การหาอนุพันธ์แบบนัยยะ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | การหาอนุพันธ์แบบนัยยะ |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | นัยยะ |
เมื่อคุณแก้สมการหา $y$ ไม่ได้
- วงกลม $x^2+y^2=25$ กำหนด $y$ แบบ นัยยะ — คุณไม่สามารถเขียนมันออกมาเป็น $y=f(x)$ เดี่ยวๆ ได้
- แต่เส้นโค้งยังคงมีความชันที่แต่ละจุด เราจะหา $\tfrac{dy}{dx}$ ได้อย่างไรโดยไม่แก้สมการหา $y$?
- เทคนิค: หาอนุพันธ์ ทั้งสองข้าง เทียบกับ $x$ โดยพิจารณา $y$ เป็นฟังก์ชันซ่อนเร้นของ $x$
- นี่คือ การหาอนุพันธ์แบบนัยยะ (Implicit differentiation)
สมการอย่าง $x^2+y^2=25$ นิยาม $y$ ____, เนื่องจากไม่ได้แก้หาค่า $y$ ออกมา
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
นั่นคือเหตุผลที่เราใช้การหาอนุพันธ์แบบนัยยะ
ทุกพจน์ใน $y$ จะกระตุ้นการใช้กฎลูกโซ่
- เนื่องจาก $y$ ขึ้นอยู่กับ $x$ secaraลับ การหาอนุพันธ์ของพจน์ $y$ ต้องใช้ กฎโซ่
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — ตัว $\tfrac{dy}{dx}$ เพิ่มเติมนี้คืออนุพันธ์ชั้นใน
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ ตามปกติ (ไม่มี $y$, ไม่มีตัวคูณเพิ่ม)
- ดังนั้นทุกครั้งที่หาอนุพันธ์พจน์ที่ประกอบด้วย $y$ ให้ต่อ $\tfrac{dy}{dx}$ เข้าไป
หาอนุพันธ์เทียบกับ $x$, $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กฎลูกโซ่: $2y$ คูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน $\tfrac{dy}{dx}$
แก้สมการหา $\tfrac{dy}{dx}$
- หลังหาอนุพันธ์แล้ว จะได้สมการที่มี $\tfrac{dy}{dx}$ กระจายอยู่ทั่วไป
- จัดกลุ่ม พจน์ทั้งหมดที่มี $\tfrac{dy}{dx}$ ไว้ด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่เหลือไว้ด้านหนึ่ง
- ดึงตัวร่วม $\tfrac{dy}{dx}$ ออกมาและหารเพื่อแยกตัวมันออกมา
- ผลลัพธ์มักจะขึ้นอยู่กับทั้ง $x$ และ $y$ — นั่นเป็นเรื่องปกติสำหรับเส้นโค้ง
ความชันของเส้นสัมผัสบนเส้นโค้ง
y = √(25 − x²) (ครึ่งวงกลมด้านบน)
แม้แต่โค้งที่คุณไม่สามารถแก้หา $y$ ได้ ก็ยังมีเส้นสัมผัสที่ทุกจุด — การหาอนุพันธ์แบบล่องหน (implicit differentiation) จะหาความชันนี้ได้
เรียงขั้นตอนการหาอนุพันธ์แบบนัยยะให้ถูกต้อง
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
หาอนุพันธ์ รวบรวมพจน์ แก้สมการ แล้วแทนค่า
คำนวณค่าที่จุดหนึ่ง
- เพื่อให้ได้ค่าความชันจริง ให้แทนค่าจุด $(x,y)$ บนเส้นโค้ง ลงในสูตร $\tfrac{dy}{dx}$ ของคุณ
- สำหรับ $x^2+y^2=25$: การหาอนุพันธ์จะได้ $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$ ดังนั้น $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$
- ที่ $(3,4)$: ความชัน $=-\tfrac34$. ที่ $(3,-4)$: ความชัน $=+\tfrac34$
- ค่า $x$ เดียวกันสามารถให้ความชันที่แตกต่างกันได้ — เพราะเส้นโค้งมีสองสาขา $y$
สำหรับ $x^2+y^2=25$, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. หาความชันที่ $(3,4)$ (เป็นทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$-\tfrac{3}{4}=-0.75$.
ปัจจัย $\tfrac{dy}{dx}$ ถูกเพิ่มเข้ากับทุกพจน์ รวมถึงพจน์纯粹的 $x$ อย่าง $x^2$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มีเพียงพจน์ที่มี $y$ เท่านั้นที่ได้รับปัจจัย $\tfrac{dy}{dx}$
การหาอนุพันธ์ $xy$ เทียบกับ $x$ จะได้...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กฎผลคูณ: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$
ตัวคูณกฎโซ่ $\tfrac{dy}{dx}$ ปรากฏ เฉพาะ ในพจน์ที่มี $y$ เท่านั้น $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (ไม่มีตัวคูณ), แต่ $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$ การลืมใส่ $\tfrac{dy}{dx}$ ในพจน์ $y$ คือข้อผิดพลาดที่กำหนดของการหาอนุพันธ์แบบนัยยะ และผลคูณเช่น $xy$ ต้องใช้ กฎการคูณ: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$
หา $\tfrac{dy}{dx}$ สำหรับ $x^2+y^2=25$ ที่จุด $(3,4)$
- หาความชัน: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$
- แก้สมการ: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$
- ที่ $(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้น
การหาอนุพันธ์แบบนัยยะ: หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ $x$ โดยพิจารณา $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ เพื่อให้ทุกพจน์ $y$ ติดตัว $\tfrac{dy}{dx}$ (กฎโซ่); จากนั้นจัดกลุ่ม ดึงตัวร่วม และแก้สมการหา $\tfrac{dy}{dx}$ แทนค่าจุดบนเส้นโค้งเพื่อหาความชัน คำตอบมักจะขึ้นอยู่กับทั้ง $x$ และ $y$