GRE ฟิสิกส์

GRE Physics ระดับบัณฑิตศึกษาแบบส่งผ่านคอมพิวเตอร์

ข้อสอบแบบเลือกตอบประมาณ 70 ข้อ ใน 120 นาที. กลศาสตร์, แม่เหล็กไฟฟ้า, ทัศนศาสตร์/คลื่น, อุณหพลศาสตร์/กลศาสตร์สถิติ, กลศาสตร์ควอนตัม/ฟิสิกส์อะตอม, สัมพัทธภาพ, วิธีการทดลอง และหัวข้อพิเศษ. ไม่มีการอ้างถึงความเทียบเท่า A-Level

ขอบเขตทางการ: https://www.ets.org/gre/test-takers/subject-tests/about/content-structure.html

CM · กลศาสตร์คลาสสิก

• กฎข้อที่สองของนิวตันเป็นคำกล่าวเชิงเวกเตอร์ เลือกพิกัดและระบุข้อจำกัดก่อนองค์ประกอบ
• การอนุรักษ์พลังงานใช้ได้เมื่อคำนวณงานจากแรงที่ไม่รักษาพลังงานแล้ว; การอนุรักษ์โมเมนตัมจำเป็นต้องไม่มีแรงภายนอกสุทธิ
• สำหรับการสั่นสะเทือนขนาดเล็ก ให้ทำเชิงเส้นรอบจุดสมดุลที่เสถียร พจน์คืนแรงที่แปรผันตรงกับระยะกระจัดจะทำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก
• สมการของลากรังจ์ใช้ L=T−V และพิกัดทั่วไป (generalised coordinates) รูปแบบระดับปริญญาตรีนี้แตกต่างจากการแทนที่แรงในระดับโรงเรียน

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับมวล m ที่ติดกับสปริง k, L=(1/2)m xdot²−(1/2)kx². สมการ Euler–Lagrange ให้ m xddot+kx=0. ดังนั้น ความถี่เชิงมุมคือ sqrt(k/m). การเพิ่มมวลเป็นสองเท่าจะลดความถี่ลงด้วยปัจจัย sqrt(2), ไม่ใช่สองเท่า

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การอนุรักษ์พลังงานจลน์ไม่เกิดขึ้นในทุกการชน แม้ว่าจะมีการอนุรักษ์โมเมนตัมก็ตาม

EM · อิเล็กตรอนแม่เหล็ก

• สนามไฟฟ้าคือลบของเกรเดียนต์ของศักย์ ค่าหนึ่งและการเปลี่ยนแปลงทางพื้นที่เป็นปริมาณที่แตกต่างกัน
• ใช้กฎของเกาส์ร่วมกับสมมาตร การทราบฟลักซ์รวมเพียงอย่างเดียวไม่สามารถหาสนามไฟฟ้าที่ทุกจุดบนพื้นผิวได้
• กฎของคีร์ชฮอฟฟ์ติดตามประจุและพลังงานในวงจร แรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำ (induced emf) ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์แม่เหล็กพร้อมเครื่องหมายตามกฎเลนซ์
• สมการของแม็กซ์เวลล์เชื่อมโยงสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก ในสุญญากาศคลื่นจะมี E/B=c และพาพลังงาน

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ภายในเปลือกทรงกลมที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอ สมมาตรและกฎของเกาส์ให้ E=0. ศักย์ไฟฟ้าของมันคงที่ภายใน ไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ สำหรับกระบวนการคายประจุ RC, V(t)=V₀ exp(−t/RC), และหลังจากเวลาหนึ่งค่าคงตัว จะเหลือ V₀/e

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อย่าใช้กฎของเกาส์เพื่ออ้างว่าสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอบนพื้นผิวที่ไม่สมมาตรใดๆ

WO · คลื่นและทัศนศาสตร์

• บวกแอมพลิจูดของคลื่นแล้วคำนวณความเข้ม ความเข้มแปรผันตามกำลังสองของแอมพลิจูดสำหรับสื่อเดียวกัน
• ความต่างของระยะทางทำให้เกิดความต่างของเฟส 2πΔ/λ แหล่งกำเนิดที่มีสัมพัทธ์ต้องมีความเสถียรของเฟส
• สำหรับช่องเปิดเดี่ยว จุดต่ำสุดจะสอดคล้องกับ a sin θ=mλ สำหรับจำนวนเต็ม m ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ช่องเปิดคู่จะมีเงื่อนไขการรบกวนที่แตกต่างกัน
• กลศาสตร์เชิงเรขาคณิตต้องการกฎเครื่องหมายที่กำหนดไว้ ผลของคลื่นจะมีนัยสำคัญเมื่อขนาดช่องเปิดเทียบเท่ากับความยาวคลื่น

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

คลื่นที่มีสัมพัทธ์และแอมพลิจูดเท่ากัน A แต่ละคลื่น เมื่ออยู่ในเฟสเดียวกัน แอมพลิจูดรวมคือ 2A และความเข้มคือ 4I₀ เมื่อมีความต่างเฟส π แอมพลิจูดและความเข้มในอุดมคติจะเป็นศูนย์ การบวกความเข้มโดยตรงจะพลาดผลของการรบกวน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ยอดสูงสุดกลางของช่องเปิดเดี่ยวไม่ได้เกิดจากการตั้ง m=0 ในเงื่อนไขจุดต่ำสุด

TS · เทอร์โมไดนามิกส์และกลศาสตร์สถิติ

• กำหนดกฎเครื่องหมายของกฎที่หนึ่ง: ΔU=Q−W เมื่อ W คืองานที่ทำโดยระบบ
• สำหรับเครื่องยนต์ :ฟึงที่ในอ่างความร้อน ประสิทธิภาพจะถูกจำกัดด้วย 1−Tc/Th โดยใช้อุณหภูมิสัมบูรณ์
• น้ำหนักของโบลต์ซมานน์คือ exp(−E/kT) ความน่าจะเป็นต้องหารด้วยฟังก์ชันพาร์ติชัน
• แยกแยะสมมติฐานแม็กซ์เวลล์–โบลต์ซมานน์ โบส–ไอน์สไตน์ และเฟร์มิ–ดิราค เฟอร์มิออนไม่สามารถอยู่ในสถานะอนุภาคเดี่ยวเดียวกันได้

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

อ่างความร้อนที่ 600 K และ 300 K ให้ประสิทธิภาพการเปลี่ยนแปลงกลับได้สูงสุด 1−300/600=0.5 เครื่องยนต์ที่รับ 1000 J จะผลิตงานได้สูงสุดเพียง 500 J ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ การอนุรักษ์พลังงานเพียงอย่างเดียวจะไม่กำหนดขอบเขตนี้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อัตราส่วนอุณหภูมิเซลเซียสไม่สามารถนำไปใช้กับสูตรประสิทธิภาพคาร์โนได้

QM · กลศาสตร์ควอนตัมและฟิสิกส์อะตอม

• A state wavefunction must satisfy the model’s boundary conditions and have total probability one: integrate |ψ(x)|² over the allowed domain. For orthonormal states φ_j, a superposition ψ=Σc_jφ_j has norm squared Σ|c_j|² because the cross terms integrate to zero. Thus an equal superposition of N orthonormal states has coefficient magnitude 1/sqrt(N). The probability of finding one constituent energy is |c_j|², not c_j. Relative phases may affect position probabilities even when energy probabilities are unchanged.
• An observable is represented by a Hermitian operator. Its eigenvalues are real, and a normalised state gives expectation value ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. The expectation is an average over repeated preparations, not necessarily the result of one measurement. If A satisfies a polynomial identity, apply it to an eigenstate: for A⁴=I, a real eigenvalue must be +1 or −1. A complex fourth root is excluded by Hermiticity even though it solves the polynomial.
• For an infinite well 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 allows sine modes sin(nπx/L), with n=1,2,… . Their energies are E_n=n²π²ℏ²/(2mL²), so the ground state is not zero and doubling L divides every energy by four. The equivalent h expression is n²h²/(8mL²); never substitute h for ℏ without its 2π factor. A finite barrier instead permits exponential tails, and a travelling wave in a classically allowed region has oscillatory rather than exponentially decaying spatial dependence.
• Operators จะ_Swap เมื่อ [A,B]=AB−BA=0; quantities ที่สังเกตได้ compatible สามารถมี common eigenbasis ได้. เนื่องจากพลังงานจลน์ p²/(2m) เป็นฟังก์ชันของ p, มัน_Swap กับ p. Potensialที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งทั่วไปทำให้ H=p²/(2m)+V(x) ไม่_Swap กับ p. โมเมนตัมเชิงมุมปฏิบัติตาม [J_x,J_y]=iℏJ_z และการหมุนรอบ, ในขณะที่ J²_Swap กับแต่ละองค์ประกอบ. การเปลี่ยนสถานะอะตอมแลกเปลี่ยนพลังงานโฟตอนบวกเท่ากับผลต่างระดับ; โมเมนตัมเชิงมุมและกฎการเลือกที่จำเพาะต่อกลไกจำกัดว่าการเปลี่ยนสถานะใดเกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับบ่อศักย์อนันต์ E2=4E1 และ E3=9E1 การเปลี่ยนสถานะจาก n=3 ไปยัง n=2 ปล่อยพลังงาน 5E1 การเพิ่มค่า L เป็นสองเท่าจะทำให้ทุกพลังงานลดลงสี่เท่า n=0จะให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นศูนย์ ไม่ใช่สถานะทางกายภาพ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

สถานะนิ่งอาจมีพลังงานไม่เป็นศูนย์ได้แม้ว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะขึ้นอยู่กับเวลาไม่ได้

RA · ทฤษฎีสัมพัทธวิธี, วิธีการทดลองและหัวข้อพิเศษ

• ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษใช้ γ=1/sqrt(1−v²/c²). พลังงานนิ่งคือ mc² และพลังงานรวมคือ γmc².
• สำหรับค่าความไม่แน่นอนอิสระที่มีขนาดเล็ก ให้รวมส่วนประกอบด้วยวิธีกำลังสอง; ความไม่แน่นอนที่สัมพันธ์กันจำเป็นต้องใช้พจน์ความแปรปรวนร่วม (covariance)
• การกระจายแบบสุ่มส่งผลต่อความละเอียด (precision) ส่วนความเอียงในการปรับเทียบส่งผลต่อความถูกต้อง (accuracy) กราฟลอการิทึมสามารถแสดงกฎกำลังได้
• คำถามด้านฟิสิกส์นิวเคลียร์ อนุภาค วัสดุควบแน่น และดาราศาสตร์ต้องใช้คำศัพท์และโมเดลระดับปริญญาตรี การเรียนรู้ฟิสิกส์ระดับโรงเรียนเพียงอย่างเดียวไม่ถือเป็นหลักสูตรเตรียมความพร้อมที่ครบถ้วน

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ v=0.6c, γ=1/sqrt(0.64)=1.25. พลังงานรวมคือ 1.25mc²; พลังงานจลน์คือ (γ−1)mc²=0.25mc². สำหรับ y=ab ที่มีความไม่แน่นอนสัมพัทธ์อิสระและมีขนาดเล็ก 3% และ 4%, ความไม่แน่นอนสัมพัทธ์คือ sqrt(3²+4²)%=5%.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การบวกค่าความไม่แน่นอนเป็นเปอร์เซ็นต์ในเชิงเส้นจะได้ขอบเขตกรณีเลวร้ายที่สุด (worst-case bound) ไม่ใช่ค่าความไม่แน่นอนทางสถิติมาตรฐานของตัวแปรอิสระ

AT · สเปกตรัมอะตอมและกฎการเลือก

• สำหรับไอออนหนึ่งอิเล็กตรอนแบบไฮโดรเจน พลังงานผูกพันจะแปรผันตาม −13.6 Z²/n² eV ในโมเดลไม่สัมพัทธภาพที่ง่ายที่สุด การแผ่รังสีต้องการการเปลี่ยนสถานะลงและพลังงานโฟตอนเป็นบวก
• โมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรมี l=0,…,n−1 และ m_l=−l,…,l สปินอิเล็กตรอนเพิ่ม s=1/2; โมเมนตัมเชิงมุมรวมเป็นการรวมผลจากวงโคจรและสปิน
• กฎการเลือกของไดโพลไฟฟ้ารวมถึง Δl=±1 และ Δm=0,±1 กฎเหล่านี้เกี่ยวข้องกับกลไกการเปลี่ยนสถานะเฉพาะ; คำว่า "ห้าม" (forbidden) ไม่หมายถึงเป็นไปไม่ได้โดยทุกกลไก
• Fine structure, spin–orbit effects และ Zeeman splitting ปรับปรุงภาพไฮโดรเจนที่ง่ายที่สุด. ในอะตอมหลายอิเล็กตรอน, การป้องกันและปฏิสัมพันธ์ของอิเล็กตรอนทำให้การแทนที่พลังงานไฮโดรเจนโดยตรงไม่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ในอะตอมไฮโดรเจน E1=−13.6 eV และ E2=−3.4 eV การปล่อยรังสี 2p→1s ปล่อยพลังงาน 10.2 eV และเป็นไปตาม Δl=−1 การเปลี่ยนสถานะ 2s→1s มีค่า Δl=0 ดังนั้นจึงถูกห้ามโดยไดโพลไฟฟ้า แม้ว่าจะมีความต่างของพลังงานเท่ากันก็ตาม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อย่าทำให้พลังงานสถานะสุดท้ายลบด้วยพลังงานสถานะต้นทางเป็นค่าลบสำหรับโฟตอนที่ถูกปล่อยออกมา

SN · แบบจำลองของสถานะของแข็ง, นิวเคลียร์และอนุภาค

• แถบที่เต็มแล้วไม่สามารถนำกระแสปกติได้หากไม่มีสถานะใกล้เคียงที่เข้าถึงได้ โลหะมีแถบที่ไม่เต็มหรือทับซ้อนกัน ส่วนสารกึ่งตัวนำมีช่องว่างแถบพลังงานขนาดเล็ก การเจือปนแบบดีโนร์และแอคเซปเตอร์เปลี่ยนแปลงปริมาณพาหะ
• การเติมสถานะแบบ Fermi–Dirac คือ 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. ที่อุณหภูมิศูนย์มันจะกลายเป็นขั้นบันไดที่พลังงาน Fermi; การขยายตัวจากความร้อนไม่ทำให้ทุกสถานะถูกเติมครึ่งหนึ่ง
• จำนวนประชากรกัมมันตรังสีเป็นไปตาม N=N0e^(−λt), กิจกรรม λN และอายุขัยครึ่งหนึ่ง ln2/λ พลังงานผูกพันมาจากความแตกต่างของมวลคูณด้วย c²; เปรียบเทียบพลังงานผูกพันต่อนิวคลีออนเมื่อกล่าวถึงความเสถียร
• กระบวนการนิวเคลียร์และระดับอนุภาคต้องรักษาประจุ พลังงาน โมเมนตัม และเลขควอนตัมที่เกี่ยวข้องไว้Beta decay รวมถึงนิวทริโนหรือแอนตินิวทริโน; เรื่องราวที่มีเพียงอิเล็กตรอนสองตัวไม่สามารถอธิบายสเปกตรัมพลังงานต่อเนื่องของมันได้

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

หลังจากผ่านไปสามอายุขัยครึ่งหนึ่ง N/N0=(1/2)^3=1/8 ดังนั้นกิจกรรมก็เป็นหนึ่งในแปดเช่นกันหาก λ คงที่ ความแตกต่างของมวล 0.010 u สอดคล้องกับประมาณ 9.315 MeV โดยใช้ 1 u c²=931.5 MeV

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ทั้งกิจกรรมและจำนวนประชากรที่เหลืออยู่ลดลง แต่หน่วยต่างกัน: กิจกรรมคือจำนวนการเปลี่ยนต่อวินาที

AH · กลศาสตร์ของแฮมิลตันและการขยายสเกลทางดาราศาสตร์ฟิสิกส์

• โมเมนตัมเชิงอนุภาคคือ p=∂L/∂qdot การแปลงเลอองดร์ H=p qdot−L ให้ฮามิลโทเนียนเมื่อสามารถเขียนความเร็วในรูปของพิกัดและโมเมนตัมได้
• สมการของฮามิลตันคือ qdot=∂H/∂p และ pdot=−∂H/∂q สำหรับตัวสั่นธรรมดา H=p²/(2m)+kq²/2 สมการเหล่านี้จะคืนผลเป็นสมการของนิวตัน
• สำหรับวงโคจรวงกลมภายใต้แรงโน้มถ่วง v²=GM/r และรอบ period²=4π²r³/(GM) การสมมติหลักประกอบด้วยมวลศูนย์กลางที่ครอบงำและการประมาณแบบวงกลม; วงโคจรรูปวงรีใช้กึ่งแกนใหญ่ในกฎของเคปเลอร์ สำหรับดาวเทียมที่มีมวล m โมเมนตัมเชิงมุมมีขนาดเท่ากับ mrv=m sqrt(GMr) ดังนั้นดาวเทียมที่มีลักษณะเหมือนกันจะมี L สัดส่วนกับ sqrt(r) อัตราส่วนรัศมี 9 จึงให้โมเมนตัมเชิงมุมเป็นอัตราส่วน 3 ในขณะที่อัตราส่วนรอบ period เป็น 27 ความแตกต่างนี้เกิดจากความสัมพันธ์แรงเข้าศูนย์กลางเดียวกัน อย่าใช้การขยายตัวของ period เพื่อหาโมเมนตัมเชิงมุม
• ความสว่างรวมและความเข้มรังสีที่รับได้ตาม F=L/(4πd²)สำหรับการแผ่รังสีแบบไอโซโทรปิก ดาวดำมีความสว่างรวม L=4πR²σT⁴; จุดยอดสเปกตรัมจะเลื่อนไปทางตรงข้ามกับอุณหภูมิ ควรแยกความแตกต่างระหว่างความสว่างรวมภายในกับความสว่างที่สังเกตได้

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับตัวสั่น qdot=p/m และ pdot=−kq ดังนั้น qddot=−(k/m)q หากดาวดวงหนึ่งซึ่งมีคุณสมบัติเหมือนกันแต่อยู่ไกลกว่าสองเท่า ความเข้มรังสีที่รับได้จะเป็นหนึ่งในสี่ แม้ว่าจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงของความสว่างรวมก็ตาม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ฮามิลโทเนียนจะมีค่าเท่ากับพลังงานกลทั้งหมดก็ต่อภายใต้สมมติฐานของระบบที่เกี่ยวข้องเท่านั้น อย่าสรุปสิ่งนี้โดยทั่วไปเพียงจากชื่อของมัน

CM.1 · การชน, งาน และพลังงานของออสซิลเลเตอร์

• เลือกระบบที่แยกตัวออกในช่วงเวลาการชนสั้นๆ ด้วยแรงกระแทกภายนอกที่ละเลยได้ ให้รักษาโมเมนตัมรวมไว้แยกต่างหากในแต่ละแกนคาร์ทีเซียน หากมวล m1 และ m2 ติดกัน ความเร็วร่วม theirs คือ (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2) หาขนาดได้ก็ต่อเมื่อรวมเวกเตอร์แล้ว พลังงานจลน์เริ่มต้นคือผลรวมของแต่ละ ½m|v|²; พลังงานจลน์สุดท้ายใช้มวลรวมและความเร็วร่วม ผลต่างกลายเป็นพลังงานภายในหรือการเสียรูป ไม่ใช่โมเมนตัมที่หายไป การชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์หมายถึงการติดกัน ไม่ใช่การหยุดนิ่งในที่สุด
• ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน ΔK=∫F·dr ใช้แรงสุทธิตามการกระจัด สำหรับแรงขนานคงที่ตลอดระยะ s, ΔK=Fs การเพิ่มความเร็วเป็นสองเท่าทำให้พลังงานจลน์เพิ่มขึ้นสี่เท่า การอนุรักษ์พลังงานกลเป็นการกล่าวอ้างที่แยกต่างหากซึ่งไม่จำเป็นต้องมีงานที่ไม่ใช่แรงอนุรักษ์ที่ยังไม่ได้คำนวณ ที่การกระจัด x ของสปริง, U=½kx² ภายใต้แรงกระทำ F เดียวกัน การยืดตัวที่สมดุลคือ F/k และพลังงานที่สะสมคือ F²/(2k): สปริงที่แข็งกว่าจะยืดตัวน้อยกว่าและสะสมพลังงานน้อยกว่า ภายใต้การยืดตัวเท่ากัน จะสะสมมากกว่า ระบุเงื่อนไขใดถูกกำหนดให้เป็นค่าคงที่
• ใกล้เคียงกับสมดุลเสถียร x0 ให้ขยาย U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²; ความแข็งที่มีประสิทธิภาพเป็นบวก U″(x0) การเคลื่อนที่เป็นไปตาม m xddot=−k_eff(x−x0) โดยมี ω=sqrt(k_eff/m) และคาบ 2π/ω โน้ตง่าย ๆ เป็นไปตาม θddot+(g/L)sinθ=0 สำหรับมุมเล็ก sinθ≈θ ดังนั้น T=2πsqrt(L/g) การประมาณนี้อธิบายการปรับสเกลของคาบ–ความยาว แต่หากมีความกว้างมากต้องมีการแก้ไข และมวลจะหักล้างกันสำหรับโน้ตในอุดมคติ
• สำหรับเครื่องสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกที่ไม่มีการหน่วง พลังงานรวมคือ ½m v²+½kx²=½kA². ที่สมดุลพลังงานทั้งหมดจะเป็นพลังงานจลน์; ที่จุดกลับตัวความเร็วเป็นศูนย์และพลังงานทั้งหมดจะเป็นศักย์ ความถี่เชิงมุมไม่ใช่ความถี่ธรรมดา: ω=2πf. หากเครื่องสั่นเดียวกันมีความเร็วสมดุล vmax, A=vmax/ω. แยกแยะช่วงเวลาที่คุณวัดความเร็วออกจากตำแหน่งปล่อย, และรักษายูนิต SI เมื่อต้องการคำตอบเป็น millijoule

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

รถเข็น 2 kg ที่ (3,0) m/s ติดกับรถเข็น 1 kg ที่ (0,3) m/s. โมเมนตัมเป็น (6,3) kg·m/s, ดังนั้นความเร็วสุดท้ายคือ (2,1) m/s. K เริ่มต้น=9+4.5=13.5 J; K สุดท้าย=½·3·5=7.5 J. การเพิ่มขึ้นของพลังงานภายในคือ 6 J. แยกต่างออกไป, เครื่องสั่น 0.5 kg มีความเร็วสมดุล 0.2 m/s: พลังงานทั้งหมดของมันคือ 0.01 J, หรือ 10 mJ.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อย่าบวกขนาดความเร็วที่เข้ามาเข้าด้วยกันในฐานะโมเมนตัม, หรืออนุรักษ์พลังงานจลน์ในการชนแบบติดกัน. การเปรียบเทียบสปริงแรงคงที่และการยืดตัวคงที่มีคำตอบตรงกันข้าม

