GRE · GRE Subject Test

GRE Mathematics

เอกสารข้อสอบ ตัวอย่าง และเอกสารหลักสูตรสำหรับรายวิชานี้

แผ่นงาน, ใบงานฝึกฝน และสไลด์

เอกสารหัวข้อที่แชร์กันจะคงชื่อหลักสูตรและหัวข้อต้นทางไว้ ใช้ข้อกำหนดของคณะกรรมการที่คุณเลือกสำหรับการครอบคลุมเนื้อหา ระดับ และการทดสอบ

เอกสารเสริม · GRE Subject Test · GRE Mathematics (31)

ใบงาน · GRE Subject Test · GRE Mathematics (31)

สไลด์นำเสนอ · GRE Subject Test · GRE Mathematics (31)

สไลด์ walkthrough แบบฝึกหัด · GRE Subject Test · GRE Mathematics (31)

หน่วยเรียนและวัตถุประสงค์การเรียนรู้

บทเรียนเหล่านี้สอนวัตถุประสงค์หลักสูตรที่เลือกไว้ ตรวจสอบช่องว่างในการครอบคลุมเนื้อหาที่เหลือ วัสดุนี้ไม่ถือเป็นโปรแกรมเตรียมความพร้อมแบบครบถ้วน

บทเรียน →ฝึกฝนคำศัพท์ →

C.1 · แคลคูลัสตัวแปรเดียวและการประยุกต์ใช้

Use limits, continuity and differentiability
Apply derivatives, integrals and the fundamental theorem
Recognise Riemann sums and distinguish them from infinite series

ความต่อเนื่อง: ความสอดคล้องของค่าฟังก์ชันกับลิมิตของมัน
การรวมตัว: การเข้าใกล้ค่าลิมิตที่มีค่าจำกัด

C.2 · แคลคูลัสหลายตัวแปรและการวิเคราะห์เวกเตอร์

Compute partial derivatives, gradients and directional derivatives
Use multiple integrals and coordinate changes
Use derivative conditions to distinguish planes from curved surfaces

ความชัน: เวกเตอร์ของอนุพันธ์ย่อย
จาโคเบียน: การขยายพื้นที่หรือปริมาตรในท้องถิ่นเมื่อเปลี่ยนพิกัด

A.1 · พีชคณิตเชิงเส้น

Relate rank, nullity and solutions of linear systems
Analyse vector spaces and linear transformations
Compute eigenvalues, determinants and diagonalisation conditions

อันดับ: มิติของภาพของการแปลงเชิงเส้น
ค่าเฉพาะ: สเกลาร์ที่ satisfy Av=λv สำหรับ v ที่ไม่เท่ากับศูนย์

A.2 · พีชคณิตนามธรรมและทฤษฎีจำนวน

Use groups, subgroups, homomorphisms and quotient structures
Distinguish rings, integral domains and fields
Apply divisibility, congruences and elementary number theory

โฮโมมอร์ฟิซึม: ฟังก์ชันที่รักษาโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
ฟิลด์: วงแหวนสลับที่ซึ่งแต่ละสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์มีอินเวอร์ส

T.1 · การวิเคราะห์จริงและโทโพโลยี

Apply sequence and function limit definitions
Distinguish compactness, connectedness and completeness
Use metric-space and elementary topological reasoning

compact (หนาแน่น / เรียบง่าย): Every open cover has a finite subcover (Every open cover has a finite subcover)
ซัพรีมัม: ขอบเขตบนต่ำสุดของเซต

T.2 · คณิตศาสตร์เชิงไม่ต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นและวิธีการเชิงตัวเลข

Use counting, recurrences, graph reasoning and logic
Calculate probabilities and distribution properties
Apply numerical approximation and assess error

ความสัมพันธ์แบบย้อนกลับ: กฎที่เชื่อมโยงพจน์ของอนุกรมกับพจน์ก่อนหน้า
ไม่อาจเกิดขึ้นพร้อมกัน: เหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้

T.3 · การวิเคราะห์เชิงซ้อนและเศษเหลือ

Test complex differentiability
Use contour integrals and residues
Evaluate contour integrals with simple and higher-order pole residues

ฟังก์ชันวิเคราะห์ได้: เป็นอนุพันธ์เชิงซ้อนในบริเวณรอบจุดนั้นทั้งทั้งหมด
เศษตกค้าง / Residue: สัมประสิทธิ์ของ (z−a)^−1 ในอนุกรม Laurent

C.3 · สมการเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไขเริ่มต้น

Solve separable first-order equations
Solve constant-coefficient second-order equations
Use initial conditions and uniqueness conditions

เงื่อนไขเริ่มต้น: ค่าของคำตอบหรืออนุพันธ์ที่กำหนดไว้ ณ จุดเริ่มต้น
รากลักษณะเฉพาะ: รากของพหุนามที่ควบคุมคำตอบแบบเอกซ์โพเนนเชียล

