คณิตศาสตร์ GRE

GRE คณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีแบบส่งผ่านคอมพิวเตอร์

ข้อสอบแบบเลือกตอบประมาณ 66 ข้อ ใน 170 นาที; ไม่มีส่วนที่กำหนดเวลาแยกต่างหาก. คณิตศาสตร์เชิงอนุพันธ์ประมาณ 50%, พีชคณิต 25%, หัวข้อเพิ่มเติม 25%. นี่เป็นการทดสอบคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีสำหรับการ admissions ระดับบัณฑิตศึกษา ไม่ใช่คุณสมบัติ A-Level

ขอบเขตทางการ: https://www.ets.org/gre/test-takers/subject-tests/about/content-structure.html

C.1 · คณิตศาสตร์วิเคราะห์ตัวแปรเดียวและงานประยุกต์

• A limit describes values near a point, without requiring the function to be defined there. Continuity adds the requirement that the function value exists and agrees with the limit. Algebraic cancellation is valid only away from the cancelled zero, but can reveal a removable limit. One-sided limits must agree for a two-sided limit. For quotient limits, check the denominator and hypotheses before applying a rule; 0/0 is an indeterminate form, not an answer.
• A derivative is a limit of difference quotients and implies continuity; the converse fails, as |x| at zero shows. Product, quotient and chain rules describe different structures: the derivative of f(g(x)) is f′(g(x))g′(x), not a product of unrelated values. Differentiating a composition a second time generally produces two terms. Check domains, nonzero denominators and differentiability assumptions before using a symbolic expression as a derivative.
• The fundamental theorem says that the derivative of ∫ from a to x of a continuous integrand f(t) is f(x). With a variable upper bound h(x), multiply by h′(x); with two variable bounds, subtract the corresponding lower-bound contribution. A definite integral also arises as a limit of Riemann sums. Rewrite the sum as (1/n)Σf(k/n) before identifying the integral on [0,1], rather than treating n-dependent terms as constants.
• ตัวอย่างเช่น Σ จาก k=1 ถึง n ของ n/(n²+k²) เท่ากับ (1/n)Σ1/(1+(k/n)²), ลู่เข้าสู่ ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. Limit นี้ใช้ continuity และ partition width 1/n. Series บนจำนวน terms ที่ไม่จำกัดเป็น limit ต่าง: Terms ที่ลู่เข้าศูนย์ไม่รับประกัน convergence เพียงอย่างเดียว สำหรับ Σ1/k partial sums diverge; เปรียบเทียบ, ประมาณ หรือใช้ series test ที่ถูกต้องแทนการใช้ term condition ที่จำเป็น kao sufficient

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ F(x)=อินทิกรัลจาก 0 ถึง x² ของ e^t dt ทฤษฎีบทพื้นฐานและกฎลูกโซ่ให้ F′(x)=e^(x²)·2x ที่ x=1, F′(1)=2e ขอบเขตบนคือ x² ดังนั้นหากข้าม 2x จะพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงของมัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

Calculus ระดับ A-level เป็นความรู้เบื้องต้นที่มีประโยชน์แต่ไม่ได้ครอบคลุมการวิเคราะห์และการประยุกต์ใช้ระดับปริญญาตรีที่ทดสอบในที่นี้

C.2 · คณิตศาสตร์วิเคราะห์หลายตัวแปรและการวิเคราะห์เวกเตอร์

• อนุพันธ์ย่อยเปลี่ยนพิกัดหนึ่งตัวโดยคงพิกัดอื่นไว้ สำหรับ f=x²+3xy, f_x=2x+3y และ f_y=3x เกรเดียนรวมอนุพันธ์เหล่านี้เข้าด้วยกัน; หาก f ลูกลื่น (differentiable) อนุพันธ์ตามทิศทางตามเวกเตอร์หน่วย v คือ grad f·v ต้องทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วยก่อนทำการคูณสเกลาร์ หากใช้เวกเตอร์ที่มีขนาดสองโดยไม่ทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วย คำตอบจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า
• Differentiability หมายถึงการประมาณเชิงเส้นที่ถูกต้อง ไม่ใช่แค่การมีอยู่ของpartial derivatives บางอย่าง ณ จุดหนึ่ง Partial derivativesอันดับแรกต่อเนื่องในบริเวณใกล้เคียงเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอ สำหรับฟังก์ชันประกอบ f(x(t),y(t)), chain rule ให้ f_x x′+f_y y′. Second derivatives สามารถนำ both direct และ mixed terms เข้ามา; partial derivative ผสมเป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่ได้วางข้อจำกัดต่อ pure second derivatives
• อินทิกรัลหลายตัวแปรจะรวมค่า contributions เหนือพื้นที่ที่กำหนดให้ อธิบายขอบเขตของพื้นที่ก่อนเลือกขีดจำกัดแบบซ้ำ; ขอบเขตที่ไม่เป็นสี่เหลี่ยมอาจเปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยนลำดับการอินทิเกรต ในพิกัดเชิงขั้ว พื้นที่คือ r dr dtheta ไม่ใช่แค่ dr dtheta การแปลงพิกัดทั่วไปใช้ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ Jacobi สัญญาณเกี่ยวข้องกับปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศทาง ในขณะที่การขยายพื้นที่และปริมาตรใช้ปัจจัยที่ไม่เป็นลบ
• If both first partials of a globally defined function on R² are constant, f_x=a and f_y=b, integrating successively gives f=ax+by+c, a plane. This cannot be inferred from parallel straight level sets alone: e^x has vertical parallel level lines but a curved graph. Nor do f_xy=f_yx=0 force a plane: x²+y² is a counterexample. Distinguish first-derivative constancy from absent mixed dependence and from the shape of selected level sets.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ f(x,y)=x²+3y², เกรเดียนต์ f=(2x,6y) ที่ (1,1) จะมีค่าเป็น (2,6) ในทิศทาง (3,4), เวกเตอร์หน่วยคือ (3/5,4/5), ซึ่งให้อนุพันธ์ตามทิศทาง 2·3/5+6·4/5=6

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

เวกเตอร์ทิศทางที่ไม่ใช่เวกเตอร์หน่วยจะให้ค่าอัตราการขยายตัวscaled ไม่ใช่อนุพันธ์ต่อหน่วยระยะทาง

A.1 · พีชคณิตเชิงเส้น

• พื้นที่เวกเตอร์จริงปิดอยู่ภายใต้การบวกและการคูณสเกลาร์ที่กำหนดและสอดคล้องกับ axioms ของพื้นที่เวกเตอร์ Basis คือรายการ spanning ที่อิสระ: เวกเตอร์ทุกตัวมีพิกัดที่เป็นเอกลักษณ์ในรายการนั้น ในการทดสอบความเป็นอิสระของคอลัมน์เมทริกซ์ แก้ระบบ homogeneous Ac=0; เฉพาะเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ศูนย์จึงหมายถึงความเป็นอิสระ เซต spanning อาจมีเวกเตอร์ซ้ำซ้อน ดังนั้นการ spanning เพียงอย่างเดียวไม่ทำให้เป็น basis
• การลดรูปแถว (row reduction) แสดง pivot และตัวแปรอิสระโดยไม่เปลี่ยนชุดคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น Rank คือมิติของ image ของคอลัมน์ หรือเทียบเท่าจำนวน pivot Nullity คือมิติของ kernel: สำหรับ map จากโดเมนที่มี n มิติ rank+nullity=n ในระบบ nonhomogeneous คอลัมน์สัมประสิทธิ์ที่เป็นศูนย์พร้อมด้านขวาที่ไม่เป็นศูนย์หมายความว่าไม่มีคำตอบ; ตัวแปรอิสระจะให้คำตอบนับไม่ถ้วนก็ต่อเมื่อความสอดคล้อง (consistency) ถูกยืนยันแล้ว มิติของ codomain อาจไม่เท่ากับ rank
• เมทริกซ์จัตุรัสจะหา inverse ได้ก็ต่อเมื่อ determinant ไม่เป็นศูนย์, kernel เป็นศูนย์ และ rank เท่ากับขนาดเมทริกซ์ คำกล่าวเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องให้แต่ละ entry ไม่เป็นศูนย์ Determinant ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมคือผลคูณของ entries บนเส้นทแยงมุม ดังนั้นเมทริกซ์ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรเชิงซ้อนอาจเป็น singular ที่รากเชิงซ้อนที่ไม่มีอยู่ในคำนวณเฉพาะจำนวนจริง การสลับแถวเปลี่ยนสัญญาณของ determinant; การเพิ่ม multiple ของแถวหนึ่งไปยังอีกแถวหนึ่งทำให้ค่าคงที่ ตรวจสอบความ singular ก่อนใช้สูตร inverse
• An eigenvector is nonzero and satisfies Av=λv, so eigenvalues are roots of det(A−λI). Diagonalisation requires a full independent eigenvector basis over the chosen field. Distinct eigenvalues give independent eigenvectors, while repeated eigenvalues may have too small an eigenspace. A real symmetric matrix has a real orthonormal eigenbasis. A real odd-dimensional matrix has at least one real eigenvalue because its real characteristic polynomial has odd degree; that alone does not imply diagonalisation or all eigenvalues real.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

A=[[1,1],[0,1]] มีพหุนามลักษณะ (1−λ)². เวกเตอร์เฉพาะสอดคล้องกับ y=0, ดังนั้นสเปซเฉพาะมีมิติหนึ่ง ต้องใช้เวกเตอร์เฉพาะอิสระสองตัวในการทำให้ 2×2 เมทริกซ์เป็นทแยงมุม; A ไม่สามารถทำให้เป็นทแยงมุมได้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ความคูณทางพีชคณิตของค่าเฉพาะไม่ได้เท่ากับมิติของสเปซเฉพาะเสมอไป

A.2 · พีชคณิตนามธรรมและทฤษฎีจำนวน

• กลุ่มต้องมีคุณสมบัติปิด (closure), แอสโซซิทีฟ (associativity), เอกลักษณ์ (identity) และอินเวอร์ส (inverses) ความสลับที่ (commutativity) เป็นเงื่อนไขเพิ่มเติม
• A homomorphism preserves the operation. Its kernel is a normal subgroup and identifies elements mapping to the identity.
• ฟิลด์อนุญาตให้หารด้วยทุกองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ จำนวนเต็มเป็นวงแต่ไม่ใช่ฟิลด์
• ทำงานกับสมภาค mod n เศษเหลือ a จะมีอินเวอร์สการคูณก็ต่อเมื่อ gcd(a,n)=1

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

Modulo 8, 3 has inverse 3 because 3·3=9≡1. But 2 has no inverse because gcd(2,8)=2. Modulo a prime, every nonzero residue has an inverse; this gives a finite field.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ห้าม cancel factor ในสมการ modular โดยไม่ตรวจสอบว่ามันมี inverse หรือไม่

T.1 · การวิเคราะห์จริงและทอโพโลยี

• ข้อความ epsilon–delta ควบคุมอินพุตที่ใกล้กันมากทุกตัว ลำดับของตัวชี้วัดมีความสำคัญ
• ในสเปซยูคลิดแบบจริง เซตที่ปิดและมีขอบเขตจะกะทัดรัด อย่าใช้สมการนี้กับสเปซเมตริกซ์ทุกชนิด
• ภาพต่อเนื่องของเซตกะทัดรัดเป็นเซตกะทัดรัด ดังนั้นฟังก์ชันต่อเนื่องบนโดเมนกะทัดรัดจึงถึงค่าสุดขั้ว
• ความเชื่อมโยงห้ามการแยกออกเป็นส่วนเปิดที่ไม่ว่างเปล่าและไม่ตัดกัน ความต่อเนื่องรักษาความเชื่อมโยง ส่วนความสมบูรณ์เป็นคุณสมบัติที่แตกต่างออกไป

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

f(x)=x บน (0,1) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีขอบเขตแต่ไม่เคยเท่ากับ supremum 1. บน [0,1] ฟังก์ชันเดียวกันนี้จะถึงค่าสูงสุดที่ 1. จุดปลายที่หายไปอธิบายว่าทำไมทฤษฎีบทสำหรับโดเมนกะทัดรัดจึงใช้กับกรณีแรกไม่ได้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อสรุปของทฤษฎีบทไม่สามารถนำไปใช้ก่อนตรวจสอบเงื่อนไขตั้งต้นให้ครบถ้วน

