ศักย์พลังงานแรงโน้มถ่วง
| English | ไทย |
|---|---|
| escape velocity/eˈskeɪp vəˈlɒsɪti/ | ความเร็วหลุดพ้น |
| gravitational potential/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl/ | ศักย์พลังงานแรงโน้มถ่วง |
| infinity/ɪnˈfɪnɪti/ | อนันต์ |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | พลังงานศักย์โน้มถ่วง |
| tightly bound/ˈtaɪtli baʊnd/ | ผูกติดแน่น |
ต้องเร็วแค่ไหนเพื่อหลบหนีตลอดไป?
- โยนลูกบอลขึ้นไปแล้วมันจะตกลงมา โยนมันเร็วพอ它就会永远不会回来。
- ความเร็ว "ที่ไม่กลับมา" นั้นเรียกว่า ความเร็วในการหลบหนี
- ในการหาความเร็วนี้ เราต้องใช้ ศักย์พลังงานโน้มถ่วง
ศักย์พลังงานโน้มถ่วง
- $\phi$ คืองานที่ทำต่อหน่วยมวลเพื่อนำมวลทดสอบเล็กๆ จาก อนันต์ ไปยังจุดหนึ่ง: $\phi = \dfrac{W}{m}$. หน่วย: $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- กำหนดให้เป็น ศูนย์ที่อนันต์, ดังนั้น $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ จึงเป็น ลบ ในทุกจุดอื่น
ศักย์พลังงานแรงโน้มถ่วง
V = −GM / r
ศักย์ ∝ −1/r — ลึกใกล้มวล และราบเรียบลงเมื่อห่างออกไป
ศักย์พลังงานแรงโน้มถ่วงคือ:
แรงโน้มถ่วงทำงานเมื่อมวลตกลงมา ดังนั้น $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ จึงเป็นลบ และจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออยู่ที่อนันต์เท่านั้น
ศักย์พลังงานแรงโน้มถ่วงกำหนดให้เป็นศูนย์ที่ ____
ตัวเลือกนี้ทำให้ศักย์เป็นลบตลอดทั้งพื้นที่ที่มวลอยู่จริง
พลังงานศักย์โน้มถ่วง
- มวล $m$ ที่ศักย์ $\phi$ จะมี $E_{\text{P}} = m\phi = -\dfrac{GMm}{r}$
- มีค่า ลบ; มวลที่อยู่ใกล้กันจะมีค่าลบมากกว่า — ถูกยึดติดอย่าง แน่นหนา มากขึ้น
แรงโน้มถ่วงทำหน้าที่เป็นแรงเข้าสู่ศูนย์กลางที่ทำให้ดาวเคราะห์โคจรในวงกลม
มวลสองก้อนที่อยู่ใกล้กันจะมีศักย์พลังงานแรงโน้มถ่วงที่เป็นลบมากขึ้น (ต่ำกว่า)
$E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — ค่า $r$ ที่เล็กลงจะทำให้ค่าเป็นลบมากขึ้น นั่นคือคู่ที่ถูกยึดติดกันแน่นขึ้น
จับคู่แต่ละคำศัพท์กับนิยามที่กรรมการให้คะแนน
สองข้อนี้เป็นต่อหน่วยมวล และหนึ่งข้อเป็นต่อหน่วยมวลของ WORK คำเดียวนี้คือสิ่งที่แยกศักย์ออกจากความเข้มสนาม
ความเชื่อมโยงกับ $mg\Delta h$
- สำหรับการเปลี่ยนแปลงความสูงที่ น้อย ใกล้พื้นผิว, $r$ จะแทบไม่เปลี่ยน, ดังนั้น $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$
- สำหรับการเปลี่ยนแปลงที่ มาก (เช่นยกดาวเทียมขึ้น), ใช้ $-\dfrac{GMm}{r}$ ที่รัศมีแต่ละจุดแล้วนำมารวมกันโดยวิธีลบ
สูตรง่าย $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ ใช้ได้เมื่อ:
สมมติว่าเป็นสนามสม่ำเสมอ หากมีการเปลี่ยนแปลง $r$ มาก ให้ใช้ $-\dfrac{GMm}{r}$ ที่รัศมีแต่ละจุดแทน
ทำไมศักย์พลังงานแรงโน้มถ่วงจึงเป็นลบเสมอ? เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้อง
"เพราะแรงโน้มถ่วงดึงดูด" เพียงอย่างเดียวไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้อง ต้องมีคำอธิบายเรื่องงาน: ศูนย์ที่อนันต์ และสนาม所做的功 (work done) ในขณะเคลื่อนที่เข้ามา
ตัวอย่างฝึก: ศักย์ที่พื้นผิวของดาวอังคาร
ดาวอังคารมีมวล $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$ และรัศมี $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$ จงหาศักย์พลังงานโน้มถ่วงที่พื้นผิว, และพลังงานที่ต้องใช้เพื่อพา $1\ \text{kg}$ ออกจากพื้นผิวไปยังอนันต์
- ศักย์: $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{3.4 \times 10^{6}} = -1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$
- โจทย์ถามถึงหน่วย: จูลต่อนิวตัน, เพราะศักย์คือพลังงาน ต่อหน่วยมวล
- พลังงานเพื่อหลบหนีต่อนิวตัน: จาก $\phi$ ขึ้นไปถึงศูนย์ที่อนันต์ คือ $+1.3 \times 10^{7}\ \text{J}$ ต่อหนึ่งนิวตัน
- ตรวจสอบ: เครื่องหมายลบไม่ใช่สิ่งที่เลือกได้ บ่งบอกว่าต้องทำงาน ใส่ มวลเพื่อย้ายมันออก — มวลนั้นถูกขังอยู่ใน "บ่อ" $1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ ลึก
ดวงจันทร์มีมวล $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$ และมีรัศมี $1.74 \times 10^{6}\ \text{m}$. ศักย์โน้มถ่วงที่พื้นผิวของดวงจันทร์มีค่าเท่าใด เมื่อเทียบกับ $10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$? (รวมเครื่องหมายด้วย)
$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1.74 \times 10^{6}} = -2.8 \times 10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — ประมาณหนึ่งส่วนยี่สิบของมวลโลก นั่นจึงทำให้การออกจากดวงจันทร์นั้นง่าย
ความเร็วในการหลบหนี
- เพื่อ reaching infinity, พลังงานจลน์ต้องเท่ากับความลึกของบ่อ: $\tfrac{1}{2}mv_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{GMm}{r}$
- $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ ที่พื้นผิวโลก — ไม่ขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุ
โดยประมาณแล้ว ความเร็วหนีจากพื้นผิวโลกมีค่าเท่าไหร่ เป็นกิโลเมตรต่อวินาที?