A.3 · กลุ่ม, เซ็ตผลคูณ และฟังก์ชันควอเทียนต์

Verify group structure and compute element orders and subgroup indices
Use kernels and images to identify quotient groups
Distinguish normal subgroups from arbitrary subgroups
Classify permutation conjugacy by cycle type

เซตสัมพัทธ์: การเลื่อนตำแหน่งของกลุ่มย่อยที่เป็นส่วนหนึ่งของพาร์ติชันโคเซต
subgroup ปกติ: กลุ่มย่อยที่ไม่แปรผันภายใต้-query ด้วยองค์ประกอบใดๆ ของกลุ่ม

A.4 · วงแหวน, อุดมการณ์ และโมดูล

Distinguish units, zero divisors and integral domains
Identify ideals and interpret quotient rings
Compare modules over rings with vector spaces over fields
Derive Boolean-ring properties without assuming commutativity

แบบอย่างในอุดมคติ: กลุ่มย่อยเชิงบวกของวงแหวนที่ดูดกลืนการคูณด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของวงแหวน
แรงบิด: องค์ประกอบหนึ่งถูกทำให้อนนิฮิลेटด้วยสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ในโมดูลที่กำหนดให้

A.5 · พหุนามและการขยายสนาม

Test polynomial irreducibility over the specified field
Construct small finite fields from irreducible polynomials
Use extension degrees and the tower law
Use cyclotomic roots and coefficient relations to compute sums and products

พหุนามที่ลดรูปไม่ได้: พหุนามที่มีดีกรีบวกแต่ไม่มีตัวประกอบที่มีดีกรีบวกเล็กกว่าเหนือสนามที่กำหนดให้
ดีกรีของส่วนขยาย: มิติของการขยายสนามในฐานะสเปซเวกเตอร์เหนือสนามฐาน

A.6 · ความเท่ากันทางเศษเหลือ, การหารลงตัว และฟังก์ชันเลขคณิต

Solve linear congruences using gcd conditions
Combine coprime congruences with the Chinese remainder theorem
Apply Euler's theorem only to invertible residues
Use prime-exponent divisibility to find least admissible integers

ความ congruent: ความเท่ากันของเศษเหลือเนื่องจากโมดูลหารผลต่างของทั้งสอง habis
ฟังก์ชันโททีเอนต์: จำนวนของเศษเหลือที่เป็นจำนวนร่วมกับโมดูลจำนวนเต็มบวก

T.4 · ลำดับ,อนุกรม และการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ

Use Cauchy, monotone convergence and subsequence criteria
Distinguish pointwise from uniform convergence of functions
Check hypotheses before interchanging limits and integrals

อนุกรมโคชี: ลำดับwhose พจน์ที่พอแก่ Late มีระยะห่างระหว่างกันใกล้ศูนย์ได้ตามใจ
การลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ: ลู่เข้าโดยมีค่าดัชนีเกณฑ์ความคลาดเคลื่อนเดียวที่ใช้ได้ทุกจุดในโดเมน

T.5 · เซตเปิด, ความหนาแน่น และการเชื่อมโยง

Compute closure, interior and boundary in a stated space
Apply compactness and connectedness to continuous maps
Distinguish relative topology from the ambient Euclidean topology

ทอพอโลยีย่อย: เซตเปิดย่อยที่ได้รับจากการตัดกับสเปซย่อยและเซตเปิดของสเปซแม่
ความเชื่อมโยง: การไม่มีส่วนแบ่งออกเป็นเซตย่อยเปิดที่ไม่เป็นว่างซึ่งไม่ตัดกัน

C.4 · การขยายเทย์เลอร์และจุดปลายของอนุกรมกำลัง

Construct Taylor polynomials and control approximation error
Determine radii of convergence and test endpoints separately
Differentiate and integrate power series within their interval of convergence

รัศมีของการลู่เข้า: ระยะจากศูนย์กลางของอนุกรมภายในที่อนุกรมกำลังลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
เศษ: ผลต่างระหว่างฟังก์ชันกับการประมาณค่าเชิงจำกัด

C.5 · อินทิกรัลไม่ปกติและแอปพลิเคชันทางเรขาคณิต

Define improper integrals by limits at each singular boundary
Select area, volume and arc-length formulas from the geometry
Separate convergence of integrals from signed cancellation

อินทิกรัลไม่proper: อินทิกรัลที่นิยามด้วยลิมิตที่ขอบเขตอนันต์หรือsingular boundaries
ค่าหลัก: ลิมิตที่ใช้ symmetric cancellation ที่กำหนดไว้ซึ่งอาจมีอยู่เมื่อ improper integral ลู่เข้าไม่ได้