CM.2 · การหมุน, แรงลอยตัว และการสมดุลความเร็วปลาย

• โมเมนต์แรงรอบจุดหมุนคงที่คือ r×F; ขนาดของมันใช้แขนคานตั้งฉาก สำหรับแท่งเนื้อสม่ำเสมอความยาว L ที่หมุนรอบจุดหนึ่ง หนักกระทำที่ศูนย์กลาง L/2 และโมเมนต์ความเฉื่อยคือ ML²/3. หากมุม θ วัดจากแนวตั้ง โมเมนต์แรงโน้มถ่วงมีขนาด Mg(L/2)sinθ, ดังนั้นขนาดความเร่งเชิงมุมคือ 3g sinθ/(2L). กำหนดทิศทางการหมุนที่เป็นบวกก่อนกำหนดเครื่องหมาย การใช้โมเมนต์ความเฉื่อยของศูนย์กลางมวล ML²/12 โดยไม่มีการแก้ไขแกนขนานจะทำให้ได้ความเร่งที่ผิดพลาด
• วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ลื่นไถลเป็นไปตาม v=Rω. เขียนพลังงานจลน์รวมเป็น ½Mv²+½Iω². ด้วย I=βMR², ส่วนประกอบของการหมุนคือ β/(1+β); สำหรับดิสก์ทึบ β=1/2 และสัดส่วนคือ 1/3. หูวงแหวนมี β=1 และสัดส่วน 1/2. แรงเสียดทานสถิตสามารถให้โมเมนต์แรงที่ต้องการสำหรับการกลิ้งโดยไม่ลื่นไถลโดยไม่สูญเสียพลังงานที่จุดสัมผัสที่หยุดนิ่งชั่วขณะบนพื้นผิวคงที่ วัตถุที่ลื่นไถลจะไม่เป็นไปตามความสัมพันธ์ไม่ลื่นไถลโดยอัตโนมัติ
• สำหรับวัตถุลอยรวมกัน แรงลอยตัวจะเท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ รวมทุกส่วนที่จุ่มอยู่ ให้ไม้มีปริมาตร V และหินมีความหนาแน่นมีปริมาตร Vs หากหินอยู่เหนือผิวน้ำ มีเพียงไม้ที่จุ่มที่ส่งผล: ρน้ำ g fV เท่ากับน้ำหนักรวม หากหินถูกผูกไว้ด้านล่างและจุ่มเต็มส่วน ปริมาตรที่ displaced ของหินจะลดเศษส่วนการจุ่มของไม้เหลือ f−Vs/V หินไม่ได้หมดน้ำหนักไป แต่ตอนนี้ น้ำช่วยรองรับน้ำหนักบางส่วน ตรวจสอบว่าแนวตั้งและการลอยตามสมมติฐานนั้นเป็นไปได้ทางกายภาพหรือไม่
• ความเร็วสุดท้าย (terminal speed) หมายถึงความเร่งเป็นศูนย์ ไม่ใช่ความเร็วเป็นศูนย์หรือแรงเป็นศูนย์ ด้วยแรงต้านแบบ quadratic C v² และน้ำหนัก Mg ที่ชี้ลง การละเลยแรงลอยตัวจะได้ vt=sqrt(Mg/C). ลูกบอลสองลูกที่เหมือนกันทุกประการใช้ค่า drag coefficient C เช่นกัน การเพิ่มมวลเป็นสองเท่าจะทำให้ความเร็วสุดท้ายเพิ่มขึ้นเป็น sqrt(2) เท่า. หากต้องคำนึงถึงแรงลอยตัว ให้แทน Mg ด้วย (M−ρfluid V)g. โมเดลแรงต้านแบบ linear จะให้ความสัมพันธ์มวลที่ต่างออกไป. ระบุกฎแรงต้านที่กำหนดให้ชัดเจนและเปรียบเทียบสมดุลแรง แทนที่จะนำสูตรไปใช้ข้ามโมเดล

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ดิสก์ทึบกลิ้งโดยไม่ลื่นไถล: I=MR²/2 ให้พลังงานหมุน K=¼Mv², พลังงานเคลื่อนที่ K=½Mv² และสัดส่วนพลังงานหมุน 1/3. วัตถุผสมไม้-หินเริ่มต้นที่ displaces 0.60V ผ่านไม้เพียงอย่างเดียว หากหินมีปริมาตร 0.10V และจมน้ำทั้งหมด ปริมาตรไม้ที่ต้องการจมน้ำคือ 0.50V. ปริมาตร displaced รวมยังคงอยู่ที่ 0.60V.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดหมุนที่เลือก ในการลอยน้ำ รวมถึงปริมาตร displaced ของหินด้วย ความเร็วสิ้นสุดต้องใช้กฎแรงต้านที่กำหนด

CM.3 · ความเร่งที่เชื่อมโยงกันและการเคลื่อนที่สัมพัทธ์

• สำหรับมวล m1 บนโต๊ะราบเรียบไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกผ่านรอกไร้มวลและไร้แรงเสียดทานกับมวล m2 ที่ห้อยลงมา เลือกทิศทางการเคลื่อนที่ของโต๊ะและทิศลงของมวลที่ห้อยเป็นบวก เชือกตึงที่ไม่ยืดได้ให้ขนาดความเร่งเท่ากัน เขียนสมการ T=m1a และ m2g−T=m2a เมื่อบวกกันเพื่อตัดแรงตึงภายใน จะได้ a=m2g/(m1+m2) และ T=m1m2g/(m1+m2) ดังนั้น T<m2g เมื่อมวลทั้งสองเป็นบวก การกำหนดให้แรงตึงเท่ากับน้ำหนักของมวลที่ห้อยลงโดยนัยหมายถึงความเร่งเป็นศูนย์
• สมมติฐานแรงตึงเท่ากันต้องการเชือกไร้มวลและรอกไร้แรงเสียดทานและแรงเฉื่อย รอกที่มีโมเมนต์ความเฉื่อยหมุนสามารถมีแรงตึงต่างกัน ได้จาก (T2−T1)R=Iα และ a=Rα ถ้าเชือกไม่ลื่น ลากแต่ละร่างกายแยกต่างหาก: แรงภายในระบบรวมยังคงเป็นแรงภายนอกต่อร่างกายหนึ่งที่ถูกเลือก แรงจำกัดอาจหักล้างกันในสมการระบบแต่จำเป็นต้องใช้สำหรับการเคลื่อนที่ของแต่ละร่างกาย
• สำหรับกรอบอ้างอิงแบบเฉื่อยสองกรอบที่มีความเร็วสัมพัทธ์คงที่ V การแปลงความเร็วแบบ Galilean คือ v_relative=v_ground−V. โหลดที่ปล่อยโดยเครื่องบินบินราบเริ่มแรกมีความเร็วแนวนอนของเครื่องบิน. ด้วยแรงต้านอากาศเล็กน้อย ความเร็วแนวนอนเทียบกับพื้นดินจะคงที่และความเร็วแนวตั้งจะเป็น −gt (ถ้ากำหนดขึ้นเป็นบวก). เมื่อเทียบกับเครื่องบินนั้น ความเร็วแนวนอนจะเป็นศูนย์และความเร็วลงจะเป็น gt. ตำแหน่งเป็นเรื่องต่างออกไป: การกระจัดแนวตั้งคือ −½gt². อย่าสับสนระหว่างความเร็วเทียบกับพื้นดินกับความเร็วสัมพัทธ์
• ตรวจสอบกรณีลิมิตหลังแก้โจทย์แล้ว เมื่อ m1 เข้าใกล้ศูนย์, ความเร่งคู่ที่สมบูรณ์แบบจะเข้าใกล้ g และแรงตึงเข้าใกล้ศูนย์; เมื่อ m1 ใหญ่ขึ้นมาก, ความเร่งเข้าใกล้ศูนย์และแรงตึงเข้าใกล้ m2g จากด้านล่าง การวิเคราะห์พลังงานให้ m2g s=½(m1+m2)v² สำหรับการปล่อยจากหยุดนิ่งและรอกที่สมบูรณ์แบบ, ตรงกับ v²=2as. ความตรงกันนี้ตรวจสอบสมการ; แต่มันไม่ใช่การอนุรักษ์พลังงานหากมีแรงเสียดทานหรืองานที่ไม่ได้นับรวมอยู่

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

เมื่อ m1=3 kg, m2=2 kg และ g=10 m/s², ความเร่งคือ 4 m/s² และแรงตึงเชือกคือ 12 N, น้อยกว่าน้ำหนักที่ห้อย 20 N. เริ่มจากหยุดนิ่งหลังจากตกลงมา 0.5 m, v²=2·4·0.5=4, ดังนั้น v=2 m/s. ภาระที่ปล่อยโดยเครื่องบินด้วยความเร็วแนวนอนคงที่ 80 m/s มีความเร็วสัมพัทธ์พื้นดินเป็น (80,−30) m/s หลัง 3 s, แต่ความเร็วสัมพัทธ์คือ (0,−30) m/s.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รอกแบบอุดมคติไร้มวลทำให้แรงตึงเท่ากัน ไม่ใช่แรงตึงและน้ำหนัก ลบความเร็วของกรอบอ้างอิงทีละองค์ประกอบก่อนหาค่าขนาดความเร็ว

EM.1 · การซ้อนทับของประจุไฟฟ้าสถิต, ฟลักซ์ และตัวนำไฟฟ้า

• สำหรับประจุจุด Q ที่ตำแหน่ง r0, E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³) ให้บวกผลรวมเวกเตอร์ ไม่ใช่ขนาดของสนาม สำหรับประจุบวกสองตัวที่ดึงดูดอิเล็กตรอน แรงในทิศทางเดียวกันให้บวกกัน; ทิศทางตรงข้ามให้ลบกัน; ส่วนประกอบตั้งฉากกันให้รวมกันโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส กำหนดจุดสังเกตและทิศทางของแรงแต่ละตัวก่อน ศักย์ไฟฟ้าคือผลรวมสเกลาร์ V=ΣQ/(4πε0r) โดยกำหนดให้เป็นศูนย์ที่อนันต์ ศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์ไม่ได้หมายความว่าสนามไฟฟ้าเป็นศูนย์เสมอไป เนื่องจาก E=−∇V
• Gauss’s law is the closed-surface integral ∮E·dA=Q_enclosed/ε0. It determines a local field simply only when symmetry makes the normal field uniform or makes other flux contributions zero. A charge near an infinite plane sends half its total flux through that plane in magnitude: the plane subtends solid angle 2π out of 4π. The result is independent of distance and lateral position, but its sign depends on the chosen plane normal and charge sign. An open plane does not enclose a charge; using closed-surface wording for it is incorrect.
• ในสภาวะสมดุลทางไฟฟ้าสถิต สนามไฟฟ้าภายในวัสดุนำจะเป็นศูนย์ และตัวนำจะมีศักย์ไฟฟ้าคงที่ วางประจุ Q ไว้ที่ศูนย์กลางของเปลือกทรงกลมนำที่มีรัศมีด้านใน a รัศมีด้านนอก b และมีประจุสุทธิ q ของเปลือก กาวเซียนพื้นผิวด้านในวัสดุจะต้องมีประจุ −Q ดังนั้นพื้นผิวด้านนอกจะมี q+Q สมมาตรทรงกลมทำให้สนามภายนอกมีลักษณะเหมือนประจุ Q+q ทั้งหมดอยู่ที่ศูนย์กลาง ศักย์ไฟฟ้าของวัสดุ (ซึ่งกำหนดให้เป็นศูนย์ที่อนันต์) คือ (Q+q)/(4πε0b) ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับรัศมีที่สังเกตภายในวัสดุ
• ในช่องว่างของเปลือกที่มีประจุอยู่กลางนั้น สนามคือ Q/(4πε0r²) ในแนวรัศมีสำหรับ 0<r<a ศักย์ไฟฟ้าประกอบด้วยทั้งส่วนประกอบของประจุจุดและส่วนประกอบของเปลือกคงที่; ความต่อเนื่องเกิดขึ้นทั่วทุกพื้นผิวแม้ว่าสนามในแนวตั้งฉากจะกระโดดที่ประจุบนพื้นผิว แยกช่องว่าง วัสดุนำ และภายนอกออกจากกัน ประจุที่ไม่ได้อยู่ตรงกลางยังคงเหนี่ยวนำประจุภายในทั้งหมด −Q แต่สนามในช่องว่างจะไม่เป็นแบบรัศมีตรงกลางที่เรียบง่ายอีกต่อไป สนามเป็นศูนย์ภายในตัวนำเกิดจากความสมดุล ไม่ใช่จากการสันนิษฐานว่าการกระจายตัวของประจุบนพื้นผิวทุกชนิดเป็นแบบสม่ำเสมอ

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

Take Q=+2 nC, shell net charge q=−1 nC and b=0.30 m. The inner surface has −2 nC; the outer surface has +1 nC. Using 1/(4πε0)=9×10⁹, the potential everywhere in the conducting material is 30 V, while its field is zero. Separately, attraction components 3 N right and 4 N up combine into magnitude 5 N, not 7 N.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อย่าสับสนระหว่างผลลัพธ์ฟลักซ์ครึ่งหนึ่งของระนาบเปิดกับการห่อหุ้มประจุ สนามเป็นศูนย์ของตัวนำกำหนดให้ศักย์ไฟฟ้าคงที่ ไม่ใช่จำเป็นต้องเป็นศูนย์

EM.2 · กำลังในวงจร, การเหนี่ยวนำ และการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีประจุ

• สำหรับวงจรตัวต้านทาน Ideal แบบ steady ความต้านทานแบบ series บวกกันและความนำแบบ parallel บวกกัน ลดเครือข่ายโดยรักษาว่าโหนดใดแบ่งปันแรงดันไฟฟ้าเดียวกัน ด้วยแหล่งจ่าย 24 V ตัวต้านทาน series 2 Ω และ branch parallel 3 Ω และ 6 Ω ความต้านทาน equivalent แบบ parallel คือ 2 Ω กระแสทั้งหมดคือ 6 A แรงดัน branch คือ 12 V และกระแส branch คือ 4 A และ 2 A กระแสผ่านองค์ประกอบทุกตัวอาจไม่ใช่กระแสทั้งหมด; ตรวจสอบผลรวมกระแสและแรงดัน Kirchhoff หลังลดรูป
• สำหรับกระแสไซน์ I=Imax sin(ωt−φ), Irms=Imax/sqrt(2). วงจร RLC แบบอนุกรมมีความต้านทานรวม sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²) และกำลังไฟเฉลี่ยที่สูญเสีย Irms²R=Vrms Irms cosφ. ตัวเหนี่ยวนำ/ตัวเก็บประจุในอุดมคติจะแลกเปลี่ยนพลังงานที่เก็บไว้โดยไม่มีการสูญเสียค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์. หากให้ค่ากระแส RMS แล้ว ไม่ต้องใส่ตัวคูณ 1/2 เพิ่ม. ไดโอดในอุดมคติที่ทำการเรียงกระแสจะนำกระแสในทิศทางด้านหน้าและตัดกระแสในทิศทางตรงข้าม: ไดโอดแบบอนุกรมที่วางแนวเหมาะสมจะตัดส่วนครึ่งลบของแรงดันบนตัวต้านทานของสัญญาณไซน์; มันไม่ได้สร้างเครื่องเรียงกระแสเต็มคลื่นเพียงลำพัง.
• ฟลักซ์แม่เหล็กคือ ∫B·dA หรือ BA cosθ สำหรับสนามสม่ำเสมอ โดย θ วัดจาก normal ของพื้นที่ EMF ของฟาราเดย์คือ −N dΦ/dt สำหรับสนามตั้งฉากที่เปลี่ยนและรูปร่างวงลูปคงที่ ค่าเฉลี่ยของขนาดคือ NA|ΔB|/Δt กำหนดเครื่องหมายหรือทิศทางการไหลโดยใช้การต้านทานต่อการเปลี่ยนแปลงฟลักซ์ ไม่ใช่การต้านทานต่อสนามเอง สนามแม่เหล็กที่ศูนย์กลางของวงลูปกลมหนึ่งคือ μ0I/(2R) ซึ่งได้จาก Biot–Savart: ทุกองค์ประกอบมีส่วนร่วมในทิศทางแกนเดียวกัน ขดลวด N turns แบบกะทัดรัดคูณผลลัพธ์นี้ด้วย N
• For a nonrelativistic charge with velocity perpendicular to uniform B, magnetic force |q|vB provides centripetal force mv²/r. Thus r=mv/(|q|B) and cyclotron angular frequency is |q|B/m, independent of speed in this approximation. Charge sign sets rotation direction. A deuteron has approximately twice proton mass and the same charge, while an alpha particle has four times its mass and twice its charge; their frequencies are each half the proton value. In crossed E and B fields, undeflected motion requires electric and magnetic forces opposite and v=E/B. Check vector directions before using this magnitude.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ในเครือข่าย 24 V, 2 Ω แบบอนุกรมกับ (3 Ω ขาขนานกับ 6 Ω) ให้ค่ารวม 4 Ω, กระแส 6 A และกระแสสาขา 6 Ω คือ 2 A. เกลียวขด 100 รอบที่มีพื้นที่ 0.020 m² มีสนามตั้งฉากเพิ่มขึ้น 0.030 T ใน 0.10 s: ขนาด EMF เฉลี่ยคือ 0.60 V. เครื่องเลือกความเร็วที่มี E=6000 V/m และ B=0.20 T เลือกความเร็ว 30000 m/s.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อย่าใช้แรงดันแบตเตอรี่กับทุกสาขาหรือหารกำลังกระแส RMS อีกครั้ง. มุมของฟลักซ์วัดจากปกติพื้นผิว; เครื่องเลือกยังต้องการทิศทางการต้านทานที่ตรงกันข้ามด้วย.

EM.3 · คลื่นแมกซ์เวลล์, การไหลของพลังงาน และเงื่อนไขขอบเขต

• กฎแอมแปร์-แม็กซ์เวลล์ในสุญญากาศคือ ∮B·dl=μ0(I_conduction+ε0 dΦE/dt). พจน์กระแสการเคลื่อนย้ายเพิ่มขึ้นขึ้นอยู่กับอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ไฟฟ้าตามเวลาผ่านพื้นผิวที่เลือก. มันทำให้ได้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับวงwhose spanning surface either crosses a capacitor wire or passes between the plates. กระแสการเคลื่อนย้ายไม่ใช่ฟลักซ์แม่เหล็กหรืออินทิกรัลของฟลักซ์ไฟฟ้าในอดีต. สำหรับสนามแผ่นเรียบ, ส่วน Contribution ของช่องว่างคือ ε0A dE/dt; สัญญาณจะตามพื้นผิวที่มีทิศทาง
• In a homogeneous, linear, lossless dielectric with permeability μ and permittivity ε, Maxwell equations give wave speed v=1/sqrt(με) and refractive index n=c/v=sqrt(μrεr). For nonmagnetic material μr≈1, so v=c/sqrt(εr). Use the stated frequency-dependent material constants when dispersion matters; a static dielectric constant need not describe every optical frequency. Vacuum waves have E/B=c; in this simple medium the relation is E/B=v.
• สำหรับคลื่นระนาบที่เคลื่อนที่ตามเวกเตอร์หน่วย n, B=(n×E)/v ทั้งสองสนามตั้งฉากกับการแพร่กระจายและต่อกัน Phase kz−ωt แพร่ toward +z ในขณะที่ kz+ωt แพร่ toward −z หาก E ตาม x+y และการแพร่กระจายคือ +z, B จะตาม −x+y เพราะ z×x=y และ z×y=−x Poynting vector S=E×H (E×B/μ ในสื่อนี้) ชี้ไปตามการขนส่งพลังงาน ในโซนรังสีของประจุที่เร่งความเร็ว การไหลของพลังงานจะออกนอกแหล่งกำเนิด ไม่จำเป็นต้องอยู่ในทิศทางการเคลื่อนที่ของประจุทันที
• สมการไดเวอร์เจนซ์ของแมกซ์เวลล์ ∇·B=0 แสดงถึงความต่อเนื่องขององค์ประกอบปกติ B ข้ามพื้นผิว: กล่องทรงกระบอกบางไม่มีประจุแม่เหล็กภายใน การกระโดดของ H ในแนวสัมผัสสัมพันธ์กับกระแสบนพื้นผิว ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ ภายใต้โมเดลซูเปอร์คอนดักเตอร์แบบเมสเนอร์ที่สมบูรณ์แบบซึ่งมี B เป็นศูนย์ภายใน องค์ประกอบปกติภายนอกที่ขอบเขตจึงต้องเป็นศูนย์ ทำให้ B ที่ไม่เป็นศูนย์ภายนอกทั้งหมดอยู่ในแนวสัมผัสกับพื้นผิว ข้อสรุปนี้ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของโมเดลภายในที่เป็นศูนย์ที่ระบุไว้เท่านั้น และไม่ได้เกิดจากการสมมติว่าสนามภายนอกทั้งหมดเป็นศูนย์ สำหรับสถิตไฟฟ้า องค์ประกอบปกติ D อาจกระโดดด้วยประจุอิสระบนพื้นผิว

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สื่อที่ไม่ใช่แม่เหล็กที่มี εr=9 มีความเร็วคลื่น c/3=1.0×10⁸ m/s. สำหรับคลื่น +z ที่มี E สัดส่วนกับ x+y, ทิศทางของ B คือ −x+y และ E×B ชี้ไปทาง +z. ที่ขอบเขต Meissner แบบระนาบที่มี B ภายในเป็นศูนย์, สนามภายนอกอาจสัมผัสได้แต่ไม่สามารถมีองค์ประกอบปกติที่ไม่เป็นศูนย์ได้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

กระแสการเคลื่อนย้ายใช้การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ไฟฟ้า B ภายในที่เป็นศูนย์กำหนดเฉพาะองค์ประกอบปกติภายนอก ไม่ใช่ทุกองค์ประกอบภายนอก แยกแยะการแพร่กระจายคลื่นกับการเคลื่อนที่ของอนุภาค

