สื่อการสอนต้นฉบับ ตรวจสอบช่องว่างในการครอบคลุมหลักสูตรและข้อกำหนดปัจจุบันของโรงเรียนก่อนนำไปใช้ในการประเมินผล

YPM01: ใบความรู้การสอนรายวิชา

เวอร์ชัน: ฉบับ3, เมษายน2019; สอนครั้งแรก2018; ประเมินหน่วยตั้งแต่2019

นี่คือหมายเหตุการสอนต้นฉบับ โดยแต่ละบทเรียนจะถูกติดป้ายกำกับตามระดับความยาก

P1 · ดัชนี รากและรูปมาตรฐาน

ความยาวระดับจุลภาคมีขนาดเล็กแค่ไหน?

กล้องจุลทรรศน์บันทึกความยาว 0.000072 เมตร การแสดงอย่างกระชับต้องรักษาขนาดให้ถูกต้อง
บทเรียนนี้ศึกษา เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังที่ฐานถูกยกขึ้น

วิธีปฏิบัติ

สำหรับฐานบวกเดียวกัน การคูณจะบวกเลขชี้กำลัง และการหารจะลบเลขชี้กำลัง
เลขชี้กำลังลบหมายถึงส่วนกลับ; เลขชี้กำลังเศษส่วนหมายถึงราก
มาตรฐานรูปมี 1≤a<10

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

ตัวอย่าง

0.000072=7.2×10^(-5). นอกจากนี้ 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. จงจัดรูป √72=6√2 จากนั้นทำให้ส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ 1/√2=√2/2

เลขชี้กำลัง รากและรูปแบบมาตรฐาน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถเปลี่ยนผลบวกให้เป็นกำลังเดียว: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7
อย่าปัดเศษรากเมื่อโจทย์ต้องการคำตอบที่แม่นยำ

Watch out

ไม่ถูกต้อง: สำหรับทุกค่า a ที่มากกว่าศูนย์, a^2+a^3 เท่ากับ a^5 กฎเลขชี้กำลังจะบวกกันก็ต่อเมื่อพจน์ถูกคูณกัน: 2²+2³=12, แต่ 2⁵=32

การนำไปใช้

ตรวจสอบกำลังสิบเทียบกับปริมาณต้นฉบับ
ใช้รากสำหรับการคำนวณเรขาคณิตที่แม่นยำ และปัดเศษเฉพาะความยาวสุดท้ายเมื่อโจทย์ถามเป็นทศนิยม

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังของฐาน
สำหรับฐานบวกเดียวกัน การคูณจะบวกเลขชี้กำลัง และการหารจะลบเลขชี้กำลัง
ระวัง: กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถแปลงผลบวกให้เป็นเลขชี้กำลังเดียวได้: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7

P1 · สมการกำลังสองอสมการ

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

ล้อมรั้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ x(10-x) ความกว้างใดให้พื้นที่อย่างน้อย 21 ตารางเมตร?
บทเรียนนี้ศึกษา discriminant: ปริมาณ b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของสมการ ax²+bx+c=0

วิธีปฏิบัติ

แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
อสมการกำลังสองต้องการพิจารณาเครื่องหมายบนช่วง ไม่ใช่แค่รากเท่านั้น
discriminant (ค่าดีคริมิแนนต์) ใช้ระบุรากซ้ำหรือรากจริงที่หายไป

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$

ตัวอย่าง

เงื่อนไขคือ x(10-x)≥21 ดังนั้น x²-10x+21≤0 แยกตัวประกอบได้ (x-3)(x-7)≤0 พาราโบลาเปิดขึ้นจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์ระหว่างราก ทำให้ได้ 3≤x≤7 พื้นที่สูงสุดคือ 25 ที่ x=5

Quadratics and inequalities — Diagram สอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ
แผนภาพต้องแสดงว่าด้านใดของรากแต่ละตัวเป็นจริงต่ออสมการ
เรขาคณิตอาจจำกัดค่า x เพิ่มเติม

Watch out

ไม่เป็นจริง: ค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นบวกหมายความว่าสมการกำลังสองไม่มีรากจริง ค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นบวกหมายถึงมีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่า ส่วนค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นลบหมายถึงไม่มีรากจริง

การนำไปใช้

ใช้จุดยอดเพื่อตีความค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
ตรวจสอบจุดปลายและจุดหนึ่งระหว่างราก; ผลคำนวณทางพีชคณิตและกราฟควรบอกเรื่องราวเดียวกัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ค่าดีคริมิแนนต์ (Discriminant): ค่า b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของ ax²+bx+c=0
แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
ระวัง: การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ

P1 ·เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส

ความชันของเส้นทางกลายเป็นสมการได้อย่างไร?

เส้นทางยกสูง 6 เมตร ในระยะทางแนวนอน 3 เมตร ความชันเชื่อมโยงแผนภาพเข้ากับสมการ
บทเรียนนี้ศึกษา ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน

วิธีปฏิบัติ

เส้นตรงผ่าน (x₁,y₁) มีความชัน m มีสมการ y-y₁=m(x-x₁)
เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
ความชันตั้งฉากที่มีค่าจำกัดคูณกันได้ -1
สมการวงกลมคือ (x-a)²+(y-b)²=r²

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y-y_1=m(x-x_1),\qquad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

ตัวอย่าง

ผ่านจุด (2,5) ด้วยความชัน 3, สมการคือ y-5=3(x-2), ดังนั้น y=3x-1. เส้นตั้งฉากที่ผ่านจุดเดียวกันจะมีสมการ y-5=-(x-2)/3. วงกลม (x-2)²+(y+1)²=25 มีจุดศูนย์กลางที่ (2,-1) และรัศมี 5.

เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c
อ่านเครื่องหมายของจุดศูนย์กลางวงกลมให้รอบคอบ
รังสีที่ลากไปหาเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเสมอ

Watch out

ไม่ถูกต้อง: เส้นตั้งฉากที่ไม่ใช่แนวตั้งมีความชันเท่ากัน ความชันตั้งฉากที่มีค่าจำกัดคูณกันได้ −1: ความชัน 2 ต้องใช้ −1/2 เส้นขนานมีความชันเท่ากัน

การนำไปใช้

ก่อนหาค่าตัดกันระหว่างเส้นตรงและวงกลม ให้ทำนายก่อนว่ามีจุดตัดเป็นศูนย์ หนึ่ง หรือ สอง จุด
การแทนค่าจะได้สมการกำลังสองซึ่งค่าดิสคริมิแนนต์ใช้ตรวจสอบการทำนาย

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน
เส้นตรงผ่าน (x₁,y₁) มีความชัน m มีสมการ y-y₁=m(x-x₁)
ข้อควรระวัง: เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c

P1 · สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

เกร็ดต้องวางอยู่ด้านใด

A ladder reaches a height of 4 m while its foot is 3 m from a wall. Which sides are known, and which angle do we need?
บทเรียนนี้ศึกษา ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิธีปฏิบัติ

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์ หรือพื้นที่=ab sin C/2

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

ตัวอย่าง

ความยาวเกร็ดคือ c=√(3²+4²)=5 เมตร มุมเทียบกับพื้นดินเป็นไปตามสมการ tanθ=4/3 ดังนั้น θ≈53.1°. ด้วยสองด้าน 6 และ 8 ที่ล้อมรอบมุม 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52

สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
ความผิดพลาดในการตั้งค่าโหมดมุมของเครื่องคิดเลขอาจทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ดูสมเหตุสมผลแต่ผิด
รักษาค่าที่ไม่ได้ปัดเศษไว้สำหรับขั้นตอนถัดไป

Watch out

ไม่จริง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับทุกสามเหลี่ยม รวมถึงสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ให้ใช้กฎของโคไซน์

การนำไปใช้

ใช้แผนภาพหรือมุมมองด้านข้างสำหรับปัญหาสามมิติ ก่อนที่จะใช้กฎของสามเหลี่ยม
อธิบายว่าทำไมสามเหลี่ยมที่เลือกจึงมีความยาวหรือมุมที่ต้องการ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
ระวัง: ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก

P1 · เรเดียน อุตินัยกรณ์และสมการตรีโกณมิติ

ขอบวงล้อเคลื่อนที่ได้ไกลแค่ไหน

A rotating wheel sweeps an arc. Radians let its angle connect directly to the distance travelled along the rim.
บทเรียนนี้ศึกษา radian: มุมที่เกิดจากเส้นโค้งwhose ความยาวเท่ากับรัศมี

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
ใช้เอกลักษณ์ sin²θ+cos²θ=1 และเอกลักษณ์ของมุมเพื่อจัดรูปหรือหาคำตอบ
จงระบุคำตอบทั้งหมดในช่วงที่กำหนดให้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

ตัวอย่าง

สำหรับ r=4 และ θ=π/3, s=4π/3 และ A=8π/3. การแก้สมการ sin x=1/2 บน 0≤x<2π ได้ x=π/6 และ 5π/6. สำหรับ sin2x=1/2, แก้สมการบน 0≤2x<4π ก่อนแล้วหารด้วย 2

Radian, Identity และสมการตรีโกณมิติ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

A calculator's inverse sine gives one principal value.
เครื่องคิดเลขจะไม่แสดงคำตอบทั้งหมด
การหารด้วย sin x อาจทำให้สูญเสียคำตอบที่ sin x=0; ให้ตรวจสอบกรณีนี้ก่อนเสมอ

Watch out

ไม่เป็นจริง: ค่า inverse sine หลักคือคำตอบเดียวในรอบหนึ่งเต็ม sinTaking มีค่าส่วนใหญ่สองครั้งในรอบหนึ่งเต็ม: sin x=0.5 ให้ 30° และ 150°

การนำไปใช้

เลือกใช้เอกลักษณ์ที่ลดรูปสมการให้อยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวเดียว
รักษาค่ามุมที่รู้จักและแม่นยำไว้เท่าที่จะทำได้ และตรวจสอบแต่ละคำตอบกับสมการต้นฉบับ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Radian: มุมที่ Dynamo โดยส่วนโค้งwhose ความยาวเท่ากับรัศมี
สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
Watch for: A calculator's inverse sine gives one principal value.

P1 · การหาอนุพันธ์และจุดคงที่

ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?

ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
จุดวิกฤตสอดคล้องกับ dy/dx=0
ตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ หรืออนุพันธ์อันดับสองเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ เพื่อจำแนกประเภท

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\quad m=f^{\prime}(x_0)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=2, ความชันคือ 9 และ y=2. เส้นสัมผัสคือ y-2=9(x-2). ความชันของเส้นฉากคือ -1/9.

Derivatives and stationary points — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

ความชันอนุพันธ์ให้ค่าความชัน ไม่ใช่ค่าพิกัด Y
คำนวณ y และ dy/dx แยกกันที่พิกัด x ที่กำหนดให้ ความชันของเส้นฉากคือค่าผกผันเชิงลบของความชันสัมผัสที่ไม่เป็นศูนย์

Watch out

ไม่ถูกต้อง: เส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉากที่จุดเดียวกันมีความชันเท่ากัน อนุพันธ์เป็นศูนย์อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้: y=x³ ที่ x=0 neither เป็นจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด

การนำไปใช้

P1 ครอบคลุมอนุพันธ์พหุนาม ความชัน เส้นสัมผัส และเส้นตั้งฉาก
การหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดและการจำแนกจุดวิกฤตสอนใน P2 ไม่ได้แนะนำในส่วนนี้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัส
สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
ระวัง: อนุพันธ์ให้ค่าความชัน ไม่ใช่ค่าพิกัด y

P1 · อินทิกรัล พื้นที่และการสะสม

How much change has accumulated?

กราฟความเร็วบอกการเคลื่อนที่ ณ วินาทีหนึ่ง เราสามารถหาการกระจัดสะสมตลอดช่วงเวลาได้อย่างไร?
บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันต้นแบบ (antiderivative): ซึ่งเป็นฟังก์ชัน whose derivative equals the given integrand.

วิธีปฏิบัติ

อินทิเกรตกำลังของพหุนามโดยเพิ่มเลขชี้กำลังหนึ่งแล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
เพิ่มค่าคงที่สุ่มและใช้จุดที่กำหนดเพื่อหาค่าคงที่นั้น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

ตัวอย่าง

อินทิกรัลกลับของ 3x² คือ x³+C เพราะการหาอนุพันธ์ของ x³ จะได้ 3x². หาก F(1)=5, แล้ว 1+C=5, ดังนั้น C=4 และ F(x)=x³+4.

