พลังงานที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุ
| English | ไทย |
|---|---|
| energy stored/ˈenədʒi stɔːd/ | พลังงานที่เก็บไว้ |
| defibrillator/dɪˈfɪbrɪleɪtə/ | เครื่องช็อกหัวใจ |
พลังงานครึ่งหนึ่งไม่เคยเข้าสู่ตัวเก็บประจุ
- เชื่อมต่อแบตเตอรี่อุดมคติที่มี e.m.f. $V$ กับตัวเก็บประจุผ่านสายไฟ แบตเตอรี่ดันประจุ $Q = CV$ ผ่าน p.d. ที่ $V$ ดังนั้นจึงจ่ายพลังงานออกมา $QV$
- ตัวเก็บประจุจบลงด้วยการจัดเก็บ $\tfrac12 QV$ พลังงานไป了一半พอดี เป็นความร้อนในสายไฟ และไม่สำคัญว่าสายไฟดีแค่ไหน
- ครึ่งที่หายไปไม่ใช่ความไม่ประสิทธิภาพที่จะออกแบบแก้ไขได้ มันเป็นผลมาจากรูปธรรมที่ว่า p.d. บนตัวเก็บประจุเริ่มต้นที่ศูนย์และไปถึงเฉพาะ $V$ ที่ตอนท้ายเท่านั้น
- บทเรียนนี้คือ พลังงานที่จัดเก็บ, ที่ที่ปัจจัยครึ่งหนึ่งมาจาก, และเกิดอะไรขึ้นเมื่อประจุถูกแบ่งปัน
รูปแบบทั้งสาม
- การชาร์จตัวเก็บประจุต้องใช้งาน เพราะแต่ละส่วนเพิ่มของประจุต้องถูกดันagainst p.d. ที่มีอยู่แล้ว การรวม所有这些ส่วนเข้าด้วยกันให้:
- ทั้งสามรูปแบบคือสมการเดียวกันที่ $Q = CV$ แทนที่ต่างกัน เลือกอันที่ใช้ปริมาณสองอย่างที่โจทย์ให้มาและไม่มีการย้ายข้างใด ๆ จำเป็น
พลังงานที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุคือ:
รูปแบบเทียบเท่า: $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \dfrac{Q^{2}}{2C}$
ตัวเก็บประจุ $2.0\ \mu\text{F}$ ชาร์จ đến $1000\ \text{V}$ จะเก็บพลังงานเท่าไหร่?
$W = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{-6} \times (1000)^{2} = 1.0\ \text{J}$.
พื้นที่ใต้กราฟ
- กราฟของ $V$ เทียบกับ $Q$ สำหรับตัวเก็บประจุคือ เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด, มีความชัน $1/C$.
- พลังงานที่จัดเก็บคือ พื้นที่ใต้เส้นนั้น ไปจนถึงประจุ $Q$, ซึ่งเป็น สามเหลี่ยม ที่มีพื้นที่ $\tfrac12 QV$.
- นั่นคือที่มาของครึ่งหนึ่ง: p.d. เพิ่มขึ้นจากศูนย์ถึง $V$ เมื่อตัวเก็บประจุชาร์จ ดังนั้น p.d. เฉลี่ย ระหว่างการชาร์จคือ $V/2$, ไม่ใช่ $V$.
*สามเหลี่ยม, ไม่ใช่สี่เหลี่ยมผืนผ้า, และนั่นคือเหตุผลทั้งหมดสำหรับครึ่งหนึ่ง
พลังงานในตัวเก็บประจุ
E = ½C·V²
พลังงานที่เก็บได้เพิ่มขึ้นตาม กำลังสอง ของแรงดัน
ทำไมสูตรพลังงานที่เก็บไว้จึงมีตัวคูณ ½?
p.d. เพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง V ขณะชาร์จ ดังนั้นค่าเฉลี่ยคือ V/2 — นั่นคือเหตุผลที่พื้นที่สามเหลี่ยม $\tfrac{1}{2}QV$
พลังงานที่เก็บได้เท่ากับ ____ ใต้กราฟ V–Q
พื้นที่สามเหลี่ยมใต้เส้นมีค่า $\tfrac{1}{2}QV$ — พลังงานที่เก็บได้
ตัวอย่างทำ: พลังงานจากกราฟ
- กราฟของ $Q$ เทียบกับ $V$ เป็นเส้นตรงผ่านจุดกำเนิดผ่าน $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. จงหาความจุ, พลังงานที่ $10\ \text{V}$, และพลังงานเพิ่มเติมที่ต้องการเพื่อไปถึง $12\ \text{V}$.