C.6 · ค่าสูงสุด-ต่ำสุดหลายตัวแปร และการเพิ่มประสิทธิภาพภายใต้ข้อจำกัด

Classify two-variable critical points with the Hessian
Use Lagrange multipliers with a regular constraint
Compare extrema and attainable values under regular constraints

เมทริกซ์เฮสเซียน: เมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยอันดับสองที่ใช้ศึกษาความโค้งเฉพาะจุด
ตัวคูณลากรองจ์: สเกลาร์ที่สัมพันธ์กับเกรเดียนต์ของข้อจำกัดวัตถุประสงค์และปกติที่จุดสุดขีดที่มีข้อจำกัด

C.7 · การเปลี่ยนพิกัดและทฤษฎีบทอินทิกรัลเวกเตอร์

Transform double and triple integrals with their Jacobians
Apply Green, Stokes and divergence theorems with correct orientation
Check domain singularities before asserting path independence

ความแตกต่าง (Divergence): ผลรวมของอนุพันธ์ย่อยตามพิกัดของสนามเวกเตอร์ที่วัดการไหลออกในท้องถิ่น
สนามเวกเตอร์อนุรักษ์พลังงาน: สนามเวกเตอร์ที่เท่ากับเกรเดียนต์ของสเกลาร์พอเทนเชียล ซึ่งอินทิกรัลเส้นเป็นอิสระต่อเส้นทาง

T.6 · ฟังก์ชัน, สาขาผกผัน และการประกอบ

Distinguish injectivity and surjectivity using the stated domain and codomain
Choose and verify an inverse branch by composing in both directions
Trace repeated function composition while preserving the domain

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและครบถ้วน: ฟังก์ชันที่เป็นทั้ง one-to-one และ onto ระหว่างเซตที่กำหนด
อินวอล्यूชัน: ฟังก์ชันที่เมื่อประกอบกับตัวเองจะได้ฟังก์ชันเอกลักษณ์บนโดเมน

T.7 · ภาพของเซต, สมการเทียบเท่า และการปฏิเสธทางตรรกศาสตร์

Prove image identities and distinguish inclusion from equality
Check reflexivity, symmetry and transitivity with explicit cases
Negate implications and quantified statements without changing their scope

ภาพย้อนกลับ: เซตของอินพุต whose outputs อยู่ภายในเซตเป้าหมายที่กำหนด
ความสัมพันธ์สมมูล: ความสัมพันธ์ที่เป็น reflexive, symmetric และ transitive

T.8 · การปรับเงื่อนไข, การอนุมานแบบเบย์และข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่าง

Separate conditional, joint and independent-event probabilities
Calculate posterior probabilities with a complete base-rate table
Use variance and sample size to determine a sample mean standard error

ความน่าจะเป็นหลัง: ความน่าจะเป็นที่ accountable กับหลักฐานที่สังเกตได้หลังจากปรับสัดส่วน prior แล้ว
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: ค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานของสถิติจากตัวอย่างซ้ำหลายครั้ง

T.9 · ความคล้ายคลึง, การสเกลและ locus ของระยะห่างเชิงขั้ว

Match triangle vertices by equal angles before forming a side ratio
Apply length, area and volume scale factors to geometric changes
Identify conic distance conditions and retain a signed hyperbola branch

ความคล้ายคลึง: ความเท่ากันของมุมตรงกันและอัตราส่วนของความยาวตรงกัน
focus: จุดคงที่ใช้ในการนิยามระยะทางแบบกรวยตัดกรวย

C.8 · เฟสตรีโกณมิติและเส้นโค้งพารามิเตอร์

Distinguish amplitude, angular frequency, phase angle and horizontal shift
Eliminate a parameter while retaining its domain and tracing direction
Use parametric derivatives without assuming a vertical tangent is stationary

มุมเฟส: การเบี่ยงเบนมุมภายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน_periodic ที่กำหนดโดยโมดูลของรอบเต็ม
เส้นโค้งพารามิเตอร์: เส้นโค้งที่พิกัดถูกกำหนดเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ร่วมกัน

T.10 · เรขาคณิตเวกเตอร์, โปรเจกชันและพื้นที่ที่มีทิศทาง

Use dot products to classify angles and compute projections
Calculate triangle area and orientation using a cross product
Construct or rule out planar dot-product sign configurations

ตั้งฉากกัน: มีผลคูณจุดเป็นศูนย์ในสเปซผลคูณภายในจริง
ผลคูณไขว้: เวกเตอร์ตั้งฉากที่มีทิศทางในสามมิติ whose ขนาดคือพื้นที่รูปขนาน

C.9 · ตัวประกอบอินทิเกรตและสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เอกพันธุ์