Integrals, area and accumulation — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

อินทิกรัลไม่จำกัดต้องมีค่าคงที่
การอินทิเกรตแต่ละพจน์จะเปลี่ยนเลขชี้กำลัง; การนำกฎการหาอนุพันธ์มาคัดลอกจะได้ผลลัพธ์ที่ผิด

Watch out

ไม่เป็นความจริง: อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนใด ๆ มีฟังก์ชันต้นแบบที่เป็นไปได้เพียงหนึ่งเดียว พื้นที่ใต้แกนถูกนับเป็นลบ ดังนั้นอินทิกรัลจำกัดจำนวนอาจมีค่าน้อยกว่าพื้นที่รวม หรือแม้แต่ศูนย์

การนำไปใช้

P1 ใช้การอินทิเกรตพหุนามไม่จำกัดจำนวนและจุดหนึ่งเพื่อกำหนดค่าคงที่
อินทิกรัลจำกัดจำนวน พื้นที่ และกฎสี่เหลี่ยมคางหมู เป็นเนื้อหาของ P2

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ผลอินทิเกรต: ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์เท่ากับตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดให้
อินทิเกรตกำลังของพหุนามโดยเพิ่มเลขชี้กำลังหนึ่งแล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
ระวัง: อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนต้องมีค่าคงที่

P2 · การพิสูจน์โดยตรรกะ ความขัดแย้ง และการอุปมา

รูปแบบใดจะกลายเป็นการพิสูจน์?

การตรวจสอบจำนวนเต็มหลายตัวอาจชี้ให้เห็นถึงลวดลายอะไรจะเปลี่ยนลวดลายนั้นให้กลายเป็นบทพิสูจน์สำหรับจำนวนเต็มทุกตัว?
This lesson studies counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.

วิธีปฏิบัติ

การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
A counterexample refutes an all-values claim.
การพิสูจน์โดยอุปนัยต้องการกรณีพื้นฐานและการเชื่อมโยงจาก n=k ไปยัง n=k+1; การตรวจสอบกรณีต่อเนื่องกันเพียงอย่างเดียวไม่ใช่การพิสูจน์อุปนัย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$

ตัวอย่าง

สำหรับจำนวนเต็มคี่ 2a+1 และ 2b+1, ผลรวม theirs คือ 2(a+b+1), ดังนั้นเป็นจำนวนคู่. ข้ออ้างว่า n²+n+41 เป็นจำนวนเฉพาะเสมอ ล้มเหลวที่ n=41: ค่าที่ได้คือ 41×43=1763. สำหรับ 1+...+n=n(n+1)/2, ขั้นตอนอุปนัยเพิ่ม k+1 ลงในผลรวมที่ยอมรับแล้ว

Deduction, contradiction and induction — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

อย่าสมมติผลลัพธ์whileกำลังพิสูจน์มัน
ในความขัดแย้ง, ระบุผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้และปฏิเสธสมมติฐานตรงกันข้ามเริ่มต้น
การอุปนัยไม่ใช่สิ่งบังคับใน AQA 7357; มันอยู่ในขอบเขตคณิตศาสตร์เพิ่มเติมที่เหมาะสมของตนเอง

Watch out

ไม่เป็นจริง: การตรวจสอบจำนวนเต็มสิบตัวแรกเป็นการพิสูจน์ข้อกล่าวอ้างสำหรับจำนวนเต็มบวกทุกจำนวน รูปแบบอาจถูกต้องสำหรับสิบเคสแรกแล้วล้มเหลวในภายหลัง การพิสูจน์ต้องครอบคลุมทุกกรณี

การนำไปใช้

การพิสูจน์ของ AQA รวมถึงการอนุมาน, การพิจารณากรณีครบถ้วน และการขัดแย้ง
IAL P2 introduces exhaustion and counterexample, while P4 introduces contradiction.
รักษาวิธีการให้ตรงกับหน่วยที่ระบุ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.
การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
ระวัง: อย่าสันนิษฐานว่าข้อสรุปเป็นจริงขณะกำลังพิสูจน์

P2 · สมการกำลังสองอสมการ

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

ล้อมรั้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ x(10-x) ความกว้างใดให้พื้นที่อย่างน้อย 21 ตารางเมตร?
บทเรียนนี้ศึกษา discriminant: ปริมาณ b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของสมการ ax²+bx+c=0

วิธีปฏิบัติ

แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
อสมการกำลังสองต้องการพิจารณาเครื่องหมายบนช่วง ไม่ใช่แค่รากเท่านั้น
discriminant (ค่าดีคริมิแนนต์) ใช้ระบุรากซ้ำหรือรากจริงที่หายไป

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ
แผนภาพต้องแสดงว่าด้านใดของรากแต่ละตัวเป็นจริงต่ออสมการ
เรขาคณิตอาจจำกัดค่า x เพิ่มเติม

Watch out

การนำไปใช้

ใช้จุดยอดเพื่อตีความค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
ตรวจสอบจุดปลายและจุดหนึ่งระหว่างราก; ผลคำนวณทางพีชคณิตและกราฟควรบอกเรื่องราวเดียวกัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ค่าดีคริมิแนนต์ (Discriminant): ค่า b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของ ax²+bx+c=0
แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
ระวัง: การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ

P2 · เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส

ความชันของเส้นทางกลายเป็นสมการได้อย่างไร?

เส้นทางยกสูง 6 เมตร ในระยะทางแนวนอน 3 เมตร ความชันเชื่อมโยงแผนภาพเข้ากับสมการ
บทเรียนนี้ศึกษา ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน

วิธีปฏิบัติ

เส้นตรงผ่าน (x₁,y₁) มีความชัน m มีสมการ y-y₁=m(x-x₁)
เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
ความชันตั้งฉากที่มีค่าจำกัดคูณกันได้ -1
สมการวงกลมคือ (x-a)²+(y-b)²=r²

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y-y_1=m(x-x_1),\qquad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c
อ่านเครื่องหมายของจุดศูนย์กลางวงกลมให้รอบคอบ
รังสีที่ลากไปหาเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเสมอ

Watch out

การนำไปใช้

ก่อนหาค่าตัดกันระหว่างเส้นตรงและวงกลม ให้ทำนายก่อนว่ามีจุดตัดเป็นศูนย์ หนึ่ง หรือ สอง จุด
การแทนค่าจะได้สมการกำลังสองซึ่งค่าดิสคริมิแนนต์ใช้ตรวจสอบการทำนาย

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน
เส้นตรงผ่าน (x₁,y₁) มีความชัน m มีสมการ y-y₁=m(x-x₁)
ข้อควรระวัง: เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c

P2 · ลำดับชุดผลรวมและความสัมพันธ์แบบซ้ำ

การเปลี่ยนแปลงเป็นการบวกหรือคูณ?

แผนการออมเงินเพิ่ม ¥30 ทุกสัปดาห์; โมเดลประชากรเพิ่มขึ้น 5% ต่อปี ผลต่างเท่ากันและอัตราส่วนเท่ากันต้องใช้โมเดลที่แตกต่างกัน
บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนร่วม: ตัวคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในอนุกรมเรขาคณิต

วิธีปฏิบัติ

สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
สำหรับอนุกรมเรขาคณิต u_n=ar^(n-1) และ S_n=a(1-r^n)/(1-r)
ผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิตจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ |r|<1 เท่านั้น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

ตัวอย่าง

สำหรับ a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 และ S_8=8(10+21)/2=124. สำหรับ a=12, r=1/2, ผลรวมอนันต์=12/(1-1/2)=24. สำหรับ u_(n+1)=2u_n+1 โดยที่ u_1=1, พจน์ถัดไปคือ 3,7,15.

อนุกรม,-series และการซ้ำซ้อน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1
ลำดับคือรายการ; ซีรีส์คือผลบวก
ลำดับเรขาคณิตสามารถสลับเครื่องหมายและยังลู่เข้าได้

Watch out

ไม่จริง: อนุกรมเรขาคณิตทุกชุดมีผลบวกอนันต์จำกัด ผลบวกอนันต์จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ −1<r<1; สำหรับ r=2 พจน์จะเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด

การนำไปใช้

อธิบายว่าบริบทสนับสนุนการเปลี่ยนแปลงแบบบวกหรือคูณ
ในด้านการเงิน ให้แยกแยะระหว่างเงินฝากครั้งเดียวกับกระแสเงินฝากก่อนเลือกสูตรผลรวม

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

อัตราส่วนร่วม: ค่าคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในลำดับเรขาคณิต
สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
ระวัง: พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1

P2 · การขยายพหุนามทวิคูณและการประมาณค่าที่มีนัยสำคัญ

การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังอย่างไร?

การวัดค่าที่เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังของปริมาณนั้น การขยายอนุกรมสามารถแสดงขนาดของผลกระทบอันดับแรกและอันดับสองได้
บทเรียนนี้ศึกษา สัมประสิทธิ์ทวินาม: จำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจำนวนที่กำหนดจากเซต

วิธีปฏิบัติ

สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการกระจายทวินามที่มีจำกัด
สำหรับ n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม, ขยาย (1+x)^n เป็น 1+nx+n(n-1)x²/2+... โดยที่ |x|<1
แยกตัวคูณคงที่ออกก่อนใช้รูปแบบนี้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$

ตัวอย่าง

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. สำหรับ (1+x)^(-1), พจน์สามแรกคือ 1-x+x²; ที่ x=0.1 จะได้ค่าประมาณ 0.91 เมื่อเทียบกับค่าที่แท้จริง 1/1.1≈0.909091.

การขยายทวินามและการประมาณค่าที่ยอมรับได้ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การกระจายใน 2x ต้องมีเงื่อนไข |2x|<1 สำหรับอนุกรมอนันต์ ไม่ใช่แค่ |x|<1 เท่านั้น
การขยายกำลังจำนวนเต็มบวกจะเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์จำกัด และไม่มีการจำกัดการลู่เข้าดังกล่าว

Watch out

ไม่เป็นจริง: การกระจายทวินามทุกชนิดเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์จำกัด รวมถึงกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก สำหรับกำลังลบหรือเศษส่วน การกระจายจะเป็นอนุกรมอนันต์ ซึ่งมีผลใช้ได้เฉพาะเมื่อ |x|<1 เท่านั้น

การนำไปใช้

ระบุช่วงค่าที่ใช้ได้ alongside กับค่าประมาณ
เก็บพจน์ให้เพียงพอเพื่อรองรับความแม่นยำที่ต้องการ และแยกตัวสัมประสิทธิ์ออกจากพจน์ทั้งหมดที่มี x

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สัมประสิทธิ์ทวินาม: จำนวนวิธีการเลือกวัตถุจำนวนหนึ่งจากเซตที่กำหนด
สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการกระจายทวินามที่มีจำกัด
ระวัง: การกระจายใน 2x ต้องมีเงื่อนไข |2x|<1 สำหรับอนุกรมอนันต์ ไม่ใช่แค่ |x|<1 เท่านั้น

P2 · ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ล็อกaritมและโมเดล

ทำไมโมเดลการสลายตัวจึงคงเป็นบวก?

ความเข้มข้นของยาลดลงเปอร์เซ็นต์เดียวกันทุกชั่วโมง การลบด้วยค่าคงที่จะนำไปสู่การคาดการณ์ปริมาณเป็นลบในที่สุด
บทเรียนนี้ศึกษา ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่สลายตัวลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
การทำลอการิทึมจะได้ ln y=ln A+kt
ลอการิทึมต้องมีอาร์กิวเมนต์เป็นบวก และ log(x+y) ไม่ใช่ log x+log y

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$

ตัวอย่าง

ถ้า y=80e^(-0.2t), เมื่อ y=40 จะได้ e^(-0.2t)=1/2 ดังนั้น t=ln2/0.2≈3.466 สำหรับ 3^x=20, x=ln20/ln3 การพล็อต ln y เทียบกับ t จะทำให้โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียลนี้เป็นเส้นตรง

Exponentials, logarithms and modelling — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับให้เข้ากับข้อมูลเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่การรับประกัน
ระบุหน่วยเวลาและช่วงการใช้งาน
ค่า k เป็นลบบ่งชี้ถึงการลดลง; ค่าเริ่มต้นที่เป็นลบมักขัดแย้งกับบริบทปัญหา

Watch out

ไม่เป็นจริง: สำหรับ x และ y ที่เป็นบวก, ln(x+y)=ln x+ln y ลอการิทึมของผลรวมไม่มีกฎที่เรียบง่าย; กฎการคูณคือ ln(xy)=ln x+ln y

การนำไปใช้

เปรียบเทียบผลการสังเกตจริงกับโมเดล
ความเบี่ยงเบนแบบมีระบบอาจบ่งบอกถึงเงื่อนไขที่เปลี่ยนแปลงไป
ในรายงาน ให้อธิบายความหมายของอัตราและค่าเริ่มต้น แทนที่จะให้แค่สมการเปล่าๆ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่ลดลงจะลดเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น
สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
ระวัง: ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับพารามิเตอร์แล้วเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่คำการันตี

P2 · เรเดียน อุตินัยกรณ์และสมการตรีโกณมิติ

ขอบวงล้อเคลื่อนที่ได้ไกลแค่ไหน

A rotating wheel sweeps an arc. Radians let its angle connect directly to the distance travelled along the rim.
บทเรียนนี้ศึกษา radian: มุมที่เกิดจากเส้นโค้งwhose ความยาวเท่ากับรัศมี

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
ใช้เอกลักษณ์ sin²θ+cos²θ=1 และเอกลักษณ์ของมุมเพื่อจัดรูปหรือหาคำตอบ
จงระบุคำตอบทั้งหมดในช่วงที่กำหนดให้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

A calculator's inverse sine gives one principal value.
เครื่องคิดเลขจะไม่แสดงคำตอบทั้งหมด
การหารด้วย sin x อาจทำให้สูญเสียคำตอบที่ sin x=0; ให้ตรวจสอบกรณีนี้ก่อนเสมอ

Watch out

การนำไปใช้

เลือกใช้เอกลักษณ์ที่ลดรูปสมการให้อยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวเดียว
รักษาค่ามุมที่รู้จักและแม่นยำไว้เท่าที่จะทำได้ และตรวจสอบแต่ละคำตอบกับสมการต้นฉบับ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Radian: มุมที่ Dynamo โดยส่วนโค้งwhose ความยาวเท่ากับรัศมี
สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
Watch for: A calculator's inverse sine gives one principal value.