WO.1 · เสียงดีลเลอร์และคลื่นสะท้อนกับขอบเขตคลื่นนิ่ง

• สำหรับเสียงในตัวกลางนิ่ง ให้แยกการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดออกจากผู้สังเกต แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนที่เข้าหาด้วยความเร็ว u_s จะทำให้ระยะห่างหน้าคลื่นหนาแน่นขึ้นและสร้างความถี่ f c/(c−u_s) ที่ผู้สังเกตนิ่งรับได้ ผู้สังเกตที่เคลื่อนที่เข้าหาแหล่งกำเนิดนิ่งด้วยความเร็ว u_o จะพบหน้าคลื่นมากขึ้นต่อวินาทีและวัดค่า f(c+u_o)/c ความเร็วถูกวัดเทียบกับตัวกลาง; สูตรแหล่งกำเนิดและสูตรผู้สังเกตไม่สมมาตรเมื่อสลับบทบาท การเคลื่อนที่ถอยหลังจะกลับเครื่องหมายที่เหมาะสม สูตรเหล่านี้สมมติว่าการเคลื่อนที่ช้ากว่าเสียงตามแนวการแพร่กระจาย
• สำหรับไซเรนที่เคลื่อนที่เข้าหำกำแพงสะท้อนนิ่งด้วยความเร็ว u กำแพงจะรับ f_wall=f c/(c−u) ก่อน การสะท้อนจากกำแพงนิ่งรักษาความถี่ไว้ในกรอบตัวกลาง ผู้ขับขี่ที่เคลื่อนที่จึงเข้าหาหน้าคลื่นที่สะท้อนกลับมาและรับ f_echo=f_wall(c+u)/c=f(c+u)/(c−u) เมื่อ u/c มีค่าน้อย การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ประมาณ 2u/c แต่-expression ที่แม่นยำมีตัวเศษและตัวส่วนต่างกัน พื้นผิวสะท้อนที่เคลื่อนที่ต้องการขั้นตอนดอปพลเลอร์ของตนเอง; อย่าใช้ผลลัพธ์กำแพงนิ่งซ้ำโดยไม่รู้เรื่อง
• ที่ปลายท่อเปิดอย่างสมบูรณ์ การเคลื่อนย้ายของอากาศจะเป็นแอนติโหนดและการแปรผันของความดันจะเป็นโหนด ที่ปลายปิดแข็ง การเคลื่อนย้ายจะเป็นโหนดและความดันจะเป็นแอนติโหนด สำหรับทั้งสองด้านเปิด ความยาว L มี n ครึ่งความยาวคลื่น ทำให้ f_n=nc/(2L), n=1,2,… . สำหรับด้านหนึ่งปิด มีจำนวนเต็มของส่วนสี่ความยาวคลื่นที่ไม่เป็นคู่ ทำให้ f_n=(2n−1)c/(4L) ท่อจริงอาจต้องการการแก้ไขปลาย; โมเดล GRE ที่สมบูรณ์แบบใช้ความยาวที่ระบุโดยไม่คิดการปรับเพิ่ม
• Closing one end of a previously both-open pipe halves its fundamental and leaves only odd multiples of that new fundamental. Its old frequencies were integer multiples of c/(2L), which are even multiples of c/(4L), so none is an allowed frequency of the new ideal one-closed spectrum. This differs from simply deleting even harmonics while retaining the old fundamental. When the medium is unchanged, wave speed is unchanged; frequency and wavelength change together to satisfy the new boundary geometry.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

A 500 Hz siren approaches a fixed wall at 10 m/s in air with c=340 m/s. The echo heard by the driver is 500·350/330=530.3 Hz. For a 0.85 m ideal pipe in the same air, the both-open fundamental is 200 Hz, while the one-closed spectrum begins 100, 300, 500 Hz. None of the original 200, 400, 600 Hz lines is retained.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

เสียงสะท้อนต้องการปัจจัยดอปพลเลอร์ทั้งสอง การปิดท่อเปลี่ยนโหมดพื้นฐาน; โหมดคี่นับจากโหมดพื้นฐานใหม่ ไม่ใช่เก่า

WO.2 · เครื่องมือทางแสง, ความแตกต่างของเส้นทาง และการหักเห

• สำหรับกล้องโทรทรรศน์ดาราศาสตร์ในอุดมคติที่ปรับสำหรับการมองแบบผ่อนคลายที่ระยะ vôเชิง (infinity) เลนส์วัตถุจะสร้างภาพบนระนาบโฟกัส และเลนส์ตาจะทำให้ลำแสงที่ออกมานาขนานกัน ระยะห่างระหว่างเลนส์คือ f_objective+f_eyepiece; ค่าสัมบูรณ์ของการขยายมุมคือ f_objective/f_eyepiece. กล้องโทรทรรศน์ทั่วไปที่ใช้เลนส์รวมแสง 2 ตัวจะสร้างภาพกลับหัว ซึ่งแสดงด้วยค่าการขยายมุมที่มีเครื่องหมายลบภายใต้กฎเกณฑ์ที่เป็นมาตรฐาน หากระยะภาพสุดท้ายมีค่าจำกัดจะทำให้ระยะห่างเลนส์เปลี่ยนไป; อย่าใช้การปรับที่ระยะ vôเชิงโดยไม่ตรวจสอบเงื่อนไขก่อน
• กำลังแยกภาพ R=λ/Δλ อธิบายความแตกต่างของความยาวคลื่นที่จำแนกได้เล็กที่สุดใกล้กับ λ สำหรับเกรตติ้งกระจายแสงในอุดมคติในอันดับ m ที่มี N ช่องเปิดที่ถูกส่องสว่าง R=mN นี่คือเกณฑ์การแยกภาพ ไม่ใช่เพียงสูตรตำแหน่งมุม d sinθ=mλ การเพิ่มจำนวนช่องเปิดที่ถูกส่องสว่างจะช่วยทำให้ยอดหลักคมชัดขึ้น; การเพิ่มระยะห่างระหว่างช่องเปิดจะเปลี่ยนตำแหน่งมุมเป็นหลัก การวัดค่า λ=600 nm และ Δλ=3 nm จะได้ R=200 โดยไม่จำเป็นต้องแปลงความยาวทั้งสองเป็นเมตรเพราะอัตราส่วนใช้หน่วยที่ตรงกัน
• การแทรกสอดของ Michelson ขึ้นอยู่กับผลต่างเส้นทางแสงระหว่างแขน ถ้าแขนหนึ่งมีเซลล์แก๊สที่มีความยาวเรขาคณิต L และดัชนีเปลี่ยนจาก n เป็น 1 เมื่อสูบอากาศออก, การผ่านสองครั้งเปลี่ยนเส้นทาง 2L(n−1). ถ้า N แถบสีเคลื่อนผ่าน, ขนาดของการเปลี่ยนแปลงนี้คือ Nλ, ดังนั้น n−1=Nλ/(2L). สำหรับกระจกเคลื่อนที่แทน, การกระจัด Δx ให้การเปลี่ยนเส้นทาง 2Δx. จำนวนแถบสีนับรอบเฟส; หนึ่งแถบสีคือหนึ่งความยาวคลื่นของเส้นทางแสง, ไม่ใช่หนึ่งความยาวคลื่นของการเคลื่อนที่กระจก
• กฎของสเนลล์ n1 sinθ1=n2 sinθ2 ใช้มุมวัดจากแนวตั้งฉากพื้นผิวในท้องถิ่น การสะท้อนมีมุมตกและมุมหักเหเท่ากันเมื่อวัดจากแนวตั้งฉากเดียวกัน ในบล็อคสี่เหลี่ยมผืนผ้า แนวตั้งฉากของหน้าติดกันจะตั้งฉากกัน: มุมตกที่วัดจากแนวตั้งฉากด้านหนึ่งจะสมบูรณ์ร่วมกับมุมของลำแสงเดียวกันนั้นจากอีกด้านหนึ่ง วาดลำแสงและแนวตั้งฉากก่อนแทนค่า สำหรับมุมตกจากดัชนี n เข้าอากาศ การสะท้อน,total internal reflection จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ sinθ>1/n; สมการคือกรณีการสะท้อนเฉียบคมวิกฤต ลำแสงที่หักเหบางส่วนที่ระบุมาต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขการส่งผ่าน

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

กล้องโทรทรรศน์สำหรับการมองแบบผ่อนคลายมีระยะห่างเลนส์ 80 ซม. และความยาวโฟกัสของเลนส์ตา 16 ซม. ความยาวโฟกัสของเลนส์วัตถุคือ 64 ซม. และค่าสัมบูรณ์ของการขยายคือ 4 การดูดอากาศออกจากเซลล์แก๊สขนาด 5 ซม. ทำให้เกิด 80 แถบรอยยวง ที่ความยาวคลื่น 500 nm: n−1=80·500×10⁻⁹/(2·0.05)=0.0004. ดัชนีหักเหเริ่มต้นของแก๊สคือ 1.0004, ไม่ใช่ 1.0008.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้เส้นผ่านแสง ไม่ใช่มิใช่แค่ระยะทางเรขาคณิต มุมหักเหวัดจากแนวตั้งฉากของพื้นผิวจริง และการบวกความยาวโฟกัสของกล้องโทรทรรศน์สมมติว่าภาพสุดท้ายอยู่ที่ระยะ vôเชิง

WO.3 · สมมาตรของฟูเรียร์และการซ้อนทับของคลื่น

• For a sufficiently regular real 2π-periodic function, write f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. The coefficients are a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx and b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, with a0 using n=0. Cosines and sines are orthogonal on a full period. The mean is a0/2, not a0; retain the constant term even when all nonzero-frequency coefficients of one family vanish.
• ถ้า f เป็นฟังก์ชันคู่เทียบกับจุดกำเนิดที่เลือก f(x)sin(nx) จะเป็นฟังก์ชันคี่และอินทิกรัลสมมาตรจะเป็นศูนย์ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ b_n ทั้งหมดจะหายไป หาก f เป็นฟังก์ชันคี่ ค่าเฉลี่ยและสัมประสิทธิ์ a_n ทั้งหมดจะหายไป สมมาตรขึ้นอยู่กับจุดกำเนิด: การเลื่อนสัญญาณทางกายภาพเดียวกันสามารถทำให้ผสมกันของสัมประสิทธิ์ไซน์และโคไซน์ได้ ในขณะที่ความถี่ฮาร์มอนิกไม่เปลี่ยนแปลง คลื่นสามเหลี่ยมที่ไม่เป็นลบซึ่งสมมาตรเกี่ยวกับ x=0 จึงมีฮาร์มอนิกโคไซน์และมีค่าเฉลี่ยไม่เป็นศูนย์ โดยไม่มีฮาร์มอนิกไซน์
• For the 2π-periodic extension of f(x)=|x| on [−π,π], the mean is π/2. Integrating x cos(nx) by parts on [0,π] gives a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), so even-n cosine coefficients are zero and odd-n coefficients are −4/(πn²). All sine coefficients are zero. The 1/n² decay reflects a continuous function with a slope discontinuity. A jump discontinuity often gives slower coefficient decay and partial-sum overshoot; do not infer the same convergence behaviour for every waveform.
• A Fourier sum adds amplitudes with their phases. For equal coherent monochromatic amplitudes A meeting with phase difference φ, resultant squared amplitude is 2A²(1+cosφ), so intensity is 2I0(1+cosφ). It is 4I0 in phase and zero at φ=π. Incoherent averaging removes the cross term, yielding 2I0. Harmonics at different frequencies can construct a shape over time; their instantaneous sum is not the sum of their individual intensities. Identify whether the question concerns a waveform, time-average power or coherent interference.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ f(x)=|x| ที่ขยายแบบเป็นคาบ การประมาณค่าด้วยโคไซน์อันดับแรกคือ π/2−(4/π)cos x. ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันคู่และมีสัมประสิทธิ์ของซินเป็นศูนย์ที่ x=0 ค่าที่ได้คือ π/2−4/π≈0.298 ซึ่งเข้าใกล้ค่าที่แท้จริง 0 เมื่อเพิ่มพจน์โคไซน์คี่มากขึ้น สองคลื่นที่มีเฟสเดียวกันและมีความแตกต่างของเฟสที่ π/2 จะมีความเข้ม 2I0; สนามของพวกมันจะไม่หักล้างกันหมด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

สมมาตรแบบคู่จะลบสัมประสิทธิ์ของซินออก ไม่ใช่พจน์คงที่หรือ harmonic ของโคไซน์ทั้งหมด ตรวจสอบจุดกำเนิดของสมมาตรและสนามว่าสัมพันธ์กันหรือไม่ก่อนนำความเข้มมาบวกกัน

TS.1 · กระบวนการของแก๊ส, เอนโทรปี และวัฏจักรที่ย้อนกลับได้

• ใช้ ΔU=Q−W โดยที่ Q คือความร้อนเข้าสู่ระบบ และ W คืองานที่ทำโดยระบบ งานขอบเขตแบบ quasi-static คือ ∫P dV เป็นบวกระหว่างการขยายตัว สำหรับแก๊สอุดมคติจำนวนคงที่ พลังงานภายในขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น ที่ปริมาตรคงที่ W=0 ดังนั้น ΔU=Q; สำหรับกระบวนการแก๊สอุดมคติที่อุณหภูมิคงที่ ΔU=0 ดังนั้น Q=W..adiabatic หมายความว่า Q=0 ไม่ใช่อุณหภูมิคงที่ ในรอบการทำงาน สถานะจะกลับคืนมาและ ΔU=0 ดังนั้น Q สุทธิเท่ากับ W สุทธิ แม้ว่าจะมีการแลกเปลี่ยนความร้อนในแต่ละขั้นตอนแตกต่างกัน
• For reversible isothermal expansion of an ideal gas, PV is constant. With constant heat capacities, a reversible adiabatic path obeys PV^γ=constant, with γ=Cp/Cv>1; through the same initial state its pressure falls faster as volume increases. An isobaric path is horizontal on a P–V plot. A clockwise closed cycle has positive ∮P dV; reversing direction changes the sign. For a rectangular loop the magnitude is ΔPΔV, and a triangular loop has half the corresponding bounding-rectangle area. Use Pa and m³ for joules, not an unconverted litre value.
• สำหรับการถ่ายโอนความร้อนแบบย้อนกลับได้, dS=δQ_rev/T; เอนโทรปีเป็นฟังก์ชันสถานะในขณะที่ความร้อนขึ้นอยู่กับเส้นทาง กระบวนการที่ย้อนกลับได้ของระบบ+สิ่งแวดล้อมมีเอนโทรปีรวมเป็นศูนย์ แต่เอนโทรปีของระบบเพียงอย่างเดียวสามารถเพิ่มขึ้นหรือลดลงได้ กระบวนการ spontaneously ที่ไม่ย้อนกลับได้ผลิตเอนโทรปีรวมที่ไม่เป็นลบ การขยายตัวแบบย้อนกลับได้ที่อุณหภูมิคงที่เพิ่มเอนโทรปีของแก๊สเป็น nR ln(V2/V1); แหล่งความร้อนสูญเสียปริมาณเท่ากัน ความย้อนกลับไม่ได้ไม่จำเป็นต้องมีอุณหภูมิระบบคงที่ งานเป็นศูนย์ หรือการเปลี่ยนแปลงพลังงานภายในเป็นศูนย์
• A reversible engine between TH and TC has efficiency W/QH=1−TC/TH. A reversible refrigerator instead has COP=QC/W=TC/(TH−TC), and a heat pump has QH/W=TH/(TH−TC). Use absolute kelvin temperatures. On a reversible T–S diagram, heat magnitude along an isotherm is T times the entropy change; the Carnot rectangle’s area is the work magnitude. Refrigeration moves heat from cold to hot by consuming work, reversing the engine cycle. COP can exceed one without violating conservation because the moved heat is not supplied solely by the work.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

วงสี่เหลี่ยมผืนผ้า P–V ที่หมุนตามเข็มนาฬิกาครอบคลุม 1×10⁵ ถึง 3×10⁵ Pa และ 0.001 ถึง 0.004 m³. งานและความร้อนสุทธิที่เข้าสู่คือ 600 J. การกลับทิศทางจะได้ −600 J. ตู้เย็น Carnot ทำงานที่ TC=280 K และ TH=300 K พร้อมการถ่ายโอนเอนโทรปี 2 J/K: QC=560 J, QH=600 J, งานที่ป้อนเข้า=40 J และ COP=14.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การผลิตเอนโทรปีรวมเป็นศูนย์ไม่หมายถึงการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีของระบบเป็นศูนย์. ตู้เย็นใช้ TC/(TH−TC), ไม่ใช่สูตรประสิทธิภาพเครื่องยนต์

TS.2 · การกระจายตัวของความเร็วและกลุ่มสถิติ

• For a continuous speed probability density f(v), f(v)dv approximates probability in a narrow interval and ∫from0to∞ f(v)dv=1. The density has inverse-speed units and is not itself a probability. If P(v)dv counts particles in that interval, its area is the particle count N and f=P/N. A trapezoid rising over width v0, remaining flat over width 2v0, then falling over width v0 has area 3av0 for height a. Normalise by area before computing a mean or interpreting a plotted height.
• ในแก๊สสมดุลแบบ isotropic โดยไม่มีการไหลรวม การแจกแจงองค์ประกอบความเร็วแต่ละตัวจะสมมาตร ดังนั้น ⟨v_vector⟩=0 ความเร็ว v=|v_vector| เป็นค่าไม่ลบและมีค่าเฉลี่ยเป็นบวก สำหรับแก๊สอุดมคติคลาสสิก ความหนาแน่นความเร็วแม็กซ์เวลล์แปรผันตาม v²exp[−mv²/(2kBT)] ค่า mode คือ sqrt(2kBT/m) ค่าเฉลี่ยคือ sqrt(8kBT/(πm)) และความเร็ว rms คือ sqrt(3kBT/m) นี่คือสามปริมาณที่แตกต่างกัน ปัจจัย v² ทำให้ความหนาแน่นความเร็วเป็นศูนย์ที่ v=0 แม้ว่าจะมีความหนาแน่นเวกเตอร์ความเร็วสูงสุดที่เวกเตอร์ศูนย์ก็ตาม
• สำหรับการกระจายแบบต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นที่จะมีความเร็วระบุไว้เฉพาะตัวเป็นศูนย์; ความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์หมายถึงช่วง เมื่อ statement นี้ไม่ได้หมายความว่าไม่มีอนุภาคที่มีความเร็วน้อยมาก หรือว่าเครื่องตรวจจับความละเอียดจำกัดไม่สามารถบันทึก bin เป็นศูนย์ได้ อุณหภูมิเปลี่ยนสเกลของการกระจาย Maxwell: ความเร็วลักษณะเฉพาะแปรผันตรงกับ sqrt(T/m). การเพิ่มอุณหภูมิสองเท่าไม่ทำให้ความเร็วเพิ่มขึ้นสองเท่า และอนุภาคที่มีมวลมากกว่าจะมีความเร็วเฉลี่ยช้ากว่าที่อุณหภูมิเดียวกัน
• ใน canonical ensemble ที่อุณหภูมิ T, สถานะที่มีพลังงาน E_i มีน้ำหนัก exp(−E_i/(kBT)). หารด้วยฟังก์ชันพาร์ติชัน Z=Σexp(−E_i/(kBT)) เพื่อความน่าจะเป็น. หากชั้นพลังงานมีความเสื่อมถอย g_i, ความน่าจะเป็นของชั้นนั้นคือ g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. พลังงานเท่ากันต่อสถานะไม่ implies ความน่าจะเป็นเท่ากันต่อชั้นเมื่อความเสื่อมถอยต่างกัน. สำหรับชั้นพื้นดินที่มีความเสื่อมถอย 1 และชั้นกระตุ้นที่มีความเสื่อมถอย 2 ที่ Δ=kBT ln2, น้ำหนักรวมของชั้นกระตุ้นคือ 2e^(−ln2)=1: ทั้งสองชั้นมี probability 1/2. สมมติฐาน Classical Maxwell–Boltzmann แตกต่างจากการครอบครองแบบ Bose–Einstein และ Fermi–Dirac

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

A count-density trapezoid has N=90 particles, v0=2 m/s and a plateau width 2v0. Its area is 3av0, giving a=15 particles per unit speed. For the two-level ensemble with degeneracies 1 and 2 and gap kBT ln2, Z=2 and excited-level probability is 1/2. Each individual excited state has probability 1/4.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

A density height is not a probability. Mean velocity, mean speed and mode differ; include degeneracy before normalising level probabilities.