T.2 · คณิตศาสตร์เชิงประจักษ์ ความน่าจะเป็น และวิธีการคำนวณตัวเลข

• Choose the counting model first: ordered selections of r distinct objects use n(n−1)⋯(n−r+1), while unordered subsets use C(n,r). A complete simple graph on n vertices has one edge per unordered vertex pair, giving n(n−1)/2 edges; loops and multiple edges would change the model. For n lines in general position in a plane, the kth line crosses the prior k−1 lines in distinct points and adds k regions. The total is 1+n(n+1)/2; parallels or triple concurrence invalidate that count.
• Use complements to count at least one occurrence, and condition on the actual remaining population after a draw without replacement. For r iid outcomes chosen from n equally likely values, the probability that all are distinct is n(n−1)⋯(n−r+1)/n^r when r≤n. Its complement counts repeated outcomes. For a binomial count with N independent trials and fixed success probability p, mean is Np and variance Np(1−p). Identical probabilities alone do not establish independence.
• สมการรีเคอร์เรนซ์อธิบายค่าถัดไปจากค่าก่อนหน้าและต้องการข้อมูลเริ่มต้นเพียงพอที่จะกำหนดลำดับ แยกดัชนีออกจากค่า: a_n=2a_(n−1) กับ a_0=3 ให้ a_n=3·2^n กราฟและเหตุผลเกี่ยวกับอัลกอริทึมมักพิสูจน์สมการรีเคอร์เรนซ์โดยการระบุสิ่งที่โหนดหรือขั้นตอนใหม่เพิ่มเข้าไป สูตรปิดควรสอดคล้องทั้งกับสมการรีเคอร์เรนซ์และเงื่อนไขเริ่มต้น การจับคู่พจน์ที่สังเกตได้ไม่กี่พจน์ไม่พิสูจน์ได้ว่าถูกต้องสำหรับทุกดัชนี
• การประมาณด้วยตัวเลขต้องใช้การประเมินความผิดพลาด Bisection รักษาค่าขอบเขตที่เปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องและลดความกว้างลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้น; จุดศูนย์อาจไม่มีหากความต่อเนื่องล้มเหลว การอัปเดตของ Newton คือ x_new=x−f(x)/f′(x) ซึ่งต้องการอนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ที่จุดปัจจุบัน; การลู่เข้าไม่เกิดขึ้นอัตโนมัติจากทุกค่าเริ่มต้น ค่าคงเหลือของการประมาณและความคลาดเคลื่อนใน x เป็นสิ่งต่างกัน ระบุสมมติฐานของวิธีและเกณฑ์หยุดRather than treating extra displayed decimals as accuracy

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ f(x)=x²−2 และ x₀=1, ขั้นตอนของนิวตันให้ 1−(1−2)/2=1.5. ค่าถัดไปคือ 1.5−0.25/3=1.4167. ค่าเหล่านี้ประมาณ sqrt(2), แต่ f′(0)=0 ทำให้จุดเริ่มต้นเป็นศูนย์ไม่ถูกต้อง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

เหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นบวกไม่สามารถเป็นอิสระต่อกันและเป็นเหตุขัดแย้งกันได้พร้อมกัน

T.3 · การวิเคราะห์เชิงซ้อนและเศษเหลือ (Residues)

• Write f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Complex differentiability imposes u_x=v_y and u_y=−v_x; with continuous first partials locally, the Cauchy–Riemann equations establish analyticity there. They differ from real differentiability of a two-coordinate map. The conjugate function x−iy fails these equations on every open neighbourhood, although real partial derivatives exist. State the region being checked, not only a convenient point.
• An analytic function is complex differentiable throughout a neighbourhood and has a local convergent power series. A removable singularity can be filled analytically when the function is bounded near the missing point. A pole has a finite principal part in its Laurent series; an essential singularity has infinitely many negative-power terms. The residue is the coefficient of (z−a)⁻¹, not necessarily the leading or largest negative-power term.
• สำหรับขั้วแยกตัวลำดับ m ให้เขียน f(z)=g(z)/(z−a)^m โดยที่ g เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ a ค่าคงเหลือคือ g^(m−1)(a)/(m−1)! ขั้วง่ายใช้ g(a); ขั้วคู่ใช้ g′(a) สิ่งนี้เกิดจากการขยาย g เป็นอนุกรมเทย์เลอร์ ดังนั้น e^z/(z−a)² จึงมีค่าคงเหลือเป็น e^a ในขณะที่เศษที่เป็นค่าคงที่หารด้วยขั้วคู่บริสุทธิ์จะมีค่าคงเหลือเป็นศูนย์ ลำดับของขั้วเพียงอย่างเดียวไม่ได้กำหนดค่าอินทิกรัลตามเส้นโค้ง
• For a positively oriented contour enclosing isolated singularities, the residue theorem gives ∮f(z)dz=2πi times the sum of enclosed residues, provided the function is analytic on the contour and elsewhere in the required interior. Reversing orientation changes the sign. Cauchy’s derivative formula is ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! under its analytic-domain hypotheses. A singularity on the contour prevents direct application; a singularity outside contributes nothing to this contour.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ f(z)=conjugate(z), u=x และ v=−y. ดังนั้น u_x=1 แต่ v_y=−1, ดังนั้น f จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ สำหรับ 1/(z−2), วงกลมที่มีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา |z−2|=1 ล้อมรอบขั้วง่ายที่มีเศษเหลือ 1, ดังนั้นอินทิกรัลจึงมีค่าเท่ากับ 2πi

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ความต่อเนื่องหรือความสามารถในการหาอนุพันธ์แบบจริงเพียงอย่างเดียวไม่บ่งชี้ถึงความวิเคราะห์เชิงซ้อน

C.3 · สมการเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไขเริ่มต้น

• สำหรับ y′=ky การแยกตัวแปรและการอินทิเกรตจะได้ y=Ce^(kt); ฟื้นฟูคำตอบเป็นศูนย์หากมีการหารด้วย y ค่าเริ่มต้นจะกำหนดค่า C
• สมการเชิงเส้นอันดับสองสัมประสิทธิ์คงที่ใช้พหุนามลักษณะเฉพาะ รากที่แตกต่างให้ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล; รากซ้ำต้องใช้ (C1+C2t)e^(rt)
• รากเชิงซ้อน α±iβ ให้ e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt) การเคลื่อนที่จริงประกอบด้วยข้อมูลทั้งแอมพลิจูดและเฟส
• Existence and uniqueness depend on hypotheses near the initial point. A singular coefficient or a failure of local Lipschitz behaviour can defeat the familiar uniqueness conclusion.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

แก้ y″+4y=0 โดยมี y(0)=3 และ y′(0)=4 รากของพหุนามลักษณะเฉพาะคือ ±2i ดังนั้น y=A cos2t+B sin2t เงื่อนไขแรกให้ A=3; การหาอนุพันธ์จะได้ y′(0)=2B=4 ดังนั้น B=2

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รากลักษณะซ้ำต้องการตัวประกอบ t; รากเลขยกกำลังเดียวกันสองตัวไม่ใช่คำตอบที่เป็นอิสระ.

A.3 · กลุ่ม, เซตคอสต์ และการแปลงผลหาร

• ก่อนคำนวณ order ตรวจสอบ closure, associativity, identity และ inverse สำหรับทุกองค์ประกอบภายใต้ operation ที่ระบุSubset สามารถสืบทอดassociativity แต่ล้มเหลวใน closure หรือข้าม identity ในกลุ่มจำกัด order ขององค์ประกอบคือเลขชี้กำลังบวกน้อยที่สุดที่ให้ identity ในกลุ่มบวก Z/nZ คือเลขคูณบวกน้อยที่สุดที่ให้ศูนย์; order ของ residue a คือ n/gcd(a,n) ทฤษฎีบทของ Lagrange บอกว่า order ของ subgroup หาร order ของกลุ่มได้ ผลตรงข้ามไม่ใช่ทฤษฎีบทการมีอยู่ทั่วไป, และ order ของกลุ่มไม่ใช่ order ของแต่ละองค์ประกอบ
• Coset ทางซ้าย gH คือการเลื่อนของ subgroup H Cosets มีขนาดเท่ากันและแบ่งกลุ่มออก ทำให้ index เป็น |G|/|H| ในกลุ่มจำกัด ในกลุ่มเพิ่มเขียน g+H การเป็นสมาชิกใน coset เดียวกันหมายความว่าผลต่างอยู่ใน H Coset ปกติจะไม่เป็น subgroup เองเพราะอาจละเลย identity
• Homomorphism รักษาการดำเนินการ Kernel ของมันประกอบด้วยองค์ประกอบที่ถูกส่งไปยัง identity และ image ของมันประกอบด้วยค่าที่เข้าถึงได้จริง ทุก kernel เป็น normal First isomorphism theorem ระบุ G/ker(phi) กับ im(phi); อย่าแทน image ด้วย codomain ทั้งหมดยกเว้นว่าแผนที่นั้นจะเป็น onto
• การคูณ quotient ถูกกำหนดอย่างชัดเจนก็ต่อเมื่อ H เป็น normal กลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่ม abelian เป็น normal ในกลุ่ม nonabelian ทดสอบ gHg^−1=H; กลุ่มย่อยที่มีดัชนีสองเป็น normal สำหรับการเรียงสับเปลี่ยน compose ตามข้อบังคับที่กำหนดที่นี่เริ่มจากขวาสุด ความยาว cycle ที่ไม่ทับซ้อนกันให้ลำดับของการเรียงสับเปลี่ยนโดย least common multiple ของพวกมัน Conjugation hσh⁻¹ เปลี่ยนชื่อองค์ประกอบใน cycles ของ σ ดังนั้นจึงรักษาความยาว cycle; ในทางกลับกัน การเรียงสับเปลี่ยนที่มีความยาว cycle เดียวกันสามารถเชื่อมโยงกันได้โดยการเปลี่ยนชื่อ ดังนั้นคลาส conjugacy ใน S_n สอดคล้องกับการ partition ของ n รวมถึง cycle ของจุดคงที่ ใน S4 ประเภทคือ 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 และ 4: ห้าคลาส ไม่ใช่หนึ่งคลาสสำหรับแต่ละลำดับขององค์ประกอบที่เป็นไปได้ ประเภท 2+1+1 และ 2+2 ทั้งสองมีลำดับสองแต่ไม่ conjugate กัน

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

กำหนด phi จาก Z/12Z ไปยัง Z/3Z โดยการลด residues modulo 3 มันเป็น onto และรักษาการบวก Kernel H ของมันคือ {0,3,6,9} ดังนั้น |H|=4 และดัชนีคือ 12/4=3 Cosets อื่นๆ คือ {1,4,7,10} และ {2,5,8,11} ดังนั้น (Z/12Z)/H จึง isomorphic กับ Z/3Z องค์ประกอบ 3 ในกลุ่มดั้งเดิมมีลำดับ 12/gcd(3,12)=4 ไม่ใช่ 3

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

Quotient มีหนึ่งองค์ประกอบต่อหนึ่ง coset ไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่งองค์ประกอบของ kernel Homomorphism อาจไม่จำเป็นต้องเป็น onto ต่อ codomain ที่ระบุของมัน

A.4 · Rings, ideals และ modules

• สำหรับ domain, ideal และตัวอย่าง quotient ด้านล่าง ใช้ ring ที่มีการคูณสลับได้และมี identity 1 ต่างจาก 0. ปัญหาต้นทางอาจระบุ ring ทั่วไป; อย่าสันนิษฐานว่าการคูณสลับได้เว้นแต่จะระบุหรือพิสูจน์ Unit มี inverse การคูณ Multiplicative ส่วน zero divisor ที่ไม่เป็นศูนย์คูณบางองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ให้เป็นศูนย์ Integral domain ไม่มี zero divisors แบบนี้; การ cancel ของ non-zero factor จึงทำได้ Field เป็น domain ที่ทุก non-zero element เป็น unit Z เป็น domain แต่ไม่ใช่ field; Z/6Z neither
• Ideal I เป็น additive subgroup ที่ดูดซับการคูณด้วยสมาชิก ring ทุกตัว ซึ่งเข้มงวดกว่าการเป็น subring ใน Z, nZ เป็น ideal; สมาชิกใน quotient คือ integer residue classes modulo n ใน commutative ring, R/I เป็น field พอดีเมื่อ I เป็น maximal, และเป็น domain พอดีเมื่อ I เป็น prime Ideal ต้องเป็น proper ในทั้งสองกรณี
• Module อนุญาตให้ scalars มาจาก ring แทนที่จะต้องเป็น field Every abelian group เป็น Z-module ผ่าน repeated addition แต่ไม่จำเป็นต้องมี vector-space basis ใน Z/6Z ในฐานะ Z-module, 6 คูณกับ nonzero residue 1 ได้ศูนย์; นี่คือ torsion สำหรับ vector space over a field, nonzero scalar เป็น invertible และไม่สามารถ annihilate nonzero vector ได้
• submodule ปิดภายใต้การบวกและการกระทำของสเกลาร์ทั้งหมดที่อนุญาต map เชิงเส้นของ modules รักษาทั้งสองอย่าง Kernel และ image เป็น submodules และ quotient โดย kernel เป็น isomorphic กับ image อย่าใช้ finite-dimensional rank-nullity กับ module ทั่วไปโดยไม่สร้าง setting ของ free-module ที่เหมาะสม; การดำเนินการแถวของจำนวนเต็มและการดำเนินการแถวของฟิลด์อนุญาตการหารที่แตกต่างกัน ใน ring Boolean ทั่วไป ทุก a สอดคล้องกับ a²=a อย่าสันนิษฐานว่าเป็น commutative เพื่อพิสูจน์มัน: idempotence ของ a+a ให้ 4a=2a ดังนั้น 2a=0 การขยาย (a+b)²=a+b ให้ ab+ba=0 และ characteristic two ทำให้ −ba=ba; ดังนั้น ab=ba Idempotence ไม่ได้ imply nilpotence: ใน F2, องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ 1 สอดคล้องกับ 1^n=1 สำหรับทุก n บวก