P2 · การหาอนุพันธ์และจุดคงที่

ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?

ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
จุดวิกฤตสอดคล้องกับ dy/dx=0
ตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ หรืออนุพันธ์อันดับสองเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ เพื่อจำแนกประเภท

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=1, ความชันคือ 0 และ y=-2. ลอนุพันธ์อันดับสองคือ 6x, เป็นบวกที่ x=1, ดังนั้นนี่คือจุดต่ำสุดเฉพาะที่. ที่ x=-1, y=2 และลอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ, ทำให้เกิดจุดสูงสุดเฉพาะที่

จุดที่ผิดพลาด

อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเสมอไป: y=x³ มีจุดวิกฤตที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อไป
จุดปลายสามารถสร้างค่าสุดขั้วบนโดเมนที่กำหนดได้เช่นกัน

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ทุกจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดท้องถิ่นเสมอ อนุพันธ์เป็นศูนย์ยังสามารถเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้: y=x³ ที่ x=0 neither เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด

การนำไปใช้

ในระดับ GCSE/IGCSE ใช้เพียงขอบเขตพหุนามตามที่ระดับกำหนด; อย่าเพิ่มกฎลูกโซ่ กฎคูณ หรือกฎหารในระดับนั้น
ในระดับสูง เชื่อมโยงอนุพันธ์กับอัตราการเปลี่ยนแปลงและการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดพร้อมขอบเขตที่กำหนดให้ถูกต้อง

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัส
สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
ระวัง: อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องหมายถึงค่าสูงสุดหรือต่ำเสมอไป: y=x³ มีจุดนิ่งที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อเนื่อง

P2 · อินทิกรัล พื้นที่และการสะสม

How much change has accumulated?

กราฟความเร็วบอกการเคลื่อนที่ ณ วินาทีหนึ่ง เราสามารถหาการกระจัดสะสมตลอดช่วงเวลาได้อย่างไร?
บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันต้นแบบ (antiderivative): ซึ่งเป็นฟังก์ชัน whose derivative equals the given integrand.

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
อินทิกรัล_examples คือการสะสมที่มีเครื่องหมาย
แยกช่วงเมื่อมีการเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อต้องการหาพื้นที่รวมหรือระยะทาง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ v(t)=3t²-3 ในช่วง 0≤t≤2, การกระจัด=[t³-3t]_0^2=2. เนื่องจาก v เปลี่ยนเครื่องหมายที่ t=1, ระยะทาง=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. ค่าคงที่จะตัดกันก็ต่อเมื่อเป็นอินทิกรัลมีเครื่องหมายเท่านั้น

จุดที่ผิดพลาด

อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1
พื้นที่ที่มีเครื่องหมายอาจเป็นศูนย์ได้แม้ว่าพื้นที่ปิดทั้งหมดจะมีค่าบวก

Watch out

ไม่เป็นจริง: อินทิกรัล_examples มีค่าเท่ากับพื้นที่บวกทั้งหมด แม้กราฟจะตัดแกน Also พื้นที่ใต้แกนมีค่าลบ ดังนั้นอินทิกรัล_examples อาจมีค่าน้อยกว่าพื้นที่รวม หรือแม้แต่เป็นศูนย์

การนำไปใช้

ระบุความหมายของอินทิกรัลและใส่หน่วยให้ถูกต้อง
อัตราที่วัดต่อวินาที จะอินทิเกรตเป็นปริมาณพื้นฐาน ไม่ใช่เป็นอัตรารายอื่น
หาอนุพันธ์ของผลอินทิเกรตเพื่อยืนยันคำตอบ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ผลอินทิเกรต: ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์เท่ากับตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดให้
สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
ระวัง: อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1

P2 · การหาค่ารากและการอินทิเกรตเชิงตัวเลข

ความน่าเชื่อถือของค่าประมาณมีอย่างไร?

สมการไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนที่สะดวก ค่าประมาณยังต้องการหลักฐานว่ามีความน่าเชื่อถือ
บทเรียนนี้ศึกษา การทำซ้ำ: การอัปเดตซ้ำที่แต่ละค่าประมาณใหม่คำนวณจากค่าก่อนหน้า

วิธีปฏิบัติ

สำหรับความกว้างแถบเท่ากัน h, ค่าประมาณสี่เหลี่ยมคางหมูคือ h/2 คูณด้วยผลรวมของความสูงสองจุดปลายบวกสองเท่าของความสูงภายใน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$A\approx\frac h2(y_0+2y_1+\cdots+2y_{n-1}+y_n)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y=x² บนช่วง [0,2] ด้วยสองแถบเท่ากัน, h=1 และความสูงคือ 0,1,4. ค่าประมาณคือ (1/2)(0+2×1+4)=3. พื้นที่ที่แท้จริงคือ 8/3, ดังนั้นโค้งนูนนี้จึงให้ค่าประมาณที่เกินจริง

การหารากและการอินทิเกรตแบบตัวเลข — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ใช้ความกว้างแถบเท่ากันและรวมความสูงภายในสองครั้ง.
ความโค้งกำหนดว่าค่าประมาณจะมากกว่าหรือน้อยกว่าพื้นที่จริง; การเป็นฟังก์ชันเพิ่มเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ.

Watch out

ไม่เป็นจริง: ฟังก์ชันเพิ่มให้ค่าประมาณทราปเซซอยด์เกินจริง การเปลี่ยนเครื่องหมายบ่งบอกรากได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดนั้น: 1/x เปลี่ยนเครื่องหมายผ่าน x=0 แต่ไม่มีราก.

การนำไปใช้

P2 นำเสนอกฎทราปเซซอยด์.
Newton–Raphson และ root-finding methods อื่นๆ อยู่ในหน่วยอื่นที่ถูกตั้งชื่อ; พวกเขาไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียน P2 นี้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การทำซ้ำ: การอัปเดตแบบซ้ำๆ ที่ซึ่งค่าประมาณใหม่แต่ละค่าคำนวณจากค่าประมาณก่อนหน้า
สำหรับความกว้างแถบเท่ากัน h, ค่าประมาณสี่เหลี่ยมคางหมูคือ h/2 คูณด้วยผลรวมของความสูงสองจุดปลายบวกสองเท่าของความสูงภายใน
ระวัง: ใช้ความกว้างแถบเท่ากันและรวมความสูงภายในสองครั้ง.

P3 · โดเมน ฟังก์ชันผกผันและการประกอบ

ค่าอินพุตใดที่อนุญาตให้ใช้?

โมเดลรากที่สองให้ผลลัพธ์จริงเฉพาะบางค่าอินพุกเท่านั้น สูตรเพียงอย่างเดียวไม่ได้ระบุฟังก์ชันที่สมบูรณ์
บทเรียนนี้ศึกษา domain: เซตของค่าอินพุกที่อนุญาตให้ใช้กับฟังก์ชัน

วิธีปฏิบัติ

ระบุโดเมนและเรนจ์
สำหรับฟังก์ชันผกผัน ต้องตรวจสอบก่อนว่าฟังก์ชันนั้นเป็น one-to-one บนโดเมนของตนหรือไม่
Composition fg หมายความว่านำ g มาใช้ก่อน แล้วจึงนำ f มาใช้; ค่าผลลัพธ์กลางต้องเป็นค่าเริ่มต้นที่ยอมรับได้สำหรับ f

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$

ตัวอย่าง

For f(x)=√(x-2), x≥2 and the range is y≥0. From y=√(x-2), x=y²+2. Thus f inverse(x)=x²+2 with x≥0. For g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.

โดเมน ฟังก์ชันผกผัน และการประกอบ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การยกกำลังสองอาจนำไปสู่คำตอบที่ไม่แท้จริง (extraneous solutions)
การจำกัดโดเมนของพาราโบลาเป็นเรื่องจำเป็นก่อนจะอ้างถึงฟังก์ชันผกผัน
การเลื่อนกราฟในแนวตั้งภายใน f จะมีเครื่องหมายตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ของกราฟ

Watch out

ไม่เป็นจริง: ฟังก์ชันกำลังสองบนเซตจำนวนจริงทั้งหมดจะมีฟังก์ชันผกผันเสมอ ฟังก์ชันกำลังสองบนจำนวนจริงทั้งหมดเป็นแบบหลายเข้าสู่หนึ่งเดียว (f(1)=f(−1) สำหรับ x²) ดังนั้นต้องจำกัดโดเมนก่อน

การนำไปใช้

Check f(f inverse(x))=x on the inverse domain.
ใช้การวาดภาพเพื่อทดสอบว่าเส้นแนวนอนตัดกับกราฟเดิมมากกว่าหนึ่งครั้งหรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

โดเมน: เซตของค่าเข้าที่เป็นไปได้สำหรับฟังก์ชัน
ระบุโดเมนและเรนจ์
ระวัง: การยกกำลังสองอาจทำให้เกิดคำตอบที่ผิดพลาดได้

P3 · เรเดียน อุตินัยกรณ์และสมการตรีโกณมิติ

ขอบวงล้อเคลื่อนที่ได้ไกลแค่ไหน

A rotating wheel sweeps an arc. Radians let its angle connect directly to the distance travelled along the rim.
บทเรียนนี้ศึกษา radian: มุมที่เกิดจากเส้นโค้งwhose ความยาวเท่ากับรัศมี

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
ใช้เอกลักษณ์ sin²θ+cos²θ=1 และเอกลักษณ์ของมุมเพื่อจัดรูปหรือหาคำตอบ
จงระบุคำตอบทั้งหมดในช่วงที่กำหนดให้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

A calculator's inverse sine gives one principal value.
เครื่องคิดเลขจะไม่แสดงคำตอบทั้งหมด
การหารด้วย sin x อาจทำให้สูญเสียคำตอบที่ sin x=0; ให้ตรวจสอบกรณีนี้ก่อนเสมอ

Watch out

การนำไปใช้

เลือกใช้เอกลักษณ์ที่ลดรูปสมการให้อยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวเดียว
รักษาค่ามุมที่รู้จักและแม่นยำไว้เท่าที่จะทำได้ และตรวจสอบแต่ละคำตอบกับสมการต้นฉบับ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Radian: มุมที่ Dynamo โดยส่วนโค้งwhose ความยาวเท่ากับรัศมี
สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
Watch for: A calculator's inverse sine gives one principal value.

P3 · ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ล็อกaritมและโมเดล

ทำไมโมเดลการสลายตัวจึงคงเป็นบวก?