LM.1 · สถิติการนับ, ความไม่แน่นอน และโมเดลมิติ

• สำหรับอนุภาคตกกระทบอิสระ N ตัว ที่ตรวจจับได้ด้วย probability p จำนวน X จะเป็นการแจกแจงแบบ binomial: ค่าเฉลี่ย Np และความแปรปรวน Np(1−p) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ sqrt[Np(1−p)] ไม่ใช่ความแปรปรวนเอง เมื่อ N มีค่ามากและ p มีค่าน้อย การประมาณแบบ Poissonจะมีค่าเฉลี่ย λ=Np และความแปรปรวน λ ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนคือ sqrt(λ) สำหรับ N=200 และ p=0.05, ค่าเฉลี่ยที่แท้จริงคือ 10 และส่วนเบี่ยงเบน sqrt(9.5)≈3.08, ในขณะที่ Poisson ให้ sqrt(10)≈3.16 Neither model promises a fixed count. การตรวจจับที่มีความสัมพันธ์กันหรือเวลาตาย (dead time) สามารถทำลายความอิสระได้
• สำหรับฟังก์ชันที่วัดได้เรียบ y(x1,…), ใช้ partial derivatives เพื่อประมาณการเปลี่ยนแปลง ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานอิสระขนาดเล็กรวมกันแบบ quadrature: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i² ข้อมูลเข้าที่มีความสัมพันธ์ต้องการพจน์ covariance แบบ cross สำหรับ y=x^a, ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานสัมพัทธ์คือประมาณ |a|σ_x/|x| ดังนั้นพลังงานจลน์ K=½mv² ด้วยความคลาดเคลื่อนมวลที่น้อยมาก มีความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์เป็นสองเท่าของความเร็ว ด้วยความคลาดเคลื่อนมวลที่เป็นอิสระ รวม (σ_m/m)²+(2σ_v/v)² การประมาณเหล่านี้ต้องใช้ข้อผิดพลาดเล็ก ๆ และโมเดลเชิงเส้นในท้องถิ่นที่เหมาะสม
• การกระจายแบบสุ่มวัดความแม่นยำ; ความเบี่ยงเบนในการปรับเทียบที่พบทั่วไปส่งผลต่อความถูกต้องและไม่หายไปจากการเฉลี่ยค่าซ้ำ สำหรับค่าอ่านซ้ำที่เป็นอิสระกัน ค่าความไม่แน่นอนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยจะลดลงตาม 1/sqrt(n) แต่ความผิดพลาดระบบร่วมกันจะไม่ลดลง ความไม่แน่นอนของการกระจายทางกายภาพและความไม่แน่นอนของค่าเฉลี่ยที่ประมาณได้เป็นปริมาณที่แตกต่างกัน ระบุให้ชัดเจนว่าเปอร์เซ็นต์ที่รายงานเป็นความไม่แน่นอนมาตรฐาน ช่วงความเชื่อมั่น หรือขอบเขตกรณีเลวที่สุด การรวมผลสัมบูรณ์เป็นขอบเขตที่ระมัดระวัง ไม่ใช่กฎการรวมกำลังสองของความไม่แน่นอนมาตรฐานอิสระ
• การวิเคราะห์มิติเทียบเท่ากำลังของมวล ความยาว และเวลา แทนที่จะเป็นขนาดตัวเลข สำหรับรูปแบบ Planck-length G^a ℏ^b c^d, มิติคือ [G]=L³/(MT²), [ℏ]=ML²/T และ [c]=L/T การต้องการความยาวให้ −a+b=0, 3a+2b+d=1 และ −2a−b−d=0 ดังนั้น a=b=1/2 และ d=−3/2, ดังนั้นความยาวคือ sqrt(Gℏ/c³) การวิเคราะห์มิติไม่สามารถกำหนดสัมประสิทธิ์ไร้มิติตามใจชอบหรือพิสูจน์ได้ว่าคงตัวที่เลือกนั้นเพียงพอทางกายภาพ ปฏิเสธสูตรที่มีหน่วยผิดก่อนใส่ตัวเลข

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ N=200 และ p=0.05 จำนวนการนับที่คาดไว้ของเครื่องตรวจจับคือ 10 ด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน sqrt(9.5) หากความเร็วมี 4% ของความไม่แน่นอนมาตรฐานขนาดเล็ก และความไม่แน่นอนของมวลน้อยมาก ความไม่แน่นอนของพลังงานจลน์จะอยู่ที่ประมาณ 8% เอ็กซ์โพเนนต์มิติ (1/2,1/2, −3/2) ให้เลขชี้กำลังมวลเป็นศูนย์ ยาวเป็นหนึ่ง และเวลาเป็นศูนย์ สำหรับ sqrt(Gℏ/c³)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อย่าสับสนระหว่างค่าเฉลี่ยการนับกับจำนวนการนับที่รับประกัน ความแปรปรวนกับความไม่แน่นอนมาตรฐาน หรือความไม่แน่นอนมาตรฐานแบบสุ่มกับความเบี่ยงเบนในการปรับเทียบ ความสอดคล้องเชิงมิติจำเป็นแต่ไม่เพียงพอ

RA.1 · อายุขัยตามทฤษฎีสัมพัทธภาพ, พลังงาน และการเลื่อนดีลเลอร์

• สำหรับความเร็วสัมพัทธ์ v, กำหนด β=v/c และ γ=1/sqrt(1−β²) เวลาproperถูกวัดตาม worldline ของอนุภาคโดยนาฬิกาที่หยุดนิ่งกับมัน หากเวลาชีวิตเฉลี่ยproperคือ τ0, เวลาชีวิตเฉลี่ยในห้องปฏิบัติการคือ γτ0 และระยะทางเดินทางเฉลี่ยคือ vγτ0 ที่ความเร็วคงที่ การสลายตัวเป็นเชิงสถิติ: เวลาชีวิตเฉลี่ยไม่ใช่เวลาที่รับประกันสำหรับการสลายตัวของแต่ละอนุภาค ที่ β=0.8, γ=5/3 คำนวณเหตุการณ์กาลอวกาศอย่างสม่ำเสมอในกรอบอ้างอิงหนึ่ง; เวลาproperและเวลา coordinate เป็นสิ่งต่าง ๆ กัน
• พลังงานรวมคือ E=γmc², โมเมนตัม p=γmv และ invariant E²−p²c²=m²c⁴. เมื่อ E และ pc แสดงในหน่วยพลังงานเดียวกัน ให้หาค่า mc²=sqrt(E²−(pc)²), ไม่ใช่ E−pc. ต้องใช้รากที่สองที่ไม่เป็นลบเพื่อให้ได้มวลนิ่งเป็นบวก. สำหรับ E=13 GeV และ pc=12 GeV, พลังงานนิ่งคือ 5 GeV และมวลคือ 5 GeV/c². อนุภาคไร้มวลจะมี E=pc แต่ไม่จำเป็นต้องมีพลังงานหรือโมเมนตัมเป็นศูนย์. ความสัมพันธ์เหล่านี้เกี่ยวข้องกับ four-momentum ของอนุภาคอิสระ, ไม่ใช่ classical mv ที่ความเร็วสัมพัทธภาพ.
• งานในการเร่งอนุภาคจากหยุดนิ่งเท่ากับพลังงานจลน์ K=E−mc²=(γ−1)mc². ที่ β=0.6, γ=1.25 และ K=0.25mc², ในขณะที่แบบคลาสสิก ½mv² ให้ผล 0.18mc². พลังงานจลน์แบบคลาสสิกเป็นการขยายตัวที่ความเร็วต่ำและจะไม่แม่นยำใกล้ c. งานเร่งที่มีจำกัดทำให้ γ เพิ่มขึ้นแทนที่จะให้อนุภาคที่มีมวลถึงความเร็ว c หรือเกิน c. ควรแยกพลังงานรวม พลังงานนิ่ง และพลังงานจลน์ออกจากกันเมื่อตีความหน่วยคำตอบ
• สำหรับการถอยห่างแบบ longitudinal ล้วนๆ ในสัมพัทธภาพพิเศษ, อัตราส่วนความยาวคลื่น r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). จัดรูปใหม่จะได้ β=(r²−1)/(r²+1). ค่าอัตราส่วน r=2 ให้ค่า β=3/5, ไม่ใช่ c คูณด้วย (r−1) จากค่าประมาณความเร็วต่ำ. Blueshift ใช้ r<1 และพารามิเตอร์การถอยห่างที่เป็นลบภายใต้ธรรมเนียมนี้. สูตรนี้สมมติว่าการเลื่อนสีเกิดจาก kinematic เท่านั้น; การขยายตัวของจักรวาลหรือ gravitational redshift ต้องใช้โมเดลอื่น. ระบุโมเดลที่กำหนดไว้ในโจทย์ก่อนตีความอัตราส่วนสเปกตรัม.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

อนุภาคมีเวลาชีวิตเฉลี่ยproper 3 μs และเคลื่อนที่ที่ 0.8c เวลาชีวิตในห้องปฏิบัติการคือ 5 μs และระยะทางเดินทางเฉลี่ยคือ 0.8·3×10⁸·5×10⁻⁶=1200 m อัตราส่วนความยาวคลื่นแนวตั้ง 2 บ่งชี้ความเร็วถอยหนี 0.6c อนุภาคที่มีพลังงานทั้งหมด 13 GeV และ pc=12 GeV มีพลังงานหยุด 5 GeV

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อย่าใช้อายุขัยจริงเป็นเวลาในห้องปฏิบัติการ ลบ pc ออกจาก E เพื่อหามวลหยุดนิ่ง หรือใช้คำประมาณดอปเปอร์คลาสสิกสำหรับอัตราส่วนความยาวคลื่นขนาดใหญ่

AT.1 · อิเล็กตรอนจากปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก, มวลที่ลดลง และการกระตุ้นอะตอม

• พลังงานจลน์สูงสุดของโฟโตอิเล็กทริกคือ Kmax=hν−ϕ สำหรับความถี่ของโฟตอนเหนือเกณฑ์ ν0=ϕ/h ค่าสัมบูรณ์ของศักย์หยุด eVs=Kmax ดังนั้น Vs จึงเป็นเชิงเส้นกับความถี่เหนือเกณฑ์ การเพิ่มความเข้มที่ความถี่คงที่เพิ่มจำนวนโฟตอนที่มีอยู่และมักเพิ่มกระแสโฟโตอิเล็กทริก แต่ไม่เพิ่มพลังงานสูงสุดของอิเล็กตรอนโฟโต เมื่อต่ำกว่าเกณฑ์ โมเดลโฟตอนเดียวแบบง่ายจะไม่มีอิเล็กตรอนโฟโตปล่อยออกมาไม่ว่าความเข้มจะเป็นอย่างไร ฟังก์ชันงานเป็นคุณสมบัติของพื้นผิว ไม่ใช่แปรผันกับความถี่ของการส่องสว่าง
• รังสีเอ็กซ์ลวดลายเฉพาะเกิดขึ้นเมื่ออิเล็กตรอนเติมช่องว่างในชั้นภายใน ปล่อยโฟตอนเท่ากับผลต่างพลังงานของชั้นนั้น เส้นสเปกตรัมที่คมชัดขึ้นอยู่กับอะตอมเป้าหมาย Bremsstrahlung เกิดจากการชะลอตัวของอิเล็กตรอนที่มีพลังงานสูงในสนามไฟฟ้าของนิวเคลียส และสร้างพื้นหลังต่อเนื่อง โดยจุดสิ้นสุดพลังงานถูกกำหนดโดยพลังงานของอิเล็กตรอนตกกระทบ พื้นหลังต่อเนื่องและเส้นแยกส่วนสามารถปรากฏร่วมกันได้ การมีอยู่ของอย่างหนึ่งไม่ตัดทอนอีกอย่างกลไกเหล่านี้แตกต่างจากฟลูออเรสเซนส์แสงมองเห็น การกระจายเสียงสั่นสะเทือน และการจับอนุภาค
• สำหรับอะตอมสองตัวชนิดไฮโดรเจน-like ให้แทนมวลอิเล็กตรอนด้วยมวลลด μ=m_eM/(m_e+M) ในโมเดลคูลอมบ์พื้นฐาน พลังงานระดับแปรผันตาม −μZ²/n² ดังนั้นความถี่สเปกตรัมแปรผันตาม μZ² และความยาวคลื่นแปรผันผกผัน สำหรับโพซิโทเนียม M=m_e, μ=m_e/2 และค่าคงที่ไรดเบิร์กของมันคือครึ่งหนึ่งของค่ามวลนิวเคลียสอนันต์ สำหรับนิวเคลียสหนัก μ เข้าใกล้ m_e ในอะตอมอิเล็กตรอนหลายตัว ให้ใช้การเติมออร์บิทัลและกฎของฮันด์แทนโมเดลไฮโดรเจน: ออร์บิทัลที่ห่อหุ้มเดียวกันจะถูกเติมด้วยอิเล็กตรอนตัวเดียวก่อนที่มีสปินขนานกัน แล้วจึงจับคู่ อิเล็กตรอนคาร์บอน 2p² มีอิเล็กตรอนที่ไม่จับคู่สองตัวและสปินรวม S=1; อิเล็กตรอนออกซิเจน 2p⁴ มีอิเล็กตรอนที่ไม่จับคู่สองตัวและมี S=1 เช่นกัน คู่ที่เต็มแล้วมีผลต่อสปินสุทธิเป็นศูนย์
• In Franck–Hertz experiments, accelerated electrons lose energy through inelastic excitation once they reach an atomic threshold. Repeated current-dip or peak spacing in accelerating voltage can therefore identify the same excitation energy lost one, two or more times. A spacing ΔV corresponds to energy eΔV; peaks at 4,8,12 V need not represent three separate excited-level energies. Contact potentials and retarding fields can shift absolute peak positions, so use the spacing and stated apparatus conditions. If the excited atom returns by one photon of that energy, wavelength is hc/(eΔV).

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ใช้ h=4.136×10⁻¹⁵ eV·s, แสงที่ 8×10¹⁴ Hz มีพลังงานโฟตอน 3.3088 eV ด้วยฟังก์ชันงาน 2.0 eV, Kmax=1.3088 eV และขนาดศักย์หยุด 1.3088 V ช่องว่างการกระตุ้น 4 V ให้ 4 eV และใช้ hc≈1240 eV·nm, โฟตอนกลับคืนความยาวคลื่น 310 nm ความยาวคลื่นสเปกตรัมของโพซิโทเนียมเป็นสองเท่าของค่าไฮโดรเจนมวลอนันต์สำหรับการเปลี่ยนสถานะที่ตรงกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ความเข้มกระแสและศักย์หยุดตอบคำถามต่างกัน รวมมวลลดและการห่อหุ้มออร์บิทัลไว้ และใช้ช่องว่างfranck-hertz แทนการมองทุกยอดเป็นระดับพลังงานใหม่

QM.1 · การกระจาย, ความเสื่อมถอย และตัวดำเนินการ Pauli

• สำหรับศักย์ V ที่คงที่และพลังงาน E>V, คำตอบเชิงพื้นที่คือฟังก์ชันเดินทาง exp(±ikx), โดย k=sqrt[2m(E−V)]/ℏ. ในขั้นตอนจำกัดที่มีมวลอนุภาคเท่ากัน ฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์อันดับหนึ่งต้องต่อเนื่อง. ในปัญหาการกระจายจากซ้ายที่ไม่มีลำแสงเข้ามาจากขวา คำตอบทางขวาไกลจะมีเพียงฟังก์ชันเดินทางไปทางขวา Ae^(ikx). หากบ่อศักย์จำกัดกลับสู่ศักย์ภายนอกเดิม ตัวเลขคลื่นภายนอกที่ส่งผ่านจะเท่ากับตัวเลขคลื่นที่เข้า แม้ตัวเลขคลื่นภายในจะต่างกัน. คำตอบที่ลดทอนแบบเอกซ์โพเนนเชียลอธิบายบริเวณ E<V ไม่ใช่ทุกบ่อศักย์
• สำหรับขั้นเปลี่ยนจาก V1 ไปยัง V2 โดยทั้งสองบริเวณอนุญาตทางคลาสสิก ให้เขียนแอมพลิจูดรวมของคลื่นเข้าและสะท้อนในบริเวณ 1 และแอมพลิจูดของคลื่นส่งผ่านในบริเวณ 2 ความต่อเนื่องให้ r=(k1−k2)/(k1+k2) และ t=2k1/(k1+k2) ความน่าจะเป็นสะท้อนคือ R=|r|²; การส่งผ่านคือ T=(k2/k1)|t|² เนื่องจากกระแสความน่าขึ้นกับเลขคลื่น ดังนั้น R+T=1 สำหรับขั้นเปลี่ยนที่ไม่มีการสูญเสีย อย่าเพิ่มกำลังสองของแอมพลิจูดการส่งผ่านโดยไม่คูณด้วยตัวประกอบกระแส เมื่อ k2=3k1, R=1/4 และ T=3/4 แม้ว่าจะเป็นการลดระดับลงก็ตาม
• ออสซิลเลเตอร์ไอโซโทรปสามมิติสามารถแยกออกเป็นโหมด x,y,z ด้วยจำนวนเต็มไม่ติดลบ n_x,n_y,n_z พลังงานของมันคือ (N+3/2)ℏω โดยที่ N=n_x+n_y+n_z สำหรับอนุภาคเดี่ยวที่มีสปีนศูนย์และเป็นตัวจำแนกได้ degeneracy ทางพื้นที่คือจำนวน triples แบบนั้น: (N+1)(N+2)/2 สิ่งนี้นับการจัดสรรที่แตกต่างกัน ไม่ใช่แค่การแบ่งส่วนที่ไม่เรียงลำดับ สำหรับ N=2 สถานะทั้งหกคือการเรียงสับเปลี่ยนของ (2,0,0) และ (1,1,0) สำหรับ N=3, degeneracy คือ 10 ข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับสปีนหรืออนุภาคที่เหมือนกันจะเปลี่ยนปัญหาการนับ
• Pauli matrices are σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Each squares to identity. Direct multiplication gives σ_xσ_y=iσ_z and σ_yσ_x=−iσ_z, so distinct Pauli matrices anticommute. Cyclic products x→y→z have positive i; reversing order changes the sign. The general identity is σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Matrix order matters: σ_xσ_z=−iσ_y, not iσ_y or simply σ_y. These dimensionless matrices become spin operators S_i=ℏσ_i/2, adding physical units and factors.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ที่ขั้นบันไดที่ไม่มีการสูญเสียเมื่อ k2=3k1, r=−1/2 และ t=1/2. R=1/4, T=3·1/4=3/4 และผลรวม theirs เป็นหนึ่ง ออสซิลเลเตอร์ไอโซโทรปสปีนศูนย์ที่ E=(9/2)ℏω มี N=3 และ degeneracy 10. การคูณ σ_x ด้วย σ_y จะได้ diag(i,−i)=iσ_z

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ความน่าจะเป็นในการส่งผ่านต้องใช้สัดส่วนกระแสเลขคลื่น degeneracy ของออสซิลเลเตอร์นับ triples โหมดที่เป็นลำดับ ห้ามกลับลำดับเมทริกซ์พอลีโดยไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

SN.1 · พลังงานยึดเกาะนิวเคลียส, กลุ่มอนุภาค และพาหะHall

• พลังงานยึดเกาะ B คือพลังงานที่ต้องใช้เพื่อแยกนิวเคลียสออกเป็นนิวคลีออนอิสระประกอบกัน เท่ากับผลต่างมวลที่เกี่ยวข้องคูณ c². พลังงานยึดเกาะต่อนิวคลีออน B/A เป็นตัวเปรียบเทียบที่เหมาะสมข้ามเลขมวลต่างๆ; นิวเคลียสหนักอาจมี B รวมมากกว่าแต่มี B/A ต่ำกว่า. จุดสูงสุดของ B/A กว้างๆ อยู่ใกล้เขตเหล็ก/นิกเกิล. การฟิวชันนิวเคลียสเบาและการแตกตัวของนิวเคลียสหนักมากสามารถปล่อยพลังงานได้เมื่อผลิตภัณฑ์มีพลังงานยึดเกาะรวมมากขึ้น. สำหรับปฏิกิริยา, Q=(มวลนิ่งเริ่มต้น−มวลนิ่งสุดท้าย)c²; ค่า Q บวกหมายถึงพลังงานที่ปล่อยออกมา. เปรียบเทียบไอโซโทปและผลิตภัณฑ์สุดท้ายที่ระบุจริงเสมอ ไม่ใช่แค่ชื่อธาตุ
• เลปตันเช่นอิเล็กตรอน มิวออน และนิวทรีโน ไม่ประกอบด้วยควาร์กองค์ประกอบในโมเดลมาตรฐาน มิวออนลบมีประจุ −e และสปิน 1/2 เหมือนอิเล็กตรอน แต่มีมวลต่างกันและอยู่ในครอบครัวรสชาติที่ต่างกัน; มันไม่ใช่เมซอนแม้จะมีชื่อประวัติศาสตร์ เมซอนมีควาร์ก: เมซอนธรรมดามีควาร์กหนึ่งตัวและแอนติควาร์กหนึ่งตัว และแบเรียออนธรรมดามีควาร์กสามตัว แอนติแบเรียออนที่สอดคล้องกันมีแอนติควาร์กสามตัว โมเดลจำแนกประเภทพื้นฐานเหล่านี้ไม่ได้บ่งชี้ว่าอนุภาคเชิงซ้อนทุกชนิดเป็นแบเรียออนหรือเมซอนอย่างง่าย
• ตรวจสอบประจุ พลังงาน โมเมนตัม จำนวนแบเรียออน และจำนวนเลปตันที่เกี่ยวข้องในกระบวนการที่เสนอ โปรตอน uud รวมประจุได้ +e; นิวตรอน udd รวมได้ศูนย์ การสลายตัวเบตาลบ n→p+e−+แอนตินิวทรีโน รักษาระดับประจุไฟฟ้าและรวมแอนตินิวทรีโนเพื่อปรับจำนวนเลปตันและจลนศาสตร์ มวลของอนุภาคเพียงอย่างเดียวไม่จัดประเภทมันว่าเป็นควาร์ก เลปตัน หรือเมซอน ขอบเขตปฏิกิริยาอาจต้องการพลังงานจลน MarketplaceBeyondความแตกต่างมวลหยุดที่ exothermic เมื่อมีข้อจำกัดอื่นๆ Applies
• ในตัวนำแบบพาหะเดียวอย่างง่าย แรงลอเรนซ์แม่เหล็กตามแนวขวางจะสร้างสนามไฟฟ้าฮอลล์จนกว่าแรงตามแนวขวางของพาหะจะสมดุลกัน เมื่อใช้เทนเซอร์/กฎการกำหนดเครื่องหมายที่ระบุไว้สัมประสิทธิ์ฮอลล์คือ R_H=1/(nq); ค่า q ที่เป็นลบให้สัมประสิทธิ์เชิงลบคล้ายอิเล็กตรอน และค่า q ที่เป็นบวกให้สัมประสิทธิ์เชิงบวกคล้ายรู ความต้านทานเพียงขนาดอย่างเดียวไม่สามารถบอกลักษณะ signo นี้ได้ ควรกำหนดทิศทางกระแสสนามแม่เหล็กและแรงดันให้สอดคล้องกันก่อนอ่านค่าขั้วต้นฉบับ สำหรับสารกึ่งตัวนำที่มีทั้งอิเล็กตรอนและรูร่วมด้วย ต้องใช้โมเดลพาหะสองชนิดที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความคล่องตัว; สัมประสิทธิ์อย่างง่ายอาจไม่เท่ากับผลกลับของความหนาแน่นพาหะรวม

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ถ้านิวเคลียส A มี B=24 MeV และ A=4, B/A ของมันคือ 6 MeV; ถ้านิวเคลียส B มี B=80 MeV และ A=10, B/A ของมันคือ 8 MeV ทั้งที่ทั้งสองมีพลังงานยึดเกาะบวก. ชาร์จควาร์ก uud บวกกันเป็น +e, udd เป็น 0. ในตัวอย่างที่มีตัวพาประจุเดียวที่มีความหนาแน่น n และประจุ −e, R_H=−1/(ne); สัญญาณแรงฮอลล์ดิบมีความหมายก็ต่อเมื่อทิศทางสายนำ/สนามแม่เหล็กคงที่

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

เปรียบเทียบพลังงานยึดเหนี่ยวต่อนิวเคลียส ไม่ใช่แค่พลังงานยึดเหนี่ยวรวม มิวออนเป็นเลปตอน และสัญญาณฮอลล์ต้องการกฎการวัดที่กำหนดไว้ล่วงหน้าและโมเดลพาหะ