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ใน Z/6Z, 2·3=0, ดังนั้น 2 และ 3 เป็น zero divisors Soft units คือ 1 และ 5 เพราะ gcd กับ 6 คือ 1 ใน Z, ideal 5Z ให้ field Z/5Z, ในขณะที่ 6Z ให้ quotient ที่มี zero divisors ในฐานะ Z-modules, map จาก Z ไปยัง Z/6Z มี kernel 6Z; Quotient ระบุจำนวนเต็มที่แตกต่างกันด้วยพหุคูณของ 6, แทนที่จะสร้าง real vector space

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

เซตสามารถเป็น submodule โดยไม่เป็น vector space over the rationals Scalar division ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ scalar inverse อยู่ภายในโครงสร้าง

A.5 · พหุนามและการขยายสนาม

• A polynomial is irreducible over a field if it has positive degree and no factorisation into polynomials of smaller positive degrees there. A quadratic or cubic is irreducible exactly when it has no root in that field. This root test alone fails for degree four or higher; for instance (x²+1)(x²+2) has no real root but is reducible over R. Always name the base field.
• Quotient F[x]/(p) เป็น field เมื่อ p เป็น irreducible ลดกำลังโดยใช้ p(alpha)=0, โดยที่ alpha คือ residue class ของ x หาก F มี q องค์ประกอบและ p มี degree d, quotient จะมี q^d องค์ประกอบแทนด้วย polynomials ของ degree ต่ำกว่า d Z/4Z มีสี่องค์ประกอบแต่มี zero divisors ดังนั้นจึงไม่ใช่ field ที่มีสี่องค์ประกอบ
• Over F2, p(x)=x²+x+1 มีค่า 1 ทั้งที่ 0 และ 1 และเป็น irreducible ใน quotient ของมัน alpha²=alpha+1 เพราะการลบเท่ากับบวกใน characteristic two สี่องค์ประกอบคือ 0,1, alpha, alpha+1 องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งสามต้องเป็น units; คำนวณผลคูณของพวกเขาแทนที่จะ treating alpha เป็นจำนวนจริงธรรมดา
• For nested finite-degree fields K inside L inside M, the tower law gives [M:K]=[M:L][L:K]. The degree of an algebraic element is the degree of its minimal polynomial. A finite extension of degree two does not contain an element of degree three over the base field. Over Q, sqrt(2) has degree two; adjoining sqrt(3) as well produces a degree-four extension, since sqrt(3) is not in Q(sqrt(2)). Over C, primitive nth roots of unity have exact order n and are the roots of the cyclotomic polynomial Φ_n. For n=10, divide x⁵+1 by x+1 to exclude the order-two root −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. Vieta’s formulas give sum 1 and product 1 of its four primitive roots. Do not sum all tenth roots, or assume every nontrivial tenth root is primitive; a root’s order must be checked. For a monic degree d polynomial, product of its roots is (−1)^d times the constant coefficient.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ใน F2[alpha] กับ alpha²+alpha+1=0, คูณ alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1 ดังนั้น alpha^−1=alpha+1.enable Additionally, alpha³=1 และ alpha ไม่ใช่ 1, ดังนั้น multiplicative order ของมันคือ 3 สิ่งนี้สร้าง field ที่มีสี่องค์ประกอบ ในทางตรงกันข้าม 2·2=0 ใน Z/4Z, ซึ่งพิสูจน์ว่า quotient นั้นไม่ใช่ field

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

Polynomial reducibility เปลี่ยนแปลงไปตาม coefficient field. Polynomial x²−2 เป็น irreducible over Q แต่ split over R.

A.6 · Congruences, divisibility และฟังก์ชันคณิตศาสตร์

• สมการ ax≡b modulo n มี solution พอดีเมื่อ d=gcd(a,n) หาร b ได้ หากทำเช่นนั้น หาร a,b,n ด้วย d เพื่อให้ได้สมการที่มี invertible coefficient มันมี one residue solution modulo n/d และ d distinct solutions modulo n การหาร coefficient แต่ทิ้ง modulus เดิมไว้โดยทั่วไปจะสูญเสีย solutions Prime factorization ให้เครื่องมือ divisibility อื่นๆ: หาก n^k ต้อง divisible by product of prime powers p^a, แต่ละ prime exponent ใน n ต้องอย่างน้อย ceil(a/k). Exponents ขั้นต่ำเหล่านี้ผลิต n ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้แยกต่างหาก สำหรับ n⁴ divisible by 2⁷·3⁵, n ต้องมี 2² และ 3², ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดคือ 36. นี่คือ prime-exponent condition, ไม่ใช่ congruence แก้ด้วยการหาร modular
• อัลกอริทึมยูคลิดแบบขยายแสดง gcd(a,n) ในรูป ua+vn เมื่อ gcd เป็น 1, u คืออินเวอร์สของ a โมดูล n เลือกตัวแทนในช่วงที่กำหนดหลังลดรูป สำหรับ 7 และ 26, 1=15·7−4·26, ดังนั้น 15 จึงเป็นอินเวอร์สของ 7 โมดูล 26; ตรวจสอบผลคูณเพื่อจับความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย
• สำหรับ moduli ที่ coprime m,n, Chinese remainder theorem ให้ solutions Exactly one modulo mn สำหรับแต่ละคู่ของ residue conditions. แทนที่ x=r+mk ลงใน second congruence และแก้หาค่า k. หาก moduli ไม่ได้ coprime, ค่า residual ของพวกเขาต้องตรงกัน modulo gcd(m,n); เมื่อสอดคล้องกัน, uniqueness คือ modulo least common multiple, ไม่ใช่ผลคูณ
• Euler's totient phi(n) นับ residues coprime กับ n สำหรับ prime divisors p ที่แตกต่างกัน, phi(n)=n คูณด้วย product ของ (1−1/p). ทฤษฎีบทของ Euler ให้ a^phi(n)≡1 ก็ต่อเมื่อ gcd(a,n)=1. กรณี prime คือ Fermat's little theorem. ลดเลขชี้กำลังเฉพาะหลังจากตรวจสอบเงื่อนไขนี้; non-unit อาจกลายเป็นศูนย์ภายใต้เลขชี้กำลังซ้ำ

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

แก้ 6x≡9 modulo 15. GCD คือ 3 และหาร 9 ลงตัว หารทั้งสามปริมาณด้วยค่านี้จะได้ 2x≡3 modulo 5; Inverse ของ 2 คือ 3 ดังนั้น x≡9≡4 modulo 5. คำตอบเดิม modulo 15 คือ 4,9,14. สำหรับ x≡2 modulo 4 และ x≡3 modulo 7, เขียน x=2+4k; แล้ว 4k≡1 modulo 7, ซึ่งได้ k≡2. ดังนั้น x≡10 modulo 28.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

นิพจน์ a^phi(n)≡1 เป็นเท็จสำหรับ a ใดๆ ตัวอย่างเช่น 2 ไม่สามารถหา inverse ได้ modulo 8 และ 2^4 มีค่าเป็นศูนย์ modulo 8

T.4 · ลำดับ, ซีรีส์ และการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ

• ลำดับจำนวนจริงแบบลู่เข้าเป็นลำดับโคชี และลำดับโคชีของจำนวนจริงทุกตัวลู่เข้าเนื่องจาก R เป็นพื้นที่สมบูรณ์ ใน Q ลำดับโคชีอาจลู่เข้าหาจำนวนอตรรกยะและไม่ลู่เข้าภายใน Q ลำดับจำนวนจริงที่มีขอบเขตและเป็นฟังก์ชันนอนเดกเรนซิ่งจะลู่เข้า ลำดับที่มีขอบเขตไม่จำเป็นต้องลู่เข้า แต่ทฤษฎีบทโบลซาโน–ไวเออร์สตราซ รับประกันว่าจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า; (-1)^n มีค่าลิมิตของลำดับย่อยที่แตกต่างกันสองค่า
• สำหรับอนุกรมตัวเลข การลู่เข้าสัมบูรณ์บ่งบอกถึงการลู่เข้า; การลู่เข้าแบบเงื่อนไขไม่อนุญาตให้จัดเรียงใหม่ตามใจโดยไม่ส่งผลต่อผลรวม อนุกรมฮาร์โมนิกสลับเครื่องหมายลู่เข้าแต่อนุกรมค่าสัมบูรณ์ลู่แยก ในทดสอบอัตราส่วน ลิมิตที่น้อยกว่า 1 บ่งบอกการลู่เข้าสัมบูรณ์ และมากกว่า 1 บ่งบอกการลู่แยก; ลิมิตเท่ากับ 1 ไม่สามารถตัดสินได้ เพราะทั้งผลบวก 1/n และผลบวก 1/n² แสดงให้เห็น
• Pointwise convergence เลือกดัชนี N แยกต่างหากสำหรับแต่ละ x และความทนทาน. Uniform convergence เลือก N เดียวที่ใช้งานได้กับทุก x ในโดเมน. สำหรับฟังก์ชันที่มีค่าจริง, ตรวจสอบ supremum ของ |f_n−f| ทั่วทั้งโดเมน. ลิมิตแบบจุดเดียวที่เป็น continuous ไม่ได้พิสูจน์ uniform convergence โดยตัวเอง. จุดปลายโดเมนและยอดแหลมที่หดตัวมักแยกแยะแนวคิดทั้งสอง
• ลิมิตแบบ uniform ของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องจะเป็นต่อเนื่อง. บนช่วงปิดมีขอบเขต, การลิมิตแบบ uniform ของฟังก์ชันที่ Riemann-integrable อนุญาตให้สลับลิมิตและอินทิกรัล. การสลับอนุพันธ์ต้องใช้สมมติฐานเพิ่มเติม; การลิมิตแบบ uniform ของฟังก์ชันเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ. ทฤษฎีบท Weierstrass M-test สร้างการลิมิตแบบ absolute uniform ของอนุกรมฟังก์ชันหากแต่ละพจน์ถูกจำกัดโดย M_n ทั่วทั้งโดเมนและผลรวม M_n ลิมิต

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

บนช่วง [0,1], f_n(x)=x^n มีลิมิตเป็น 0 เมื่อ x<1 และเป็น 1 ที่ x=1 ลิมิตนี้เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นการลู่เข้าจึงไม่เป็นแบบสม่ำเสมอ โดยตรงแล้ว ค่าความคลาดเคลื่อนสูงสุด (supremum error) คือ 1 ซึ่งมีค่าเข้าใกล้จากด้านล่าง 1 บนช่วง [0, a] โดยที่ 0≤a<1 ลิมิตเป็นศูนย์และค่าความคลาดเคลื่อนสูงสุดคือ a^n ซึ่งลู่ไปหาศูนย์ ดังนั้นการลู่เข้าจึงเป็นแบบสม่ำเสมอ การเปลี่ยนแปลงโดเมนจะนำไปสู่ข้อสรุปที่แตกต่างกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การตรวจสอบหลายค่า x ที่คงที่พิสูจน์ไม่ได้ supremum bound หรือ uniform convergence. จุดที่สร้าง error มากที่สุดอาจเคลื่อนที่ตาม n

T.5 · เซตเปิด, ความหนาแน่นและความเป็นเชื่อมโยง

• ในพื้นที่เมตริก เซตเปิดมีทรงกลมขนาดเล็กรอบจุดแต่ละจุดภายใน เซตภายในประกอบด้วยจุดเหล่านี้; เซตปิดรวมจุดลิมิตทั้งหมด; ขอบคือเซตปิดลบเซตภายใน คำว่าเปิดและปิดไม่ใช่ป้ายที่แยกกันเด็ดขาด; เซตว่างและพื้นที่ทั้งหมดเป็นทั้งสองอย่างได้ ใน R, เซต [0,1) มีเซตภายใน (0,1), เซตปิด [0,1] และขอบ {0,1}
• In a subspace X, an open set has the form X intersected with an ambient open set. Thus [0,1) is open relative to [0,2], using intersection with (-1,1), although it is not open in R. A set may also be relatively closed without being closed in the ambient space. Always state which space defines neighbourhoods and which metric is used.
• Compactness หมายความว่า every open cover มี finite subcover. ใน Euclidean R^n, Heine–Borel ทำให้สิ่งนี้เทียบเท่ากับ closed และ bounded. ใน metric space, compactness เทียบเท่า sequential compactness; ความสมบูรณ์ (completeness) และความ boundedness เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอใน metric spaces ทั่วไป. Continuous image ของ compact set คือ compact, ซึ่งให้ maxima และ minima ที่ถูก attain สำหรับฟังก์ชันจริงต่อเนื่องบน nonempty compact domain
• Connected sets ไม่สามารถแยกออกเป็นสอง disjoint nonempty relatively open parts; connected subsets ของ R คือช่วง (intervals) พอดี. Continuous image ของ connected set คือ connected, ซึ่งให้ intermediate value theorem. Path connectedness imply connectedness, แต่ไม่ในทางกลับเสมอไปในทุกสเปซ. A compact set อาจไม่ connected, และ connected set อาจไม่ compact; เซตสองจุดที่มีจำนวนจำกัดและ open interval ให้กรณีตรงข้าม