ความเข้มข้นของยาลดลงเปอร์เซ็นต์เดียวกันทุกชั่วโมง การลบด้วยค่าคงที่จะนำไปสู่การคาดการณ์ปริมาณเป็นลบในที่สุด
บทเรียนนี้ศึกษา ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่สลายตัวลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
การทำลอการิทึมจะได้ ln y=ln A+kt
ลอการิทึมต้องมีอาร์กิวเมนต์เป็นบวก และ log(x+y) ไม่ใช่ log x+log y

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับให้เข้ากับข้อมูลเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่การรับประกัน
ระบุหน่วยเวลาและช่วงการใช้งาน
ค่า k เป็นลบบ่งชี้ถึงการลดลง; ค่าเริ่มต้นที่เป็นลบมักขัดแย้งกับบริบทปัญหา

Watch out

การนำไปใช้

เปรียบเทียบผลการสังเกตจริงกับโมเดล
ความเบี่ยงเบนแบบมีระบบอาจบ่งบอกถึงเงื่อนไขที่เปลี่ยนแปลงไป
ในรายงาน ให้อธิบายความหมายของอัตราและค่าเริ่มต้น แทนที่จะให้แค่สมการเปล่าๆ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่ลดลงจะลดเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น
สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
ระวัง: ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับพารามิเตอร์แล้วเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่คำการันตี

P3 · การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่ ผลคูณ ผลหาร และแบบนัยยะ

ส่วนในของ-expression เปลี่ยนแปลงด้วยหรือไม่?

กราฟต้นทุนเป็นกำลังของ expression ที่มีการเปลี่ยนแปลง การหาอนุพันธ์เฉพาะกำลังภายนอกอย่างเดียวจะพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรภายใน
บทเรียนนี้ศึกษา กฎลูกโซ่: กฎที่คูณด้วยอนุพันธ์ภายนอกด้วยอนุพันธ์ภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
สำหรับ uv, หาอนุพันธ์ได้เป็น u prime v+uv prime.
สำหรับ u/v, ใช้สูตร (u prime v-uv prime)/v², โดยที่ v≠0.

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. ที่ x=0, ความชันคือ 12. สำหรับ x²+y²=25, แยกตัวแปรโดยปริยาย: 2x+2y y prime=0, ดังนั้น y prime=-x/y เมื่อ y≠0.

การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่ ผลคูณ ส่วนผล และเชิงนัย — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
ในการหาอนุพันธ์แบบนิพจน์ซ่อนตัว ทุกฟังก์ชันที่มี y จะต้องมี dy/dx เป็นปัจจัยร่วม
ตัวส่วนของอัตราส่วนจะถูกยกกำลังสอง

Watch out

ไม่เป็นจริง: อนุพันธ์ของ u(x)v(x) ไม่ใช่ u prime คูณ v prime กฎผลคูณคือ (uv)′=u′v+uv′: สำหรับ x·x อนุพันธ์คือ 2x, ไม่ใช่ 1×1=1.

การนำไปใช้

เลือกรูปสมการที่เหมาะสมก่อนหาอนุพันธ์: การกระจายพหุนามสั้นๆ อาจง่ายกว่า
สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง, เขียนความสัมพันธ์ในสัญลักษณ์, หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา, แล้วแทนค่าที่วัดได้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

กฎลูกโซ่: กฏที่นำอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกมาคูณกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ
สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
ระวัง: อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์

P3 · อินทิกรัล พื้นที่ และการสะสม

How much change has accumulated?

กราฟความเร็วบอกการเคลื่อนที่ ณ วินาทีหนึ่ง เราสามารถหาการกระจัดสะสมตลอดช่วงเวลาได้อย่างไร?
บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันต้นแบบ (antiderivative): ซึ่งเป็นฟังก์ชัน whose derivative equals the given integrand.

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
อินทิกรัล_examples คือการสะสมที่มีเครื่องหมาย
แยกช่วงเมื่อมีการเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อต้องการหาพื้นที่รวมหรือระยะทาง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1
พื้นที่ที่มีเครื่องหมายอาจเป็นศูนย์ได้แม้ว่าพื้นที่ปิดทั้งหมดจะมีค่าบวก

Watch out

การนำไปใช้

ระบุความหมายของอินทิกรัลและใส่หน่วยให้ถูกต้อง
อัตราที่วัดต่อวินาที จะอินทิเกรตเป็นปริมาณพื้นฐาน ไม่ใช่เป็นอัตรารายอื่น
หาอนุพันธ์ของผลอินทิเกรตเพื่อยืนยันคำตอบ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ผลอินทิเกรต: ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์เท่ากับตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดให้
สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
ระวัง: อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1

P3 · การวนซ้ำจุดคงที่

ความน่าเชื่อถือของค่าประมาณมีอย่างไร?

สมการไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนที่สะดวก ค่าประมาณยังต้องการหลักฐานว่ามีความน่าเชื่อถือ
บทเรียนนี้ศึกษา การทำซ้ำ: การอัปเดตซ้ำที่แต่ละค่าประมาณใหม่คำนวณจากค่าก่อนหน้า

วิธีปฏิบัติ

จัดรูปสมการเป็น x=g(x), เลือกค่าเริ่มต้นแล้วทำซ้ำ.
ค่าลิมิต L ต้องสอดคล้องกับ L=g(L).
ใกล้จุดคงที่ |g prime(L)|<1 ใช้เป็นการตรวจสอบการลู่เข้าในท้องถิ่น; การตรวจสอบเครื่องหมายสามารถยืนยันรากที่ปัดเศษรายงานได้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$$

ตัวอย่าง

สำหรับ x²-x-2=0 ให้เลือก x_next=√(2+x) โดยเริ่มจาก x₀=1 จากนั้น x₁=√3≈1.73205, x₂≈1.93185 และจุดคงที่ที่เป็นบวกคือ 2 ที่ 2, g'=1/(2√4)=1/4 ดังนั้นความผิดพลาดในพื้นที่เล็กๆ จึงลดลง การจัดรูปรากที่สองนี้มองหาเฉพาะรากที่เป็นบวก ไม่สามารถให้รากลบ -1 ได้

Fixed-point iteration — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

การจัดรูปสมการแบบต่างๆ อาจมีพฤติกรรมลู่เข้าที่แตกต่างกัน
ตรวจสอบค่าวนซ้ำ (iterates),โดเมน และสมการเดิม; การอัปเดตด้วยรากที่สองไม่สามารถเข้าถึงจุดคงที่เป็นลบได้

Watch out

ไม่เป็นจริง: การจัดรูปสมการทุกแบบจะลู่เข้าหารากเดียวกันจากค่าเริ่มต้นทุกค่า การเปลี่ยนเครื่องหมายแสดงถึงรากก็ต่อเมื่อฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดนั้นเท่านั้น: 1/x เปลี่ยนเครื่องหมายข้าม x=0 แต่ไม่มีราก

การนำไปใช้

P3 ใช้การจัดรูปสมการและการวนซ้ำเชิงตัวเลข
บทเรียนนี้ไม่รวมวิธีนิวตันและอินทิเกรตเชิงตัวเลข ซึ่งอยู่ในหน่วยอื่น

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การทำซ้ำ: การอัปเดตแบบซ้ำๆ ที่ซึ่งค่าประมาณใหม่แต่ละค่าคำนวณจากค่าประมาณก่อนหน้า
จัดรูปสมการเป็น x=g(x), เลือกค่าเริ่มต้นแล้วทำซ้ำ.
ระวัง: การจัดรูปสมการแบบต่างๆ อาจมีพฤติกรรมลู่เข้าที่แตกต่างกัน

P4 · การพิสูจน์ การขัดแย้ง และการอุปนัย

รูปแบบใดจะกลายเป็นการพิสูจน์?

การตรวจสอบจำนวนเต็มหลายตัวอาจชี้ให้เห็นถึงลวดลายอะไรจะเปลี่ยนลวดลายนั้นให้กลายเป็นบทพิสูจน์สำหรับจำนวนเต็มทุกตัว?
This lesson studies counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.

วิธีปฏิบัติ

การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
A counterexample refutes an all-values claim.
การพิสูจน์โดยอุปนัยต้องการกรณีพื้นฐานและการเชื่อมโยงจาก n=k ไปยัง n=k+1; การตรวจสอบกรณีต่อเนื่องกันเพียงอย่างเดียวไม่ใช่การพิสูจน์อุปนัย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

อย่าสมมติผลลัพธ์whileกำลังพิสูจน์มัน
ในความขัดแย้ง, ระบุผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้และปฏิเสธสมมติฐานตรงกันข้ามเริ่มต้น
การอุปนัยไม่ใช่สิ่งบังคับใน AQA 7357; มันอยู่ในขอบเขตคณิตศาสตร์เพิ่มเติมที่เหมาะสมของตนเอง

Watch out

การนำไปใช้

การพิสูจน์ของ AQA รวมถึงการอนุมาน, การพิจารณากรณีครบถ้วน และการขัดแย้ง
IAL P2 introduces exhaustion and counterexample, while P4 introduces contradiction.
รักษาวิธีการให้ตรงกับหน่วยที่ระบุ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.
การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
ระวัง: อย่าสันนิษฐานว่าข้อสรุปเป็นจริงขณะกำลังพิสูจน์

P4 · สมการ อัตลักษณ์ และการจัดรูปสมการ

เมื่อไหร่ที่แผนทั้งสองมีค่าใช้จ่ายเท่ากัน?

แผนมือถือสองแบบมีค่าใช้จ่าย 20+3x และ 44+x หยวน สำหรับ x GB เมื่อไหร่ที่ทั้งสองแผนมีค่าใช้จ่ายเท่ากัน?
บทเรียนนี้ศึกษา เอกลักษณ์: ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับทุกค่าที่อนุญาตของตัวแปร

วิธีปฏิบัติ

สมการถามว่าค่าเข้าใดทำให้สมการเป็นจริง ส่วนเอกลักษณ์จะเป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้
รักษาความเท่ากันโดยทำการSame Operation กับทั้งสองด้าน
ระบุข้อจำกัดก่อนหารด้วยตัวแปร

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$C_1=20+3x,\qquad C_2=44+x,\qquad C_1=C_2$$

ตัวอย่าง

20+3x=44+x ให้ 2x=24 และ x=12. ทั้งสองแผนจะมีค่าใช้จ่าย 56 ใน A=πr², หารด้วย π และหา root ที่สองเชิงบวกเพื่อรับ r=√(A/π), เนื่องจาก r เป็นความยาว

สมการ เอกลักษณ์ และการจัดรูปใหม่ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การตัดพจน์ออกไม่เหมือนกับการตัดตัวประกอบออก
ใน (x²+2x)/x ให้แยกตัวประกอบในเศษคงไว้ว่า x≠0
ตรวจสอบการย้ายข้างโดยแทนค่า

Watch out

ไม่เป็นจริง: การตัด x ออกจาก (x+3)/x จะได้ 3 สำหรับทุกค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ x เป็นพจน์ในเศษ ไม่ใช่ตัวประกอบ จึงไม่สามารถตัดได้: ที่ x=1, (1+3)/1=4 ไม่ใช่ 3

การนำไปใช้

ตั้งสมการจากหน่วยและความหมายของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า
คำตอบติดลบหรือเศษส่วนอาจถูกต้องทางพีชคณิตแต่เป็นไปไม่ได้สำหรับการนับจำนวน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เอกลักษณ์: สมการที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้ของตัวแปร
สมการถามว่าค่าเข้าใดทำให้สมการเป็นจริง ส่วนเอกลักษณ์จะเป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้
ระวัง: การตัดพจน์ออกไม่เหมือนกับการตัดตัวประกอบออก

P4 · การขยายทวินาม และการประมาณค่าที่มีเงื่อนไขถูกต้อง

การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังอย่างไร?

การวัดค่าที่เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังของปริมาณนั้น การขยายอนุกรมสามารถแสดงขนาดของผลกระทบอันดับแรกและอันดับสองได้
บทเรียนนี้ศึกษา สัมประสิทธิ์ทวินาม: จำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจำนวนที่กำหนดจากเซต

วิธีปฏิบัติ

สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการกระจายทวินามที่มีจำกัด
สำหรับ n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม, ขยาย (1+x)^n เป็น 1+nx+n(n-1)x²/2+... โดยที่ |x|<1
แยกตัวคูณคงที่ออกก่อนใช้รูปแบบนี้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

การกระจายใน 2x ต้องมีเงื่อนไข |2x|<1 สำหรับอนุกรมอนันต์ ไม่ใช่แค่ |x|<1 เท่านั้น
การขยายกำลังจำนวนเต็มบวกจะเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์จำกัด และไม่มีการจำกัดการลู่เข้าดังกล่าว

Watch out

การนำไปใช้

ระบุช่วงค่าที่ใช้ได้ alongside กับค่าประมาณ
เก็บพจน์ให้เพียงพอเพื่อรองรับความแม่นยำที่ต้องการ และแยกตัวสัมประสิทธิ์ออกจากพจน์ทั้งหมดที่มี x

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สัมประสิทธิ์ทวินาม: จำนวนวิธีการเลือกวัตถุจำนวนหนึ่งจากเซตที่กำหนด
สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการกระจายทวินามที่มีจำกัด
ระวัง: การกระจายใน 2x ต้องมีเงื่อนไข |2x|<1 สำหรับอนุกรมอนันต์ ไม่ใช่แค่ |x|<1 เท่านั้น

P4 · กราฟวงกลมกลม เส้นพารามิเตอร์ และการวิเคราะห์เส้นสัมผัส

พารามิเตอร์ที่หมุนสามารถวาดวงรีได้อย่างไร?