CM.4 · ข้อจำกัด, สมการแปรผัน และพิกัดแบบวงรอบ

• ข้อจำกัด (constraint) ลบพิกัดอิสระหนึ่งออกก่อนสร้างพลังงานจลน์. สำหรับลูกตุ้มนอนยาวคงที่ เลือก θ จากแนวตั้งลง: x=l sinθ และ y=−l cosθ. หาอนุพันธ์ของพิกัดทั้งสองจะได้ v²=l²θdot², ไม่ใช่ l² sin²θ θdot². ดังนั้น T=ml²θdot²/2 และ V=mgl(1−cosθ), โดยกำหนดศักย์ศูนย์ที่ด้านล่าง. ยาวคงที่เป็นข้อจำกัด holonomic: เป็นความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและอาจรวมถึงเวลา. ข้อจำกัดความเร็วกลิ้งต้องการการวิเคราะห์เฉพาะ; อย่า treating ทุก constraint เป็นการแทนที่พิกัดโดยอัตโนมัติ
• สำหรับข้อจำกัดแบบอุดมคติและระบบอนุรักษ์ทั่วไป สมการการกระทำที่จุดหยุดนิ่งคือ d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 โดยที่ L=T−V การแปรผันจะมีค่าเป็นศูนย์ที่ขอบเขตเวลาทั้งสอง ลูกตุ้มนาฬิกาให้ ∂L/∂θdot=ml²θdot และ ∂L/∂θ=−mgl sinθ ดังนั้น ml²θddot+mgl sinθ=0 การหาอนุพันธ์ของโมเมนตัมจะกระทำต่อทุกปัจจัยที่ขึ้นกับเวลา: สำหรับรัศมีที่เปลี่ยนไป, d(mr²θdot)/dt จะประกอบด้วย 2mr rdot θdot วิธีแปรผันไม่ได้หมายความว่าพลังงานกลจะคงที่ในระบบที่ขึ้นกับเวลา
• For planar central motion, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). The angle θ is cyclic because L has no explicit θ dependence, even though L depends on θdot. Its canonical momentum pθ=mr²θdot is constant. The radial equation is m rddot=mrθdot²−dV/dr. The first term is part of the coordinate acceleration, not a new outward real force in an inertial frame. Conservation of pθ makes angular speed increase as r decreases; constant angular speed is a different, externally driven situation.
• ใกล้จุดสมดุลเสถียร q0, ขยาย V เป็นลำดับที่สองและใช้โมเมนต์ความเฉื่อยท้องถิ่น M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2 จากนั้นความถี่ของการกระจัดเล็กน้อยคือ sqrt(V″/M) สำหรับลูกตุ้มนาฬิกา sinθ≈θ ในหน่วยเรเดียน ดังนั้น ω=sqrt(g/l); การประมาณนี้ต้องใช้ขนาดมุมเล็ก หาก V″เป็นลบจะเกิดความไม่เสถียร ไม่ใช่การสั่นด้วยความถี่จริงที่วัดได้เป็นจำนวนจินตภาพ ตรวจสอบสมการไม่เชิงเส้นทั้งหมดก่อน แล้วจึงระบุการประมาณและเปรียบเทียบหน่วย: V″/M ต้องมีหน่วยเป็น inverse time squared

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

เมื่อ l=2 m และ g=10 m/s², θddot=−5 sinθ ที่ θ=0.10 rad ความเร่งที่แท้จริงคือ −0.4992 rad/s² ซึ่งใกล้เคียงกับ −0.500 จากการประมาณเชิงเส้น ระยะเวลาของมุมเล็กคือ 2π/sqrt(5)=2.810 s สำหรับวงโคจรแรงศูนย์กลาง การลด r จาก 3 m ไปยัง 1.5 m ในขณะที่ pθ ถูกอนุรักษ์ จะทำให้ θdot คูณด้วย 4 ไม่ใช่ 2

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

พิกัดแบบวงจรรวมไม่ปรากฏใน L โดยตรง; ความเร็วของมันอาจไม่หายไป อย่าตัดอนุพันธ์ตามเวลาของปัจจัย r² ที่เปลี่ยนแปลง

CM.5 · กราฟอ้างอิงที่เร่งและหมุน

• ในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง A, กฎของนิวตันคือ m a′=F_real−mA. ลิฟต์ที่เร่งขึ้นดังนั้นจะมี N−mg=ma ในกรอบดิน, หรือ N−mg−ma=0 สำหรับผู้โดยสารที่ยืนนิ่งในกรอบลิฟต์. นี่คือคำทำนายเดียวกัน. พจน์เพิ่มเติมคือแรงเทียมที่เกิดจากพิกัดที่เร่งที่เลือก; มันไม่ใช่การสัมผัสใหม่กับวัตถุอื่น. การเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอด้วยความเร่ง A=0 เปลี่ยนความเร็วแต่ไม่จำเป็นต้องมีแรงเทียม
• สำหรับฐานหมุน, การอนุพันธ์เวกเตอร์จะเพิ่ม Ω×เวกเตอร์นั้น. การประยุกต์ใช้สองครั้งจะได้ a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. ที่นี่ r และ v′ ถูกวัดเทียบกับจุดกำเนิดที่เคลื่อนที่ในแกนหมุนของมัน; เวกเตอร์ทั้งหมดในการคำนวณต้องแสดงในฐานเดียวกัน ณ ช่วงเวลาเดียวกัน. ย้ายสามพจน์การหมุนสุดท้ายไปฝั่งแรงเพื่อหา Coriolis −2mΩ×v′, centrifugal −mΩ×(Ω×r), และ Euler −mΩdot×r. การหมุนที่คงที่กำจัดพจน์ Euler ออก ไม่ใช่พจน์ Coriolis
• Take Ω along +z, an anticlockwise platform viewed from above, and a particle at r along +x. Centrifugal force is along +x with magnitude mΩ²r. If the particle moves outward with v′ along +x, then Ω×v′ is +y, so Coriolis force points −y. Reversing the relative velocity reverses Coriolis; keeping v′=0 makes it vanish. Coriolis is perpendicular to v′ and does no instantaneous work on that relative motion. Centrifugal force is outward from the rotation axis, not necessarily outward from the chosen origin in an arbitrary three-dimensional position.
• วัตถุที่หยุดนิ่งบนแพลตฟอร์มมี a′=v′=0. ด้วยการหมุนที่คงที่และจุดกำเนิดที่คงที่, แรงจริงของมันต้องเป็น mΩ×(Ω×r), เข้าใน, ยกเลิกพจน์เทียมที่พุ่งออกในสมการหมุน. หากการหมุนเปลี่ยนไป แรงจริงแนวสัมผัสก็ต้องสมดุลกับพจน์ Euler เช่นกัน. ตรวจสอบเสมอ Ω→0 และ A→0: การเคลื่อนที่แบบ Newtonian เฉื่อยทั่วไปต้องกลับมา.อย่าผสมผสานความต้องการ centripetal จริงเข้าภายในกับการตอบสนองจริงที่พุ่งออกเพิ่มบนวัตถุเดียวกัน; คู่ปฏิสัมพันธ์อยู่ใน Free-body diagrams แยก

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ m=2 kg, Ω=2 rad/s ตามแกน +z, r=1 m ตามแกน +x และ v′=3 m/s ออกด้านนอก แรงเหวี่ยงคือ +8 N ในแกน x และแรงโคริโอลิสคือ −24 N ในแกน y แรงออยเลอร์เป็นศูนย์ที่ Ω คงที่ หากแรงจริงเป็นศูนย์ a′=(4,−12) m/s² ณ วินทะนั้น ผู้โดยสารหนัก 10 kg ในลิฟต์ที่เร่งขึ้นด้วย 2 m/s² มี N=120 N เมื่อ g=10

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ความเร็วสัมพัทธ์ v′ ควรอยู่ในเทอม Coriolis การใช้ความเร็วสัมบูรณ์ทั้งหมดจะนับการหมุนซ้ำสองครั้ง

CM.6 · ความต่อเนื่องของไหล พลังงานความดัน และการไหลแบบหนืด

• สำหรับการไหลที่คงตัว, มวลที่ผ่านหน้าตัดต่อเนื่องกันต่อหน่วยเวลามีค่าเท่ากัน: ρAv เป็นค่าคงที่. ของเหลวที่ไม่สามารถบีบอัดได้มี ρ ค่อนข้างคงที่, ดังนั้น Q=Av คืออัตราการไหลของปริมาตร. การลดรัศมีท่อลงครึ่งหนึ่งจะทำให้พื้นที่ลดลงสี่เท่าและเพิ่มความเร็วเฉลี่ยเป็นสี่เท่าสำหรับการไหล Q เดียวกัน. ความดันไม่ได้กำหนด Q โดยไม่มีโมเดลของส่วนอื่นๆ ของระบบ. ในของเหลวที่หยุดนิ่ง, dp/dz=−ρg เมื่อ z ชี้ขึ้น; ดังนั้นความดันเพิ่มขึ้น ρgh ในระยะ h ด้านล่างพื้นผิว. ใช้ความดันสัมบูรณ์หรือความดันเกจอย่างสม่ำเสมอทั้งสองข้าง
• For steady, incompressible, inviscid motion along a streamline with no pump or dissipative loss, Bernoulli gives p+ρv²/2+ρgz=constant. These three terms are energy per volume and have pressure units. At equal height, larger speed requires smaller static pressure under these assumptions. A higher outlet also uses pressure/kinetic energy to gain gravitational energy. Bernoulli along one streamline need not imply the same constant on different streamlines in rotational flow. A stagnation point has v=0 and converts local speed energy to a pressure rise in the ideal model.
• ความหนืดขนถ่ายโมเมนตัมระหว่างชั้นของของเหลวเพื่อนบ้าน. สำหรับการไหล laminar ที่พัฒนาเต็มรูปแบบแบบ steady ของของเหลว Newtonian ไม่บีบอัดในท่อทรงกลม, Q=πR⁴Δp/(8ηL). ที่นี่ Δp คือการตกของความดันตามยาวท่อ, η คือความหนืดdynamic และ L คือความยาวท่อ. การเพิ่มรัศมีเป็นสองเท่าที่ Δp, η และ L คงที่ จะเพิ่ม Q ขึ้นสิบหกเท่า. การเพิ่ม Q เป็นสองเท่าที่เรขาคณิตคงที่ ต้องใช้การตกของความดันเป็นสองเท่า. การสูญเสียความดันจากความหนืดนี้ไม่สามารถนำไปบวกในสมการ Bernoulli ที่ไร้การสูญเสียเหมือนว่าไม่มีอะไรเปลี่ยน; ต้องรวมการสูญเสียความดัน/หัวน้ำจากการกระจาย หรือใช้โมเดลความหนืด
• จำนวนเรโนลด์ Re=ρvD/η เปรียบเทียบผลของแรงเฉื่อยและแรงหนืด โดยใช้ความเร็วเชิงลักษณะ v และความยาว D สำหรับท่อให้ใช้ความเร็วเฉลี่ยและเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน ไม่ใช่รัศมี Re เป็นปริมาณไม่มีมิติ: ความหนาแน่น × ความเร็ว × ความยาว มีหน่วยเดียวกับความหนืดไดนามิก Re น้อยเอื้อต่อการควบคุมโดยแรงหนืด การเปลี่ยนผ่านสู่การไหลแบบพล่านขึ้นอยู่กับรูปร่างและความรบกวน ดังนั้นค่าเกณฑ์เดียวจึงไม่ใช่กฎสากล การสเกล Poiseuille ไม่ปลอดภัยหลังจากสมมติว่าการไหลเป็นแบบพล่าน ตรวจสอบความต่อเนื่องของปริมาตร ทิศทางของการเปลี่ยนแปลงความดัน และระบอบการไหลก่อนเลือกสูตร

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

น้ำที่มีความหนาแน่น ρ=1000 kg/m³ ไหลแนวนอนจากพื้นที่ 4 cm² ที่ 1 m/s เข้า 1 cm² ความต่อเนื่องให้ v₂=4 m/s และ Q=0.0004 m³/s Bernoulli อุดมคติทำนาย p₁−p₂=1000(16−1)/2=7500 Pa ในท่อ laminar แยกต่างหากที่ความดันตกคงที่ การเพิ่มรัศมีจาก 1 mm เป็น 2 mm คูณ Q ด้วย 16; สิ่งนี้ไม่ใช่การทดลอง Q คงที่เดียวกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ความต่อเนื่องรักษา Q ให้คงที่ตลอดท่อ steady เดียวกัน; Poiseuille เปรียบเทียบ Q ระหว่างระบบที่แตกต่างกันที่ความดันตกที่กำหนด ระบุสิ่งใดถูกยึดไว้ก่อนเปรียบเทียบกำลังของรัศมี

EM.4 · การโพลาไรเซชัน การแม่เหล็กจำเพาะ และสนามวัสดุ

• การโพลาไรเซชันทางไฟฟ้า P คือโมเมนต์ไดโพลทางไฟฟ้าต่อหน่วยปริมาตร วัดใน C/m² กำหนด D=ε₀E+P เพื่อให้ ∇·D=ρ_free; ประจุทั้งหมด รวมถึงประจุถูกยึดเกาะ ยังปรากฏอยู่ใน ∇·E=ρ_total/ε₀. ประจุปริมาตรถูกยึดเกาะคือ ρ_b=−∇·P และประจุพื้นผิวถูกยึดเกาะคือ σ_b=P·n, โดยที่ n ชี้เข้าภายนอกจากวัสดุ ดังนั้น P ที่สม่ำเสมอจึงไม่ให้ประจุถูกยึดเกาะภายใน แต่สามารถสร้างประจุพื้นผิวที่มีสัญญาณตรงข้ามได้ ไดอิเล็กทริกไม่ใช่โลหะอุดมคติ: การโพลาไรเซชันอาจไม่ได้ทำให้สนามไฟฟ้าภายในเป็นศูนย์
• For a linear isotropic dielectric, P=ε₀χ_e E and D=εE with ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. These simple scalar relations assume the response is linear and ignore anisotropy, strong dispersion and nonlinear effects. In a fully filled, large parallel-plate capacitor with negligible edge effects, D normal to the plates equals the free surface-charge density. If σ_free stays fixed, increasing ε reduces E=σ_free/ε. The bound charges oppose the applied field; their magnitude is not automatically equal to the free plate charge.
• For plate area A and spacing d, C=εA/d. Disconnecting the battery fixes free charge Q: V=Q/C falls and stored energy U=Q²/(2C) falls when a dielectric increases C. Leaving an ideal voltage source connected fixes V: Q=CV and stored energy U=CV²/2 both rise. The source supplies energy and moving the dielectric can involve mechanical work; compare the stated electrical energy quantity rather than assuming the capacitor alone is an isolated system. At a material interface n·(D₂−D₁)=σ_free, whereas static tangential E is continuous. Normal E generally changes when permittivity changes.
• Magnetisation M is magnetic dipole moment per unit volume, measured in A/m. In SI, B=μ₀(H+M); for a linear isotropic response M=χ_m H and B=μ₀(1+χ_m)H. B and H have different units and roles. A long uniform solenoid has H≈nI when end and demagnetising effects are negligible; material response then changes B. Free surface current sets n×(H₂−H₁)=K_free, and normal B remains continuous. Ferromagnetic hysteresis and saturation cannot be represented by one constant χ_m over every field.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

นำตัวเก็บประจุที่เติมเต็มด้วย ε_r=4 และความหนาแน่นประจุอิสระคงที่ σ. กฎเกาส์สำหรับ D จะได้ D=σ, จากนั้น E=σ/(4ε₀) และ P=ε₀(4−1)E=3σ/4. C เพิ่มขึ้นสี่เท่า, ดังนั้นแรงดันไฟฟ้าและพลังงานที่จัดเก็บที่มี Q คงที่จะกลายเป็นหนึ่งในสี่. เมื่อเชื่อมต่อกับแบตเตอรี่แทนนั้น V และ E=V/d จะคงที่ ในขณะที่ Q และ U จะใหญ่ขึ้นสี่เท่า. แยกต่างหาก, H=400 A/m และ χ_m=0.5 ให้ M=200 A/m และ B=μ₀(600 A/m)≈0.754 mT.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้ประจุอิสระในสมการ D และประจุทั้งหมดในสมการ E อย่าสับสนระหว่าง Q กับ V ที่คงที่ หรือระบุ B เป็นตัวเลขกับ H

EM.5 · RC และ RL Transients, Impedance และ Resonance

• สำหรับตัวต้านทาน R ที่ต่ออนุกรมกับตัวเก็บประจุ C และแหล่งจ่าย DC V_s, กฎแรงดันของ Kirchhoff คือ R dq/dt+q/C=V_s. กำหนดให้ V_C=q/C และ τ=RC. หลังการสวิตช์ไปยังแหล่งจ่ายคงที่, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). ตัวเก็บประจุที่ไม่มีการชาร์จเริ่มต้นดังนั้นจะมี V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) และกระแสชาร์จ I=(V_s/R)exp(−t/τ). เมื่อถอดแหล่งจ่ายออกและต่อตัวต้านทานข้ามมัน, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). แรงดันตัวเก็บประจุมีความต่อเนื่องผ่านสวิตช์หากไม่มีกระแสแบบ impuls; กระแสตัวต้านทานอาจเปลี่ยนแปลงทันที
• In a series RL circuit, Kirchhoff’s law gives L dI/dt+RI=V_s and τ=L/R. The current after a constant drive is I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Inductor current is continuous for a finite voltage; its voltage may change abruptly as switching changes dI/dt. At late times an ideal inductor in a DC circuit acts as a zero-voltage connection, while an ideal capacitor has zero DC current. Stored energies are LI²/2 and CV_C²/2. During decay into a resistor, the initially stored energy becomes resistor heat rather than disappearing when the source is disconnected.
• Use the declared phasor convention exp(iωt). A resistor has impedance R, an inductor iωL and a capacitor 1/(iωC)=−i/(ωC). A series RLC circuit therefore has Z=R+iX with X=ωL−1/(ωC). Divide the source voltage phasor by Z to obtain current. Its magnitude is V_rms/sqrt(R²+X²) when rms quantities are used. The impedance phase φ satisfies tanφ=X/R; current lags voltage for X>0 and leads it for X<0. Adding the scalar magnitudes R, ωL and 1/(ωC) loses the vector phase information.
• Series resonance เกิดขึ้นที่ ω₀=1/sqrt(LC) เมื่อ X=0. กระแสจะมีค่าสูงสุดสำหรับแรงดันคงที่ในโมเดล series อุดมตินี้, และความแตกต่างของเฟสระหว่างแรงดัน/กระแสจะเป็นศูนย์. กำลังจริงเฉลี่ยคือ V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; L และ C อุดมคติแลกเปลี่ยนพลังงานแต่ไม่ dissipate กำลังเฉลี่ย. นี้แตกต่างจาก natural frequency ของ transient: วงจรแบบ damped สามารถ oscillate ที่ sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) เมื่อ underdamped. ความต้านทานสูงกำจัด free oscillation เช่นนี้แต่ไม่เปลี่ยนเงื่อนไข X=0 ของ Impedance series ที่ถูกขับเคลื่อนในอุดมคติ. ระบุว่าเป็นคำถามที่ถามถึง step response, free decay หรือ sinusoidal steady state

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ R=2000 Ω, C=0.001 F, V_s=12 V และ V_C(0)=0, τ=RC=2 s. ที่ t=τ, V_C=12(1−e^(−1))=7.585 V และ I=(12/2000)e^(−1)=2.207 mA.วงจร RL แยกต่างหากที่มี L=0.4 H, R=2 Ω และ V_s=10 V มี τ=0.2 s และ I(τ)=5(1−e^(−1))=3.161 A. สำหรับวงจรอนุกรม R=10 Ω, L=0.1 H, C=0.001 F และ V_rms=20 V, ω₀=100 rad/s; การสั่นพ้องทำให้ I_rms=2 A และกำลังเฉลี่ย 40 W.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

RC มี τ=RC, ส่วน RL มี τ=L/R อย่าสับสนระหว่างแอมพลิจูดของกระแสกับกระแส rms, หรือการสั่นพ้องของอิมพิแดนซ์ที่ถูกขับเคลื่อนกับความถี่ของการสั่นอิสระที่ลดทอน

WO.4 · Polarisation, Analyser chains และ Phase

• สำหรับการแพร่กระจายตามแกน z สนามไฟฟ้าแบบขวางสามารถมีองค์ประกอบ x และ y ได้ การโพลาไรซ์เชิงเส้นหมายความว่าสนามสั่นตามเส้นตรงหนึ่งเส้นเท่านั้น เครื่องวิเคราะห์แสงที่สมบูรณ์แบบจะส่งผ่านองค์ประกอบที่ projection ตามแกนของมัน แอมพลิจูดของสนามจะเป็น E cosθ ดังนั้นความเข้มจะกลายเป็น I cos²θ ที่นี่ θ คือมุมระหว่างแนวโพลาไรซ์ที่เข้ามาและเครื่องวิเคราะห์แสง และ I คือความเข้มทันทีก่อนถึงเครื่องวิเคราะห์แสง แสงที่ไม่มีการโพลาไรซ์เป็นการผสมกันทางสถิติของแนวตั้งฉากต่างๆ; เครื่องโพลาไรเซอร์แรกที่ยึดตามอุดมคติจะส่งผ่านครึ่งหนึ่งของความเข้มเฉลี่ยของแสงนั้น แสงที่ออกมาจากเครื่องโพลาไรเซอร์แรกนี้จะถูกโพลาไรซ์เชิงเส้นตามแกนของฟิลเตอร์ อย่าเพิ่มปัจจัย ½ ใหม่ที่ทุกเครื่องกรองในลำดับถัดไป หรือใช้มุมเดียวเทียบกับแหล่งกำเนิดเดิมสำหรับทั้งชุดเครื่องกรอง
• After each analyser, update both the intensity and the polarisation direction. For an initially unpolarised beam and ideal axes α₁, α₂, α₃, the final intensity is (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂). Two crossed filters transmit zero in this model; a middle oblique axis changes the direction before the final projection. This increase relative to the crossed pair does not create energy: every step still has transmission between zero and one. Real filters have absorption, imperfect extinction and wavelength dependence. Use the ideal law only when those losses are excluded or separately specified.
• Write E_x=A cosωt and E_y=B cos(ωt+δ) at a fixed point. Equal or opposite phases give a line, including a line at an oblique angle; equal nonzero amplitudes and a quarter-cycle phase difference give a circle. Unequal amplitudes at quarter-cycle phase give an ellipse. A quarter-wave plate adds a relative phase of π/2 between its principal axes under its design conditions. A linear input at 45° supplies equal components, so the outgoing field can be circular. A linear input along a principal axis has only one component and remains linear. For circular input, every ideal linear analyser passes half the intensity; handedness requires a declared viewing direction and phase convention.
• สำหรับการตกกระทบจากตัวกลางโปร่งใสที่ไม่ใช่แม่เหล็ก n₁ เข้าไปหา n₂ มุมเบรสเตอร์วัดจากแนวตั้งฉากสอดคล้องกับ tanθ_B=n₂/n₁ ที่มุมนี้ ส่วนประกอบ p ที่สะท้อนซึ่งมีสนามไฟฟ้าอยู่ในระนาบตกกระทบจะหายไปในโมเดลไดอิเล็กทริกในอุดมคติ แสงที่สะท้อนจากการป้อนเข้าแบบไม่โพลาไรซ์จะเป็น sโพลาไรซ์ ตั้งฉากกับระนาบนั้น กฎของสเนลล์ให้มุมหักเหที่เสริมด้วย θ_B สิ่งนี้แตกต่างจากเงื่อนไขมุมวิกฤต sinθ_c=n₂/n₁ ซึ่งต้อง n₁>n₂ และเกี่ยวข้องกับแสงสะท้อนภายในทั้งหมด การสะท้อนแบบเบรสเตอร์ไม่ได้หมายความว่าความเข้มตกกระทบทั้งหมดถูกสะท้อนหรือว่าลำแสงที่ส่งผ่านโพลาไรซ์สมบูรณ์

