ทำงานร่วมกับทฤษฎีบทค่ากลาง (IVT)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | ทฤษฎีบทค่ากลาง |
| solution/səˈluːʃn/ | คำตอบ |
| zero/ˈzɪərəʊ/ | รากของสมการ |
หากคุณปีนจาก 1 เมตร ไป 3 เมตร คุณต้องผ่าน 2 เมตร
- เดินอย่างต่อเนื่องจากความสูง $1$ เมตร ไป $3$ เมตร在某 instant คุณอยู่ที่ $2$ เมตร พอดี — คุณไม่สามารถข้ามมันไปได้
- ข้อเท็จจริงที่ฟังดูง่ายนี้คือ ทฤษฎีบทค่ากลาง (Intermediate Value Theorem - IVT)
- มันรับประกันว่าฟังก์ชัน แตะ ทุกความสูงระหว่างค่าปลาย
- เงื่อนไขเดียว: เส้นทางต้อง ต่อเนื่อง — ไม่มีการโทรเทเลพอร์ต ไม่มีการกระโดด
การปีนขึ้นอย่างต่อเนื่องข้ามทุกระดับ
y = ax³ + bx + c
โค้งนี้ต่อเนื่องผ่านทุกความสูงระหว่างปลาย — เลือกเป้าหมาย $N$ ในช่วง และจะถูกชนที่ไหนสักที่
สิ่งที่ทฤษฎีบทรับประกัน
- ถ้า $f$ เป็น ฟังก์ชันต่อเนื่อง บนช่วงปิด $[a,b]$ และ $N$ เป็นค่าใดๆ ที่อยู่ระหว่าง $f(a)$ และ $f(b)$,
- จะต้องมี $c$ อย่างน้อยหนึ่งจุดใน $(a,b)$ ที่มี $f(c)=N$.
- ในคำพูด: ฟังก์ชันต่อเนื่องจะให้ผลลัพธ์ทางค่านี้นั้น在某处 somewhere ในระหว่างช่วงนั้น
- นี่คือทฤษฎีบทแห่ง การมีอยู่ — มันรับประกันว่า $c$ มีอยู่จริง แต่ไม่ได้บอก ว่า ค่าของมันคืออะไร
IVT บอกคุณค่าที่แน่นอนของ $c$ ที่ $f(c)=N$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันเป็นทฤษฎีบทการมีอยู่ — มันรับประกันว่า $c$ มีอยู่แต่ไม่ระบุตำแหน่ง
ตรวจสอบสมมติฐานก่อนเสมอ
- ก่อนใช้ IVT ให้ยืนยันเงื่อนไขทั้งสองข้อด้วยเสียงดังๆ:
- (1) $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน $[a,b]$ (เป็นพหุนาม หรือได้รับการพิสูจน์แล้วอื่น ๆ — ดู 1.12).
- (2) ค่าเป้าหมาย $N$ ต้องอยู่ระหว่าง $f(a)$ และ $f(b)$ อย่างชัดเจน (strictly between).
- หากข้ามการตรวจสอบข้อใดข้อหนึ่ง ผลสรุปจะไม่รับประกัน — สำหรับฟังก์ชันที่มีจุดกระโดด IVT จะใช้ได้ไม่มีผลanything.
เพื่อใช้ IVT บน $[a,b]$ กับเป้าหมาย $N$, คุณต้องการ ทั้งหมด ของ...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
IVT ต้องการความต่อเนื่องและเป้าหมายในช่วง. ความแตกต่างไม่ใช่สิ่งที่จำเป็น
IVT ต้องการให้ฟังก์ชันเป็น ____ บนช่วงปิด
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หากไม่มีความต่อเนื่อง การกระโดดสามารถข้ามเป้าหมายได้
ฟังก์ชัน $f$ ที่ต่อเนื่องมี $f(2)=5$ และ $f(6)=9$ สำหรับเป้าหมาย $N$ ใด ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (IVT) จะรับประกันว่ามีคำตอบ $f(c)=N$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$N$ ต้องอยู่ระหว่าง $5$ และ $9$; เฉพาะ $7$ qualifying
การใช้งานคลาสสิก: การรับรองรากของสมการ (root)
- เพื่อพิสูจน์ว่าสมการมี คำตอบ ใน $[a,b]$ ให้จัดรูปใหม่เป็น $g(x)=0$ และมองหา $N=0$
- ถ้า $g$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและ $g(a)$ กับ $g(b)$ มี เครื่องหมายตรงข้าม แล้ว $0$ จะอยู่ระหว่างสองค่านี้
- IVT จึงรับประกันว่ามี ศูนย์ (zero) $c$ ที่ทำให้ $g(c)=0$ — สมการมีรากอยู่ใน $(a,b)$.
- ข้อคิด "การเปลี่ยนเครื่องหมาย ⇒ ราก" นี้คือรูปแบบที่พบบ่อยที่สุดในข้อสอบสำหรับทฤษฎีบทนี้.
$g$ ต่อเนื่องมี $g(1)=-2$ และ $g(3)=4$. IVT รับประกัน...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เครื่องหมายตรงข้ามกรอบ $0$; IVT รับประกันการมีอยู่ของราก, ไม่ใช่จำนวนหรือตำแหน่ง
สำหรับ $g(x)=x^2-2$ on $[1,2]$, คำนวณ $g(1)$ เพื่อตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายกับ $g(2)=2$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$g(1)=1-2=-1<0$ และ $g(2)=2>0$: การเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย, ดังนั้น $\sqrt2$ เป็นรากใน $(1,2)$
IVT ต้องการ ความต่อเนื่องบนช่วงปิดทั้งหมด และมีเป้าหมายที่อยู่ ระหว่าง ค่าปลายช่วงอย่างชัดเจน หากขาดความต่อเนื่องจะล้มเหลว: ฟังก์ชันที่กระโดดจาก $1$ ไปยัง $3$ จะไม่เคยเท่ากับ $2$ และ IVT รับประกันเพียง การมีอยู่จริง — ไม่ได้ระบุตำแหน่ง $c$ หรือบอกว่ามี $c$ แบบดังกล่าวกี่จุด
แสดงว่า $x^3 + x - 1 = 0$ มีคำตอบใน $[0,1]$.
- ให้ $g(x)=x^3+x-1$; มันเป็นพหุนาม ดังนั้น ต่อเนื่อง บน $[0,1]$. ✓
- $g(0)=-1$ (ลบ) และ $g(1)=1$ (บวก) — เครื่องหมายตรงกันข้าม ดังนั้น $N=0$ อยู่ระหว่างมันสองค่านี้.
- ตาม IVT จะมี $c\in(0,1)$ ที่ทำให้ $g(c)=0$ เป็นจริง สมการนี้มีรากอยู่ใน $(0,1)$
ทฤษฎีบทค่ากลาง (Intermediate Value Theorem): ถ้า $f$ เป็น ฟังก์ชันต่อเนื่อง บน $[a,b]$ และ $N$ อยู่ระหว่าง $f(a)$ และ $f(b)$, แล้ว $f(c)=N$ สำหรับ $c$ บางจุดใน $(a,b)$. ตรวจสอบความต่อเนื่องและว่า $N$ อยู่ในช่วงก่อนเสมอ ใช้งานหลักที่สุด: การ เปลี่ยนเครื่องหมาย ของฟังก์ชันต่อเนื่องรับรองให้มี ราก ในช่วง — เป็นผลการพิสูจน์การมีอยู่ ไม่ใช่การหาค่า