วงรีสามารถวาดโดยพารามิเตอร์ที่หมุนได้แม้ว่าจะอธิบายยากว่าเป็นฟังก์ชัน y=f(x) เดียว
บทเรียนนี้ศึกษา สมการพารามิเตอร์: การแสดงพิกัดโดยใช้ตัวแปรร่วมเดียวกัน

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ x=a cos t,y=b sin t, การกำจัด t จะได้ x²/a²+y²/b²=1
สำหรับเส้นโค้งพารามิเตอร์ dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt), โดยที่ dx/dt≠0
ตัวส่วนเป็นศูนย์อาจบ่งบอกถึงสัมผัสแนวตั้ง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

ตัวอย่าง

สำหรับ x=3cos t,y=2sin t ที่ t=π/4, ความชันคือ (2cos t)/(-3sin t)=-2/3 จุดนั้นคือ (3/√2,√2) พื้นที่ภายในวงรีคือ πab=6π; กึ่งแกนนั่นคือ 3 และ 2

รูปแสดงเส้นโค้งควอดริก, เส้นโค้งพารามิเตอร์ และการหาสมการสัมผัส — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การกำจัดตัวแปรอาจทำให้สูญเสียขอบเขตหรือทิศทางในการเคลื่อนที่
สัมผัสแนวตั้งไม่สามารถกำหนดค่า dy/dx ที่เป็นจำนวนจำกัดได้
แยกแยะระหว่างกึ่งแกนกับความกว้างเต็ม

Watch out

ไม่ถูกต้อง: การกำจัดตัวแปรจะรักษาทุกข้อจำกัดและทิศทางโดยอัตโนมัติ การกำจัดอาจทำให้สูญเสียข้อจำกัด: x=t², y=t จะได้ x=y², แต่ x≥0 และทิศทางของการเคลื่อนที่ต้องระบุแยกต่างหาก

การนำไปใช้

สำหรับเรขาคณิตเชิงพิกัดขั้นสูง ให้ใช้สมการที่กำหนดและตัวแปรที่สอดคล้องกัน
สำหรับการอินทิเกรตพารามิเตอร์ใน IAL P4 ให้ใช้ข้อกำหนดที่จำกัดตามหลักสูตรแทนการนำวงรีและไฮเพอร์โบลาจาก Pure Mathematics ทั้งหมดเข้ามา

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สมการพารามิเตอร์: รูปแบบการแทนค่าที่แสดงพิกัดโดยใช้ตัวแปรร่วม
สำหรับ x=a cos t,y=b sin t, การกำจัด t จะได้ x²/a²+y²/b²=1
ระวัง: การกำจัดตัวแปรอาจทำให้สูญเสียข้อจำกัดของโดเมนหรือทิศทางการเคลื่อนที่

P4 · การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่ ผลคูณ ผลหาร และแบบนัยยะ

ส่วนในของ-expression เปลี่ยนแปลงด้วยหรือไม่?

กราฟต้นทุนเป็นกำลังของ expression ที่มีการเปลี่ยนแปลง การหาอนุพันธ์เฉพาะกำลังภายนอกอย่างเดียวจะพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรภายใน
บทเรียนนี้ศึกษา กฎลูกโซ่: กฎที่คูณด้วยอนุพันธ์ภายนอกด้วยอนุพันธ์ภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
สำหรับ uv, หาอนุพันธ์ได้เป็น u prime v+uv prime.
สำหรับ u/v, ใช้สูตร (u prime v-uv prime)/v², โดยที่ v≠0.

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
ในการหาอนุพันธ์แบบนิพจน์ซ่อนตัว ทุกฟังก์ชันที่มี y จะต้องมี dy/dx เป็นปัจจัยร่วม
ตัวส่วนของอัตราส่วนจะถูกยกกำลังสอง

Watch out

การนำไปใช้

เลือกรูปสมการที่เหมาะสมก่อนหาอนุพันธ์: การกระจายพหุนามสั้นๆ อาจง่ายกว่า
สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง, เขียนความสัมพันธ์ในสัญลักษณ์, หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา, แล้วแทนค่าที่วัดได้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

กฎลูกโซ่: กฏที่นำอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกมาคูณกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ
สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
ระวัง: อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์

P4 · การแทนตัวแปร การหาอินทิกรัลด้วยส่วนประกอบ และเศษส่วนย่อย

เราสามารถอินทิเกรตตัวคูณทั้งสองแยกกันได้หรือไม่?

ผลคูณที่ดูง่ายอย่าง xe^x ไม่สามารถอินทิเกรตโดยการแยกอินทิเกรตแต่ละตัวคูณได้
บทเรียนนี้ศึกษา การอินทิเกรตด้วยการแทนที่: วิธีการอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ

วิธีปฏิบัติ

ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
ตามวิธีการแทนที่, อินทิกรัลของ u v prime = uv - อินทิกรัลของ u prime v
สำหรับฟังก์ชันเชิงตรรกยะ ให้หารก่อนหากจำเป็น แล้วแยกเป็นเศษส่วนย่อย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

ตัวอย่าง

สำหรับ integral xe^x dx, ตั้ง u=x และ v prime=e^x จะได้ integral คือ xe^x-e^x+C. สำหรับ integral 2x/(x²+1) dx, แทน w=x²+1, dw=2x dx; คำตอบคือ ln(x²+1)+C

Substitution, parts and partial fractions — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น
ในการแทนค่าแบบมีขอบเขต ให้เปลี่ยนขอบเขตหรือกลับไปที่ x ก่อนที่จะใช้ขอบเขตเดิม

Watch out

ไม่ถูกต้อง: อินทิกรัลของผลคูณเท่ากับผลคูณของอินทิกรัลแยกกัน ผลคูณต้องใช้วิธีเช่น การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วนหรือการแทนค่า: ∫x·x dx=x³/3 ไม่ใช่ (x²/2)(x²/2)

การนำไปใช้

ตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์
สำหรับปริมาตรของการหมุนรอบแกน x ใช้ V=π integral y² dx; อย่าสับสนระหว่างกำลังสองของฟังก์ชันกับอินทิกรัลของฟังก์ชัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วน: วิธีอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ
ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
ระวัง: การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น

P4 · สมการเชิงอนุพันธ์และการหาคำตอบด้วยวิธีตัวเลข

ค่าเริ่มต้นกำหนดอะไร?

อัตราการเติบโตของประชากรแปรผันตรงกับขนาดปัจจุบัน อัตราสมการอธิบายครอบครัวทั้งหมดจนกว่าจะมีจำนวนประชากรเริ่มต้นที่กำหนดมา
บทเรียนนี้ศึกษา initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ

วิธีปฏิบัติ

แยกตัวแปรใน dy/dx=ky, อินทิเกรตทั้งสองข้าง และใช้ initial condition
รวมคำตอบสมดุลที่ถูกตัดออกเมื่อหารด้วย y

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

ตัวอย่าง

สำหรับ dy/dx=0.5y และ y(0)=2 การแยกตัวแปรให้ ln|y|=0.5x+C ดังนั้น y=Ae^(0.5x) ค่าเริ่มต้นทำให้ A=2 หาอนุพันธ์ของผลลัพธ์เพื่อตรวจสอบสมการและแทนค่า x=0 เพื่อตรวจสอบเงื่อนไขเริ่มต้น

สมการเชิงอนุพันธ์และการหาคำตอบแบบตัวเลข — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต
การหารด้วย y อาจทำให้พลาดคำตอบสมดุล y=0
ความแม่นยำของ Euler ขึ้นอยู่กับขนาดขั้นและสมการ

Watch out

ไม่ถูกต้อง: Initial condition ไม่เคยเปลี่ยนค่าคงที่ในคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ วิธีของ Euler ขึ้นอยู่กับขนาดขั้น; ขั้นที่เล็กลงมักให้ค่าที่แม่นยำขึ้น

การนำไปใช้

หน่วยนี้ใช้ first-order separation และ initial conditions
Euler numerical integration และ second-order complementary functions ถูกตัดออกจากบทเรียนนี้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ
แยกตัวแปรใน dy/dx=ky, อินทิเกรตทั้งสองข้าง และใช้ initial condition
ระวัง: Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต

P4 · เวกเตอร์สามมิติ เส้นตรงและมุม

เส้นทางที่ไม่ขนานกันยังสามารถข้ามกันไปโดยไม่ชนกันได้หรือไม่?

เส้นตรงสองเส้นในสามมิติอาจไม่ขนานกันและไม่ตัดกัน การวาดภาพสองมิติอาจบดบังความห่างระหว่างเส้นทั้งสอง
บทเรียนนี้ศึกษา เวกเตอร์ทิศทาง: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่กำหนดทิศทางของเส้นตรง

วิธีปฏิบัติ

เส้นตรงมี r=a+λb โดยที่ a เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งและ b เป็นเวกทอร์ทิศทางที่ไม่เป็นศูนย์
เพื่อหาจุดตัด ให้เท่าเทียมกันทุกองค์ประกอบแล้วแก้สมการเพื่อหาค่าพารามิเตอร์ของเส้นตรงทั้งสอง
สำหรับมุมใช้ a·b=|a||b|cosθ โดยผลคูณสเกลาร์อยู่ในหลักสูตรที่กำหนด

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf b,\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$$

ตัวอย่าง

สำหรับ a=(1,2,3),b=(2,-1,2), λ=2 ให้ r=(5,0,7). ขนาดของ b คือ √(4+1+4)=3. ด้วย c=(1,0,-1), b·c=2-2=0, ดังนั้น b และ c ตั้งฉากกัน

เวกเตอร์เชิงพื้นที่ เส้นตรง และมุม — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การทำให้อะไรก็ตามสอดคล้องกับสมการสององค์ประกอบไม่ได้การันตีว่าสมการที่สามจะถูกต้อง
เส้นตรงที่ไม่ขนานกันอาจเป็นเส้นตรงแบบเบี่ยงเบน
เวกทอร์ทิศทางของเส้นตรงไม่ใช่เวกเตอร์ตำแหน่ง และพารามิเตอร์สเกลาร์ไม่มีหน่วยพิกัด

Watch out

ไม่เป็นจริง: เส้นตรงที่ไม่ขนานกันสองเส้นในสามมิติต้องตัดกันเสมอ ในสามมิติเส้นตรงที่ไม่ขนานกันอาจเป็นเส้นตรงแบบเบี่ยงเบน: ซึ่งไม่ตัดกัน

การนำไปใช้

ระบุให้ชัดเจนว่ามุมที่ต้องการเป็นมุมแหลม, มุมที่มีทิศทาง หรือมุมระหว่างเส้นตรง
ใช้วิธีระนาบหรือวิธีระยะทางเฉพาะสำหรับหลักสูตรก็ต่อเมื่อจำเป็นสำหรับหน่วยเรียนนั้นเท่านั้น

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เวกเตอร์ทิศทาง: เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งระบุทิศทางของเส้นตรง
เส้นตรงมี r=a+λb โดยที่ a เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งและ b เป็นเวกทอร์ทิศทางที่ไม่เป็นศูนย์
ระวัง: การสอดคล้องกับสมการองค์ประกอบสองสมการไม่รับประกันว่าสมการที่สามจะถูกต้องด้วย

FP1 · คณิตศาสตร์เชิงซ้อนและรากของสมการกำลังสอง

หากรากไม่ใช่จำนวนจริง?

สมการ x²+1=0 ไม่มีรากเป็นจำนวนจริง การขยายระบบจำนวนช่วยให้เราสามารถแสดงและคำนวณกับรากทั้งสองได้
บทเรียนนี้ศึกษา คู่สมมูลเชิงซ้อน: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ

วิธีปฏิบัติ

เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
บวกองค์ประกอบ คูณวงเล็บ และใช้จำนวน-query เพื่อทำให้ตัวส่วนของการหารเป็นจำนวนจริง
รากไม่จริงของสมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์จริงเกิดขึ้นเป็นคู่-query

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

ตัวอย่าง

สำหรับ z=3+4i, |z|=5 และคู่สมมูลของ z=3-4i ค่าผกผันคือ (3-4i)/25 สำหรับ x²-6x+13=0 รากคือ 3±2i การคูณด้วยคู่สมมูลทำให้ตัวส่วนที่เป็นจำนวนจริง

การคำนวณเชิงซ้อนและรากของสมการกำลังสอง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลบวกของรากที่สอง
ฟังก์ชันท.Elementsary tangent แบบย้อนกลับเพียงอย่างเดียวอาจให้ผลลัพธ์ที่ผิดควอดรันต์
อย่าสับสนระหว่างโมดูลัสกับโมดูลัสกำลังสอง

Watch out

ไม่เป็นความจริง: สำหรับ a+bi โมดูลัสของมันคือ a+b โมดูลัสคือ √(a²+b²): สำหรับ 3+4i มีค่าเป็น 5 ไม่ใช่ 7

การนำไปใช้

FP1 ใช้ arithmetic ที่ซับซ้อน, modulus, รูป Argand และรากสมการกำลังสอง
กำลังของดีมอยเวอและรากของเอกภาพสงวนไว้สำหรับ FP2 เท่านั้น

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

จำนวนสมนัย: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ
เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
ระวัง: รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลรวมของรากที่สอง

FP1 · พาราโบลาและไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พารามิเตอร์ที่หมุนสามารถวาดวงรีได้อย่างไร?