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

Unpolarised I₀=80 W/m² passes axes 0°, 45°, 90°. Intensities are 40, 20 and 10 W/m²; without the middle filter the crossed pair would give zero. Equal E_x=3 cosωt and E_y=3 sinωt trace a circle with E_x²+E_y²=9. From n₁=1 to n₂=1.5, θ_B=atan(1.5)=56.31° and refraction is 33.69°; the reflected beam is s polarised.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ความเข้ม Malus ใช้ cos² ของมุมเทียบกับทิศทางการโพลาไรเซชันทันที preceding; แผ่นเฟสเปลี่ยนความแตกต่างของเฟสสัมพัทธ์ ในขณะที่ตัวกรองโพลาไรเซชันเอาองค์ประกอบของสนามออก

WO.5 · Diffraction envelopes and missing interference orders

• For a uniformly illuminated slit of width a, far-field contributions across its opening arrive with a phase gradient k sinθ. Add their complex amplitudes before squaring: the normalised integral over x from −a/2 to a/2 is sinβ/β, where β=πa sinθ/λ. The intensity ratio is (sinβ/β)². At θ=0 take the limit sinβ/β→1, rather than calling the centre undefined or dark. Zeros occur at a sinθ=mλ with nonzero integer m. The central peak lies between the first zeros and is twice as wide as one adjacent zero-to-zero interval in sinθ. Side-peak maxima are not exactly halfway between their zeros.
• ที่มุมเล็กบนจอไกล L y≈Lθ และ sinθ≈θ ให้จุดศูนย์แรก y≈±Lλ/a ดังนั้นความกว้างตรงกลางคือ 2Lλ/a ใช้เมตรอย่างสม่ำเสมอ: ช่องเปิดมิลลิเมตรและความยาวคลื่นนาโนต่างกันหกอันดับของสิบ สำหรับมุมกว้างกว่า ใช้ θ=asin(mλ/a) และ y=L tanθ; สมการ y มุมเล็กจะไม่แม่นยำแล้ว เงื่อนไข far-field ต้องการรังสีเกือบขนานจากส่วนต่างๆ ของรูรับแสง เช่น L ใหญ่กว่า a²/λ หรือการจัดวาง focal-plane ที่เทียบเท่า ลวดลาย Fresnel near-field ไม่สามารถกำหนดกฎความเข้มนี้ได้โดยไร้การตรวจสอบ
• For two coherent identical uniformly illuminated slits of width a and centre separation d, the normalised pattern is (sinβ/β)² cos²α, with α=πd sinθ/λ and central intensity as the normalisation. The cos² factor produces interference orders d sinθ=nλ; the single-slit factor gives the broader envelope zeros. Small-angle neighbouring interference spacing is λL/d. Increasing d narrows fringe spacing; increasing a narrows the envelope. These are separate changes. The equal-height narrow-slit interference formula alone does not predict the diminishing brightness or missing orders of finite apertures. Incoherent sources do not maintain the same phase-dependent cross term.
• A missing order occurs when nλ/d=mλ/a simultaneously, giving n=m d/a. If d/a is an integer r, orders ±r, ±2r and so on are cancelled by aperture zeros. Do not count an order at an envelope boundary as a visible bright fringe. In the central envelope, the nominal interference-order centres satisfy |n|<d/a; when r is an integer there are 2r−1 such centres. For finite slit width, exact local maxima are shifted slightly by the changing envelope, so the interference-order locations are an approximation to observed peak centres. Identify what quantity is being requested before treating every cos² maximum as an exact maximum of the product.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

For λ=500 nm, a=0.10 mm, d=0.50 mm and L=2 m, first envelope zeros are approximately ±10 mm, central width 20 mm and interference spacing 2 mm. Since d/a=5, nominal orders ±5 are missing. Orders −4 through +4 give nine interference centres in the central envelope. At sinθ=λ/(2a), β=π/2, so the single-slit intensity is 4/π²=0.4053 of its central value.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

บวก field amplitudes ก่อน squaring, แยก a ออกจาก d, และ exclude dark boundary orders. Interference maximum เพียงอย่างเดียวไม่รับประกันว่าเป็น maximum ของ pattern ทั้งหมด

WO.6 ·ภาพเลนส์และกระจกที่มีเครื่องหมาย

• ใช้กฎเครื่องหมายจริงเป็นบวกสำหรับหน่วยนี้: วัตถุจริงส่งรังสีincident แบบกระจายเข้าสู่องค์ประกอบ ดังนั้น s>0; รังสี incident ที่รวมตัวอยู่แล้วสามารถแทนวัตถุเสมือน, s<0. A real image has s′>0, ในขณะที่ภาพเสมือนมี s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification M=−s′/s. A converging lens has f>0 และเลนส์กระจายแสง f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0; ค่า s′ ที่ลบจะทำให้ภาพเสมือนอยู่ที่ด้านอินพุต ระบุกฎเครื่องหมายก่อนการแทนค่า เพราะกฎเครื่องหมายพิกัดที่มีเครื่องหมายอื่น ๆ ให้สมการที่ดูแตกต่างออกไป
• สำหรับเลนส์บางรวมแสง รังสีขนานกับแกนมุ่งออกจากเลนส์ผ่านจุดโฟกัสไกล และรังสีผ่านจุดศูนย์กลางแสงอุดมคติจะดำเนินต่อไปโดยไม่เบี่ยงเบน จุดตัดของทั้งสองชี้ตำแหน่งภาพจริง; ส่วนขยายย้อนหลังสามารถระบุตำแหน่งภาพเสมือน การประมาณ paraxial ใช้รังสีใกล้แกมและละทิ้งความหนาและ.aberrations. กับ s>f>0, s′ เป็นบวกและ M เป็นลบ: ภาพเป็นจริงและกลับหัว. กับ 0<s<f, s′ เป็นลบและ M เป็นบวก: ภาพเป็นเสมือน ตั้งตรง และใหญ่ขึ้น. ที่ s=f, รังสีที่ออกมาขนานกันและไม่มีระนาบภาพที่มีขนาดจำกัด. เลนส์กระจายแสงที่มีวัตถุจริงผลิตภาพเสมือนตั้งตรงและเล็กลง
• For a spherical mirror in the same real-is-positive convention, concave f>0 and convex f<0, with f=R/2 in the paraxial limit. A real reflected image is in front of the mirror on the incoming-light side; a virtual image is behind it. Thus a positive image distance has a different physical side for a mirror than for a transmitting lens. A parallel ray reflects through the concave focus; a ray aimed through the centre of curvature retraces its path. Convex reflected rays diverge as if from the focus behind the mirror. Use the same equation and M=−s′/s with signed values, rather than silently combining mirror geometry with a lens coordinate diagram.
• For a sequence of separated lenses, first calculate the actual image coordinate from the first lens. Relative to the next lens, decide whether the incoming rays diverge from a point before it or are still converging toward a point beyond it; these are real and virtual objects respectively. Only then assign its signed object distance and solve again. Total transverse magnification is the product of the individual signed magnifications for aligned paraxial elements. Element separation is not automatically the second object distance. Geometric real/virtual character depends on convergence, not on whether the final image is magnified. These ideal results do not model wave-optical resolution or spherical/chromatic aberration.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

เลนส์รวมแสงอยู่ที่ x=0 มี f=10 ซม. และมีวัตถุจริงอยู่ที่ x=−30 ซม. 1/s′=1/10−1/30=1/15, ดังนั้น s′=15 ซม. และ M=−1/2. เลนส์ second f=10 ซม. ที่ x=40 ซม. รับรังสีที่กระจายจาก x=15: s₂=25 ซม., s₂′=50/3 ซม. และตำแหน่งสุดท้าย x=170/3 ซม.≈56.67 ซม. M₂=−2/3, ดังนั้น M รวม=+1/3. แยกต่างหาก กระจกนูน f=−12 ซม. กับ s=24 ซม. ให้ s′=−8 ซม. และ M=+1/3, ซึ่งเป็นภาพเสมือนตั้งตรงอยู่ด้านหลังกระจก.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รักษาเครื่องหมายจนกว่า geometry จะถูกตีความ; ภาพกระจกที่เป็นบวกจะอยู่บนด้าน incident, ในขณะที่ภาพเลนส์ส่งผ่านที่เป็นบวกจะอยู่บนด้าน outgoing.

TS.3 · การถ่ายโอนความร้อน การวัดความร้อน และการขยายตัว

• สำหรับการนำความร้อนแบบคงที่ในหนึ่งมิติผ่านแผ่นวัสดุสม่ำเสมอ กฎของฟูเรียร์ให้ค่าความหนาแน่นกระแสความร้อน q_x=−κ dT/dx ด้วยค่าการนำความร้อน κ ค่าพื้นที่ A ความยาว L และผลต่างอุณหภูมิ ΔT จากด้านร้อนสู่เย็น อัตราการถ่ายเทความร้อนคือ Qdot=κAΔT/L นิยามความต้านทานความร้อน R_th=L/(κA) โดยวัดเป็น K/W; การลดลงของอุณหภูมิคือ Qdot R_th ชั้นวางซ้อนกันแบบอนุกรมโดยไม่มีการเกิดแหล่งกำเนิดความร้อนภายในจะรับค่า Qdot เท่ากัน และความต้านทานจะบวกกัน ส่วนเส้นทางแบบขนานที่มีอุณหภูมิปลายเท่ากันจะมีอัตราความร้อนบวกกัน ดังนั้นส่วนกลับของความต้านทานจะบวกกัน ความหนาแน่นกระแสความร้อนคืออัตราต่อหน่วยพื้นที่ W/m² ซึ่งอาจไม่ตรงกับชั้นที่มีพื้นที่ต่างกัน ต้องรวมความต้านทานสัมผัสที่อินเทอร์เฟซและการรั่วไหลของความร้อนหากมีระบุ
• ความจุความร้อน C=dQ/dT ขึ้นอยู่กับเส้นทางเทอร์โมไดนามิกและไม่เหมือนกับความร้อนจำเพาะ c ต่อมวล สำหรับช่วงวัสดุที่ไม่มีการเปลี่ยนสถานะ Q=∫mc(T)dT หรือ mcΔT เมื่อ c คงที่ ในเครื่องวัดความร้อนแบบปิด ให้รวมการเปลี่ยนแปลงพลังงานของวัตถุทั้งหมด รวมถึงภาชนะเมื่อจำเป็น แล้วตั้งให้ผลรวมเป็นศูนย์ ที่จุดเปลี่ยนสถานะที่อุณหภูมิสมดุล พลังงานที่เพิ่มเข้าไปอาจทำให้สัดส่วนสถานะเปลี่ยนแทนที่จะทำให้อุณหภูมิเปลี่ยน: Q=mℓ ใช้ความร้อนแฝง ℓ เป็น J/kg ให้ความร้อนที่ปรับอุณหภูมิก่อนเพื่อไปถึงจุดเปลี่ยนสถานะ แล้วจึงจัดสรรความร้อนแฝง อย่าให้ค่าเฉลี่ยน้ำหนักของอุณหภูมิต่างๆ ทำนายอุณหภูมิที่เป็นไปไม่ได้เมื่อมีการหลอมเหลวหรือแข็งตัวในกระบวนการ
• สำหรับแท่งที่ขยายตัวอย่างอิสระและการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิน้อย ΔL≈αL₀ΔT ด้วยสัมประสิทธิ์การขยายตัวเชิงเส้น α สำหรับของแข็งอ isotropic ที่มีการบิดเบี้ยวน้อย แต่ละมิติจะได้ตัวคูณ 1+αΔT ดังนั้น ΔA/A≈2αΔT และ ΔV/V≈3αΔT รูจะขยายตัวพร้อมกับวัสดุโดยรอบราวกับว่าพื้นที่ที่หายไปก็ขยายไปด้วยความสัมพันธ์เหล่านี้สมมติว่าสัมประสิทธิ์เกือบคงที่และไม่มีการจำกัดด้านกลศาสตร์ คริสตัล anisotropic ต้องการสัมประสิทธิ์ตามทิศทาง หากแท่งยืดหยุ่นถูกป้องกันไม่ให้เปลี่ยนความยาว การบิดเบี้ยวทางกลจะหักล้างกับการบิดเบี้ยวจากความร้อน ด้วยแรงดึงเป็นบวก σ≈−YαΔT ขณะให้ความร้อน โดยที่ Y คือโมดูลัสของ Young การประมาณการนี้ต้องการการตอบสนองแบบยืดหยุ่นโดยไม่เกิดการyieldหรือbuckling
• Conduction transfers energy through a temperature gradient, convection transports it with moving matter, and thermal radiation can cross a vacuum. For a surface at T facing large surroundings at T_env, a simple grey-body model gives net radiative rate εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). Use absolute kelvin in these fourth powers, rather than Celsius values. A lumped body whose internal temperature remains nearly uniform can obey C dT/dt=−hA(T−T_env) under Newton cooling with constant h. Then the temperature excess decays with τ=C/(hA), rather than the entire Celsius or kelvin temperature decaying toward zero. This approximation requires sufficiently small internal gradients; a conduction-limited body needs a spatial temperature model.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

Two slabs of area 0.5 m² have L₁=0.02 m, κ₁=0.5 W/(m·K), L₂=0.03 m and κ₂=0.25 W/(m·K). R₁=0.08 and R₂=0.24 K/W; for boundaries 60°C and 20°C, Qdot=40/0.32=125 W. Drops are 10 K and 30 K, so the interface is 50°C and flux 250 W/m². Separately equal specific heats with masses 2 kg at 80°C and 1 kg at 20°C give isolated final 60°C without phase change. A free 2 m rod with α=10^−5 K^−1 heated 50 K lengthens 1 mm; if constrained and Y=100 GPa, σ=−50 MPa within the elastic model.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รักษา W แยกจาก W/m², รวมเครื่องวัดความร้อนหรือพลังงานแฝงเมื่อจำเป็น, และไม่ใช้ความยาว expansion อิสระร่วมกับสมมติฐาน constrained-stress

TS.4 · Partial derivatives, energy fluctuations and heat capacity

• สำหรับระบบแลกเปลี่ยนพลังงานกับอ่างที่อุณหภูมิ T ในขณะที่ N และ V คงที่ ให้ β=1/(kBT). รวม Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) ตามระดับพลังงานพร้อมความเสื่อมสภาพ (degeneracies) ความน่าจะเป็นของแต่ละระดับคือ g_i exp(−βE_i)/Z; พลังงานเฉลี่ย U คือผลรวมพลังงานที่ถ่วงด้วยความน่าจะเป็น การดิฟสเปกตรัมที่ไม่ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิจะได้ U=−∂lnZ/∂β. รักษาช่องว่างพลังงานและความเสื่อมสภาพให้คงที่ระหว่างการดิฟ การเขียน Δ=kBT ln3 เพื่ออธิบายการประเมินที่อุณหภูมิหนึ่งไม่ควรตีความว่า Δ เปลี่ยนแปลงตาม T สำหรับ N ระบบย่อยสองระดับที่แยกอิสระและจำแนกได้ Z_total=z^N และ U_total=N u. อนุภาคที่จำแนกไม่ได้และการมีปฏิสัมพันธ์ต้องการการนับสถานะเฉพาะแทนการสมมติฐานคูณนี้
• พลังงานอิสระ Helmholtz คือ F=−kBT lnZ เอนโทรปีแบบ canonical เกิดจาก S=kB(lnZ+βU) หรือ −kBΣ p_j ln p_j ตาม microstates individu ความจุความร้อนที่ปริมาตรคงที่คือ C_V=(∂U/∂T)_V,N ปริมาณเหล่านี้มีหน่วยต่างกันและอธิบายอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน การเพิ่ม offset พลังงาน ε กับทุกสถานะจะทำให้ Z คูณด้วย exp(−βε), เพิ่ม U และ F ด้วย ε และคงความน่าจะเป็น เอนโทรปี และความจุความร้อนไว้เมื่อ ε ไม่ขึ้นกับ T ดังนั้นพลังงานเฉลี่ยที่เป็นลบไม่ใช่หลักฐานของความจุความร้อนที่เป็นลบ ใช้ reference พลังงานเดียวกันในความน่าจะเป็นและนิพจน์เทอร์โมไดนามิก
• การหาอนุพันธ์ β ครั้งที่สองของ lnZ ให้ความแปรปรวน Var(E)=⟨E²⟩−U² สำหรับแบบจำลอง canonical ที่มีสเปกตรัมคงที่เดียวกัน C_V=Var(E)/(kBT²), ดังนั้น C_V/kB=β²Var(E) ความแปรปรวนที่ไม่เป็นลบบ่งชี้ถึง C_V ที่ไม่เป็นลบภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ตัวหารมี kB, ไม่ใช่ kB², เมื่อความจุความร้อนรักษาหน่วย J/K ปกติสูตรการ fluctuation นี้เกี่ยวข้องกับ distribution พลังงานแบบ canonical; มันไม่ได้หมายความว่าแต่ละอนุภาคมีพลังงานเฉลี่ยพอดี สำหรับ subsystems ที่แยกจากกัน ความแปรปรวนบวกกัน และค่าเฉลี่ยก็บวกเช่นกัน ความ fluctuation ของพลังงานโดยทั่วไปจะลดลงเช่น 1/√N เมื่อค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนต่อ subsystem คงที่และไม่เป็นศูนย์
• สำหรับสถานะพื้นหนึ่งระดับที่ E=0 และสถานะกระตุ้นหนึ่งระดับที่ E=Δ>0 ที่คงค่า ให้ x=Δ/(kBT) แล้ว z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc และ C/kB=x²e^x/(1+e^x)². ที่อุณหภูมิต่ำ การกระตุ้นและความจุความร้อนจะหายไปแบบเอกซ์โพเนนเชียล ที่อุณหภูมิสูง p_exc จะเข้าใกล้ครึ่งหนึ่งและพลังงานจะอิ่มตัว ทำให้ความจุความร้อนกลับเป็นศูนย์อีกครั้ง เอนโทรปีเพิ่มขึ้นจากศูนย์ของสถานะพื้นที่มีเพียงหนึ่งระดับ ไปทาง kB ln2 เมื่อสถานะทั้งสองมีความน่าจะเป็นเท่ากันยอดความจุความร้อนที่อุณหภูมิจำกัดที่เกิดขึ้นนี้เฉพาะสำหรับโมเดลระดับจำกัดเท่านั้น ไม่ใช่ค่าออสซิลเลเตอร์คลาสสิกที่คงที่ ความเบี่ยงเบนของสถานะพื้นหรือการมีระดับเพิ่มเติมจะเปลี่ยนเอนโทรปีลิมิตและการตอบสนองต่ออุณหภูมิ

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับระดับ 0 และช่องว่าง Δ ที่คงที่ที่อุณหภูมิที่ x=ln3, z=1+1/3=4/3 และ p_exc=1/4 ดังนั้น u=Δ/4, ⟨E²⟩=Δ²/4 และ Var(E)=3Δ²/16. C/kB=3(ln3)²/16=0.226303. F=−kBT ln(4/3); S/kB=ln(4/3)+(ln3)/4=0.562335. การยกค่าอ้างอิงขึ้น ε จะเปลี่ยน u เป็น ε+Δ/4 แต่รักษาความแปรปรวนและความจุความร้อนไว้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รักษา Δ ให้คงที่ขณะหาอนุพันธ์ รวมความเบี่ยงเบนลงใน Z และใช้ความแปรปรวนของพลังงานแทนกำลังสองของค่าเฉลี่ยพลังงานในสูตรความจุความร้อน

TS.5 · การครอบครองตามควอนตัมและลิมิตของการแบ่งแยกพลังงานอย่างเท่าเทียม

• สำหรับอนุภาคที่ไม่มีการอันตรกิริยาในสมดุลการแลกเปลี่ยนความร้อนและอนุภาค ใช้ศักย์เคมี μ และ x=(ε−μ)/(kBT) ค่าเฉลี่ยของการครอบครองสถานะหนึ่งสถานะเต็มคือ n_F=1/(e^x+1) สำหรับเฟอร์มิออน และ n_B=1/(e^x−1) สำหรับโบซอน การครอบครองของเฟอร์มิออนในสถานะนั้นเป็นศูนย์หรือหนึ่ง; ค่าเฉลี่ยอยู่ระหว่างสองค่านี้ การครอบครองของโบซอนสามารถเกินหนึ่งได้ ระดับที่มีสมมาตร g จะมีค่าเฉลี่ยรวมเท่ากับ g เท่าของการครอบครองสถานะเดี่ยวเมื่อสถานะเหล่านั้นมีพลังงานเดียวกัน นับสปินเป็นส่วนหนึ่งของสถานะเต็ม ตัวส่วนของโบซอนต้องการ ε>μ สำหรับนิพจน์จำกัดทั่วไป โดยพิจารณาขอบเขตสถานะพื้นแยกต่างหาก สำหรับโฟตอนในสมดุล μ=0 เนื่องจากจำนวนโฟตอนไม่ถูกอนุรักษ์; อย่าตั้ง μ=0 สำหรับแก๊สอนุภาคทุกชนิด
• Count occupation patterns rather than labelling identical particles. Two identical fermions distributed among four distinct complete states have choose(4,2)=6 allowed patterns. Two identical bosons among those states have choose(4+2−1,2)=10 patterns because both may share one state. Two labelled distinguishable particles would have 4²=16 assignments. These are different counting models, not three interchangeable answers to the same specification. If a question supplies spin degeneracy, first decide whether its stated number counts complete states or just orbital levels. A Pauli prohibition on two identical complete states does not prohibit opposite-spin fermions in one spatial orbital.
• When x is large and positive, occupation is small and both denominators are dominated by e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), the Maxwell–Boltzmann dilute limit. At x=ln4 the means are 1/5 for fermions, 1/3 for bosons and 1/4 in the classical approximation; the difference is still significant. A large total particle number alone does not justify classical statistics: density, temperature and accessible states control occupation. For fermions at low T, states below μ become nearly occupied and those above nearly empty. At ε=μ a fermionic state has mean one half; inserting that value into the ordinary Bose formula would instead produce a divergent denominator and requires different limiting treatment.
• Classical equipartition assigns kBT/2 of mean energy to each independent quadratic term in an equilibrated Hamiltonian. A monatomic ideal gas has three translational terms, giving U=3NkBT/2 and C_V=3NkB/2. One classical one-dimensional harmonic oscillator has kinetic and potential terms, giving mean kBT and C=kB. For a quantum oscillator with fixed spacing ε=ℏω, the thermal energy above its temperature-independent zero point is ε/(e^x−1), now x=ε/(kBT), and C/kB=x²e^x/(e^x−1)². At high T it approaches the classical value; at low T excitation freezes out and C→0. A zero-point energy ε/2 shifts U but not C. Molecular rotational/vibrational contributions likewise need their energy scales checked before assigning classical quadratic terms.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ที่ x=(ε−μ)/(kBT)=ln4, สถานะเดียวจะมี n_F=0.2 หรือ n_B=1/3 ดังนั้นระดับที่เสื่อม 5 สถานะจึงมีค่าเฉลี่ย 1 เฟร์มิออน หรือ 5/3 โบซอน; การครอบครองระดับเฟร์มิออนรวมสามารถเกินหนึ่งได้ที่ค่า x อื่นๆ เนื่องจากมีสถานะเฉพาะเจาะจง 5 สถานะ ออสซิลเลเตอร์ควอนตัมที่ ε/(kBT)=ln2 มีค่าเฉลี่ยพลังงานการกระตุ้น ε และ C/kB=2(ln2)²=0.960906, ใกล้เคียงแต่ต่างจากค่าคลาสสิกหนึ่ง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

Exclude two fermions from one complete state, not from an entire degenerate energy level. State which x is used; chemical-potential occupations and fixed oscillator excitation formulas are different models.

