กฎความโน้มถ่วงของนิวตัน

คำศัพท์

English	ไทย
law of gravitation/lɔː ɒv ˌɡrævɪˈteɪʃn/	กฎการโน้มถ่วง
attractive/əˈtræktɪv/	แรงดึงดูด
universal constant/ˌjuːnɪˈvɜːsl ˈkɒnstənt/	คงที่สากล
inverse-square law/ɪnˈvɜːs skweə lɔː/	กฎกำลังสองผกผัน
point mass/pɔɪnt mæs/	มวลจุด

มวลทุกก้อนดึงดูดมวลอื่นทุกก้อน

โลกดึงคุณลง — และคุณก็ดึงโลกขึ้น ด้วยแรงเท่ากันเป๊ะ
ทุก คู่ของมวลจะดึงดูดกัน ทุกที่ในจักรวาล
นิวตันสรุปไว้ในสมการเดียว

กฎความโน้มถ่วง

$F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — เป็นแรงดึงดูดตามเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างมวลทั้งสอง
$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ คือค่าคงที่สากล

มวลสองก้อน m1 และ m2 ห่างกันเป็นระยะ r มีแรงดึงดูด F เท่ากันและทิศทางตรงกันข้าม และมีสูตร F เท่ากับ G คูณด้วย m1 คูณด้วย m2 หารด้วย r สี่เหลี่ยม

สำรวจ

กฎความโน้มถ่วงของนิวตัน

F ∝ Mm / r²

แรงโน้มถ่วงดึง เข้าหาศูนย์กลาง และลดลงตามกำลังสองของระยะทาง

ฝึกฝน

กฎความโน้มถ่วงของนิวตันกำหนดให้แรงระหว่างมวลสองก้อนคือ:

$\dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$
$\dfrac{G m_1 m_2}{r}$
$G m_1 m_2 r^{2}$
$\dfrac{m_1 m_2}{G r^{2}}$

ฝึกฝน

แรงโน้มถ่วงมีลักษณะดึงดูดเสมอ

กฎกำลังสองผกผัน

แรงจะลดลงตาม $\dfrac{1}{r^{2}}$
เพิ่มระยะห่างเป็นสองเท่า → แรงจะลดลงเหลือ หนึ่งในสี่

สถานีอวกาศระหว่างประเทศโคจรรอบโลก โดยถูกยึดไว้บนเส้นทางโคจรด้วยความโน้มถ่วง

ฝึกฝน

มวลสองก้อนดึงดูดกันด้วยแรง $40\ \text{N}$ เมื่ออยู่ห่างกัน $r$ แรงจะเป็นเท่าใดเมื่ออยู่ห่างกัน $2r$?

ฝึกฝน

หากมวลทั้งสองเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า (ระยะทางเท่าเดิม) แรงโน้มถ่วงจะกลายเป็น:

ใหญ่ขึ้น 4 เท่า
ใหญ่ขึ้น 2 เท่า
เล็ก了一半
ไม่เปลี่ยนแปลง

ฝึกฝน

มวลสองก้อนดึงดูดกันด้วยแรง $F$ จับคู่การเปลี่ยนแปลงแต่ละข้อกับแรงใหม่

$\dfrac{F}{4}$

$4F$

$2F$

$F$

ระยะห่างเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า
ระยะห่างลดลงครึ่งหนึ่ง
มวลหนึ่งตัวเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า
มวลทั้งสองเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า และระยะห่างเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า

ทรงกลม behaving เหมือนจุด

ทรงกลมสม่ำเสมอจะดึง (จากภายนอก) เหมือนกับ มวลจุดอยู่ที่ศูนย์กลาง ของมันเป๊ะๆ
ดังนั้น เราจึงสามารถพิจารณาโลกเป็นมวลจุดอยู่ที่ศูนย์กลางได้, และ $r$ จะวัดเสมอจาก ศูนย์กลางถึงศูนย์กลาง

มวลสองก้อนดึงดูดกันตามเส้นที่เชื่อมระหว่างมัน

มวลสองก้อนดึงดูดกันตามเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างกัน

ฝึกฝน

ทรงกลมสม่ำเสมอ ดึงดูดวัตถุภายนอก seolahๆ ว่ามวลทั้งหมดอยู่ที่จุดศูนย์กลาง

ตัวอย่างวิธีทำ: โลกและดวงจันทร์

Example

มวลของโลกคือ $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, มวลของดวงจันทร์คือ $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$, และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางของทั้งสองคือ $3.84 \times 10^{8}\ \text{m}$