วงรีสามารถวาดโดยพารามิเตอร์ที่หมุนได้แม้ว่าจะอธิบายยากว่าเป็นฟังก์ชัน y=f(x) เดียว
บทเรียนนี้ศึกษา พาราโบลา: เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดโฟกัสคงที่และเส้น.directrix คงที่เท่ากัน

วิธีปฏิบัติ

For y²=4ax, the focus is (a,0), directrix x=-a and vertex (0,0).
สำหรับ xy=c² แก่พิกัดเป็นเส้นประชิด
อ่านค่าพารามิเตอร์จากสัมประสิทธิ์ อย่าสันนิษฐานว่าเท่ากับ 4a

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y^2=12x,\quad xy=9$$

ตัวอย่าง

For y²=12x, a=3: the focus is (3,0) and directrix x=-3. At x=3, y=±6; at (3,6), distance to the focus and directrix is 6. For xy=9, the point (3,3) lies on the hyperbola and x=0,y=0 are its asymptotes.

Parabolas and rectangular hyperbolas — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

สัมประสิทธิ์ของ x คือ 4a ไม่ใช่ a
รวมทั้งสองเครื่องหมายเมื่อแก้สมการ y²
เส้นประชิดถูกเข้าใกล้ แต่ไม่ใช่จุดตัดที่มีจำกัดของ xy=c²

Watch out

ไม่เป็นจริง: สำหรับ y²=4ax พิกัด x ของจุดโฟกัสคือ 4a การกำจัดตัวแปรอาจทำให้สูญเสียข้อจำกัด: x=t², y=t จะได้ x=y², แต่ x≥0 และทิศทางของการเคลื่อนที่ต้องระบุแยกต่างหาก

การนำไปใช้

FP1 รองรับเรขาคณิตพิกัดสำหรับวงพาราโบลาและไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยม
พื้นที่วงรีและการกำหนดพารามิเตอร์วงรีไม่อยู่ในขอบเขต

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Parabola: The locus of points equally distant from a fixed focus and a fixed directrix.
For y²=4ax, the focus is (a,0), directrix x=-a and vertex (0,0).
ระวัง: สัมประสิทธิ์ของ x คือ 4a ไม่ใช่ a

FP1 · การดำเนินการเมทริกซ์, อินเวอร์ส และการแปลงระนาบ

เวกเตอร์พื้นฐานไปอยู่ที่ไหน?

แผนที่ยืดแนวหนึ่งและบิดอีกแนวหนึ่ง เมทริกซ์บันทึกการแปลงของแต่ละเวกเตอร์พื้นฐาน
บทเรียนนี้ศึกษา ดีเทอร์มิแนนต์: สเกลาร์ที่กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถกลับด้านได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย

วิธีปฏิบัติ

เมทริกซ์ 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์ ad-bc และมีอินเวอร์ส [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์
แปลงเวกเตอร์คอลัมน์ด้วยการคูณด้วยเมทริกซ์จากทางซ้าย
เมทริกซ์ที่อยู่ทางขวาจะทำงานก่อนในผลคูณ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

ตัวอย่าง

สำหรับ A=[[2,1],[0,3]], det A=6. A(1,2)=(4,6). อินเวอร์สของเมทริกซ์คือ [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. ตรวจสอบโดยการคูณ A กับอินเวอร์สเพื่อผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

การดำเนินการเมทริกซ์, อินเวอร์ส และการแปลงระนาบ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่
A determinant of zero means the transformation loses a dimension and has no inverse.
ค่าเฉพาะและการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเป็นเนื้อหาขั้นสูง ไม่ใช่เนื้อหาเวกเตอร์ GCSE ปกติ

Watch out

ไม่เป็นจริง: เมทริกซ์สี่เหลี่ยมทุกตัวมีอินเวอร์ส เมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีดิเทอร์มิแนนต์ 0 เป็นเมทริกซ์เอกฐานและไม่มีอินเวอร์ส

การนำไปใช้

FP1 ใช้การดำเนินการเมทริกซ์ขนาด 2×2, การหาอินเวอร์ส และการแปลงระนาบ
ค่าเฉพาะและการทำให้เป็นทแยงมุม 3×3 อยู่ใน FP3 ไม่ใช่หน่วยนี้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ดิเทอร์มิแนนต์: สเกลาร์ที่ใช้กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถหาอินเวอร์สได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย
เมทริกซ์ 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์ ad-bc และมีอินเวอร์ส [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์
ระวัง: การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่

FP1 · การแบ่งครึ่งและวิธีหาค่ารากของนิวตัน

ความน่าเชื่อถือของค่าประมาณมีอย่างไร?

สมการไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนที่สะดวก ค่าประมาณยังต้องการหลักฐานว่ามีความน่าเชื่อถือ
บทเรียนนี้ศึกษา การทำซ้ำ: การอัปเดตซ้ำที่แต่ละค่าประมาณใหม่คำนวณจากค่าก่อนหน้า

วิธีปฏิบัติ

สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ให้แบ่งช่วงรากครึ่งหนึ่งและเก็บครึ่งที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกับจุดปลาย
นิวตันอัปเดต x เป็น x-f(x)/f prime(x) โดยที่อนุพันธ์ต้องไม่เท่ากับศูนย์

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$

ตัวอย่าง

สำหรับ f(x)=x²-2, f(1)=-1 และ f(2)=2. ที่จุดกลาง 1.5, f=0.25 ดังนั้นช่วงใหม่คือ [1,1.5]. ที่จุดกลาง 1.25, f=-0.4375 ดังนั้นช่วงถัดไปคือ [1.25,1.5]. ใช้วิธี Newton จาก 1.5 จะได้ 1.4166667.

การหารากด้วยการแบ่งช่วงและวิธี Newton — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ต้องมีการเปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง
Newton อาจล้มเหลวหากอนุพันธ์เป็นศูนย์ หรือหากค่าซ้ำออกนอกโดเมนที่มีประโยชน์

Watch out

Not true: Every sign change proves a root, including one across a discontinuity. A sign change shows a root only if the function is continuous there: 1/x changes sign across x=0 but has no root.

การนำไปใช้

วิธีเชิงตัวเลขของ FP1 เกี่ยวข้องกับการหาราก: การแบ่งช่วงครึ่ง, การประมาณค่า และวิธีของ Newton
การอินทิเกรตเชิงตัวเลขไม่รวมอยู่ในบทเรียนนี้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การทำซ้ำ: การอัปเดตแบบซ้ำๆ ที่ซึ่งค่าประมาณใหม่แต่ละค่าคำนวณจากค่าประมาณก่อนหน้า
สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ให้แบ่งช่วงรากครึ่งหนึ่งและเก็บครึ่งที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกับจุดปลาย
ระวัง: ต้องมีการเปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง

FP1 · ผลรวมจำกัดและการพิสูจน์โดยอุปนัย

โพลิโนมิอัลสามารถแทนที่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลใกล้จุดหนึ่งได้หรือไม่?

ใกล้จุดที่ทราบค่าแล้ว ฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามารถถูกแทนที่ด้วยการประมาณค่าด้วยโพลิโนมิอัล การประมาณค่านี้จำเป็นต้องมีจุดศูนย์กลางและสเกลที่เหมาะสม
บทเรียนนี้ศึกษา สัญลักษณ์ซิกมา: สัญลักษณ์ที่รวมพจน์ที่มีดัชนีเหนือช่วงจำกัดที่กำหนดไว้

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ k=1 ถึง n, ผลรวม k=n(n+1)/2, ผลรวม k²=n(n+1)(2n+1)/6 และผลรวม k³=[n(n+1)/2]².
ความแตกต่างระหว่างพจน์ติดกันอาจเกิดผลเทเลสโคปได้
ในการพิสูจน์โดยอุปนัย ให้ตรวจสอบกรณีเริ่มต้นและแสดงว่ากรณีถัดไปเป็นผลมาจากสมมติฐาน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$

ตัวอย่าง

สำหรับ n=5, ผลรวม k=15, ผลรวม k²=1+4+9+16+25=55 และผลรวม k³=1+8+27+64+125=225. ในการพิสูจน์สูตรผลรวม การเพิ่มพจน์ที่ (n+1) เข้ากับนิพจน์ที่ยอมรับแล้ว จะต้องให้ผลลัพธ์เป็นสูตรที่มี n แทนด้วย n+1

Finite sums and induction — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

ผลรวมของกำลังสองไม่เท่ากับกำลังสองของผลรวม
ระบุช่วงดัชนีและตรวจสอบกรณีแรก; ขั้นตอนอุปนัยเพียงอย่างเดียวไม่ใช่การพิสูจน์อุปนัยที่สมบูรณ์

Watch out

ไม่เป็นจริง: ผลรวมของพจน์กำลังสองเท่ากับกำลังสองของผลรวม พหุนามเทย์เลอร์เป็นการประมาณค่า ซึ่งมักมีความแม่นยำเฉพาะบริเวณใกล้จุดศูนย์กลางเท่านั้น

การนำไปใช้

FP1-series ที่จำกัดและการพิสูจน์โดยอุปนัยรองรับเพียงเท่านั้น
การประมาณค่ามาคลาเรนและเทย์เลอร์อยู่ในหน่วยเพิ่มเติมทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ระดับสูงและถูกตัดออก

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สัญลักษณ์ซิกมา: สัญลักษณ์ที่รวมพจน์ที่มีดัชนีเหนือช่วงจำกัดที่กำหนดไว้
สำหรับ k=1 ถึง n, ผลรวม k=n(n+1)/2, ผลรวม k²=n(n+1)(2n+1)/6 และผลรวม k³=[n(n+1)/2]².
ระวัง: ผลรวมของกำลังสองไม่เท่ากับกำลังสองของผลรวม

FP1 · การอนุมาน, ความขัดแย้ง และการพิสูจน์โดยอุปนัย

รูปแบบใดจะกลายเป็นการพิสูจน์?

การตรวจสอบจำนวนเต็มหลายตัวอาจชี้ให้เห็นถึงลวดลายอะไรจะเปลี่ยนลวดลายนั้นให้กลายเป็นบทพิสูจน์สำหรับจำนวนเต็มทุกตัว?
This lesson studies counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.

วิธีปฏิบัติ

การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
A counterexample refutes an all-values claim.
การพิสูจน์โดยอุปนัยต้องการกรณีพื้นฐานและการเชื่อมโยงจาก n=k ไปยัง n=k+1; การตรวจสอบกรณีต่อเนื่องกันเพียงอย่างเดียวไม่ใช่การพิสูจน์อุปนัย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

อย่าสมมติผลลัพธ์whileกำลังพิสูจน์มัน
ในความขัดแย้ง, ระบุผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้และปฏิเสธสมมติฐานตรงกันข้ามเริ่มต้น
การอุปนัยไม่ใช่สิ่งบังคับใน AQA 7357; มันอยู่ในขอบเขตคณิตศาสตร์เพิ่มเติมที่เหมาะสมของตนเอง

Watch out

การนำไปใช้

การพิสูจน์ของ AQA รวมถึงการอนุมาน, การพิจารณากรณีครบถ้วน และการขัดแย้ง
IAL P2 introduces exhaustion and counterexample, while P4 introduces contradiction.
รักษาวิธีการให้ตรงกับหน่วยที่ระบุ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.
การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
ระวัง: อย่าสันนิษฐานว่าข้อสรุปเป็นจริงขณะกำลังพิสูจน์

FP2 · สมการกำลังสองและอสมการ

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

ล้อมรั้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ x(10-x) ความกว้างใดให้พื้นที่อย่างน้อย 21 ตารางเมตร?
บทเรียนนี้ศึกษา discriminant: ปริมาณ b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของสมการ ax²+bx+c=0

วิธีปฏิบัติ

แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
อสมการกำลังสองต้องการพิจารณาเครื่องหมายบนช่วง ไม่ใช่แค่รากเท่านั้น
discriminant (ค่าดีคริมิแนนต์) ใช้ระบุรากซ้ำหรือรากจริงที่หายไป

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ
แผนภาพต้องแสดงว่าด้านใดของรากแต่ละตัวเป็นจริงต่ออสมการ
เรขาคณิตอาจจำกัดค่า x เพิ่มเติม

Watch out

การนำไปใช้

ใช้จุดยอดเพื่อตีความค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
ตรวจสอบจุดปลายและจุดหนึ่งระหว่างราก; ผลคำนวณทางพีชคณิตและกราฟควรบอกเรื่องราวเดียวกัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ค่าดีคริมิแนนต์ (Discriminant): ค่า b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของ ax²+bx+c=0
แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
ระวัง: การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ

FP2 ·อนุกรม,ผลต่างจำกัด และการขยายเทย์เลอร์

โพลิโนมิอัลสามารถแทนที่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลใกล้จุดหนึ่งได้หรือไม่?

