอง: $\arcsin$ ให้ผลลัพธ์ $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (มีราก), بينما $\arctan$ ให้ผลลัพธ์ $\frac{1}{1+x^2}$ (ไม่มีราก) และเมื่อใช้กฎลูกโซ่ อย่าลืมอนุพันธ์ภายใน: ต้องใช้ $\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$ ไม่ใช่ $\frac{1}{1+9x^2}$
ดิฟ $y=\arctan(x^2)$
- ภายนอก: $\arctan(u)$ ที่มี $u=x^2$, จะได้ $\dfrac{1}{1+u^2}$
- อนุพันธ์ภายใน: $u'=2x$
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
จำ $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ และ $\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$ ให้แม่น ฟังก์ชันผกผันที่มี "co-" (เช่น $\arccos$, arccot) จะมีเครื่องหมาย ลบ สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันแบบ مرکบทะบวด ให้ใช้ กฎลูกโซ่ — สูตรมาตรฐานคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน $u'$