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ให้ X=[0,1] พร้อม relative topology ปกติ. เซต U=[0,0.5) เท่ากับ X intersected with (-1,0.5), ดังนั้น U จึงเป็น open ใน X. Its closure ใน X คือ [0,0.5], และ its boundary ใน X คือ {0.5}; ศูนย์เป็น interior point relative to X. สำหรับ f ต่อเนื่องบน X ที่มี f(0)<0<f(1), connectedness รับประกันการมีศูนย์, ในขณะที่ compactness แยกต่างหากรับประกัน extrema ที่ถูก attain

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

Heine–Borel's closed-and-bounded test เป็นทฤษฎีบทของ Euclidean space. Connectedness และ compactness ตอบคำถามที่แตกต่างกัน

C.4 · การขยายเทย์เลอร์และจุดปลายของอนุกรมกำลัง

• Taylor polynomial of degree m ที่ a คือผลรวมของ f^(k)(a)(x−a)^k/k! สำหรับ k จากศูนย์ถึง m Factorial อยู่ในแต่ละสัมประสิทธิ์ หาก derivative ถัดไปมี magnitudebounded ด้วย M ระหว่าง a และ x, Lagrange remainder มีmagnitudeไม่เกิน M|x−a|^(m+1)/(m+1)! ความลื่นไหลเพียงอย่างเดียวไม่รับประกันว่า infinite Taylor series จะเท่ากับฟังก์ชันทุกที่
• Power series sum c_n(x−a)^n converge absolutely ภายในรัศมี R ของมันและ diverge นอกนั้น Ratio หรือ root tests มักจะกำหนด R, โดยมีค่าที่เป็นไปได้เป็นศูนย์และอนันต์ ที่ x=a−R และ x=a+R การทดสอบมักจะเป็น inconclusive; แทนค่าแต่ละ endpoint ลงใน series เดิม พฤติกรรมที่ endpoints ทั้งสองอาจแตกต่างกัน
• ภายในช่วงลู่เข้าแบบเปิด การแยกอนุพันธ์และหาปริพันธ์พจน์ต่อพจน์รักษารัศมีไว้ สามารถเปลี่ยนแปลงได้ว่าปลายช่วงถูก Functor หรือไม่ เริ่มจากอนุกรมเรขาคณิต 1/(1−x)=sum x^n สำหรับ |x|<1, แล้วหาปริพันธ์จากศูนย์ถึง x เพื่อได้ −ln(1−x)=sum x^n/n สำหรับ n≥1. ตรวจสอบค่าคงที่การหาปริพันธ์และโดเมนของลอการิทึมจริง
• อนุกรมยังแก้รูปแบบลิมิตที่เอาตัวร่วมออกได้ ในการหาค่า (e^x−1−x)/x² ใกล้ศูนย์, เก็บพจน์แรกที่ยังเหลืออยู่ x²/2 แทนที่จะใช้เพียง e^x≈1+x. การตัดประมาณเชิงอสมปทานกำหนดลิมิต; อสมการบนช่วงจำกัดต้องการข้อโต้แย้งเรื่องเครื่องหมายหรือขนาดของเศษเหลือแยกต่างหาก อย่าแทนค่าลงในอนุกรมนอกช่วงลู่เข้า

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ sum x^n/n กับ n≥1, การทดสอบอัตราส่วนให้รัศมี 1. ที่ x=1 มันคืออนุกรมฮาร์โมนิกที่ลู่ไม่เข้า; ที่ x=−1 มันคืออนุกรมสลับสัญญาณที่ลู่เข้า ดังนั้นช่วงลู่เข้าของมันคือ [−1,1). การแยกอนุพันธ์ด้านในจะได้ sum x^(n−1)=1/(1−x), ซึ่งลู่เข้าไม่ได้ที่ปลายช่วงใดเลย รัศมียังคง 1 แต่การ Functor ปลายช่วงเปลี่ยนไป

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รัศมีไม่ใช่ช่วงลู่เข้าที่สมบูรณ์ ต้องทดสอบปลายช่วงและสัมประสิทธิ์แฟกทอเรียลอย่างชัดเจน

C.5 · อินทิกรัลที่ improper และงานทางเรขาคณิต

• An infinite integration endpoint is replaced by a finite bound and a limit. At a singular point inside the interval, split the integral and require both one-sided integrals to converge separately. Symmetric cancellation can define a Cauchy principal value but does not prove convergence of the ordinary improper integral. For 1/x across zero, the two sides diverge even though symmetric cutoffs cancel.
• อินทิกรัลของ x^(−p) จาก 1 ถึงอนันต์ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ p>1 จากศูนย์ถึง 1 ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ p<1 สัมประสิทธิ์เลขชี้กำลังเดียวกันมีพฤติกรรมต่างกันที่ขอบเขตทั้งสอง สำหรับอินทิกรานของฟังก์ชันบวก การเปรียบเทียบถ่ายโอนการลู่เข้าจากฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้ใหญ่กว่า หรือการลู่แยกจากฟังก์ชันที่ไม่อินทิเกรตได้เล็กกว่า; รักษาทิศทางอสมการให้ถูกต้อง สำหรับอินทิกรัลของค่าสูงสุดหรือต่ำสุด แก้ไขจุดตัดของแขนและตรวจสอบว่านิพจน์ใดครอบงำในช่วงนั้น สำหรับ max(√(1−x²),x+1) บน [−1,1] จุดตัดภายในคือศูนย์; ใช้ครึ่งวงกลมบน [−1,0] และเส้นตรงบน [0,1] พื้นที่คือ π/4+3/2 ไม่ใช่อินทิกรัลของแขนใดแขนหนึ่งตลอดทั้งช่วง
• สำหรับการหมุนรอบแกน x, จานหรือวาเชอร์หาปริพันธ์ π(R²²−r²²) dx. เปลือกทรงกระบอกใช้ 2π คูณรัศมีกับความสูงและหาปริพันธ์ในตัวแปรที่สอดคล้องกัน เลือกวิธีตามรูปศาสตร์และตรวจสอบว่ารัศมีไม่ติดลบ พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งหาปริพันธ์บนลบล่าง, แยกเมื่อลำดับเปลี่ยนไป ปริพันธ์ที่มีเครื่องหมายไม่ใช่พื้นที่ทางเรขาคณิตอัตโนมัติ
• สำหรับเส้นโค้งระนาบที่หาอนุพันธ์ได้ y=f(x) ความยาวของส่วนโค้งคืออินทิกรัลของ sqrt(1+(f′(x))²) dx พื้นผิวที่เกิดจากการหมุน f ที่ไม่เป็นลบรอบแกน x มีพื้นที่เท่ากับอินทิกรัล 2πf sqrt(1+(f′)²) dx สิ่งเหล่านี้เป็นปริมาณที่แตกต่างกันกับปริมาตร หากช่วงนั้นไม่มีขอบเขต สูตรทางเรขาคณิตยังคงต้องใช้การทดสอบความลู่เข้า

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

หมุน y=1/x สำหรับ x≥1 รอบแกน x ปริมาตรดิสก์คือ π คูณด้วยอินทิกรัลของ 1/x² ดังนั้น V=π ฟังก์ชันที่แสดงในอินทิกรัลพื้นที่ผิวข้างคือ 2π(1/x)√(1+1/x⁴) อย่างน้อยเท่ากับ 2π/x; อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนนี้ลู่เข้าไม่ได้ ดังนั้นปริมาตรที่มีจำกัดจึงไม่บ่งชี้ว่าพื้นที่ผิวจะมีจำกัด การเปรียบเทียบนี้หลีกเลี่ยงการพยายามหาอนุพันธ์ที่ไม่จำเป็น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ห้ามนับค่าหลัก (principal value) เป็นอินทิกรัลที่ improper ที่ลู่เข้า หรืออนุมานความจำกัดของปริมาณหนึ่งจากอีกปริมาณหนึ่ง

C.6 · ค่าสุดและค่าต่ำสุดของหลายตัวแปรและการหาจุดที่เหมาะสมภายใต้ข้อจำกัด

• สำหรับฟังก์ชันที่หาค่าดิฟเฟอเรนเชียลได้บนโดเมนเปิด ค่าสัมพัทธ์ภายในจะมีเกรเดียนต์เป็นศูนย์ เงื่อนไขนี้เป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่เพียงพอ สำหรับสองตัวแปรที่จุดวิกฤต ให้ให้ D=f_xx f_yy−(f_xy)² หาก D>0 และ f_xx>0 จะได้นิพจน์ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์อย่างเข้มงวด และ f_xx<0 จะได้นิพจน์ค่าสูงสุดสัมพัทธ์อย่างเข้มงวด; D<0 จะได้ว่ามีจุดอาน การทดสอบเหล่านี้ต้องการความสม่ำเสมอของอนุพันธ์อันดับสองที่เหมาะสมใกล้จุดนั้น
• เมื่อ D=0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองจะตัดสินไม่ได้ ไม่ใช่หลักฐานของการมีจุดอาน ฟังก์ชัน x⁴+y⁴ และ x⁴−y⁴ มีเฮสเซียนเป็นศูนย์ที่จุดกำเนิดเหมือนกัน แต่หนึ่งมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์อย่างเข้มงวดและอีกฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย ตรวจสอบตามทิศทางที่ต่างกันหรือใช้อสมการโดยตรง สำหรับรูปกำลังสอง ความแน่นอนเป็นบวกให้คำอธิบายเฮสเซียนที่กว้างกว่า
• On a smooth equality constraint g(x,y)=c with nonzero gradient g, solve gradient f=lambda gradient g together with g=c. These equations generate candidates; they do not classify or guarantee a global extremum. If the constraint gradient vanishes, the regularity condition fails and the multiplier equations can miss a constrained extremum. Treat such points separately. For x²+y²=a and xy=b>0, (x−y)²=a−2b shows necessity a≥2b. It is also sufficient: take s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 and y=(s−d)/2. These real values have xy=b and x²+y²=a. A minimum condition alone needs this attainment check to establish solvability.
• ฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตที่เป็นไปได้ที่กะทัดรัดจะหาค่าสัมพัทธ์สัมบูรณ์ได้ ในการหาค่าเหล่านี้ ให้เปรียบเทียบผู้สมัครภายในทั้งหมดและส่วนขอบเขตทั้งหมด รวมถึงมุมและจุดปลาย สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้หาค่าสูงสุด/ต่ำสุดของฟังก์ชันจำกัดบนแต่ละด้าน สำหรับดิสก์ ขอบวงกลมอาจใช้พารามิเตอร์หรือตัวคูณ การแก้เฉพาะเกรเดียนต์ที่ไม่มีข้อจำกัดจะละเลยผู้ชนะที่เป็นไปได้จากขอบเขต

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

Minimise x²+y² subject to x+y=6. The constraint gradient is (1,1), so 2x=lambda and 2y=lambda. Thus x=y and the constraint gives x=y=3, with value 18. Completing the square on the line gives x²+(6−x)²=2(x−3)²+18, proving a global minimum. There is no maximum on this unbounded line, despite the existence of a multiplier candidate.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

A Lagrange multiplier solution is a candidate, not automatically a maximum or minimum. Check regularity and the complete feasible set.