ใกล้จุดที่ทราบค่าแล้ว ฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามารถถูกแทนที่ด้วยการประมาณค่าด้วยโพลิโนมิอัล การประมาณค่านี้จำเป็นต้องมีจุดศูนย์กลางและสเกลที่เหมาะสม
บทเรียนนี้ศึกษา โพลิโนมิอัลเทย์เลอร์: โพลิโนมิอัลที่สร้างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดศูนย์กลางที่กำหนดไว้

วิธีปฏิบัติ

เมื่อ x=a, f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... เมื่อการกระจายมีความถูกต้อง
เมื่อ a=0 จะเป็นการกระจายของแมคลอเรน
ผลบวกจำกัดอาจลดรูปด้วยการตัดทอนหรือใช้สูตรผลบวกมาตรฐาน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots$$

ตัวอย่าง

สามพจน์แรกของการขยาย e^x คือ 1+x+x²/2. ที่ x=0.1 ค่าที่ได้คือ 1.105 ซึ่งใกล้เคียงกับ e^0.1≈1.105170. สำหรับผลบวกของ k² จาก k=1 ถึง 5, n(n+1)(2n+1)/6 ให้ค่า 5×6×11/6=55.

Series, finite differences and Taylor expansions — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

ตัวคูณ factorial ต้องอยู่ในตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ Taylor ทุกตัว
จุดศูนย์กลางของการกระจายไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์เสมอไป
การประมาณค่าใกล้จุดศูนย์กลางอาจผิดพลาดเมื่ออยู่ห่างออกไป

Watch out

ไม่จริง: พหุนาม Taylor มีค่าเท่ากับฟังก์ชันต้นฉบับที่ทุกค่าเข้าพหุนาม Taylor เป็นเพียงการประมาณค่า มักจะแม่นยำเฉพาะบริเวณใกล้จุดศูนย์กลางเท่านั้น

การนำไปใช้

สำหรับอนุกรมเทเลสโคปิก ให้เขียนหลายพจน์และระบุปลายทั้งสองที่ยังคงเหลืออยู่
สำหรับการประมาณค่าด้วย Taylor ระบุระดับของพหุนามและเปรียบเทียบกับค่าที่ทราบหรือค่าความคลาดเคลื่อนตามต้องการ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

พหุนาม Taylor: พหุนามที่สร้างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดศูนย์กลางที่กำหนด
เมื่อ x=a, f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... เมื่อการกระจายมีความถูกต้อง
ระวัง: ตัวคูณ factorial ต้องอยู่ในตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ Taylor ทุกตัว

FP2 · จำนวนเชิงซ้อนและรากของจำนวนเชิงซ้อน

หากรากไม่ใช่จำนวนจริง?

สมการ x²+1=0 ไม่มีรากเป็นจำนวนจริง การขยายระบบจำนวนช่วยให้เราสามารถแสดงและคำนวณกับรากทั้งสองได้
บทเรียนนี้ศึกษา คู่สมมูลเชิงซ้อน: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ

วิธีปฏิบัติ

เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
จำนวน-queryate คือ a-bi และ z คูณจำนวน-queryate = a²+b²
โมดูลัสคือ √(a²+b²); อาร์กิวเมนต์ต้องใช้จตุภาคที่ถูกต้อง
ราก-queryate เกิดขึ้นในพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

ตัวอย่าง

จำนวนเชิงซ้อนและราก — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลบวกของรากที่สอง
ฟังก์ชันท.Elementsary tangent แบบย้อนกลับเพียงอย่างเดียวอาจให้ผลลัพธ์ที่ผิดควอดรันต์
อย่าสับสนระหว่างโมดูลัสกับโมดูลัสกำลังสอง

Watch out

การนำไปใช้

วาดแกนจำนวนจริงแนวนอนและแกนจำนวนจินตภาพแนวตั้ง
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน โมดูลัสคูณกันและอาร์กิวเมนต์บวกกัน;เลขยกกำลังขยายรูปแบบเรขาคณิตนี้ผ่านทฤษฎีบทเดอมอยฟวร์

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

จำนวนสมนัย: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ
เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
ระวัง: รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลรวมของรากที่สอง

FP2 · สมการเชิงอนุพันธ์และการแก้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข

ค่าเริ่มต้นกำหนดอะไร?

อัตราการเติบโตของประชากรแปรผันตรงกับขนาดปัจจุบัน อัตราสมการอธิบายครอบครัวทั้งหมดจนกว่าจะมีจำนวนประชากรเริ่มต้นที่กำหนดมา
บทเรียนนี้ศึกษา initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหาค่า A
วิธีของออยเลอร์ใช้ y_next=y+h f(x,y) โดยเลือกขนาดขั้น h

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

ตัวอย่าง

ด้วย dy/dx=0.5y และ y(0)=2, ได้ y=2e^(0.5x). วิธีของเออร์ลาร์ด้วย h=0.2 ให้ y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 และ y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. ค่าที่แม่นยำของค่าที่สองอยู่ที่ประมาณ 2.4428

จุดที่ผิดพลาด

Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต
การหารด้วย y อาจทำให้พลาดคำตอบสมดุล y=0
ความแม่นยำของ Euler ขึ้นอยู่กับขนาดขั้นและสมการ

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ขนาดขั้นทุกขนาดให้ค่าประมาณด้วยวิธีของออยเลอร์เท่ากันเป๊ะ วิธีของออยเลอร์ขึ้นอยู่กับขนาดขั้น; ขั้นที่เล็กว่ามักให้ค่าที่แม่นยำกว่า

การนำไปใช้

สำหรับสมการเชิงเส้นอันดับสอง รวมฟังก์ชันประกอบกับอินทิกรัลเฉพาะที่เหมาะสม แล้วใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
นี่คือขอบเขตของ Further Pure; ตรวจสอบหน่วยที่ระบุชื่อ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ
สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
ระวัง: Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต

FP2 · สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง

ทำไมเราต้องกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นสองค่า?

โมเดลการกระจัดมีทั้งความเร็วและความเร่ง การแก้เพียงสมการอัตราอันดับเดียวไม่สามารถจับคู่เงื่อนไขเริ่มต้นทั้งสองได้
บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันเสริม (complementary function): ซึ่งเป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบโฮโมเจนีนัสที่เกี่ยวข้อง

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y double prime+ay prime+by=f(x), แก้สมการกำลังสองช่วยสำหรับส่วนโฮโมจีนีOUS
เพิ่มอินทิกรัลเฉพาะที่เหมาะสมสำหรับพจน์กระตุ้น
รากซ้ำและรากเชิงซ้อนต้องการรูปแบบที่ถูกต้อง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f(x),\qquad m^2+am+b=0$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y''-3y'+2y=0 สมการช่วยคือ m²-3m+2=0 ซึ่งมีราก 1,2 ดังนั้น y=Ae^x+Be^(2x) เมื่อ y(0)=1 และ y'(0)=0 จะได้ A+B=1 และ A+2B=0 ดังนั้น A=2, B=-1

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ค่าคงที่สุ่มสองค่าต้องใช้เงื่อนไขอิสระสองอย่าง
หากอินทิกรัลเฉพาะที่ลองใช้ซ้ำกับพจน์ในฟังก์ชันประกอบ ให้คูณด้วย x ตามที่จำเป็น
อย่าทิ้งคำตอบแบบสั่นที่ถูกต้องเพราะรากช่วยเป็นเชิงซ้อน

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ค่าเริ่มต้นหนึ่งค่าเพียงพอที่จะกำหนดค่าคงที่สองค่าในคำตอบทั่วไปอันดับสอง คำตอบอันดับสองมีค่าคงที่สองค่า ดังนั้นจึงต้องใช้สองเงื่อนไข

การนำไปใช้

ดิฟเฟอเรนตिएชน์-expressionสุดท้ายและแทนค่าลงในสมการดิฟเฟอเรนเชียลเดิม
ตรวจสอบเงื่อนไขเริ่มต้นทั้งสองแยกต่างหาก และตีความช่วงคำตอบที่ยอมรับได้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ฟังก์ชันประกอบ: คำตอบทั่วไปของสมการดิฟเฟอเรนเชียลเชิงเส้นโฮโมจีนีOUSที่เกี่ยวข้อง
สำหรับ y double prime+ay prime+by=f(x), แก้สมการกำลังสองช่วยสำหรับส่วนโฮโมจีนีOUS
ระวัง: ค่าคงที่สุ่มสองค่าต้องใช้เงื่อนไขอิสระสองอย่าง

FP2 · เส้นโค้งขั้วและพื้นที่

ทำไมถึงอธิบายเส้นโค้งโดยทิศทาง?

เส้นโค้งรูปกลีบดอกจะง่ายกว่าเมื่อรัศมีขึ้นอยู่กับพิกัดคาร์ทีเซียนอาจซ่อนโครงสร้างนี้ไว้ได้
บทเรียนนี้ศึกษา พิกัดขั้ว: ตำแหน่งที่อธิบายด้วยระยะ r และมุม θ จากจุดกำเนิดและรังอ้างอิงที่กำหนด

วิธีปฏิบัติ

ใช้ x=r cosθ และ y=r sinθ
พื้นที่ในพิกัดขั้วคือครึ่งหนึ่งของอินทิกรัลของ r² เทียบกับ θ ในช่วงที่เลือกอย่างเหมาะสม
ระบุความสมมาตรและการวาดซ้ำก่อนกำหนดขอบเขต

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad A=\frac12\int r^2\,d\theta$$

ตัวอย่าง

สำหรับ r=2 และ θ=π/3, x=1 และ y=√3 สำหรับวงกลม r=2 ในรอบเต็ม A=(1/2) ∫_0^(2π) 4 dθ=4π รอบครึ่งให้ 2π พอดีครึ่งหนึ่งของดิสก์

เส้นโค้งขั้วและพื้นที่ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ค่า r ลบทำให้จุดอยู่ในทิศทางตรงข้าม ไม่ใช่ระยะทางลบธรรมดาตามรังเดียวกัน
การกำหนดพารามิเตอร์อาจวาดพื้นที่เดิมหลายครั้ง ดังนั้นช่วงพารามิเตอร์เต็มอาจนับพื้นที่เกิน

Watch out

ไม่จริง: การใช้ช่วงพารามิเตอร์เต็มใดๆ นับแต่ละพื้นที่ในพิกัดขั้วได้หนึ่งครั้งเท่านั้น ช่วงต้องตรงกับรอบของเส้นโค้ง; หากช่วงยาวเกินไปจะนับพื้นที่ซ้ำสองครั้ง

การนำไปใช้

วาดจุดให้เพียงพอเพื่อกำหนดทิศทางและขอบเขต
สำหรับพื้นที่ปิดระหว่างเส้นโค้งสองเส้น ให้หาจุดตัดและตรวจสอบว่าค่า r² ของเส้นโค้งใดเป็นขอบเขตภายนอกในแต่ละช่วง

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

พิกัดขั้ว: ตำแหน่งที่อธิบายด้วยระยะ r และมุม θ จากจุดอ้างอิงและรังอ้างอิงที่กำหนด
ใช้ x=r cosθ และ y=r sinθ
ระวัง: ค่า r ลบทำให้จุดอยู่ในทิศทางตรงข้าม ไม่ใช่ระยะทางลบธรรมดาตามรังเดียวกัน

FP3 · ฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิกและความสัมพันธ์ผกผัน

การเติบโตและการลดลงสามารถทำให้กราฟสมมาตรได้อย่างไร?