QM.2 · การรบกวนเล็กน้อยและสเปซย่อยที่เสื่อมสภาวะ

• ให้ H=H₀+λW โดยที่ λ เป็นพารามิเตอร์ไร้มิติเล็ก และ eigenstates ของ H₀ เป็นที่ทราบและ normalised สำหรับระดับ nondegenerate n การแก้ไขพลังงานลำดับแรกคือ λ⟨n|W|n⟩ ใน position space นี้คือ λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx สำหรับศักย์แบบคูณ โดยอินทิเกรตเหนือโดเมนที่อนุญาต ค่าศักย์ที่จุดใดจุดหนึ่งไม่ใช่ expectation value; ความหนาแน่นความน่าจะเป็นของสถานะจะถ่วงน้ำหนักทั้งโดเมน สำหรับ infinite well 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L) การสะท้อนผ่านศูนย์กลางทำให้ ⟨x⟩=L/2 ดังนั้นศักย์เพิ่มเล็กน้อย γx จะมีค่า shift γL/2 สำหรับทุก level ของ well แบบ nondegenerate ที่ลำดับแรก γ มีหน่วยเป็นพลังงานต่อความยาว
• สำหรับ perturbation คี่เกี่ยวกับศูนย์กลาง เช่น γ(x−L/2) probability density ของ eigenstate ของ well ที่ไม่มีการรบกวนจะเป็นคู่ ดังนั้น diagonal expectation ของมันจึงเป็นศูนย์ Perturbation แบบกำลังสองที่มีศูนย์กลาง η(x−L/2)² แทนจะให้ shift ηL²[1/12−1/(2π²n²)] ซึ่งเป็นบวกสำหรับ η>0 และขึ้นอยู่กับ n Parity ทำให้ first-order integral เป็นศูนย์เฉพาะสำหรับ state และ operator symmetry ที่ระบุเท่านั้น off-diagonal matrix elements ยังคงสามารถเปลี่ยนแปลง wavefunction ได้ อย่าเปลี่ยนการ-cancel จากสมมาตรให้เป็นคำอ้างว่า energy correction ทั้งหมดเป็นศูนย์หรือว่า state เดิมยังคงถูกต้องแม่นยำ
• สำหรับสถานะที่ไม่เกิดภาวะเสื่อม (nondegenerate state) ส่วนผสมหลักของสถานะไม่รบกวน m อื่นๆ เป็นสัดส่วนกับ λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰) ดังนั้นเงื่อนไขความเล็กที่มีประโยชน์จึงเป็นการเปรียบเทียบเมทริกซ์องค์ประกอบของการคู่coupling กับช่องว่างระดับพลังงานที่เกี่ยวข้อง ไม่ใช่เพียงศูนย์พลังงานสัมบูรณ์ที่เลือกไว้เอง ที่อันดับสอง การแก้ไขพลังงานมีรูป Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰) สำหรับสถานะที่ไม่เกิดภาวะเสื่อมต่ำสุด ตัวหารทั้งหมดเหล่านี้เป็นลบ ทำให้การแก้ไขอันดับที่สองมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์ในโมเดลนี้ Near degeneracy ตัวหารที่เล็กจะทำให้การขยายแบบ nondegenerate ใช้ไม่ได้ ให้ใช้ subspace ที่ coupled แทนการหารด้วยศูนย์
• If a level of H₀ is exactly degenerate, choose an orthonormal basis within that subspace and form the Hermitian matrix of the perturbation there. Its eigenvalues are the first-order energy shifts, and its eigenvectors specify the combinations that diagonalise the leading splitting. For a two-state subspace with perturbation ε[[2,1],[1,2]], the normalised symmetric and antisymmetric combinations have shifts 3ε and ε. Reading only the two diagonal entries would incorrectly predict two shifts of 2ε. A common scalar multiple of the identity shifts both states equally and does not split their degeneracy; off-subspace couplings can matter at higher order.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

In a 2 nm infinite well, a weak γx perturbation with γ=0.05 eV/nm gives ΔE_n^(1)=γL/2=0.05 eV. Separately, η=0.03 eV/nm² multiplying (x−L/2)² gives the ground shift 0.03·4[1/12−1/(2π²)]=0.00392073 eV. These are first-order results conditional on weak coupling relative to gaps. A degenerate pair with ε[[2,1],[1,2]] and ε=0.004 eV splits into shifts 0.004 and 0.012 eV; the symmetric state gets the larger shift.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้น้ำหนักสถานะที่ปกติแล้ว (Normalized state weights), รักษายูนิตของการรบกวน, และทำให้อันดับบนเส้นทแยงมุมสเปกตรัมที่หดตัว การยกเลิกอันดับแรกและการไม่แปรเปลี่ยนอย่างสมบูรณ์เป็นข้ออ้างคนละชนิดกัน

QM.3 · สมมาตรการแลกเปลี่ยน คู่สปิน และหลักการกีดกันของPauli

• สำหรับอนุภาคเหมือนกัน การแลกเปลี่ยน every coordinate และ spin label จะเปลี่ยน fermionic total wavefunction ด้วยเครื่องหมายลบและทำให้ bosonicResting one unchanged Mathematical slots 1 and 2 label arguments, not permanently distinguishable particles สำหรับ two distinct orthonormal orbitals a และ b Spatial combinations are Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2 Orthogonality ทำให้ combinations เหล่านี้ normalised และให้ exchange eigenvalues ±1 หาก orbital ทั้งสองเหมือนกัน Anti-symmetric combination จะเป็นศูนย์เสมอและ symmetric formula ที่แสดงออกไม่ normalised ถูกต้อง; spatial state ของ double-occupation คือ a(1)a(2) ตรวจสอบ normalization ใหม่ทุกครั้งเมื่อ orbitals หรือ their overlaps เปลี่ยนแปลง
• อนุภาคสPIN 1/2 สองตัวมีสถานะ spin singlet (↑↓−↓↑)/√2 ที่มีโมเมนตัมเชิงมุมรวม S=0; มีคุณสมบัติเป็น antisymmetric ภายใต้การแลกเปลี่ยน สภาวะ triplet ทั้งสามคือ ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 และ ↓↓ มี S=1 และมีคุณสมบัติเป็น symmetric อิเล็กตรอนต้องการสถานะรวมที่เป็น antisymmetric ดังนั้นสถานะทางกายภาพที่สมมาตรจะจับคู่กับ singlet ในขณะที่สถานะทางกายภาพที่เป็น antisymmetric จะจับคู่กับ triplet อิเล็กตรอนสองตัวในออร์บิทัลทางกายภาพเดียวกันสามารถสร้างเป็น singlet ได้ แต่ไม่สามารถสร้างเป็น triplet ในสถานะสองอิเล็กตรอนแบบง่ายนี้ได้ กฎการกีดกันของ Pauli ป้องกันการครอบครองสถานะเดี่ยวที่มีพารามิเตอร์ครบถ้วนเหมือนกัน รวมถึงสปิน อิเล็กตรอนที่สPIN ขั้วตรงข้ามในออร์บิทัลเดียวกันคือสองสถานะที่แตกต่างกัน การอธิบายกฎการกีดกันว่าเป็น "หนึ่งอิเล็กตรอนต่อออร์บิทัล" จึงเป็นการละเลยความแตกต่างนี้
• สำหรับออร์บิทัลเชิงพื้นที่ a, b สองตัวและสเปินสถานะแต่ละตัวสองชนิด จะมีสถานะอนุภาคเดี่ยวที่สมบูรณ์สี่สถานะ อิเล็กตรอนสองตัวที่เหมือนกันมีรูปแบบการครอบครอง choose(4,2)=6: ซิงเกเลตแบบ-double-occupation สองแบบ, ซิงเกเลตต่างออร์บิทัลหนึ่งแบบ และทริกเก็ตต่างออร์บิทัลสามแบบ สำหรับออร์บิทัลเชิงพื้นที่สามตัว จะมีหกสถานะสมบูรณ์ และมีรูปแบบ choose(6,2)=15 การนับการจัดเรียงที่เป็นลำดับจะนับซ้ำอนุภาคที่เหมือนกัน บอสออนไร้สเปินในออร์บิทัลสองตัวจะมีรูปแบบการครอบครองสามแบบ: ทั้งคู่อยู่ใน a, อย่างละตัวในทั้งสอง, ทั้งคู่อยู่ใน b การนับเหล่านี้สมมติว่าไม่มีการจำกัดพลังงานเพิ่มเติมและสถานะอนุภาคเดี่ยวที่เข้าถึงได้ตามที่ระบุไว้ หากจำกัดพลังงานรวมหรือสเปินโปรเจกชัน จะทำให้ชุดสถานะที่เป็นไปได้เปลี่ยนไป
• สถานะเชิงพื้นที่ antisymmetric เป็นไปตาม Ψ_−(x,x)=0 ดังนั้นความหนาแน่นตำแหน่งร่วมจึงเป็นศูนย์บนเส้น coincidence สถานะเชิงพื้นที่ symmetric อาจไม่เป็นศูนย์ที่นี่ ความแตกต่างเกิดขึ้นจากการแทรกสอดระหว่างแอมพลิจูดที่ถูกแลกเปลี่ยน แม้สำหรับอนุภาคที่ไม่มีการโต้ตอบ ก็ไม่ใช่แรงผลักทางคลาสสิกที่บังคับแยกต่างหาก สำหรับบ่อที่มีความยาว L เลือก a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L) ที่ x₁=L/4 และ x₂=3L/4 แอมพลิจูดเชิงพื้นที่ antisymmetric มีค่า −2/L และความหนาแน่นคือ 4/L²; แอมพลิจูด symmetric เป็นศูนย์ นี่คือความน่าจะเป็นร่วมต่อหน่วยความยาวสองหน่วย ไม่ใช่ความน่าจะเป็นที่จุดแน่นอน สัมประสิทธิ์สปินทางกายภาพยังคงกำหนดว่าสถานะอิเล็กตรอนรวมจะใช้การประกอบเชิงพื้นที่แบบใด

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ด้วยออร์บิทัลออร์ทอนอมอล a,b จำนวนสองตัว สถานะอิเล็กตรอนคู่ Ψ_+χ_singlet มีสมมาตรผกผันรวมเนื่องจาก (+1)(−1)=−1. Ψ_−χ_triplet ก็เป็นไปได้อีกเช่นกัน หากอิเล็กตรอนทั้งสองใช้ออร์บิทัล a ผลคูณเชิงพื้นที่ a(1)a(2) จะมีสมมาตร ดังนั้นจึงมีเพียงปัจจัยสPIN singlet เท่านั้นที่เป็นไปได้ ในบ่อที่ตำแหน่ง L/4 และ 3L/4, Ψ_−=−2/L ให้ความหนา 4/L² ในขณะที่ Ψ_+=0; แต่ละฟังก์ชันถูกทำให้เป็นเอกพจน์ (normalised) บนโดเมนสองพิกัดทั้งหมด แทนที่จะตีความว่าเป็นความน่าจะเป็นที่จุดจับคู่ที่แน่นอน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

แลกเปลี่ยนพารามิเตอร์เชิงพื้นที่และสPIN ทั้งหมด อย่าสับสนระหว่างพื้นที่ที่มีสมมาตรผกผันกับสถานะรวมที่มีสมมาตรผกผัน หรือการใช้ตัวคูณ √2 ของออร์บิทัลที่แตกต่างกันสำหรับการใช้ ออร์บิทัลเดียวกันสองตัว

QM.4 · สถานะผูกพันของบ่อความกว้างจำกัดและเลขควอนตัมไฮโดรเจนนิค

• กำหนดบ่อสมมาตร V=−V₀ สำหรับ |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 และมวลเดียวกันตลอดทั้งบริเวณ พลังงานผูกพันอยู่ระหว่าง −V₀ และศูนย์ ภายใน, k=√[2m(E+V₀)]/ℏ ให้คำตอบแบบสั่น; ภายนอก, κ=√(−2mE)/ℏ ให้หางที่ลดลง ตัดเอ็กซ์โพเนนเชียลที่เพิ่มขึ้นเพื่อรับสถานะที่ normalizable สมมาตรสะท้อนอนุญาตให้ cos(kx) หรือ sin(kx) ภายในเป็นสถานะคู่หรือคี่ ที่ขอบเขตจำกัดโดยไม่มีการกระทำ delta ทั้ง ψ และ ψ′ ต่อเนื่อง การจับคู่แบบคู่ให้ k tan(ka)=κ; การจับคู่แบบคี่ให้ −k cot(ka)=κ บ่อความกว้างจำกัดไม่จำเป็นต้องให้ ψ เป็นศูนย์ที่ขอบเขตเหมือนบ่ออนันต์
• Introduce z=ka and ρ=a√(2mV₀)/ℏ. Then κa=√(ρ²−z²) and 0<z<ρ. Solve z tan z=√(ρ²−z²) for an even state, or −z cot z=√(ρ²−z²) for an odd one, on intervals with the appropriate sign and away from tangent poles. Energy follows as E/V₀=z²/ρ²−1. For ρ=1, the ground root lies in 0<z<1 and the even equation is equivalent there to z=cos z. Bisection or a converged root finder gives z≈0.739085 and E/V₀≈−0.453753. Since ρ<π/2, no odd bound-state branch fits. In one dimension an attractive square well has an even bound ground state however shallow it is; an E=0 threshold tail is not square integrable.
• สำหรับสถานะผูกพันแบบคู่ เขียน ψ=A cos(kx) ภายในและ ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] ภายนอก ความต่อเนื่องกำหนด relative tail amplitude; ผสาน |ψ|² ทั่วทั้งภายในและหางเพื่อกำหนด A ความน่าจะเป็นภายนอกบ่อไม่เป็นศูนย์และขึ้นอยู่กับความลึก ความกว้าง และสถานะที่เลือก สถานะผูกพันมีพลังงานแบบ discrete และ asymptotes ที่ลดลงแบบ normalizable สถานะกระจายตัวที่มี E>0 มีคลื่นภายนอกที่แพร่กระจายและถูก normalization หรือตีความโดยใช้().' convention continuum/flux หางที่ลดลงไม่ใช่หลักฐานว่าสถานะละเมิดกฎอนุรักษ์พลังงาน, และ raw tail amplitude ไม่ใช่ความน่าจะเป็นภายนอกจนกว่าจะถูกผสานและ normalization
• For a one-electron Coulomb ion with nuclear charge Ze, use the nonrelativistic central-potential model and a heavy nucleus approximation unless reduced mass is specified. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; allowed orbital numbers are n≥1, l=0,…,n−1 and m_l=−l,…,l. L² has eigenvalue l(l+1)ℏ² and L_z=m_lℏ; the ground 1s orbital has l=0, despite the historical Bohr circular-orbit rule. Spatial degeneracy at fixed n is Σ_l(2l+1)=n² before spin and fine-structure corrections. If ψ=R_nl(r)Y_lm with angular part normalised, radial probability in dr is r²|R|²dr, not just |R|²dr. For hydrogen 1s, the radial density is 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: it peaks at r=a₀ and has mean 3a₀/2, while the three-dimensional point density is largest at the origin. Distinguish these measures before locating a most probable radius.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

For ρ=1, z≈0.739085 gives κa≈0.673612 and E≈−0.453753V₀; the even ground state leaks beyond ±a but decays at infinity. For a one-electron Z=2 ion in n=2, E≈−13.6·4/4=−13.6 eV. Its allowed l values are 0 and 1, giving four spatial states before spin. In a hydrogen 1s orbital, the radial density peaks at a₀ because the r² shell factor offsets the decreasing point density; integrating the radial density gives ⟨r⟩=3a₀/2.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้ค่าศักย์ที่กำหนดให้เป็นศูนย์, จับคู่ ψ′.enable ψ, และรวมมาตรวัดเปลือกรัศมี ส่วนหางที่ผูกและคลื่นเดินทางของ continuum มีช่วงพลังงานที่แตกต่างกัน

AT.2 · การเลื่อนสนามอะตอมและความแตกต่างของสเปกตรัม

• An electron has a negative magnetic moment: μ_L=−μ_B L/ℏ and μ_S≈−2μ_B S/ℏ. With B along positive z, the interaction −μ·B therefore gives H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/ℏ. μ_B≈5.788×10⁻⁵ eV/T. In an uncoupled basis with orbital projection m_l and spin projection m_s=±1/2, the shift is μ_B B(m_l+2m_s). Use this uncoupled rule when the magnetic interaction is large relative to the relevant spin-orbit splitting but still small relative to orbital energy gaps, so quadratic diamagnetic and orbital restructuring effects can be neglected. Large and small are comparisons of energies, not universal Tesla thresholds. In the opposite weak-field regime, m_l and m_s are not independently conserved labels for an LS-coupled eigenstate.
• เมื่อการจับคู่ LS ล้ำหน้าต่อการรบกวนแม่เหล็กอ่อน J=L+S และ m_J ทำหน้าที่เป็นฉลากกลุ่มหลายระดับ การเลื่อนอันดับแรกคือ μ_B B g_J m_J, โดย g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] ภายใต้การประมาณ g_s=2. L,S,J ที่นี่เป็นเลขควอนตัมที่ไม่มีมิติ สำหรับ L=1,S=1/2, J=3/2 ให้ g_J=4/3 และการเลื่อน −2,−2/3,+2/3,+2 เท่ากับ μ_B B. J=1/2 ให้ g_J=2/3 และการเลื่อน ±μ_B B/3. อย่าแทนที่ J=0 ลงในสูตรเอกฐาน; สถานะ J=0 ไม่มีการเลื่อนเวกเตอร์โปรเจกชันอันดับแรก สนามกลางต้องการแฮมิลโตเนียนแบบจับคู่แทนการผสมสูตรสนามอ่อนและไม่จับคู่
• พลังงานของโฟตอนคือพลังงานอะตอมส่วนบนลบด้วยพลังงานส่วนล่าง การเปลี่ยนแปลงที่เกิดจากสนามของมันดังนั้นคือ ΔE_γ=ΔE_upper−ΔE_lower. นับการเปลี่ยนผ่านที่เป็นไปได้โดยใช้กฎการเลือกที่ระบุไว้ร่วมกับรูปแบบระดับสองหลายการเปลี่ยนผ่านสามารถแบ่งปันความถี่เดียวกันได้ จำนวนสถานะที่แตกแยกไม่ใช่จำนวนเส้นสเปกตรัมโดยอัตโนมัติ ในโมเดลออร์บิตที่ละเลยสเปิน กลุ่ม triplet ส่วนบน L=1 มีการเลื่อน m_l μ_B B กับ m_l=−1,0,+1, และสถานะส่วนล่าง L=0 ไม่มีการเลื่อน ไดโพลไฟฟ้า Δm_l=0,±1 อนุญาตให้มีการเลื่อนโฟตอนสามแบบ −μ_B B,0,+μ_B B. โมเดล triplet ปกตินี้ไม่อธิบายทุกอะตอมจริงหรือกลุ่มหลายระดับของโครงสร้างละเอียด การโพลาไรซ์และทิศทางสังเกตการณ์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ว่าองค์ประกอบใดจะถูกตรวจจับ
• ในสนามไฟฟ้า F ตามแนว z Perturbation ของอิเล็กตรอนคือ +eFz สำหรับข้อยกเว้นศักย์ไฟฟ้าสถิตที่กำหนดให้ Eigenstate ของ parity ที่ไม่เกิดภาวะเสื่อมมี ⟨z⟩=0 ดังนั้น Stark shift แบบ first-order diagonal จึงเป็นศูนย์ แม้ว่าจะมี quadratic shift เหลืออยู่ได้ State ที่มี opposite-parity และเกิดภาวะเสื่อมอย่างแท้จริงสามารถให้ off-diagonal dipole matrix element ได้ ในโมเดลสองสถานะดั้งเดิม สมมติว่าเมทริกซ์ไดโพลคือ [[0,d],[d,0]] โดยมี d จริงในหน่วย charge×length Perturbation F คูณกับเมทริกซ์นี้มี eigenvalues ±dF และ superposition ที่ตรงกันข้ามของสองสถานะ การเปลี่ยน phase ของฐานจะเปลี่ยนเครื่องหมาย off-diagonal แต่ไม่ทำให้การแยก 2|dF| เปลี่ยนไป อะตอมใกล้เกิดภาวะเสื่อมจริงต้องการเปรียบเทียบกับ fine structure และการแยกตัวเล็กอื่นๆ ก่อนที่จะใช้ประมาณการณ์เกิดภาวะเสื่อมอย่างแท้จริง; เมทริกซ์นี้ไม่ใช่สัมประสิทธิ์ไฮโดรเจนสากล

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ด้วย μ_B=5.788×10⁻⁵ eV/T, B=2 T และฉลาก LS-coupled ในระบอบสนามอ่อน L=1,S=1/2,J=3/2,m_J=1/2, การเลื่อนคือ (4/3)(1/2)μ_B B=7.7173×10⁻⁵ eV. ในระบอบที่ไม่มีการจับคู่แบบอื่น m_l=1,m_s=−1/2 แทนที่จะให้เกิด zero linear shift. Normal orbital L=1→0 triplet ที่ 2 T มีการเลื่อนของโฟตอน −1.1576×10⁻⁴,0,+1.1576×10⁻⁴ eV. แยกต่างหาก คู่ dipole ที่หดท่อน (degenerate) กับ d=2 e·nm และ F=10⁵ V/m มีการเลื่อน ±0.0002 eV, ช่องว่าง 0.0004 eV