C.7 · การเปลี่ยนพิกัดและทฤษฎีบทอินทิกรัลของเวกเตอร์

• การเปลี่ยนตัวแปรจะปรับพื้นที่หรือปริมาตรตามค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์จาคอบเรียน พิกัดเชิงขั้วใช้ r dr dtheta; พิกัดทรงกระบอกใช้ r dr dtheta dz; พิกัดทรงกลมที่วัดมุม phi จากแกน z บวกใช้ rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. ระบุระเบียบวิธีของมุมและแปลงทั้งตัวถูกอินทิกรัลและบริเวณ การขาดจาคอบเรียนจะทำให้การอินทิกรัลความหนาแน่นสม่ำเสมอกลายเป็นปริมาณทางฟิสิกส์ที่ผิด
• ทฤษฎีบทของกรีนเทียบเท่า circulation ของขอบเขตระนาบที่มีทิศทางบวก P dx+Q dy กับอินทิกรัลคู่ของ Q_x−P_y บนพื้นที่ ทฤษฎีบทนี้ไม่สามารถอินทิเกรตผ่านจุดเอกฐานของสนามได้
• ทฤษฎีบทของสโตกส์เทียบเท่า circulation บนขอบเขตพื้นผิวกับอินทิกรัลพื้นผิวของ curl F dot normal ที่มีทิศทางกฎมือขวาเชื่อมโยงทิศทางขอบเขตกับ normal ทฤษฎีบทของดิเวอร์เจนซ์เทียบเท่าการไหลออก (flux) ผ่านพื้นผิวปิดกับอินทิกรัลปริมาตรของ div F
• สนามเกรเดียนต์มีอินทิกรัลเส้นที่ไม่ขึ้นกับเส้นทาง ซึ่งกำหนดโดยผลต่างศักย์ระหว่างจุดปลาย สนามที่ curl เป็นศูนย์และหาอนุพันธ์ต่อเนื่องบนโดเมนเปิดแบบSimply connected เป็นสนามอนุรักษ์ Curl เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวบนโดเมนที่มีรูไม่เพียงพอ สำหรับ F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)) จุดกำเนิดถูกตัดออก; circulation ของวงกลมหน่วยคือ 2π แม้ว่าจะมีcurlเป็นศูนย์ทุกที่ที่นิยามสนามไว้ก็ตาม

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ F=(x,y,z) divergence คือ 3 ดังนั้นฟลักซ์ออกผ่านทรงกลมรัศมี 2 จึงเป็น 3 เท่าของปริมาตร หรือ 3·(4π·2³/3)=32π สิ่งนี้หลีกเลี่ยงการใช้พารามิเตอร์ของพื้นผิว สำหรับสนามระนาบ (−y,x) ทฤษฎีบทของกรีนให้ circulation ของวงกลมหน่วยทวนเข็มนาฬิกาเป็นอินทิกรัลของ 1−(−1)=2 บนดิสก์ ดังนั้นจึงได้ 2π การกลับทิศทางจะเปลี่ยนเครื่องหมายของ circulation

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ไม่มี curl เป็นศูนย์ไม่เพียงพอเมื่อโดเมนมีรู การไหลออกและการหมุนทวนเข็มนาฬิกาใช้ทฤษฎีบทและกฎทิศทางที่แตกต่างกัน

T.6 · ฟังก์ชัน, สาขาผกผันและการประกอบ

• ฟังก์ชันกำหนดผลลัพธ์เดียวให้กับแต่ละอินพุตที่ได้รับอนุญาต Injective หมายถึง ผลลัพธ์เท่ากันบังคับให้อินพุตเท่ากัน; Surjective หมายถึง ทุกองค์ประกอบของโคโดเมนที่กำหนดถึงแล้ว The map x↦x² จาก R ไปยัง [0,∞) เป็น surjective แต่ไม่ใช่ injective จาก [0,∞) ไปยัง [0,∞) เป็นทั้งสองอย่าง ดังนั้นจึงเป็น bijective จาก [0,∞) ไปยัง R ยังคงเป็น injective แต่ล้มเหลวใน surjectivity ให้แยกโดเมน Image และ codomain ออกเมื่อทดสอบแต่ละข้ออ้าง
• An inverse function reverses a bijection. Solve y=f(x) for x, then use the original domain to choose a branch. For f(x)=(x−2)²−5 on x≥2, the inverse is 2+√(y+5) on y≥−5. The minus branch would return inputs outside the chosen domain. Check f⁻¹(f(x))=x for allowed x and f(f⁻¹(y))=y for allowed y; one unchecked composition can conceal a domain error.
• กราฟของฟังก์ชันผกผันสะท้อนกราฟต้นฉบับตามเส้น y=x; มันไม่ทำ reciprocal ของค่าเอาต์พุต ฟังก์ชันที่ผกผันตัวเองหรือ Involution เป็นไปตาม f(f(x))=x ทุกครั้งที่ composition นิยาม −x บน R และ 1/x บน R ที่ตัดเลขศูนย์ออกเป็น involutions Involution ที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดบนช่วงต้องเป็น identity: หาก f(x)>x, ความเพิ่มขึ้นทำให้ f(f(x))>f(x)>x และการโต้แย้งแบบคล้ายกันขจัดความเป็นไปได้ของ f(x)<x
• Iteration fⁿ หมายถึงการประกอบซ้ำ ไม่ใช่กำลัง (f(x))ⁿ. คำนวณการประกอบครั้งแรกๆ และตรวจสอบโดเมนก่อนมองหาช่วงรอบ สำหรับ f(x)=1/(1−x) บน R ที่ตัด 0 และ 1, f²(x)=(x−1)/x และ f³(x)=x. ภาพยังคงอยู่ในโดเมนที่อนุญาตเดิม ดังนั้นลดจำนวนรอบ iterate ด้วยโมดูลาร์สาม สมการที่แสดงออกซึ่งเท่ากับ x หลังตัดพจน์แล้วไม่คืนค่าที่ไม่อนุญาต

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ f(x)=(x−2)²−5 กับ x≥2, f(5)=4 และ f⁻¹(4)=2+√9=5. พาราโบลาที่ไม่จำกัดจะมีความเข้าสองค่า −1 และ 5 ให้ผลลัพธ์ 4. สำหรับ g(x)=1/(1−x), orbit 3→−1/2→2/3→3 มีรอบสาม ดังนั้น g⁸(3)=2/3; จำนวนนับเกี่ยวข้องกับการประกอบ ไม่ใช่เลขชี้กำลังแปด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การเปลี่ยน codomain เปลี่ยนคุณสมบัติ surjectivity การสะท้อนข้าม y=x คือกราฟของฟังก์ชันผกผัน; การกลับค่า reciprocating ของ y เป็นกระบวนการที่แตกต่างกัน อย่าตัดค่าที่ไม่อนุญาตออก

T.7 · ภาพเซต, สัมพันธ์สมมูล และการลบลÓGIC

• สำหรับ f:X→Y และ A⊆X, ภาพ f(A) ประกอบด้วย output ทั้งหมด f(a) โดยที่ a อยู่ใน A จุดหนึ่งจะอยู่ใน f(A∪B) ก็ต่อเมื่อมันมาจาก A หรือ B, ดังนั้น f(A∪B)=f(A)∪f(B). ถ้า A⊆B, แล้ว f(A)⊆f(B). สำหรับการตัดกัน f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) เป็นจริงโดยอัตโนมัติเท่านั้น: output เดียวกันอาจมาจาก input ที่ต่างกัน ใช้ f(x)=x², A={−1}, B={1}; ภาพทางซ้ายเป็นเซตว่าง ในขณะที่การตัดกันทางขวาคือ {1}."
• Preimages behave differently. For C⊆Y, f⁻¹(C) here denotes the set of all inputs sent into C, even if f has no inverse function. Membership in two preimages means the very same input maps into both target sets. Consequently preimages preserve unions, intersections and complements relative to the stated domain/codomain. Do not transfer a theorem about preimages to images. If f is injective, image intersections do become equal, because equal outputs then force a shared input.
• Relation R บน X เป็น reflexive เมื่อ xRx สำหรับทุก x, symmetric เมื่อ xRy implies yRx, และ transitive เมื่อ xRy และ yRz imply xRz. ทั้งสามสิ่งนี้ทำให้เป็น equivalence relation; classes ของมันจะ partition X. บนจำนวนเต็ม, xRy เมื่อ x และ y มีเศษเหลือเท่ากัน modulo สี่ ให้สี่ classes. Relation |x−y|≤1 เป็น reflexive และ symmetric แต่ไม่ transitive: 0R1 และ 1R2 ในขณะที่ 0 ไม่มีความสัมพันธ์กับ 2. การตรวจสอบเพียงแผนภูมิหรือสองคุณสมบัติไม่เพียงพอ
• An implication P⇒Q is false exactly when P is true and Q false. Thus the negation of P⇒(Q∧R) is P∧(¬Q∨¬R), not ¬P⇒(¬Q∧¬R). Negating “every x has property A” gives “there exists x without A”; negating “there exists x” gives “every x does not”. A counterexample can disprove a universal claim, while examples cannot prove it. The quantifiers retain their order when individually negated: ¬(∀x∃y S(x,y)) is ∃x∀y ¬S(x,y).

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ให้ f map ทั้ง a และ b ไปยัง label L. ด้วย A={a}, B={b}, f(A∩B)=∅ แต่ f(A)∩f(B)={L}. สำหรับ xRy ที่นิยามโดย x=y หรือ x=−y บน R, reflexivity และ symmetry ตามมาโดยตรง, และการเปลี่ยนเครื่องหมายสองครั้งยังคงให้ z=±x, พิสูจน์ transitivity. Classes คือ {x,−x}, กับ {0} เป็น singleton. ข้อความเท็จ “ไฟล์ที่จัดเก็บทุกไฟล์มี hash” หมายความว่าอย่างน้อยหนึ่งไฟล์ที่จัดเก็บไม่มี hash; มันไม่ได้หมายความว่าไฟล์ทั้งหมดไม่มี hash.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

f⁻¹(C) อาจหมายถึง preimage set โดยไม่มี inverse function. Relation ที่เป็น reflexive และ symmetric อาจล้มเหลวในการ transitive. ปฏิเสธข้อความทั้งหมดก่อนที่จะลดรูปส่วนประกอบของมัน

T.8 · การปรับเงื่อนไข, การอนุมานแบบเบย์ และข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่าง

• สำหรับ P(B)>0, P(A|B)=P(A∩B)/P(B): จำลองประชากรให้เหลือเฉพาะ B ก่อนคำนวณเศษส่วนใน A ความอิสระหมายความว่า P(A∩B)=P(A)P(B), หรือเทียบเท่ากันได้กับ P(A|B)=P(A) เมื่อตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์ เหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกัน (mutually exclusive) ที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกไม่สามารถเป็นอิสระต่อกันได้ เพราะความน่าจะเป็นร่วมกัน theirs เป็นศูนย์ การสุ่มตัวอย่างโดยไม่แทนที่มักจะทำให้ความน่าจะเป็นในการสุ่มครั้งต่อไปเปลี่ยนไป; ตัวส่วนคงที่สำหรับการสุ่มติดต่อกันจะอธิบายการทดลองที่แตกต่างกัน
• สร้างความน่าจะเป็นร่วมโดยการคูณสัดส่วนหมวดหมู่ก่อนหน้า (prior category proportion) กับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เกี่ยวข้อง ถ้า D เป็นเงื่อนไขและ + เป็นผลลัพธ์บวก, P(D∩+)=P(D)P(+|D) ความน่าจะเป็นรวมที่เป็นบวกคือ P(D)P(+|D)+P(not D)P(+|not D), เนื่องจากทั้งสองนี้แยกจากกันและครอบคลุมผลลัพธ์บวกทั้งหมด Bayes นำความน่าจะเป็นร่วมแรกมาหารด้วยผลรวมนี้ ค่าความไว (sensitivity) คือ P(+|D), ในขณะที่ค่าความจำเพาะ (specificity) คือ P(−|not D); อัตราการบวกผิดพลาด (false-positive rate) คือ 1 ลบด้วยค่าความจำเพาะ
• สำหรับทดสอบสมมติฐานที่มีความชุก 2% ความไว 90% และความจำเพาะ 95% ใช้ประชากร 10,000 เพื่อความชัดเจน จาก 200 คนที่เป็นโรค มี 180 ผลบวก จาก 9,800 คนที่ไม่มีโรค มี 490 ผลบวก ดังนั้น 180 จาก 670 ผลบวกทั้งหมดเป็นโรค: ค่าหลัง 18/67 ประมาณ 26.9% การกลับเงื่อนไขจะได้ 90% ซึ่งตอบคำถามต่างไป นี่คือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่คำแนะนำเรื่องการตัดสินใจทางคลินิก
• สำหรับข้อมูลการสังเกตที่เป็นอิสระและมีแจกแจงเหมือนกัน (independent identically distributed) ที่มีความแปรปรวนจำกัด σ², ค่าเฉลี่ยตัวอย่างมีค่าคาดหวัง μ และความแปรปรวน σ²/n; ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของมันคือ σ/√n.นี่คือการกระจายของค่าเฉลี่ยตัวอย่างซ้ำๆ ไม่ใช่การกระจายของการสังเกตแต่ละตัว การเพิ่ม n เป็นสี่เท่าจะลดค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานลงครึ่งหนึ่ง แทนที่จะลดลงหนึ่งในสี่ ข้อมูลประชากรปกติให้ค่าเฉลี่ยที่เป็นปกติอย่างสมบูรณ์; ในกรณีอื่นๆ การประมาณด้วยทฤษฎีบทลิมิตกลางต้องการเงื่อนไขที่เหมาะสมและขนาดตัวอย่างที่เพียงพอ ความสัมพันธ์เชิงเส้น (correlation) ทำให้การคำนวณความแปรปรานอิสระง่ายไม่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ให้ P(A)=0.4, P(B)=0.5 และ P(A∩B)=0.3. ดังนั้น P(A|B)=0.6, ดังนั้น A และ B ไม่เป็นอิสระ, เนื่องจาก 0.3≠0.4·0.5. หากตัวแปรมีความเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12, ตัวอย่างอิสระที่มีขนาด 36 มีค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย 2. การเพิ่มขนาดตัวอย่างเป็น 144 จะได้ 1; ความเบี่ยงเบนมาตรฐานของการสังเกตแต่ละตัวคงอยู่ที่ 12.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อย่าสลับ P(+|D) เป็น P(D|+). รวมการบวกผิดพลาดไว้ในตัวส่วนของความน่าจะเป็นหลัง ความเบี่ยงเบนมาตรฐานของการสังเกตแต่ละตัวและความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยมีพฤติกรรมที่ขึ้นกับขนาดตัวอย่างต่างกัน