- ความชัน ของ $Q$ เทียบกับ $V$ คือความจุ: $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$.
- พลังงานที่ $10\ \text{V}$: คือพื้นที่ใต้กราฟ, $\tfrac12 QV = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$
- ที่ $12\ \text{V}$: $\tfrac12 CV^2 = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-4})(144) = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, ดังนั้น พลังงานเพิ่มเติม คือ $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- หมายเหตุว่าแรงดันไฟฟ้าเพิ่มขึ้น 20% มีค่าใช้จ่ายพลังงานเพิ่มขึ้น 44%, เพราะ $W \propto V^2$.
กราฟของประจุเทียบกับ p.d. สำหรับตัวเก็บประจุเป็นเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด ความชันของมันให้ค่าอะไร?
กราฟของ Q เทียบกับ V มีค่าความชัน C และพลังงานคือพื้นที่ใต้เส้นกราฟ V เทียบกับ Q อย่าสับสนระหว่างความชันกับพื้นที่
พลังงานแปรผันตามกำลังสอง
- เพราะ $W = \tfrac12 CV^2$, การคูณสอง p.d. จะทำให้พลังงานเป็นสี่เท่า สำหรับตัวเก็บประจุเดียวกัน
- นั่นคือเหตุwhy แสงแฟลชของกล้องหรือเครื่องกระตุกหัวใจ (defibrillator) ชาร์จตัวเก็บประจุของตนให้ถึงร้อยหรือพันโวลต์แทนการใช้ตัวเก็บประจุที่ใหญ่กว่าที่แรงดันต่ำ: แรงดันไฟฟ้าคือวิธีที่ถูกกว่าในการซื้อพลังงาน
- นี่คือเหตุผลที่ว่าทำไม tụ電ตัวเดียวกันที่แรงดันเป็นครึ่งหนึ่ง จะเก็บพลังงานได้เพียงหนึ่งในสี่ ซึ่งควรนำไปตรวจสอบคำตอบของคุณ
การชาร์จตัวเก็บประจุผ่านสายไฟจะสูญเสียพลังงานประมาณครึ่งหนึ่งที่จ่ายออกไปเป็นความร้อน
แบตเตอรี่จ่าย $QV$ แต่ตัวเก็บประจุจัดเก็บได้เพียง $\tfrac{1}{2}QV$; ส่วนที่เหลือทำให้สายไฟร้อนขึ้น ไม่ว่าความต้านทานของมันจะเป็นเท่าใดก็ตาม
ตัวเก็บประจุขนาด 120 uF ชาร์จให้ถึง 12 V พลังงานที่จัดเก็บมีค่าเท่าไร ในหน่วย mJ?
W = C V^2 / 2 = 1.2e-4 x 144 / 2 = 8.6e-3 J. ที่แรงดัน 10 V จะจัดเก็บได้เพียง 6.0 mJ เท่านั้น เนื่องจากพลังงานแปรผันกับกำลังสองของแรงดันไฟฟ้า
การเพิ่มแรงต่างศักย์ (p.d.) ของตัวเก็บประจุเป็นสองเท่า จะเพิ่มพลังงานที่จัดเก็บเป็นสองเท่า
W แปรผันกับกำลังสองของ V ดังนั้นการเพิ่ม p.d. เป็นสองเท่าจะให้พลังงานเป็นสี่เท่า นั่นคือเหตุผลที่วงจรแฟลชและไดฟบริลิเตอร์ใช้แรงดันสูง
ตัวอย่างคำอธิบาย: การแบ่งปันประจุ
- ตัวเก็บประจุที่มีประจุ $C$ ที่ p.d. $V$ ถอดออกแล้วเชื่อม横跨到一个不带电的电容为 $3C$. จงหา p.d. สุดท้ายและพลังงานที่สูญเสีย.
- ประจุถูกอนุรักษ์. รวมประจุยังคงเป็น $Q = CV$, ปัจจุบันอยู่บนคู่แบบขนานของความจุรวม $4C$, ดังนั้น p.d. ร่วมกันคือ $V' = Q/4C = V/4$.