สายเคเบิลที่ห้อยลงมีรูปร่างโค้งซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผสมผสานการเติบโตและการลดลงอย่างสมมาตร
บทเรียนนี้ศึกษา โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก: ฟังก์ชัน cosh x=(e^x+e^(-x))/2

วิธีปฏิบัติ

นิยาม sinh x=(e^x-e^(-x))/2 และ cosh x=(e^x+e^(-x))/2
อัตลักษณ์ของฟังก์ชันคือ cosh²x-sinh²x=1
อนุพันธ์ของ sinh prime=cosh และ cosh prime=sinh

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\qquad \cosh^2x-\sinh^2x=1$$

ตัวอย่าง

ที่ x=ln2, e^x=2 และ e^(-x)=1/2 ดังนั้น cosh x=1.25 และ sinh x=0.75.ผลต่างกำลังสองของพวกเขาคือ 1.5625-0.5625=1. ในการหาฟังก์ชันกลับของ y=sinh x ให้แก้สมการกำลังสองใน e^x และเลือกรากที่เป็นบวก

ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกและความสัมพันธ์ผกผัน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

เอกลักษณ์ไฮเปอร์โบลิกมีเครื่องหมายลบ cosh ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนเซตจำนวนจริงทั้งหมด; ฟังก์ชันผกผันมาตรฐานใช้ x≥0
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติวงกลมทั่วไปไม่สามารถแทนค่าได้โดยไม่เปลี่ยนแปลง

Watch out

ไม่ถูกต้อง: เอกลักษณ์สำหรับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกคือ cosh²x+sinh²x=1. เอกลักษณ์ไฮเปอร์โบลิกที่ถูกต้องคือ cosh²x−sinh²x=1.

การนำไปใช้

ใช้นิยามเอ็กซ์โพเนนเชียลเพื่อพิสูจน์เอกลักษณ์และแก้สมการ
ระบุขอบเขตของฟังก์ชันก่อนหาอนุพันธ์หรือหาอินทิกรัล

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

คอสไฮเปอร์โบลิก: ฟังก์ชัน cosh x=(e^x+e^(-x))/2
นิยาม sinh x=(e^x-e^(-x))/2 และ cosh x=(e^x+e^(-x))/2
ระวัง: เอกลักษณ์ไฮเปอร์โบลิกมีเครื่องหมายลบ cosh ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนเซตจำนวนจริงทั้งหมด; ฟังก์ชันผกผันมาตรฐานใช้ x≥0

FP3 · ก้อนกรวย, เส้นโค้งพารามิเตอร์ และการพิจารณาเส้นสัมผัส

พารามิเตอร์ที่หมุนสามารถวาดวงรีได้อย่างไร?

วงรีสามารถวาดโดยพารามิเตอร์ที่หมุนได้แม้ว่าจะอธิบายยากว่าเป็นฟังก์ชัน y=f(x) เดียว
บทเรียนนี้ศึกษา สมการพารามิเตอร์: การแสดงพิกัดโดยใช้ตัวแปรร่วมเดียวกัน

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ x=a cos t,y=b sin t, การกำจัด t จะได้ x²/a²+y²/b²=1
สำหรับเส้นโค้งพารามิเตอร์ dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt), โดยที่ dx/dt≠0
ตัวส่วนเป็นศูนย์อาจบ่งบอกถึงสัมผัสแนวตั้ง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

การกำจัดตัวแปรอาจทำให้สูญเสียขอบเขตหรือทิศทางในการเคลื่อนที่
สัมผัสแนวตั้งไม่สามารถกำหนดค่า dy/dx ที่เป็นจำนวนจำกัดได้
แยกแยะระหว่างกึ่งแกนกับความกว้างเต็ม

Watch out

การนำไปใช้

สำหรับเรขาคณิตเชิงพิกัดขั้นสูง ให้ใช้สมการที่กำหนดและตัวแปรที่สอดคล้องกัน
สำหรับการอินทิเกรตพารามิเตอร์ใน IAL P4 ให้ใช้ข้อกำหนดที่จำกัดตามหลักสูตรแทนการนำวงรีและไฮเพอร์โบลาจาก Pure Mathematics ทั้งหมดเข้ามา

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สมการพารามิเตอร์: รูปแบบการแทนค่าที่แสดงพิกัดโดยใช้ตัวแปรร่วม
สำหรับ x=a cos t,y=b sin t, การกำจัด t จะได้ x²/a²+y²/b²=1
ระวัง: การกำจัดตัวแปรอาจทำให้สูญเสียข้อจำกัดของโดเมนหรือทิศทางการเคลื่อนที่

FP3 · การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่, คูณ, หาร และแบบล่องหน

ส่วนในของ-expression เปลี่ยนแปลงด้วยหรือไม่?

กราฟต้นทุนเป็นกำลังของ expression ที่มีการเปลี่ยนแปลง การหาอนุพันธ์เฉพาะกำลังภายนอกอย่างเดียวจะพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรภายใน
บทเรียนนี้ศึกษา กฎลูกโซ่: กฎที่คูณด้วยอนุพันธ์ภายนอกด้วยอนุพันธ์ภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
สำหรับ uv, หาอนุพันธ์ได้เป็น u prime v+uv prime.
สำหรับ u/v, ใช้สูตร (u prime v-uv prime)/v², โดยที่ v≠0.

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
ในการหาอนุพันธ์แบบนิพจน์ซ่อนตัว ทุกฟังก์ชันที่มี y จะต้องมี dy/dx เป็นปัจจัยร่วม
ตัวส่วนของอัตราส่วนจะถูกยกกำลังสอง

Watch out

การนำไปใช้

เลือกรูปสมการที่เหมาะสมก่อนหาอนุพันธ์: การกระจายพหุนามสั้นๆ อาจง่ายกว่า
สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง, เขียนความสัมพันธ์ในสัญลักษณ์, หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา, แล้วแทนค่าที่วัดได้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

กฎลูกโซ่: กฏที่นำอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกมาคูณกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ
สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
ระวัง: อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์

FP3 · การแทนที่, ส่วนประกอบ และการแยกเศษส่วนย่อย

เราสามารถอินทิเกรตตัวคูณทั้งสองแยกกันได้หรือไม่?

ผลคูณที่ดูง่ายอย่าง xe^x ไม่สามารถอินทิเกรตโดยการแยกอินทิเกรตแต่ละตัวคูณได้
บทเรียนนี้ศึกษา การอินทิเกรตด้วยการแทนที่: วิธีการอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ

วิธีปฏิบัติ

ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
ตามวิธีการแทนที่, อินทิกรัลของ u v prime = uv - อินทิกรัลของ u prime v
สำหรับฟังก์ชันเชิงตรรกยะ ให้หารก่อนหากจำเป็น แล้วแยกเป็นเศษส่วนย่อย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น
ในการแทนค่าแบบมีขอบเขต ให้เปลี่ยนขอบเขตหรือกลับไปที่ x ก่อนที่จะใช้ขอบเขตเดิม

Watch out

การนำไปใช้

ตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์
สำหรับปริมาตรของการหมุนรอบแกน x ใช้ V=π integral y² dx; อย่าสับสนระหว่างกำลังสองของฟังก์ชันกับอินทิกรัลของฟังก์ชัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วน: วิธีอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ
ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
ระวัง: การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น

FP3 · เวกเตอร์สามมิติ, เส้นตรง และมุม

เส้นทางที่ไม่ขนานกันยังสามารถข้ามกันไปโดยไม่ชนกันได้หรือไม่?

เส้นตรงสองเส้นในสามมิติอาจไม่ขนานกันและไม่ตัดกัน การวาดภาพสองมิติอาจบดบังความห่างระหว่างเส้นทั้งสอง
บทเรียนนี้ศึกษา เวกเตอร์ทิศทาง: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่กำหนดทิศทางของเส้นตรง

วิธีปฏิบัติ

เส้นตรงมี r=a+λb โดยที่ a เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งและ b เป็นเวกทอร์ทิศทางที่ไม่เป็นศูนย์
เพื่อหาจุดตัด ให้เท่าเทียมกันทุกองค์ประกอบแล้วแก้สมการเพื่อหาค่าพารามิเตอร์ของเส้นตรงทั้งสอง
สำหรับมุมใช้ a·b=|a||b|cosθ โดยผลคูณสเกลาร์อยู่ในหลักสูตรที่กำหนด

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf b,\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

การทำให้อะไรก็ตามสอดคล้องกับสมการสององค์ประกอบไม่ได้การันตีว่าสมการที่สามจะถูกต้อง
เส้นตรงที่ไม่ขนานกันอาจเป็นเส้นตรงแบบเบี่ยงเบน
เวกทอร์ทิศทางของเส้นตรงไม่ใช่เวกเตอร์ตำแหน่ง และพารามิเตอร์สเกลาร์ไม่มีหน่วยพิกัด

Watch out

การนำไปใช้

ระบุให้ชัดเจนว่ามุมที่ต้องการเป็นมุมแหลม, มุมที่มีทิศทาง หรือมุมระหว่างเส้นตรง
ใช้วิธีระนาบหรือวิธีระยะทางเฉพาะสำหรับหลักสูตรก็ต่อเมื่อจำเป็นสำหรับหน่วยเรียนนั้นเท่านั้น

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เวกเตอร์ทิศทาง: เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งระบุทิศทางของเส้นตรง
เส้นตรงมี r=a+λb โดยที่ a เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งและ b เป็นเวกทอร์ทิศทางที่ไม่เป็นศูนย์
ระวัง: การสอดคล้องกับสมการองค์ประกอบสองสมการไม่รับประกันว่าสมการที่สามจะถูกต้องด้วย

FP3 · การแปลงเมทริกซ์, อินเวอร์ส และค่าเฉพาะ

เวกเตอร์พื้นฐานไปอยู่ที่ไหน?

แผนที่ยืดแนวหนึ่งและบิดอีกแนวหนึ่ง เมทริกซ์บันทึกการแปลงของแต่ละเวกเตอร์พื้นฐาน
บทเรียนนี้ศึกษา ดีเทอร์มิแนนต์: สเกลาร์ที่กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถกลับด้านได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย

วิธีปฏิบัติ

เมทริกซ์ 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์ ad-bc และมีอินเวอร์ส [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์
แปลงเวกเตอร์คอลัมน์ด้วยการคูณด้วยเมทริกซ์จากทางซ้าย
เมทริกซ์ที่อยู่ทางขวาจะทำงานก่อนในผลคูณ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

ตัวอย่าง

สำหรับ A=[[2,1],[0,3]], det A=6. A(1,2)=(4,6). อินเวอร์สคือ [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. สมการลักษณะเฉพาะคือ (2-λ)(3-λ)=0 ดังนั้นค่าเฉพาะ (eigenvalues) คือ 2 และ 3.

การแปลงเมทริกซ์, อินเวอร์ส และค่า eigen — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่
A determinant of zero means the transformation loses a dimension and has no inverse.
ค่าเฉพาะและการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเป็นเนื้อหาขั้นสูง ไม่ใช่เนื้อหาเวกเตอร์ GCSE ปกติ

Watch out

การนำไปใช้

หาเวกเตอร์ eigen โดยแก้สมการ (A-λI)v=0 โดยที่ v≠0
อธิบายความหมายทางเรขาคณิต: เวกเตอร์นี้คงทิศทางเส้นไว้ภายใต้การแปลง

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ดิเทอร์มิแนนต์: สเกลาร์ที่ใช้กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถหาอินเวอร์สได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย
เมทริกซ์ 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์ ad-bc และมีอินเวอร์ส [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์
ระวัง: การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่

หมายเหตุการเรียนรู้

YPM01: ใบความรู้การสอนรายวิชา

P1 · ดัชนี รากและรูปมาตรฐาน

ความยาวระดับจุลภาคมีขนาดเล็กแค่ไหน?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 · สมการกำลังสองอสมการ

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 ·เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส

ความชันของเส้นทางกลายเป็นสมการได้อย่างไร?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 · สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

เกร็ดต้องวางอยู่ด้านใด

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 · เรเดียน อุตินัยกรณ์และสมการตรีโกณมิติ

ขอบวงล้อเคลื่อนที่ได้ไกลแค่ไหน

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 · การหาอนุพันธ์และจุดคงที่

ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 · อินทิกรัล พื้นที่และการสะสม

How much change has accumulated?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P2 · การพิสูจน์โดยตรรกะ ความขัดแย้ง และการอุปมา

รูปแบบใดจะกลายเป็นการพิสูจน์?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P2 · สมการกำลังสองอสมการ

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P2 · เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส

ความชันของเส้นทางกลายเป็นสมการได้อย่างไร?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P2 · ลำดับชุดผลรวมและความสัมพันธ์แบบซ้ำ

การเปลี่ยนแปลงเป็นการบวกหรือคูณ?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P2 · การขยายพหุนามทวิคูณและการประมาณค่าที่มีนัยสำคัญ