T.9 · ความคล้ายคลึง, สเกล และการหาเส้นโค้งระยะทางแบบกรวย

• สามเหลี่ยมคล้ายกันเมื่อมุมที่สอดคล้องกันตรงกัน; อัตราส่วนด้านที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน เขียนการจับคู่ยอดให้ชัดเจน ถ้าสามเหลี่ยม APQ มีมุม A เท่ากับมุม A ของ ABC และมุม P เท่ากับมุม C, การจับคู่ตามลำดับคือ A↔A, P↔C, Q↔B. ดังนั้น AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. ด้าน AP อยู่บน AB แต่สอดคล้องกับ AC; การจับคู่ตามตำแหน่งที่ด้านอยู่หรือตามตัวอักษร P อาจให้อัตราส่วนที่ผิด
• ด้วยตัวคูณสเกลความยาว k>0, ความยาวคูณด้วย k, พื้นที่คูณด้วย k² และปริมาตรคูณด้วย k³. การเพิ่มความยาว 30% หมายถึง k=1.30, ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของพื้นที่คือ 1.30²−1=0.69, หรือ 69%; มันไม่ใช่ 60%. สำหรับรูปทรงคล้ายกันที่มีอัตราส่วนปริมาตร 27, อัตราส่วนความยาวคือ 3 และอัตราส่วนพื้นที่ผิว 9. การเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์และผลต่างสัมบูรณ์เป็นปริมาณที่ต่างกัน; เขียนอัตราส่วนใหม่ต่อเก่าก่อนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์
• วงกลมกำหนดระยะทางไปยังจุดหนึ่ง เอลิปส์กำหนดผลรวมของระยะทางไปยังจุดโฟกัสสองจุด ไฮเพอร์โบล่ากำหนดผลต่างสัมบูรณ์ของระยะทางเหล่านั้น; พาราโบลากำหนดความเท่ากันของระยะทางไปยังจุดโฟกัสและเส้น directrice. เหล่านี้เป็นนิยามของชุดจุด ไม่ใช่ภาพร่างที่ต้องท่องจำ สำหรับจุดโฟกัส (−c,0) และ (c,0), เอลิปส์ใช้ผลรวม 2a โดย a>c. ไฮเพอร์โบล่าที่ไม่เสื่อมสภาพ (nondegenerate hyperbola) ใช้ผลต่างสัมบูรณ์ 2a โดย 0<a<c; ผลต่างที่มีเครื่องหมายแยกแยะสาขาทั้งสองของมัน
• สำหรับไฮเปอร์โบลาที่มีแกนหลักเป็นแนวนอน c²=a²+b² และสมการคือ x²/a²−y²/b²=1. ให้ r_A เป็นระยะไปยัง (−c,0) และ r_B เป็นระยะไปยัง (c,0). เงื่อนไข r_A−r_B=2a>0 เลือกสาขาขวา x≥a; เงื่อนไขลบเลือกสาขาซ้าย. การยกกำลังสองอาจทำให้สูญเสียเครื่องหมายนี้ ดังนั้นตรวจสอบเงื่อนไขระยะทางเดิมหลังจากได้สมการแล้ว. ผลต่างเป็นศูนย์ให้เส้นแบ่งครึ่งตั้งแทนที่จะเป็นไฮเปอร์โบลา; ผลต่างที่มากกว่าระยะห่างระหว่างโฟกัสเป็นเรื่องที่เป็นไปไม่ได้ตามอสมการสามเหลี่ยม

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ให้ AB=10, AC=15 และ BC=20 จุด P บน AB มี AP=6 และ Q บน AC ทำให้มุม APQ เท่ากับมุม ACB ดังนั้น AP/AC=6/15=2/5 ซึ่ง PQ=8 และ AQ=4 แยกต่างหาก โฟกัสอยู่ที่ (−5,0),(5,0) และระยะทางไปจุดซ้ายลบด้วยระยะทางไปจุดขวาเท่ากับ 6 จะได้ a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 โดยที่ x≥3. จุด (−3,0) สอดคล้องกับสมการกำลังสองแต่ไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขมีเครื่องหมาย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

จับคู่มุมก่อนด้าน ร้อยละพื้นที่ใช้กำลังสองของตัวคูณความยาว สมการระยะทางยกกำลังสองอาจอธิบายทั้งสองสาขาแม้ว่าโจทย์เดิมจะขอเพียงสาขาเดียวก็ตาม

C.8 · เฟสของฟังก์ชันตรีโกณมิติและเส้นโค้งพารามิเตอร์

• สำหรับ y=A cos(ωx−φ) เมื่อ A>0 และ ω>0, แอมพลิจูดคือ A, คาบคือ 2π/ω, และการเลื่อนแนวนอนคือ φ/ω. มุมเฟส φ วัดภายในอาร์กิวเมนต์ของโคไซน์; มันไม่ใช่การเลื่อนแนวนอนเอง เว้นแต่ ω=1. เริ่มต้นด้วยการวัดระยะจากยอดถึงยอดเพื่อหาคาบ และระยะจากเส้นกลางถึงยอดเพื่อหาแอมพลิจูด. เพื่อหามุมเฟส ให้แทนค่าจุดที่ทราบไว้และตรวจสอบทิศทางการเคลื่อนที่ที่จุดนั้น. เฟสที่เทียบเท่ากันต่างกันด้วย 2π.
• สำหรับ y=−2 cos(3x) เขียนโมเดลใหม่ด้วยแอมพลิจูดบวกเป็น 2 cos(3x−π). แอมพลิจูดของมันคือ 2, รอบ 2π/3, และเฟส π; การเลื่อนไปทางขวาที่เทียบเท่าคือ π/3. จุดยอดเกิดขึ้นเมื่อ 3x−π เป็นพหุคูณของ 2π. จุดกราฟที่ x=0 และ y=0 เพียงอย่างเดียวไม่สามารถกำหนดเฟสได้อย่างชัดเจน: ความชันหรืออีกจุดหนึ่งช่วยแยกแยะมุมที่เป็นไปได้ หน่วยและกฎเกณฑ์ของมุมมีความสำคัญ; อนุพันธ์ตรีโกณมิติของแคลคูลัสธรรมดาใช้เรเดียน
• A parametric curve specifies x=x(t), y=y(t). Eliminating t describes a point set but can lose restrictions and direction. For x=cos³t, y=sin³t, real cube roots give |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1, an astroid with cusps on the axes. As t runs from 0 to 2π it starts at (1,0), passes (0,1) at π/2 and travels counterclockwise. Restricting t to [0,π/2] gives only the first-quadrant arc, not the entire implicit locus.
• เมื่อ dx/dt≠0, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) เส้นสัมผัสแนวนอนต้องการ dy/dt=0 และ dx/dt≠0 โดยทั่วไป; เส้นสัมผัสแนวตั้งต้องการเงื่อนไขตรงข้าม หากทั้งสองเป็นศูนย์ ให้ตรวจสอบลิมิตหรือการขยายในท้องถิ่นแทนที่จะนำ 0/0 มาใช้ ως ความชัน สำหรับ x=t², y=t³ ที่ t=0, ค่าquotient สำหรับ t≠0 คือ 3t/2 และมีแนวโน้มเป็นศูนย์: จุดยอดแหลม (cusp) มีเส้นสัมผัสแนวนอน ความเร็วพารามิเตอร์เป็นศูนย์ไม่ใช่จุดสูงสุดหรือต่ำสุดในท้องถิ่นของ y ในฐานะฟังก์ชันของ x ด้วยตนเอง

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ y=−2 cos(3x), ค่าต่ำสุดรวม x=0 และค่าสูงสุดรวม x=π/3. การแสดงเฟส 2 cos(3x−π) ให้ค่าเดียวกัน. สำหรับ x=2 cos t,y=sin t, การตัดตัวแปรได้ x²/4+y²=1; ที่ t=π/4, dx/dt=−√2 และ dy/dt=√2/2, ดังนั้นความชัน −1/2. ช่วงพารามิเตอร์เต็ม [0,2π] วาดวงรีหนึ่งรอบทวนเข็มนาฬิกา

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

มุมเฟสและการเลื่อนแนวนอนต่างกันด้วยตัวคูณความถี่ สมการเชิงนิยาม (implicit equation) สามารถเพิ่มส่วนที่ลากเส้นไม่ครบของเส้นโค้งได้ หากอนุพันธ์ของพารามิเตอร์ทั้งสองหายไปพร้อมกัน ให้ใช้เหตุผลท้องถิ่นแทนการติดป้ายทุกจุดเช่นนั้นว่าเป็นจุดสุดขั้ว

T.10 ·เรขาคณิตเวกเตอร์, การฉายภาพ และพื้นที่ที่มีทิศทาง

• สำหรับเวกเตอร์จริง u,v ที่ไม่ใช่ศูนย์ u·v=|u||v| cos θ. ผลคูณสเกลาร์ที่เป็นบวก, ศูนย์ หรือลบ สอดคล้องกับมุมแหลม, มุมฉาก หรือมุมท Obtuse ตามลำดับ การฉายภาพสเกลาร์ของ v ตามทิศทางของ u คือ (v·u)/|u|; การฉายภาพเวกเตอร์คือ ((v·u)/(u·u))u. ส่วนต่างจากการฉายภาพนี้จะตั้งฉากกับ u. อย่าสับสนระหว่างเวกเตอร์ที่ถูกฉายภาพกับองค์ประกอบสเกลาร์ที่มีเครื่องหมายของมัน เวกเตอร์ศูนย์ตั้งฉากกับทุกเวกเตอร์แต่ไม่มีทิศทางมุมที่กำหนดไว้
• For three-dimensional vectors, u×v is perpendicular to both with length |u||v| sin θ. Coordinate calculation uses (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). This length is the parallelogram area, so a triangle from two edge vectors has half that area. Reversing their order reverses the cross product but preserves area. Build both edge vectors from the same vertex; crossing two unrelated position vectors generally measures the wrong triangle.
• ระนาบผ่านจุด p ที่มีเวกเตอร์ปกติ n มีสมการ n·(x−p)=0. ระยะห่างจาก q ไปยังระนาบคือ |n·(q−p)|/|n|; ตัวส่วนช่วยปรับมาตราส่วนของสมการ ผลคูณสามเท่า (scalar triple product) u·(v×w) ให้ปริมาตรของทรงลูกบาศก์เอียงที่มีเครื่องหมาย; ค่าสัมบูรณ์คือปริมาตรทางเรขาคณิต ผลคูณสามเท่าเป็นศูนย์หมายถึงความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์ขอบทั้งสาม ไม่ใช่จำเป็นต้องหมายความว่าแต่ละคู่ตั้งฉากหรือขนานกัน
• For four planar vectors, there are six unordered dot products. The configuration e₁,−e₁,e₂,−e₂ has two negative products and four zeros; e₁,e₁,e₂,−e₂ has two positive products and four zeros. Four nonzero vectors cannot have every pairwise dot product negative. Order their directions around the circle: each consecutive angular gap would have to exceed 90°, forcing the sum of four gaps above 360°. A zero vector cannot rescue a strict-negative requirement, because its dot products vanish.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ด้วย p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0), ขอบคือ u=(2,0,0), v=(0,3,0). ผลคูณเวกเตอร์ของพวกเขาคือ (0,0,6), ซึ่งให้พื้นที่สามเหลี่ยม 3. สำหรับ w=(3,4) และ u=(1,0), การฉายภาพเวกเตอร์คือ (3,0) และส่วนที่เหลือที่ตั้งฉากคือ (0,4). ระนาบ 2x−y+2z=6 มีความยาวของเวกเตอร์ปกติ 3, ดังนั้นระยะห่างจากจุดกำเนิดคือ 6/3=2.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ขนาดของผลคูณเวกเตอร์คือพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนาน ดังนั้นหารสองเพื่อหาพื้นที่สามเหลี่ยม. ผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์เป็นการบอกความเป็น orthogonal แบบพีชคณิต แม้สำหรับเวกเตอร์ศูนย์ก็ตาม. ระยะห่างจากระนาบต้องหารด้วยความยาวของเวกเตอร์ปกติ

C.9 · ตัวประกอบอินทิเกรตและสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เอกพันธุ์

• สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งมีรูปแบบ y′+p(x)y=q(x) บนช่วงที่สัมประสิทธิ์ต่อเนื่อง. อาจไม่แยกตัวแปรได้ ตั้ง μ(x)=exp(∫p(x)dx). เนื่องจาก μ′=pμ, การคูณจะได้ (μy)′=μq, ดังนั้น y=μ⁻¹(∫μq dx+C). เลือกฟังก์ชันต้นแบบที่สะดวกใดๆ สำหรับ p; ค่าคงที่ของการอินทิเกรตจะปรับมาตราส่วน μ และตัดออกจากคำตอบ. นำข้อมูลเริ่มต้นไปใช้หลังการอินทิเกรต, และเก็บจุดสัมประสิทธิ์ที่เป็นเอกฐาน (singular points) ไว้ภายนอกช่วงที่เลือก
• For y′+2xy=x with y(0)=1, μ=e^(x²). Then (e^(x²)y)′=x e^(x²), whose integral is e^(x²)/2+C. Thus y=1/2+C e^(−x²), and the initial condition gives C=1/2. Direct substitution checks y′+2xy=x. The integrating factor makes the left side a product derivative; it is not an extra factor that remains multiplying the original right side in the final answer.
• สำหรับ ay″+by′+cy=r(x) โดยที่ a ไม่เป็นศูนย์ แก้สมการลักษณะเฉพาะ aλ²+bλ+c=0 สำหรับส่วน homogeneous รากจริงที่แตกต่างกันให้ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสองตัว; รากซ้ำ λ ให้ (C₁+C₂x)e^(λx); ราก α±iβ ให้ e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx) การแก้สมการสมบูรณ์คือ y_h+y_p แรงกระตุ้นแบบพหุนามบ่งชี้ให้ลองใช้พหุนาม particular; แรงกระตุ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียลหรือไซน์/โคไซน์บ่งชี้ให้ใช้ครอบครัวฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง โดยมีสัมประสิทธิ์เพียงพอเพื่อรองรับการหาอนุพันธ์
• If a particular trial duplicates a homogeneous solution, it cannot produce the forcing: multiply by x once for a simple root, twice for a repeated root. For y″−3y′+2y=e^x, the naive Ke^x is annihilated. Trying Kxe^x gives −Ke^x, so y_p=−xe^x. Initial conditions determine the homogeneous constants only after adding y_p. Substitute the final function into the original equation to check signs and forcing; an initial-value check alone cannot verify the differential equation.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ y″−3y′+2y=4, รากของสมการลักษณะเฉพาะคือ 1 และ 2 การแก้ particular แบบคงที่ y_p=2 ทำให้ 2y_p=4, ดังนั้น y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2 สำหรับ y′+2xy=x และ y(0)=1, การแก้สมการอันดับหนึ่งแยกตัวแปรได้คือ y=(1+e^(−x²))/2 สิ่งเหล่านี้แสดงวิธีการที่ต่างกัน; ไม่มีสมการใดกลายเป็น homogeneous เพียงเพราะด้านซ้ายของสมการเป็นเชิงเส้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

เก็บการแก้ particular ไว้ การลองแก้ที่สั่นพ้องจำเป็นต้องมีปัจจัย x การพิสูจน์ด้วยตัวประกอบอินทิเกรตใช้ได้ในช่วงสัมประสิทธิ์ที่มีค่าถูกต้องและไม่ควรหารด้วย y หรือละเลยคำตอบที่เป็นศูนย์อย่างเงียบๆ

T.11 · ส่วนประกอบที่อ่อน, อินเวเรียนต์วงวน และการติดตามแผนผังการทำงาน

• จำนวนการแก้จำนวนเต็มไม่ลบของ x₁+⋯+x_k=n คือ C(n+k−1,k−1), สำหรับ n≥0 และ k≥1 แสดง n ดาวเหมือนกันแยกเข้ากล่องที่มีชื่อ k กล่องโดยใช้แท่งคั่น k−1 แท่ง; แท่งติดกันและแท่งที่ขอบอนุญาตให้ค่าเป็นศูนย์ กล่องแยกแยะกันได้ แต่วัตถุแยกแยะไม่ได้ การนับ token ที่แตกต่างกันจะจัดสรรแต่ละ token แยกกัน ให้ k^n ก่อนพิจารณาข้อจำกัดอื่นๆ ตัดสินใจโมเดลจากสิ่งที่วัตถุและผู้รับแทน ไม่ใช่จากสัมประสิทธิ์ทวิภาคที่ดูคุ้นเคย
• สำหรับการจัดสรรที่เป็นบวก x_i≥1, ตั้ง z_i=x_i−1; ผลรวมที่เหลือคือ n−k, ให้ C(n−1,k−1) เมื่อ n≥k ขอบเขตล่างทั่วไป x_i≥a_i จัดการโดยการลบแต่ละ a_i ออก อย่างน้อยหนึ่งช่องว่างคือส่วนเสริมของทุกช่องเป็นบวก: ลบ C(n−1,k−1) ออกจากผลรวมไม่ลบ กรณีซ้อนทับเช่นมีช่องว่างพอดีสองช่องต้องใช้การนับที่แตกต่าง; การลบกรณีช่องว่างแต่ละตัวแยกกันจะทำให้เกิดนับซ้ำในส่วนตัด
• ติดตาม flowchartทีละคำสั่งที่ทำงาน บันทึกตัวแปรในตาราง แยกแยะการกำหนดค่าจากการทดสอบความเท่าเทียมทางคณิตศาสตร์; ด้านขวาของการกำหนดค่าใช้ค่าเก่าก่อนการแทนที่ บันทึกว่าสาขาถัดไปจะทำงานและตัวแปรอะไรถูกรีเซ็ต ตัวสมัครใหม่รอบนอกอาจรีเซ็ตผลรวมภายในโดยไม่รีเซ็ตตัวสมัครเอง สำหรับกระบวนการที่เพิ่ม 1,3,5,… ไปยัง S จากศูนย์, หลัง m ครั้งเพิ่ม S=m² และจำนวนที่จะเพิ่มต่อไปคือ 2m+1
• A loop invariant is true before and after each iteration. The square-sum invariant holds initially at m=0 and is preserved because m²+(2m+1)=(m+1)². An invariant alone does not prove termination. To test whether an integer N≥0 is square by adding odd numbers until S≥N, S grows without bound; equivalently m increases and must reach a bound such as N. At exit, equality means square and overshoot means nonsquare. A printed value must be reached on an actual execution path; a plausible numerical pattern alone is not a trace.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

กระจาย 11 token เหมือนกันเข้าไปใน 4 กล่องที่มีชื่อ การจัดสรรที่ไม่ลบมีจำนวน C(14,3)=364; การจัดสรรที่เป็นบวกทั้งหมดมีจำนวน C(10,3)=120 ดังนั้น 244 การจัดสรรจะมีอย่างน้อยหนึ่งช่องว่างสำหรับการทดสอบผลบวกคี่ด้วย N=10, S ก้าวไป 0,1,4,9,16; มันเกินเป้าหมายและปฏิเสธ 10 สำหรับ N=9 มันออกจากวงลูปที่ S=9 หลังเพิ่มสามครั้ง จำนวนที่จะเพิ่มต่อไปคือ 1,3,5,7,9; คอลัมน์ผลรวมและจำนวนที่จะเพิ่มต่อไปต้องไม่สับสน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

วัตถุ identical และ distinct ใช้โมเดลต่างกัน กล่องว่างอย่างน้อยหนึ่งกล่องไม่เท่ากับมีเพียงหนึ่งกล่อง ใน flowchart ต้องรักษาลำดับการอัปเดตและรีเซ็ตเฉพาะตัวแปรที่เส้นทางที่ถูกดำเนินการรีเซ็ตจริง ๆ เท่านั้น

C.10 · การหาอนุพันธ์แบบนัยยะและจาคอบเซียนผกผัน

• สำหรับแผนที่ Differentiable F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)), Jacobian ของมันคือ J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]] การเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ satisfy [dx,dy]ᵀ=J[du,dv]ᵀ ถึงอันดับแรก เพื่อหา u_x โดยให้ y คงที่, หาอนุพันธ์ของสมการกำหนดทั้งสองเทียบกับ x: f_u u_x+f_v v_x=1 และ g_u u_x+g_v v_x=0 นี่คือระบบสมการเชิงเส้นคู่ coupled linear system, ไม่ใช่กฎผกผันสเกลาร์อิสระสองตัว
• หาก f และ g หาอนุพันธ์ต่อเนื่องใกล้จุดนั้น และ det J=f_u g_v−f_v g_u ไม่เป็นศูนย์ที่จุดนั้น ทฤษฎีบทฟังก์ชันอินเวอร์สจะมอบอินเวอร์สในท้องถิ่นที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของมันคือ J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]] ดังนั้น u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J และ v_y=f_u/det J ประเมินอนุพันธ์ทุกตัวที่จุดที่เกี่ยวข้อง อินเวอร์สในท้องถิ่นอาจไม่ขยายไปยังอินเวอร์สทั่วโลกได้
• สำหรับสมการนัย H(u,v,x,y)=0 และ K(u,v,x,y)=0 ให้หาอนุพันธ์โดยคงพิกัดอิสระที่ต้องการไว้ แก้ [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x]ᵀ=−[H_x,K_x]ᵀ ดีเทอร์มิแนนต์ในตัวแปรที่ไม่ทราบค่า u,v ต้องไม่เป็นศูนย์เพื่อใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันนัยมาตรฐานเครื่องหมายทางด้านขวาเกิดจากการย้ายอนุพันธ์ที่ทราบแล้วไปอีกฝั่ง หากดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ทฤษฎีบทนี้ไม่สามารถสรุปได้ มันไม่ได้พิสูจน์โดยตรงว่าไม่มีอินเวอร์สหรือไม่มีคำตอบแบบนัย
• ทางลัดสเกลาร์ du/dx=1/(dx/du) ใช้ได้สำหรับอินเวอร์สตัวแปรเดียวที่มีอนุพันธ์ไม่เป็นศูนย์ แต่มักล้มเหลวสำหรับระบบเชิงซ้อนเพราะ v จะเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ y คงที่ สำหรับ x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] มีดีเทอร์มิแนนต์ 1 และอินเวอร์ส [[2,−1],[−1,1]] ดังนั้น u_x=2 ในขณะที่ 1/f_u=1 จาโคเบียนอินเวอร์สแปลงความไวต่อดิฟเฟอเรนเชียล; การแทนตัวแปรในอินทิกรัลใช้ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์สำหรับการปรับขนาดพื้นที่หรือปริมาตร ไม่ใช่การเลือกอินเวอร์สเข้าหนึ่ง

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

Take x=u²+v and y=u−v. At (u,v)=(1,0), the output is (1,1), and J=[[2,1],[1,−1]] has determinant −3. The inverse is [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], so u_x=1/3 and v_y=−2/3 there. Multiplying J by this inverse gives the identity. The reciprocal 1/f_u=1/2 is not u_x because changing u also requires changing v to keep y fixed.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

Differentiate both equations and state which output is held fixed. Nonzero determinant guarantees a local inverse under the regularity hypotheses; zero determinant is not a proof of impossibility. Use an inverse entry for sensitivities and an absolute determinant for integration.

A.7 · การแยกตัวประกอบ LU และความว่างเปล่าของแมปที่ประกอบกัน

• การแยกตัวประกอบ A=LU แสดงเมทริกซ์ตารางเป็น L (สามเหลี่ยมล่าง) และ U (สามเหลี่ยมบน)—with diagonal L เป็นหนึ่ง การแทนค่าหน้าจะง่ายเป็นพิเศษ เมทริกซ์ที่หาผกผันได้ไม่จำเป็นต้อง admitting รูปแบบนี้โดยไม่มีการแลกเปลี่ยนแถว: แกนนำเป็นศูนย์อาจต้องการการเรียงสับเปลี่ยน สำหรับ PA=LU, แก้ Ly=Pb, แล้ว Ux=y การเรียงสับเปลี่ยนกระทำทั้งด้านขวาและเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ แกนนำหลักที่ไม่เป็นศูนย์อธิบายการใช้วิธี elimination โดยไม่ต้องแลกเปลี่ยน ไม่ใช่แค่ความสามารถในการหาผกผัน
• ในสมการ Ly=b คำนวณ y จากบนลงล่าง โดยลบพจน์ที่ทราบแล้วออก; หารด้วยองค์ประกอบหลักในแนวทแยงปัจจุบัน เว้นแต่จะมีค่าเป็นหนึ่ง ใน Ux=y คำนวณ x จากล่างขึ้นบน สำหรับแต่ละสมการให้แทนค่ากลับเข้าไปในแถวเดิมเพื่อตรวจสอบ การใช้ LU ซ้ำสำหรับหลายด้านขวาช่วยหลีกเลี่ยงการทำ elimination ซ้ำ: การแยกตัวประกอบแบบหนาใช้กำลังสามของมิติในการคำนวณ ในขณะที่การแก้ระบบเชิงเส้นแบบสามเหลี่ยมแต่ละครั้งใช้กำลังสองของมิติ การคำนวณที่แม่นยำสามารถตรวจสอบตัวอย่างขนาดเล็กได้; การ pivot แบบตัวเลขช่วยลดปัญหาการปัดเศษบางประการแต่ไม่สามารถกำจัดความไม่เสถียรโดยเนื้อแท้ได้
• For B:V→W and A:W→Z, ker B is contained in ker(A∘B), but the latter can be larger. Extra vectors are those mapped by B into ker A. Restrict B to ker(A∘B): its image is im B∩ker A and its kernel is ker B. Rank-nullity on this restricted map gives dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). The intersection, not the whole kernel of A, determines the extra nullity.
• สำหรับ endomorphisms ของ R⁶ กับ nullity A=2 และ nullity B=3, rank B=3 และมิติของการตัดกันสามารถอยู่ในช่วงจาก 0 ถึง 2 ดังนั้น nullity ของ A∘B อยู่ในช่วงจาก 3 ถึง 5 ขอบเขตขึ้นอยู่กับพื้นที่กลางร่วมกัน: สำหรับ subspaces ที่มีมิติ r และ s ในพื้นที่ m-มิติ, การตัดกัน theirs มีมิติระหว่าง max(0,r+s−m) และ min(r,s) การกลับลำดับ composition สามารถเปลี่ยน nullity ของมันได้, แม้ AB และ BA จะถูกกำหนดไว้ทั้งคู่ เลือกพื้นที่ที่เข้ากันได้ก่อนใช้สูตรเหล่านี้