- พลังงานไม่ถูกอนุรักษ์. ก่อน: $\tfrac12 CV^2$. หลัง: $\tfrac12 (4C)(V/4)^2 = \tfrac18 CV^2$. สาม(optimizer ของพลังงานหายไป
- มันถูกกระจายออกเป็น ความร้อนในสายเชื่อมต่อ, และเป็นประกายหรือรังสี, ขณะประจุเคลื่อนที่, ไม่ว่า ความต้านทานจะเล็กแค่ไหน การบอกว่ามันไปที่ไหนคือคะแนน
นำตัวเก็บประจุที่มีประจุไปต่อกับตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุ เรียงลำดับเหตุผลให้ถูกต้อง
ประจุถูกอนุรักษ์ไว้ แต่พลังงานไม่ได้ การระบุแหล่งที่มาของพลังงานที่หายไปคือสิ่งที่คะแนนสุดท้ายเน้นย้ำ
พลังงานระหว่างการคายประจุลดลงเร็วขึ้นสองเท่า
- ระหว่างการคายประจุ ทั้งประจุและแรงดันไฟฟ้า (p.d.) ลดลงตาม $e^{-t/RC}$ แต่ พลังงาน ลดลงตาม $V^2$ ดังนั้นจึงลดลงตาม $e^{-2t/RC}$
- หลัง หนึ่ง เวลาคงตัว แรงดันไฟฟ้าจะลดลงเหลือ $37\%$ ของค่าเริ่มต้น แต่พลังงานจะลดลงเหลือ $e^{-2} = 14\%$
- หลัง สอง เวลาคงตัว แรงดันไฟฟ้าจะเป็น $14\%$ และพลังงานเหลือเพียง $1.8\%$
- ดังนั้นพลังงานจึงมี ครึ่งอายุเป็นครึ่งหนึ่ง ของประจุ ข้อสอบที่ให้เวลาคงตัวมาและถามหา พลังงาน ที่เหลืออยู่ กำลังทดสอบปัจจัยคูณสองนี้โดยตรง
- เหตุผลเดียวกันนี้คือทำไมตัวเก็บประจุที่ชาร์จด้วยแรงดันไฟฟ้าเป็นสองเท่า จึงจัดเก็บ พลังงานได้สี่เท่า
ตัวเก็บประจุปล่อยประจุเป็นเวลาเท่ากับเวลาคงตัวพอดี ร้อยละของพลังงานที่จัดเก็บเหลืออยู่คือเท่าไร?
แรงต่างศักย์ลดลงเหลือ 37% แต่พลังงานแปรผันกับกำลังสองของ V ดังนั้น e^-2 = 13.5% จึงเหลืออยู่ การตอบว่า 37% สำหรับพลังงานคือกับดักที่คำถามนี้ออกแบบมาเพื่อทดสอบ
คะแนนที่หลุดหายไป
- ปัจจัย $\tfrac12$ มาจาก แรงดันไฟฟ้าเฉลี่ยเท่ากับ $V/2$ ระหว่างการชาร์จ หรือเทียบเท่ากับการหาพื้นที่ของ สามเหลี่ยม บอกอย่างใดอย่างหนึ่ง ไม่พูดว่า "เพราะอยู่ในสูตร"
- $W \propto V^2$ ดังนั้นการเพิ่มโวลเทจเป็นสองเท่าจะทำให้ได้ พลังงานสี่เท่า ไม่ใช่สองเท่า
- ในโจทย์การแบ่งประจุ ประจุถูกอนุรักษ์แต่พลังงานไม่: บอกว่าพลังงานที่หายไปกลายเป็นอะไร
- พลังงานจากแบตเตอรี่一半 (half) จะสูญเสียไปเป็นความร้อนระหว่างชาร์จไม่ว่าความต้านทานของสายจะเป็นเท่าไหร่ มันไม่ใช่ข้อบกพร่องในวงจร
คุณเข้าใจแล้ว
- พลังงานที่จัดเก็บ $W = \tfrac12 QV = \tfrac12 CV^2 = \dfrac{Q^2}{2C}$; เลือกรูปแบบที่ตรงกับปริมาณที่กำหนดให้
- มันคือ พื้นที่ ภายใต้กราฟ $V$ เทียบกับ $Q$ ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม และ $\tfrac12$ ก็เพราะแรงดันไฟฟ้าเฉลี่ยขณะชาร์จคือ $V/2$
- $W \propto V^2$: เพิ่มแรงดันไฟฟ้าเป็นสองเท่า พลังงานเป็นสี่เท่า
- เมื่อมีการ แบ่งประจุ ประจุจะถูกอนุรักษ์และพลังงาน จะไม่: ส่วนต่างนี้จะกระจายออกเป็นความร้อนในสายไม่ว่าความต้านทานจะเป็นเท่าไหร่