$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ สำหรับโลก
ความเร็วหนีขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุที่กำลังหนีออก
มวลของวัตถุจะตัดกัน: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ ขึ้นอยู่กับเพียงดาวเคราะห์และระยะทางเท่านั้น
ดาวเคราะห์หนึ่งมีค่า GM/r = 6.3e7 J/kg ที่พื้นผิว ความเร็วหนีของมันมีค่าเท่าไหร่ เป็นกิโลเมตรต่อวินาที?
v = sqrt(2GM/r) = sqrt(1.26e8) = 1.12e4 m/s = 11.2 km/s, ซึ่งเป็นค่าของโลก ระวังตัวคูณ 2 และมวลของวัตถุที่หนีออกไปจะตัดกันหมดสิ้น
ตัวอย่างฝึก: การยกดาวเทียมขึ้น
ดาวเทียม $500\ \text{kg}$ ถูกยกจากพื้นผิวโลก ($R = 6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$) ขึ้นสู่วงโคจรที่มีรัศมี $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. มวลของโลกคือ $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$. จงหาการเพิ่มขึ้นของพลังงานศักย์ และเปรียบเทียบกับ $mg\Delta h$.
- ศักย์สองค่า, นำมาลบกัน: $\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right)$
- แทนค่า: $6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 500 \times \left(\dfrac{1}{6.37 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}}\right) = 2.8 \times 10^{9}\ \text{J}$
- วิธีประมาณคร่าวๆ: $mg\Delta h = 500 \times 9.81 \times 6.3 \times 10^{5} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{J}$ — ใหญ่เกินจริงประมาณ $10\%$, เพราะ $g$ ลดลงตามความสูง แต่ $mg\Delta h$ สมมติว่ามันไม่ลด
- ตรวจสอบ: การเพิ่มขึ้นมีค่า บวก — ดาวเทียมจบลงด้วยค่าที่เป็นลบน้อยกว่า, ถูกยึดเหนี่ยว หลวม กว่าเดิม — แม้ทั้งสองค่าศักย์จะเป็นตัวเลขลบก็ตาม
ศักย์มีค่า ลบ และ เพิ่มขึ้นเข้าหาศูนย์ เมื่อเราเคลื่อนที่ออกไปข้างนอก "พลังงานที่ได้รับ" คือนิยามสุดท้ายลบนิยามเริ่มต้น โดยรักษาสัญญาณไว้: $-1.3 \times 10^{7} \to -0.9 \times 10^{7}$ เป็นการได้รับ $0.4 \times 10^{7}$ ต่อนิวตัน. $mg\Delta h$ ใช้เฉพาะสำหรับ $\Delta h \ll R$. และหน่วยของ $\phi$ คือ $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — การเขียนจูลจะทำให้เสียคะแนน
ข้อใดต่อไปนี้เป็นข้อเท็จจริงเกี่ยวกับศักย์โน้มถ่วง? เลือกทุกข้อที่ถูกต้อง
ศักย์คือพลังงานต่อหน่วยมวล ดังนั้นหน่วยจึงเป็นจูลต่อกิโลกรัม มีค่าลบ เติบโตเข้าใกล้ศูนย์ตามระยะทาง และความชันของศักย์ให้ค่าสนาม: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
ความเข้มสนามจากกราฟศักย์
- ความเข้มสนามคือ ความชัน ของกราฟศักย์-ระยะทาง: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$
- ที่บริเวณที่กราฟ $\phi$ มีความชันมาก (ใกล้กับมวล) สนามจะเข้ม; เมื่ออยู่ไกล граฟจะราบเรียบและสนามจะจางลง
- เครื่องหมายลบบ่งชี้ว่าสนามชี้ลง ตาม ความชันของศักย์ — เข้าหามวล ซึ่งเป็นจุดที่ $\phi$ มีค่าน้อยที่สุด (เป็นลบมากที่สุด)
คุณเข้าใจแล้ว
- ศักย์โน้มถ่วง $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ ใน $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ (มีค่าเป็นลบ, เป็นศูนย์ที่อนันต์); $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$
- พลังงานศักย์โน้มถ่วง $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — ค่าน้อยลง (เป็นลบมากขึ้น) = ถูกยึดติดแน่นขึ้น; การเปลี่ยนแปลงขนาดใหญ่ใช้ $GMm\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
- ความเร็วหลบหนี $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ (ไม่ขึ้นอยู่กับมวล, $\approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ สำหรับโลก)