แรง: $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^{2}} = 2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$
กระทำต่อวัตถุใด? ทำต่อ ทั้งสอง: ดวงจันทร์ดึงโลกด้วยแรงที่ $2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$ พอดี — เป็นคู่ของกฎข้อที่สามของนิวตัน
ลดระยะห่างลงครึ่งหนึ่ง: แรงจะกลายเป็น $4 \times 2.0 \times 10^{20} = 8.0 \times 10^{20}\ \text{N}$
ตรวจสอบ: สกแควร์ค่าความแยกก่อนหาร และใช้หน่วยเป็นเมตร คำตอบที่ใกล้เคียง $10^{28}\ \text{N}$ แสดงว่า $r$ ไม่ได้ถูกยกกำลังสอง

ฝึกฝน

คน $50\ \text{kg}$ สองคนยืนโดยมีศูนย์กลางอยู่ห่างกัน $1.0\ \text{m}$ แรงโน้มถ่วงระหว่างพวกเขาคือเท่าใด (ในรูปของหลายเท่าของ $10^{-7}\ \text{N}$)?

การชั่งน้ำหนักดาวเคราะห์

คุณไม่สามารถวางดาวเคราะห์บนตาชั่งได้ แต่ สนามแรงโน้มถ่วงพื้นผิว สามารถบอกมวลของมันได้: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$ ดังนั้น $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$
วงโคจรของดวงจันทร์ ก็ใช้ได้เช่นกัน: แรงโน้มถ่วงทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง, $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$ ดังนั้น $M = \dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$ — ต้องใช้เพียงรัศมีและคาบของการโคจรเท่านั้น

ตัวอย่างวิธีทำ: มวลของดาวอังคาร

Example

ที่พื้นผิวดาวอังคาร ความเข้มของสนามคือ $3.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ และมีรัศมี $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$ จงพิสูจน์ว่ามวลของดาวอังคารมีประมาณ $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$

เริ่มต้นจากสนามของทรงกลม: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$
จัดรูปสมการใหม่: $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{3.7 \times (3.4 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$
คำตอบ: $M = 6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$ ตามที่ต้องการ — ประมาณหนึ่งในหกของมวลของโลก
ตรวจสอบ: ข้อ "จงพิสูจน์" จะมีการให้คะแนนจากกระบวนการคำนวณ ดังนั้นต้องเขียนสมการ การจัดรูป และการแทนค่า แล้วให้ตัวเลขออกมาเอง

ฝึกฝน

ดาวเคราะห์มีสนามแรงโน้มถ่วงที่พื้นผิว $25\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ และรัศมี $7.0 \times 10^{7}\ \text{m}$ มวลของมันคือเท่าใด (ในรูปของหลายเท่าของ $10^{27}\ \text{kg}$)?

Watch out

$r$ คือระยะห่างระหว่าง จุดศูนย์กลาง — ไม่ใช่ช่องว่างระหว่างพื้นผิว และไม่ใช่อุณหภูมิเหนือพื้นดินโดยลำพัง $G$ มีค่าน้อยมาก นี่คือเหตุผลที่ว่าทำไมแรงโน้มถ่วงระหว่างวัตถุทั่วไปจึงน้อยจนมองข้ามได้ มีแต่มวลขนาดดาวเคราะห์เท่านั้นที่ทำให้รู้สึกถึงแรงนี้ได้ และแรงทั้งสองในคู่นี้ มีค่าเท่ากัน ไม่ว่ามวลจะต่างกันแค่ไหน — แอปเปิ้ลดึงโลกแรงเท่าๆ กับที่โลกดึงแอปเปิ้ล

ฝึกฝน

ใน $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$, ระยะทาง $r$ วัดระหว่าง ____ ของมวลทั้งสอง

คุณเข้าใจแล้ว

Key idea

$F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — ดึงดูดเสมอ ตามเส้นที่เชื่อม มีขนาดเท่ากันทั้งสองมวล
เป็นกฎกำลังสองย้อนกลับ: สกแควร์ $r$ → ลดแรงลงสี่เท่า
ทรงกลมสม่ำเสมอ behaves เหมือน มวลจุดที่จุดศูนย์กลาง, ดังนั้น $r$ จึงวัดจากศูนย์กลางถึงศูนย์กลาง; $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$ ใช้ชั่งน้ำหนักดาวเคราะห์