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ประกาศระบอบการจับคู่ รักษาเครื่องหมายลบของโมเมนต์อิเล็กตรอน และลบการเลื่อนระดับส่วนล่าง. ค่าคาดหวังของไดโพลแบบ diagonal เป็นศูนย์ไม่ตัดความเป็นไปได้ของการผสมแบบ hcdท่อนหรือการเลื่อนแบบ quadratic

AT.3 · สเปกตรัมความร้อนและการปรับสเกลอิเล็กตรอนเดียว

• For ideal thermal equilibrium radiation, Planck’s wavelength spectral radiance is B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ is per wavelength interval and per solid angle, not a total power. A blackbody’s hemispheric surface flux spectrum is M_λ=πB_λ; integrating over all wavelengths gives σ_SB T⁴. All temperatures are absolute Kelvin. The wavelength peak obeys λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. A spectrum per frequency has a different peak because B_ν dν and B_λ dλ include a Jacobian; c/λ_max is not the peak frequency of B_ν. Increasing T moves the wavelength peak shorter and increases the integrated flux by T⁴, not by the peak-position ratio alone.
• สำหรับพื้นผิวเทาสม่ำเสมอต้นฉบับที่มีพื้นที่ A และค่าการแผ่รังสี ε ที่ไม่ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น กำลังการแผ่รังสีสุทธิไปยังสิ่งแวดล้อมขนาดใหญ่อุณหภูมิต่างๆ คือ εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) ภายใต้สมมติฐานตัวประกอบมุมมองที่กำหนดให้ ใช้ σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. ค่าการแผ่รังสีที่แปรผันตามสเปกตรัมหรือสิ่งแวดล้อมที่ไม่สมบูรณ์ต้องใช้โมเดลที่ละเอียดกว่า โฟตอนที่มีความยาวคลื่นกำหนดมีพลังงาน E=hc/λ ซึ่งสะดวกในการคำนวณประมาณ 1240 eV·nm/λ_nm. สเปกตรัมความร้อนประกอบด้วยโฟตอนหลายพลังงาน; โฟตอนที่จุดสูงสุดของความยาวคลื่นไม่ใช่พลังงานเฉลี่ยของทุกโฟตอน. สำหรับ T=3000 K, λ_max≈966 nm; พลังงานโฟตอนนั้นประมาณ 1.284 eV. พื้นผิวที่มี A=2×10⁻⁴ m² และ ε=0.5 จะแผ่รังสี 459.27 W ไปยังสิ่งแวดล้อมที่เย็นจัดจนมองข้ามได้
• In the historical Bohr one-electron model with a heavy nucleus of charge Ze, Coulomb force m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) and angular momentum m_e vr=nℏ lead to r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n and E_n≈−13.6Z²/n² eV. The radius scales with n²/Z while binding energy scales with Z²/n²; do not use the same charge power in both. These circular-orbit assumptions are a historical scaling model. Wave-mechanical angular momentum is √[l(l+1)]ℏ with l=0,…,n−1, so a 1s orbital has zero orbital angular momentum rather than the Bohr nℏ value. Reduced-mass corrections replace m_e with μ: Coulomb radius scales as 1/μ and energy as μ. Multielectron screening, large-Z relativistic corrections and fine structure are outside the simple model.
• สำหรับการปล่อยรังสี ni→nf เมื่อ ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. แปลงผลต่างบวกนี้เป็นความยาวคลื่น ≈1240/E_γ nm. การไอออนไนเซชันจากระดับ n ต้องใช้พลังงาน 13.6Z²/n² eV เพื่อให้ถึงศูนย์ต่อเนื่อง (continuum zero). การดูดกลืนจะกลับลำดับชั้นพลังงานและต้องใช้พลังงานโฟตอนเข้าที่เป็นบวกที่สอดคล้องกัน. สำหรับอนุกรมที่สิ้นสุดที่ nf คงที่ พลังงานโฟตอนแบบ bound-bound สูงสุดเกิดขึ้นเมื่อ ni→∞, ให้ E_limit=13.6Z²/nf² และความยาวคลื่นสั้นสุดของอนุกรม. สำหรับฮีเลียมอิเล็กตรอนเดียว Z=2, n=3→2 ให้ 7.5556 eV และ λ≈164.12 nm. รัศมีโบร์ n=3 ของมันคือ 4.5a₀; รัศมีนี้อธิบายวงโคจรเชิงประวัติศาสตร์ ไม่ใช่โหมดรัศมีสากลสำหรับทุก l ที่ n=3

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

A 3000 K blackbody has wavelength peak 966 nm and peak-wavelength photon energy 1240/966≈1.284 eV. For ε=0.5,A=2×10⁻⁴ m²,T_env=300 K, net grey-surface power is 459.224073 W; the cold-environment approximation gives 459.27 W. Separately, a Z=2 one-electron ion emits n=3→2: 13.6·4(1/4−1/9)=7.5556 eV, λ≈164.12 nm. Its n=3 binding threshold is 54.4/9≈6.0444 eV, smaller than this photon energy because that photon ends at a lower n=2 level.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ประกาศความหนาแน่นของความยาวคลื่นหรือความถี่, ใช้สเกลเคลวินสำหรับกำลังสี่, และแยกการเปลี่ยนสถานะออกจากไอออไนเซชัน. รัศมีวงกลมของโบร์และโมเมนตัมเชิงมุมไม่ใช่รัศมีและ L ของออร์บิทัลคลื่นทั้งหมด

RA.2 · สมัยนิยม, การวัดความยาว และการแปลงความเร็ว

• Use the Lorentz transformation with declared frame motion: if frame S′ moves at +v along x relative to S, then x′=γ(x−vt) and t′=γ(t−vx/c²) with γ=1/sqrt(1−v²/c²). Apply it to event separations Δx and Δt, not only to single coordinates. Two events simultaneous in S (Δt=0) at different places have Δt′=−γvΔx/c²: the event further in the +x direction happens earlier in S′. Simultaneity is frame-dependent, not a bookkeeping error.
• ความยาวของแท่งเคลื่อนที่ต้องอ่านจากตำแหน่งปลายแท่งในเวลาเดียวกันของห้องปฏิบัติการ (Δt=0) จากนั้น Δx′=γΔx ให้ L=L0/γ โดย L0 คือความยาว Rest-frame (proper) การอ่านปลายแท่งพร้อมกันใน frame ของแท่งไม่ได้ให้ laboratory length; สภาวะการอ่านทั้งสองตอบคำถามต่างกัน ระบุ frame และสภาวะการอ่านก่อนอ้างถึงความยาวใดๆ
• ช่วง s²=c²Δt²−Δx² (mostly-minus convention, ประกาศครั้งเดียว) เป็น invariant s²>0 เป็น timelike: มี frame ที่เหตุการณ์อยู่รวมกัน, และ Δτ=s/c คือ proper time ระหว่างพวกเขา s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c
• Collinear velocities add as u=(u′+v)/(1+u′v/c²); the denominator keeps u<c for any u′,v<c, and u′=c gives u=c exactly. Energy and momentum form a four-vector with invariant E²−p²c²=m²c⁴: compute it in any convenient frame. Check each result in the nonrelativistic limit, where the addition rule reduces to u=u′+v and the invariant reduces to the rest energy.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

เหตุการณ์ A และ B ห่างกัน 900 m ในห้องแล็บและห่างกัน 2 μs ในเวลา (cΔt=600 m โดยใช้ c=3×10⁸ m/s). เนื่องจาก 600<900 ช่วงเวลานี้เป็น spacelike; เฟรมความพร้อมกันเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v=c²Δt/Δx=(2/3)c และระยะทางproper คือ sqrt(900²−600²)=670.82 m. โพรบ 0.5c จากยาน 0.5c มีความเร็วในห้องแล็บ (0.5+0.5)c/(1+0.25)=0.8c, โดย γ=5/3. E=5 GeV กับ p=3 GeV/c ให้พลังงานนิ่ง sqrt(25−9)=4 GeV.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

Quoting L=L0/γ without the simultaneous-endpoint condition, or adding velocities as u=u′+v at relativistic speeds. A simultaneity difference is physical, not a mistake.

LM.2 · การโหลดการวัด, Gain ของแอมพลิฟายเออร์ และ Response ของเครื่องตรวจจับ

• Model the measured circuit as a Thevenin source V_th with resistance R_th and the instrument as input resistance R_m. The reading is V_th·R_m/(R_m+R_th), with the same sign as V_th and magnitude no greater than |V_th| for positive resistances. A 10 V source with R_th=100 kΩ read by a 1 MΩ meter gives 10×(1/1.1)=9.09 V, a 9% low bias. A 10× oscilloscope probe raises the effective input resistance and divides the signal by ten; quote both effects.
• An ideal non-inverting op-amp stage has gain 1+R2/R1; the inverting stage has −R2/R1, with the sign carried explicitly. A first-order RC low-pass has cutoff f_c=1/(2πRC); its amplitude ratio is 1/sqrt(1+(f/f_c)²) and its phase is −arctan(f/f_c). At f=f_c the amplitude is 1/√2 (the −3 dB point), not one half. For R=1 kΩ and C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.
• ประสิทธิภาพของเครื่องตรวจจับ ε คือจำนวนเหตุการณ์ที่ตรวจพบหารด้วยจำนวนเหตุการณ์ที่ตกกระทบ; ความละเอียดพลังงานระบุเป็น FWHM/E เช่น 13.2 keV บนเส้น 662 keV ประมาณ 2% เครื่องตรวจจับแบบไม่พาราลายเซเบิลที่มีเวลาตาย τ บันทึก m=n/(1+nτ) จากอัตราจริง n; การแก้สมการจะได้ n=m/(1−mτ), ซึ่งล้มเหลวเมื่อ mτ→1. ระบุแบบจำลองเวลาตายที่คุณสมมติ; พฤติกรรมแบบพาราลายเซเบิลจะแตกต่างกัน
• การปรับเทียบเชิงเส้นเทียบกับมาตรฐาน Known สามารถแก้ไขค่า offset และ scale error ได้ แต่ไม่สามารถขจัด noise หรือการรับประกันการแก้ไข nonlinearity ได้ Curve การปรับเทียบจะแปลงค่าที่บ่งชี้เป็นค่าจริง; การ interpolation ระหว่างจุดจะสันนิษฐานว่ามีความเรียบในพื้นที่นั้น รายงาน resolution และ efficiency แยกกัน: Peak คมชัดแต่ประสิทธิภาพต่ำยังขาดเหตุการณ์อยู่ และประสิทธิภาพสูงแต่ resolution กว้างยังผสมผสานเส้นใกล้เคียงกัน

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

แหล่งกำเนิดแรงดัน 12 V ที่มีความต้านทานภายใน 200 kΩ วัดด้วยมิเตอร์ 1 MΩ แสดงค่า 12×(1/1.2)=10.0 V ตัวกรอง RC ที่ f_c=1 kHz ทำงานที่ 2 kHz จะส่งผ่านแอมพลิจูด 1/√5≈0.447 ตัวนับที่มี τ=10 μs ที่อัตราจริง 10⁴ /s บันทึกได้ 9091 /s; การบันทึก 8000 /s ด้วย τ=20 μs บ่งชี้ว่า n=8000/(1−0.16)≈9524 /s

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การพิจารณาจุดตัด 1/√2 เป็นครึ่งหนึ่ง โดยไม่คำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่ามิเตอร์ที่มีขนาดจำกัดจะอ่านค่าต่ำลงผ่านตัวแบ่งแรงดัน หรือการใช้การแก้ไขแบบไม่ล้าสมัย beyond ขอบเขตของมัน

LM.3 · การลดทอนรังสี การขยายแสงเลเซอร์ และโหมดโพรง

• Heavy charged particles lose energy continuously through many small collisions, so they have an approximate range: under a constant-loss model a particle with initial energy E0 and loss rate dE/dx stops after E0/(dE/dx). Electrons straggle more and radiate. Photons instead interact in single events, so a narrow beam attenuates exponentially as I=I0 e^(−μx) with no definite maximum depth; the half-value layer is ln2/μ.
• ใช้เอกซ์โพเนนเชียลเฉพาะกับเรขาคณิตลำแสงแคบที่ระบุ: μ=0.2 /cm ให้ชั้น HALF-value layer เป็น 3.47 cm และ I/I0=e^(−2)≈0.135 หลัง 10 cm. คูณด้วยประสิทธิภาพดีเทคเตอร์สำหรับจำนวนนับที่บันทึก: เมื่อ μx=ln4 และ ε=0.25 ส่วนที่บันทึกคือ 0.25×1/4=1/16. การเพิ่มขึ้นจากการกระเจิงของโฟตอนทำให้การป้องกันลำแสงกว้างส่งผ่านมากกว่าเอกซ์โพเนนเชียลลำแสงแคบ; ระบุเรขาคณิต
• Stimulated emission produces a photon matching the stimulating photon in frequency, direction and phase, giving coherent amplification. It competes with absorption; net gain needs population inversion N2/g2>N1/g1 (N2>N1 for equal degeneracies). Positive-temperature equilibrium has N2/g2<N1/g1 by the Boltzmann factor, so a two-level system in equilibrium cannot lase continuously; practical lasers pump a third level or a metastable state.
• A linear cavity of length L supports standing modes with L=mλ/2, i.e. frequencies ν_m=mc/(2L) with spacing c/(2L): for L=30 cm the spacing is 500 MHz. Gain must exceed the round-trip losses for oscillation. Interferometers such as Michelson use the same coherence: fringe counts track optical path changes, as in the gas-cell measurement.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ μ=0.2 /cm ชั้นครึ่งค่าคือ ln2/0.2=3.47 cm และสามชั้นดังกล่าวส่งผ่าน 1/8 ภายใต้โมเดลการสูญเสียคงที่ 2 MeV/cm อนุภาค 5 MeV จะหยุดหลังจาก 2.5 cm ในทางกลับกันลำแสงโฟตอนยังคงหางแบบเอกซ์โพเนนเชียล เคาវิตี 25 cm มีช่องว่างโหมด c/(2L)=600 MHz

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การกำหนดระยะทางที่แน่นอนให้กับโฟตอนหรือกฎเอกซ์โพเนนเชียลเดียวให้กับอนุภาคที่มีประจุ และการลืมว่าประชากรสองระดับที่สมดุลไม่สามารถกลับด้านได้ ตรวจสอบว่าสปีชีส์ลำแสงต้องใช้โมเดลการมีปฏิสัมพันธ์ใด

SN.2 · Bragg diffraction and electron-gas heat capacity

• Bragg reflection from parallel planes spaced d interferes constructively when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane surface (the glancing angle), not from the normal. First order n=1 gives the smallest angle. For λ=0.154 nm and a peak at θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. If 2d<λ no order exists; the sine must stay at or below 1.
• In a cubic crystal the (hkl) plane spacing is d=a/sqrt(h²+k²+l²) with lattice constant a; the (110) planes give a/√2. A measured Bragg angle therefore measures the lattice constant. Systematic absences from the basis (for example body-centred lattices missing h+k+l odd) carry structure information beyond the spacing formula.
• The free-electron model packs N conduction electrons into states up to the Fermi wavevector k_F=(3π²n)^(1/3) for number density n, giving E_F=ℏ²k_F²/(2m). For n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV and T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Since T_F far exceeds room temperature, only a fraction of order T/T_F of the electrons are thermally excited.
• Metals therefore have two low-temperature heat-capacity terms: an electronic term γT linear in T and a lattice (Debye) term βT³. Plotting C/T against T² gives intercept γ and slope β. At room temperature the lattice part approaches the classical Dulong–Petit value and dominates; the electronic term matters at low T, where the T³ lattice term collapses faster.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

Cu Kα λ=0.154 nm กับยอดลำดับที่ 1 ที่ θ=20° ให้ d≈0.225 nm; สำหรับลูกบาศก์ a=0.4 nm ระยะห่าง (110) คือ 0.283 nm จำนวนอิเล็กตรอนอิสระสำหรับ n=8.5×10²⁸ /m³ ให้ E_F≈7.05 eV และ T_F≈8.2×10⁴ K ดังนั้นที่ 300 K มีเพียงประมาณ 0.4% ของอิเล็กตรอนที่ทำงานด้วยความร้อน ในสมการ C=γT+βT³, γT คือส่วนอิเล็กทรอนิกส์ และ βT³ คือส่วนแลตทิซ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การวัด θ จากแนวตั้งฉากกับระนาบแทนที่จะวัดจากตัวระนาบ หรือการกำหนดให้ความจุความร้อนที่อุณหภูมิต่ำทั้งหมดเป็นของอิเล็กตรอน เงื่อนไขไซน์และการแยกพจน์สองพจน์คือจุดที่การคำนวณเหล่านี้ล้มเหลว

SN.3 · พลังงานปฏิกิริยา, กิจกรรม และการสมดุลการสลายตัว

• The reaction energy is Q=(m_initial−m_final)c²; Q>0 releases kinetic energy. Track every species, and keep the mass convention consistent: tabulated atomic masses include electrons. For β− decay and for α decay with a neutral helium product, atomic electron counts balance directly; β+ or electron capture needs explicit electron-mass terms. Use 1 u=931.5 MeV/c².
• Alpha decay of ²³⁸U with atomic masses 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u gives Δm=0.0046 u and Q≈4.28 MeV. Fusion D+T with 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u gives Q≈17.6 MeV. A reaction also requires charge and nucleon-number balance: ¹⁴N+α→¹⁷O+p balances 7+2=9 and 14+4=18
• Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.
• In a chain A→B→C with a long-lived parent (λ_A≪λ_B), B accumulates until its activity approaches the parent activity (secular equilibrium); write the balance dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. The binding-energy-per-nucleon curve peaks near iron, so heavy fission (about 7.6 to 8.5 MeV per nucleon over roughly 240 nucleons, of order 200 MeV) and light fusion both release energy; compare total binding, not nucleon counts.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

U-238 alpha decay: Q=(238.0508−234.0436−4.0026)×931.5≈4.28 MeV, carried mostly by the alpha by momentum conservation. D+T fusion releases ≈17.6 MeV. A sample with T½=2 h and 6×10¹² atoms has A≈5.8×10⁸ Bq. Fission of a heavy nucleus releases of order (8.5−7.6)×240≈200 MeV.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การผสมมวลอะตอมและมวลนิวเคลียดโดยไม่ติดตามอิเล็กตรอน หรือการรายงานค่า Q เป็นบวกสำหรับปฏิกิริยาที่ต้องการพลังงานเข้า ต้องจับคู่ประจุและจำนวนนิวคลีออนก่อน แล้วจึงตรวจสอบเครื่องหมายของ Q

MM.1 · Coordinate operators, โหมดแยกและอัปเดตที่เสถียร

• เลือกพิกัดตามความสมมาตรก่อนเขียนตัวดำเนินการ สำหรับฟังก์ชันรัศมีในพิกัดทรงกลม ∇²f=f″+(2/r)f′ และไดเวอร์เจนซ์ของสนามรัศมี A=A_r r̂ คือ (1/r²)d(r²A_r)/dr ตรวจสอบ: A=k r̂/r² มีไดเวอร์เจนซ์ (1/r²)dk/dr=0 นอกเหนือจากจุดกำเนิด และ f=1/r เป็นไปตาม ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 นอกเหนือจากจุดกำเนิด รูปแบบคาร์ทีเซียนใช้ได้เฉพาะการขึ้นกับพิกัดคาร์ทีเซียนเท่านั้น
• การแยกตัวแปรเปลี่ยนปัญหาขอบเขตให้เป็นโหมดธรรมดา สำหรับเชือกที่ยึดติดกันทั้งสองข้าง ให้เขียน u=X(x)T(t); สมการคลื่นให้ X″/X=(1/c²)T″/T=−k², การยึดติดที่ปลายทำให้ X=sin(nπx/L), และความถี่ที่เป็นไปได้คือ ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). แต่ละโหมดต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตก่อนจะทำการรวมผลของโหมดใดๆ
• อัปเดต Euler แบบชัดเจนสำหรับ y′=−λy คือ y_{n+1}=(1−λh)y_n ซึ่งจะมีความจำกัดเมื่อ |1−λh|≤1 นั่นคือ 0<h≤2/λ for λ>0; การลดทอนแบบอสมการต้องการ 0<h<2/λ ด้วย λ=10 /s ค่า h ไม่ควรเกิน 0.2 s; เมื่อ h=0.25 s จะคูณด้วย −1.5 ในแต่ละขั้นตอนและจะลู่เข้าแบบสลับเครื่องหมาย ความเสถียรเป็นคุณสมบัติของความสัมพันธ์แบบวนซ้ำ ไม่ใช่ของคำตอบที่แท้จริง
• ตรวจสอบคำตอบเชิงตัวเลขสามวิธีก่อนเชื่อถือ: ยูนิตของแต่ละเทอม (λh ต้องไม่มีมิติ), การลู่เข้าภายใต้การปรับละเอียด (ลด t_half h ลงครึ่งหนึ่งแล้วเปรียบเทียบ; ข้อผิดพลาดของ explicit Euler เป็นอันดับแรก) และกรณีขอบเขตที่มีคำตอบที่แน่นอนทราบอยู่แล้ว สำหรับ y′=−4y โดย y0=8 และ h=0.2 ห้าขั้นตอนให้ 8×0.2⁵=0.00256 เทียบกับค่าที่แท้จริง 8e^(−4)≈0.1465: เสถียรแต่ไม่แม่นยำ ดังนั้นต้องปรับละเอียด

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ตรวจสอบรัศมี: f=1/r ให้ f″+2f′/r=0 ห่างจากจุดกำเนิด เชือกที่มี L=0.5 m และ c=100 m/s มี f₁=c/(2L)=100 Hz. Euler stability สำหรับ λ=10 /s ต้องการ h≤0.2 s; Refining y′=−4y กับ y(0)=8 ที่ t=1 s, จาก h=0.2 ไป 0.1 ไป 0.05 ให้ 0.00256, 0.0483, 0.0922, เข้าใกล้ exact 0.1465.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การนำ Laplacian แบบคาร์ทีเซียนไปใช้กับฟังก์ชันรัศมี, การรวมโหมดที่ละเมิดเงื่อนไขขอบเขต, หรือการอ้างว่ารันที่ดูมีขอบเขตแล้วลู่เข้าโดยไม่ปรับขั้น ให้จับคู่ตัวดำเนินการ เงื่อนไขขอบเขต และเงื่อนไขความเสถียรให้ตรงกับปัญหาจริง