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ให้ L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], และ b=(−1,−1,12) การแทนค่าหน้าให้ y=(−1,1,8) การแทนค่าหลังให้ x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, และ x₁=(−1−(−1)+2)/2=1 ดังนั้น x=(1,−1,2) การคูณ Ux ได้ y และการคูณ Ly ได้ b ตรวจสอบลำดับการแยกตัวประกอบได้อย่างอิสระ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

แก้สมการโดยเริ่มจาก L ก่อนและ U หลัง และสลับ b หาก PA=LU Nullity ของฟังก์ชันประกอบไม่ได้เป็นผลรวมของ nullity ทั้งสองโดยอัตโนมัติ; เฉพาะผลตัดกันระหว่าง image กับ kernel เท่านั้นที่เพิ่มเข้าไปใน nullity ของ B

C.11 · การอินทิเกรตด้วยการ_parts, การจัดลำดับใหม่และความสมมาตร

• Integration by parts comes from the product rule: ∫u dv=uv−∫v du. For definite integrals include the boundary term at both ends. With I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt, choose u=(ln t)^n and dv=dt. For n≥1 the lower boundary vanishes, giving I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). A plus sign would violate the differentiated identity. Keep the same lower limit in a recurrence; changing it changes the constants.
• สำหรับอินทิกรัลแบบไม่ Proper ให้ใช้เอกลักษณ์ที่ขอบเขตจำกัดก่อน แล้วจึงอธิบายเงื่อนไขของลิมิตและอินทิกรัลที่เหลืออยู่ หาก ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π ตั้งให้ u=x และ dv=x e^(−x²)dx สำหรับ ∫x²e^(−x²)dx เนื่องจาก v=−e^(−x²)/2 และ x e^(−x²)→0 ที่อนันต์ทั้งสองข้าง โมเมนต์ที่สองทั้งหมดจึงเป็น √π/2 ความสมมาตรทำให้โมเมนต์ครึ่งเส้นบวกคือ √π/4 ขอบเขตที่หายไปเป็นส่วนหนึ่งของข้อพิสูจน์ ไม่ใช่คุณสมบัติอัตโนมัติของอินทิกรัลทุกชนิด
• เพื่อกลับลำดับ ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx อธิบายสามเหลี่ยม 0≤x≤y≤1 แล้วเขียนใหม่เป็น ∫₀¹∫₀ʸF(x,y)dx dy ทั้งช่วงนอกและขอบเขตภายในต้องเปลี่ยน; การสลับสัญลักษณ์เพียงอย่างเดียวจะเปลี่ยนพื้นที่ สำหรับ F=e^(y²) เมื่ออินทิเกรตตาม x ก่อน จะได้ ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2 ความต่อเนื่องบนสามเหลี่ยมปิดนี้ทำให้การกลับลำดับถูกต้อง; กรณีที่มีเอกฐานหรือลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขต้องใช้ความระมัดระวังมากขึ้น
• หากฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้บน [a,b] เป็นจริงว่า f(a+b−x)=−f(x) การสะท้อนจะทำให้ค่าอินทิกรัลเท่ากับค่าลบของมัน ดังนั้นจึงเป็นศูนย์ สำหรับ sin(2mx)/sin x บน [0,π] เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มบวก การสะท้อน x↦π−x จะเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษและคงไว้ซึ่งตัวส่วน ความไม่ต่อเนื่องที่จุดปลายที่ดูเป็นไปไม่ได้สามารถแก้ไขได้: ค่าลิมิตคือ 2m ที่จุดเริ่มต้น และ −2m ที่ π ตรวจสอบค่าลิมิตเหล่านี้ก่อนจะ invoking symmetry; การ/themesing ไม่สามารถแทนที่การมีอินทิเกรตได้

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับ I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt สมการเชิง.saved/recurrence ให้ x(ln x)²−2I₁(x), โดยที่ I₁(x)=x ln x−x+1 ดังนั้น I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2 ค่าคงที่ −2 ทำให้ I₂(1)=0 ในอีกทางหนึ่ง การกลับลำดับอินทิกรัลสามเหลี่ยม e^(y²) จะเกิดตัวคูณ y จากความยาว x ภายใน; การละทิ้งตัวคูณนี้จะคืนความยากเดิมและเปลี่ยนค่าคำตอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การอินทิเกรตแบบ partial ด้วยวิธี parts ต้องใช้ค่าลิมิตที่จุดปลาย สร้างพื้นที่ใหม่ก่อนจะกลับลำดับ ฟังก์ชันที่สะท้อนออกมาแล้วดูแปลกต้องสามารถอินทิเกรตได้ รวมถึงจุดปลายที่แก้ไขได้

C.12 · อัตราที่สัมพันธ์กันและลิมิตของเศษส่วนที่ตัดทอนได้

• สำหรับปริมาณ V ที่ขึ้นอยู่กับความลึก h(t) ที่เปลี่ยนแปลง rule ของ chain ให้ dV/dt=V′(h) dh/dt ถังที่กำลังระบายน้ำจะมี dh/dt<0 ดังนั้น signed dV/dt จะมีค่าลบ; ขนาดของการไหลออกคือค่าลบของมัน วาดเรขาคณิตและตั้งชื่อความลึกขณะนั้นก่อนแทนตัวเลข อย่า treating rate เป็น static volume หารด้วยเวลาผ่านไปเว้นแต่สถานการณ์จะระบุ average rate ที่คงที่จริงๆ
• ถังทรงกลมที่มีรัศมี R มีรัศมีหน้าตัดกำลังสอง R²−(R−h)²=2Rh−h² ที่ความลึก h จากด้านล่าง การ integrate พื้นที่วงกลมเหล่านี้ให้ปริมาตร cap V(h)=π(Rh²−h³/3), สำหรับ 0≤h≤2R Derivative ของมันคือ π(2Rh−h²) ซึ่งเป็นพื้นที่หน้าตัดปัจจุบัน ที่ R=3,h=1,dh/dt=−1/4, อัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาตร signed คือ −5π/4 และขนาดการไหลออก 5π/4 สูตรนี้ใช้ได้ทั้ง cap ตื้นและลึกภายในช่วงที่กำหนด
• ถ้า f และ g หาอนุพันธ์ต่อเนื่องใกล้ศูนย์, f(0)=g(0)=0 และ g′(0)≠0, แล้ว f(x)/g(x) มีลิมิตเป็น f′(0)/g′(0) สิ่งนี้เกิดจาก f(x)=f′(0)x+o(x) และ g(x)=g′(0)x+o(x); ความต่อเนื่องของ g′ รักษาให้เศษส่วนนิยามไว้ใกล้เคียงยกเว้นที่ศูนย์ การเติมค่าลิมิตนี้จะทำให้มี extension ที่ต่อเนื่อง Arguments ไม่จำเป็นต้อง f′(0) ≠ 0 และไม่พิสูจน์ว่าเศษส่วน extended นั้นหาอนุพันธ์ได้
• For f(x)=x|x| and g(x)=x, both are continuously differentiable, f(0)=g(0)=0 and g′(0)=1. Their quotient for x≠0 is |x|, which extends continuously at zero but has unequal one-sided derivatives there. For (f²−f)/(2g−g³), factor to (f/g)(f−1)/(2−g²); its removable limit is −f′(0)/(2g′(0)). Additional factors approach −1 and 2. Distinguish the limit of the quotient from the derivative of its extension.

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

สำหรับทรงกลมที่มี R=3 และความลึก h=1 พื้นที่หน้าตัดคือ π(6−1)=5π การลดลงของความลึก 1/4 ต่อหน่วยเวลา จึงลดปริมาตรในอัตรา 5π/4 ต่อหน่วยเวลา สำหรับ f(x)=sin(2x), g(x)=3x, ผลหารต่อขยายได้ที่ศูนย์ด้วยค่า 2/3 ลิมิตนี้บอกอะไรเกี่ยวกับขนาดถังไม่ได้และไม่ควรแทนที่ด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยไม่ระบุตัวแปรที่เกี่ยวข้อง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้ instantaneous cross-section area, ไม่ใช่พื้นที่ผิวทั้งหมดของถัง รายงานการเปลี่ยนแปลงปริมาตร signed หรือการไหลออกที่เป็นบวกตามที่ขอ Finite removable quotient limit ก่อให้เกิดความต่อเนื่อง, ไม่ใช่ differentiability ของ quotient ที่ถูกเติมเข้าไป

T.12 · ความสมบูรณ์ของเมตริกและการปิดจากฐาน

• สำหรับฟังก์ชัน injective h:X→R, d(x,y)=|h(x)−h(y)| เป็นเมตริก: สมมาตรและอสมการสามเหลี่ยมมาจาก R และการเป็น injective รับประกันว่า d(x,y)=0 ก็ต่อเมื่อ x=y ฟังก์ชัน h เป็น isometry ลงบนภาพ h(X) หาก h ไม่ใช่ injective การสร้างนี้อาจเป็นเพียง pseudometric ระยะทางที่มีขอบเขตไม่พิสูจน์ความสมบูรณ์ (completeness) ของสเปซ และเซตจุดที่คุ้นเคยอาจมีพฤติกรรม Cauchy ที่แตกต่างกันมากภายใต้เมตริกที่ต่างกัน
• เมตริกแบบดึงกลับจะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อภาพ h(X) เป็นสมบูรณ์ในระยะทางจริงมาตรฐาน เซตย่อยที่เป็นปิดของ R เป็นสมบูรณ์ สำหรับ h(x)=arctan x บน R ภาพคือ (−π/2,π/2) ซึ่งขาดจุดปลายลำดับ การเรียงลำดับ n เป็น Cauchy ในเมตริกแบบดึงกลับเพราะ arctan n→π/2 แต่ไม่มีจำนวนจริง x ใดที่ทำให้ arctan x=π/2 ดังนั้นเมตริกนี้จึงไม่สมบูรณ์ สำหรับ h(x)=x³ ภาพคือ R ทั้งหมดและเมตริกแบบดึงกลับเป็นสมบูรณ์ ความเทียบเท่าทางโทโพโลยีเพียงอย่างเดียวไม่รักษาความสมบูรณ์
• In a topology with a basis, x lies in the closure of A when every basic open neighbourhood of x meets A. This is a membership test, not automatically a Euclidean endpoint operation. The basis must cover the space, and for a point in two basis sets there must be a smaller basis set containing it within their intersection. A point can lie in the closure of a singleton even when it is not the singleton’s own point; that possibility depends on the topology.
• บน X={2,3,4,…}, ให้ชุดพื้นฐาน U_k={n in X: n divides k}, สำหรับ k≥2 พวกเขาครอบคลุม X เพราะ x∈U_x; ส่วนตัดคือ U_gcd(k,l) เมื่อ gcd ≥ 2, หรือว่างเปล่า จุด x อยู่ในการปิดของ {n} ก็ต่อเมื่อแต่ละ k ที่หารด้วย x ได้ ก็หารด้วย n ด้วย: เท่ากับ n หาร x ได้ โดยตรงกว่านั้น ฐานเปิดพื้นฐานรอบ x ที่มีขนาดเล็กที่สุดจะประกอบด้วย n ก็ต่อเมื่อ n หาร x ได้ และเพื่อนบ้านอื่นๆ ที่รวม x ไว้ก็จะรวมตัวหารเหล่านี้ด้วย ดังนั้น closure ของ {8} ประกอบด้วยผลคูณบวกของ 8 ไม่ใช่ตัวหารของ 8

ตัวอย่างที่ตรวจสอบแล้ว

ภายใต้ d(x,y)=|arctan x−arctan y|, ลำดับจำนวนเต็มลู่เข้าหาจุดปลายภาพที่หายไปแทนที่จะเป็นจุดใน R, ดังนั้นเป็น Cauchy แต่ไม่ลู่เข้าในสเปสนี้ ในฐานของตัวหาร 16 อยู่ใน closure ของ {8}, เพราะเซตพื้นฐานใดๆ ที่มี 16 ก็จะมี 8 ด้วย แต่ 4 ไม่มี: U_4={2,4} เป็นเพื่อนบ้านของ 4 ที่ไม่มี 8. สิ่งนี้แยกตัวคูณออกจากตัวหารอย่างชัดเจน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ลิมิตของ Cauchy ต้องอยู่ในพื้นที่เดียวกัน ความสมบูรณ์เป็นคุณสมบัติของเมตริก ไม่ใช่เพียงทอโพโลยีเท่านั้น สำหรับการปิด ให้ทดสอบเพื่อนบ้านทุกอันของจุดที่เสนอ ไม่ใช่เพื่อนบ้านทุกอันของเซตค่าเดียว