Solve first-order linear equations using an integrating factor
Construct the homogeneous and particular parts of a constant-coefficient solution
Handle resonance and verify the result in the original equation

ตัวประกอบอินทิเกรต: ตัวคูณที่เปลี่ยนสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งให้เป็นอนุพันธ์ของผลคูณ
คำตอบเฉพาะ: คำตอบหนึ่งที่เป็นคำตอบเฉพาะสำหรับฟังก์ชันบังคับ nonhomogeneous ที่กำหนด

T.11 · องค์ประกอบอ่อน, Invariant ของลูป และการติดตาม Flowchart

Count indistinguishable allocations with nonnegative or positive constraints
Trace a flowchart in statement order with correct reset behaviour
Use a loop invariant and a progress measure to justify an algorithm

องค์ประกอบที่อ่อน: การจัดสรรที่มีลำดับของผลรวมทั้งหมดออกเป็นส่วนที่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
invariant ของลูป (Loop invariant): คุณสมบัติที่ถูกคงไว้ทั้งก่อนและหลังแต่ละรอบของการวนซ้ำในลูป

C.10 · การหาอนุพันธ์แบบImplicitและInverse Jacobian

Differentiate a coupled implicit system as a linear system
Use a nonzero Jacobian determinant to justify a local inverse
Distinguish inverse partial derivatives from scalar reciprocal rules

เมทริกซ์จาโคบิอัน: เมทริกซ์ของ first partial derivatives ของฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์
ฟังก์ชันผกกลับท้องถิ่น: ฟังก์ชันผกผันที่กำหนดบนพื้นที่ใกล้เคียงของจุด input และ output เฉพาะจุดหนึ่ง

A.7 · การแยกตัวประกอบ LU และความว่างเปล่าของแผนที่ที่ประกอบกัน

Solve a factored linear system by forward and backward substitution
Apply row permutations consistently when pivoting is required
Bound the kernel dimension of a composition using image-kernel intersections

การแทนค่าหน้า: แก้ระบบ lower triangular โดยเริ่มจากสมการแรกลงมาเป็นอันดับๆ
นัลลิตี: kernel dimension ของฟังก์ชันเชิงเส้น

C.11 · การอินทิเกรตด้วยส่วนประกอบ การกลับลำดับ และสมมาตร

Derive integration-by-parts reductions with valid endpoint limits
Reverse a double integral by reconstructing its region
Use reflection symmetry while checking removable endpoint behaviour

การอินทิเกรตด้วยการแทนที่ด้วยส่วนประกอบ: เอกลักษณ์การอินทิเกรตที่ได้จากกฎผลคูณพร้อมพจน์ขอบเขต
ความสมมาตรสะท้อน: ความสัมพันธ์ระหว่างค่าของฟังก์ชันภายในอินทิกรัลที่จุดสะท้อนกันผ่านจุดกึ่งกลางของช่วง

C.12 · อัตราที่เกี่ยวข้องและลิมิตของผลหารที่ลบออกได้

Translate a geometric rate into a derivative of the relevant quantity
Derive and differentiate a spherical-cap volume formula
Separate continuous quotient extension from differentiable extension

อัตราที่เกี่ยวข้อง: อัตราส่วนที่ได้จากการหาอนุพันธ์ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่เปลี่ยนแปลง
ลิมิตที่กำจัดได้: ลิมิตใกล้จำกัดที่ใช้เติมค่าฟังก์ชันที่ขาดหายไปอย่างต่อเนื่อง

T.12 · ความสมบูรณ์ของเมตริกและความปิดจากฐาน

Check a pullback metric using the properties of its defining map
Decide completeness through the image of an isometry
Determine closure using every basic neighbourhood instead of Euclidean intuition

พื้นที่เมตริกสมบูรณ์: พื้นที่เมตริกที่ทุกลำดับคuchy ลู่เข้าหาจุดใดจุดหนึ่งในพื้นที่นั้น
ฐานของเพื่อนบ้าน: เพื่อนบ้านพื้นฐานเพียงพอต่อการทดสอบคุณสมบัติทางทอโพโลยีในท้องถิ่น

เตรียมตัวสำหรับการสอบนี้

Approximately 66 multiple-choice items in 170 minutes; no separately timed sections. Calculus about 50%, algebra 25%, additional topics 25%. This is graduate-admissions testing of undergraduate mathematics, not an A-level qualification.

เนื้อหาการสอนที่ยังต้องทำ

Dedicated undergraduate lessons now supply exact teaching targets for all 66 reviewed GR3768 source items, including LU, integration methods, conjugacy, higher-order residues and alternative metrics/topologies. The source/key/crop review is in bank_review_full.yaml. Broader nonexhaustive official scope and complete-form original practice still require course audit; coordinator-owned native bank integration remains held. These preparation lessons do not certify undergraduate degree mastery.