สนามแรงโน้มถ่วงของจุดมวล
| English | ไทย |
|---|---|
| orbit/ˈɔːbɪt/ | วงโคจร |
| orbital speed/ˈɔːbɪtl spiːd/ | ความเร็ววงโคจร |
| satellite/ˈsætəlaɪt/ | ดาวเทียม |
| Kepler's third law/ˈkepləz θɜːd lɔː/ | กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ |
| geostationary/ˌdʒiːəʊˈsteɪʃənəri/ | จลนศาสตร์วงโคจร |
| equator/ɪˈkweɪtə/ | เส้นศูนย์สูตร |
| free fall/friː fɔːl/ | การตกอย่างอิสระ |
ทำไมดวงจันทร์ไม่ตก
- ดวงจันทร์กำลังตก เข้าหา โลกตลอดเวลา — แต่มันก็เคลื่อนที่ไปด้านข้างด้วยความเร็วสูง
- ดังนั้นมันจึงพลาดไปเรื่อยๆ: มันอยู่ใน วงโคจร
- แรงโน้มถ่วงให้แรงสู่ศูนย์กลางที่จำเป็นพอดี
สนาม ของมวลจุด
- ที่ระยะ $r$ จากมวล $M$: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ — ลดทอนลงตาม $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- ใกล้พื้นผิวโลก $r \approx R$ มีค่ามากมาก การปีนตึกจึงเปลี่ยนแปลง $g$ น้อยมาก
ความเข้มสนามลดลงตาม 1/r²: หากเพิ่มระยะเป็นสองเท่า แรงจะเหลือเพียงหนึ่งในสี่
ช่องว่างระหว่างเส้นสนามแสดงความเข้มของสนาม — เส้นใกล้กันแสดงถึงสนามที่แรงขึ้น
สนามของจุดมวล
g ∝ M/r²
ความเข้มของสนามโน้มถ่วงปฏิบัติตาม กฎกำลังสองผกผัน — หาก减半ระยะทาง มันจะ增加到สี่เท่า
ความเข้มสนามแรงโน้มถ่วงที่ระยะ $r$ จากจุดมวล $M$ คือ:
จาก $g = \dfrac{F}{m}$ กับ $F = \dfrac{GMm}{r^{2}}$, มวลทดสอบถูกตัดออก: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$
การปีนตึกสูงเปลี่ยนค่า g อย่างมีนัยสำคัญ
รัศมีโลก ~6400 km ดังนั้นความสูงเพียงไม่กี่เมตรแทบไม่เปลี่ยน $r$ — $g$ มีค่าคงที่โดยประมาณ
ความเร็ววงโคจร
- แรงโน้มถ่วง = แรงสู่ศูนย์กลาง: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$
- มวล $m$ หักล้างกัน: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ — ไม่ขึ้นอยู่กับมวลของดาวเทียม
ความเร็ววงโคจรของดาวเทียมไม่ขึ้นอยู่กับมวลของตัวเอง
มวล $m$ ถูกตัดออกใน $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$ เหลือไว้แต่ $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$
กฎที่สามของเคปเลอร์
- จาก $T = \dfrac{2\pi r}{v}$: $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$ ดังนั้น $T^{2} \propto r^{3}$
- กราฟของ $T^{2}$ เทียบกับ $r^{3}$ เป็นเส้นตรง — ความชันของกราฟให้ค่ามวลศูนย์กลาง
การพล็อต T² เทียบกับ r³ ให้เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด — ความชันกำหนดมวลศูนย์กลาง M
กฎที่สามของเคปเลอร์ (สำหรับวงโคจรวงกลม) ระบุว่า:
$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$ ดังนั้นกำลังสองของคาบแปรผันตรงกับกำลังสามของรัศมี
หากรัศมีวงโคจรเพิ่มขึ้น 4 เท่า คาบจะเพิ่มขึ้นเป็น:
$T \propto r^{3/2}$ ดังนั้น $T$ เปลี่ยนแปลงตาม $4^{3/2} = 8$
ตัวอย่างฝึก: ดาวเทียมเหนือดาวอังคาร
ดาวเทียมโคจรรอบดาวอังคาร (มวล $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, รัศมี $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$) ที่ความสูง $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$ เหนือพื้นผิว จงหาความเร็วและคาบของการโคจร
- รัศมีวงโคจร, วัดจากศูนย์กลาง: $r = 3.4 \times 10^{6} + 1.7 \times 10^{6} = 5.1 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- ความเร็ว: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{5.1 \times 10^{6}}} = 2.9 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- คาบ: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 5.1 \times 10^{6}}{2.9 \times 10^{3}} = 1.1 \times 10^{4}\ \text{s}$, ประมาณสามชั่วโมง
- ตรวจสอบ: มวลของดาวเทียมเองไม่เคยปรากฏในสมการ — ดาวเทียมทุกดวงที่ระดับความสูงนี้จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากัน การใช้เพียงความสูงเพื่อหาค่า $r$ จะได้ความเร็วที่สูงเกินจริงมาก
ดาวเทียมโคจรรอบโลก (มวล $6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$) ที่รัศมี $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ จากศูนย์กลาง ความเร็ววงโคจรคือเท่าใด (หน่วย km/s)?
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{8.0 \times 10^{6}}} = 7.1 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 7.1\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$.
วงโคจรกึ่งสถิต
- คาบ 24 ชั่วโมง, อยู่เหนือ เส้นศูนย์สูตร โดยโคจรจาก ตะวันตกไปตะวันออก — ทิศทางเดียวกับทิศหมุนของโลก
- มันคงที่เหนือจุดหนึ่งบนโลก — เหมาะสำหรับการใช้กับจานรับสัญญาณวิทยุ จาก $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}$ และ $T = 86\,400\ \text{s}$ จะได้รัศมีเป็น $\approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$, สูงประมาณ $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ เหนือพื้นผิว
เลือก ทุก คุณสมบัติของดาวเทียมจลน์วงโคจร
มันหมุนตามโลก (24 ชม., ตะวันตกไปตะวันออก) เหนือเส้นศูนย์สูตร จึงคงที่เหนือจุดเดียว ขาโคจรขั้วโลกทำเช่นนั้นไม่ได้
วงโคจรซิงโครนัสในดาวเคราะห์อื่น
- ดาวเคราะห์แต่ละดวงมีวงโคจรซิงโครนัสของตัวเอง: คาบเท่ากับคาบ หมุนรอบตัวเอง ของดาวเคราะห์นั้น, และวงโคจรจะอยู่เหนือเส้นศูนย์สูตร เคลื่อนที่ตามทิศหมุน
- ดาวอังคารหมุนรอบตัวเองครั้งละประมาณ $25$ ชั่วโมง ดังนั้นดาวเทียมที่มีคาบ $25$ ชั่วโมงเหนือเส้นศูนย์สูตรของดาวอังคารจะคงที่เหนือจุดใดจุดหนึ่งบนดาวอังคาร
- เปลี่ยนคาบ แล้วรัศมีจะเปลี่ยนตามกฎของเคปเลอร์: คาบที่ยาวขึ้นหมายถึงวงโคจรที่มีขนาด ใหญ่ขึ้น
ในทุกสูตรวงโคจร $r$ วัดจาก ศูนย์กลาง ของดาวเคราะห์ — ต้องบวกรัศมีของดาวเคราะห์เข้ากับความสูง มวลของดาวเทียม ตัดกัน ดังนั้นประโยค "ดาวเทียมหนักกว่าต้องมีความเร็ว выше" จึงผิด วงโคจรกึ่งสถิตต้องอยู่เหนือ เส้นศูนย์สูตร: หากไม่เช่นนั้น วงโคจรจะตัดเส้นศูนย์สูตรวันละสองครั้ง และดูเคลื่อนที่ไปมาทางเหนือและใต้เมื่อสังเกตจากพื้นดิน
ดาวเทียมอยู่ $600\ \text{km}$ เหนือพื้นผิวของดาวเคราะห์ที่มีรัศมี $6400\ \text{km}$ ในสมการวงโคจร, $r$ = ____ กม.
$r$ วัดจากศูนย์กลาง: $6400 + 600 = 7000\ \text{km}$
ไม่ใช่ไร้แรงโน้มถ่วง — กำลังตก
- ที่ความสูงของสถานีอวกาศคือ $400\ \text{km}$, ค่า $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — เกือบเท่ากับค่าที่พื้นผิว
- นักบินอวกาศลอยตัวเพราะทั้งตัวเขาและสถานีกำลังอยู่ใน สภาวะตกอิสระ ด้วยกัน ไม่ใช่เพราะแรงโน้มถ่วงหายไป
รัศมีโลกคือ $6370\ \text{km}$ และความเข้มสนามแรงโน้มถ่วงที่พื้นผิวคือ $9.81\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ ความเข้มสนามที่ความสูง $400\ \text{km}$ คือเท่าใด (หน่วย N/kg)?
$g \propto \dfrac{1}{r^{2}}$ ดังนั้น $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — นักบินอวกาศไม่ได้น้ำหนักเป็นศูนย์ พวกเขา只是在 falling
คุณเข้าใจแล้ว
- สนามของมวลจุด: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ (ดังนั้น $g$ จึงเกือบคงที่ใกล้พื้นผิว)
- วงโคจร: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ เมื่อ $r$ วัดจาก ศูนย์กลาง (ไม่ขึ้นอยู่กับมวลดาวเทียม); $T^{2} \propto r^{3}$
- วงโคจรกึ่งสถิต: 24 ชม., เหนือเส้นศูนย์สูตร, ตะวันตกไปตะวันออก; วงโคจรซิงโครนัสตรงกับทิศหมุนของดาวเคราะห์ใดๆ