สื่อการสอนต้นฉบับ ตรวจสอบช่องว่างในการครอบคลุมหลักสูตรและข้อกำหนดปัจจุบันของโรงเรียนก่อนนำไปใช้ในการประเมินผล

YMA01: บทเรียนหลักสูตร

เวอร์ชัน: ฉบับ3, เมษายน2019; สอนครั้งแรก2018; ประเมินหน่วยตั้งแต่2019

นี่คือหมายเหตุการสอนต้นฉบับ โดยแต่ละบทเรียนจะถูกติดป้ายกำกับตามระดับความยาก

P1 · ดัชนี รากและรูปมาตรฐาน

ความยาวระดับจุลภาคมีขนาดเล็กแค่ไหน?

กล้องจุลทรรศน์บันทึกความยาว 0.000072 เมตร การแสดงอย่างกระชับต้องรักษาขนาดให้ถูกต้อง
บทเรียนนี้ศึกษา เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังที่ฐานถูกยกขึ้น

วิธีปฏิบัติ

สำหรับฐานบวกเดียวกัน การคูณจะบวกเลขชี้กำลัง และการหารจะลบเลขชี้กำลัง
เลขชี้กำลังลบหมายถึงส่วนกลับ; เลขชี้กำลังเศษส่วนหมายถึงราก
มาตรฐานรูปมี 1≤a<10

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

ตัวอย่าง

0.000072=7.2×10^(-5). นอกจากนี้ 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. จงจัดรูป √72=6√2 จากนั้นทำให้ส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ 1/√2=√2/2

เลขชี้กำลัง รากและรูปแบบมาตรฐาน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถเปลี่ยนผลบวกให้เป็นกำลังเดียว: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7
อย่าปัดเศษรากเมื่อโจทย์ต้องการคำตอบที่แม่นยำ

Watch out

ไม่ถูกต้อง: สำหรับทุกค่า a ที่มากกว่าศูนย์, a^2+a^3 เท่ากับ a^5 กฎเลขชี้กำลังจะบวกกันก็ต่อเมื่อพจน์ถูกคูณกัน: 2²+2³=12, แต่ 2⁵=32

การนำไปใช้

ตรวจสอบกำลังสิบเทียบกับปริมาณต้นฉบับ
ใช้รากสำหรับการคำนวณเรขาคณิตที่แม่นยำ และปัดเศษเฉพาะความยาวสุดท้ายเมื่อโจทย์ถามเป็นทศนิยม

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังของฐาน
สำหรับฐานบวกเดียวกัน การคูณจะบวกเลขชี้กำลัง และการหารจะลบเลขชี้กำลัง
ระวัง: กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถแปลงผลบวกให้เป็นเลขชี้กำลังเดียวได้: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7

P1 · สมการกำลังสองอสมการ

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

ล้อมรั้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ x(10-x) ความกว้างใดให้พื้นที่อย่างน้อย 21 ตารางเมตร?
บทเรียนนี้ศึกษา discriminant: ปริมาณ b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของสมการ ax²+bx+c=0

วิธีปฏิบัติ

แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
อสมการกำลังสองต้องการพิจารณาเครื่องหมายบนช่วง ไม่ใช่แค่รากเท่านั้น
discriminant (ค่าดีคริมิแนนต์) ใช้ระบุรากซ้ำหรือรากจริงที่หายไป

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$

ตัวอย่าง

เงื่อนไขคือ x(10-x)≥21 ดังนั้น x²-10x+21≤0 แยกตัวประกอบได้ (x-3)(x-7)≤0 พาราโบลาเปิดขึ้นจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์ระหว่างราก ทำให้ได้ 3≤x≤7 พื้นที่สูงสุดคือ 25 ที่ x=5

Quadratics and inequalities — Diagram สอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ
แผนภาพต้องแสดงว่าด้านใดของรากแต่ละตัวเป็นจริงต่ออสมการ
เรขาคณิตอาจจำกัดค่า x เพิ่มเติม

Watch out

ไม่เป็นจริง: ค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นบวกหมายความว่าสมการกำลังสองไม่มีรากจริง ค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นบวกหมายถึงมีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่า ส่วนค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นลบหมายถึงไม่มีรากจริง

การนำไปใช้

ใช้จุดยอดเพื่อตีความค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
ตรวจสอบจุดปลายและจุดหนึ่งระหว่างราก; ผลคำนวณทางพีชคณิตและกราฟควรบอกเรื่องราวเดียวกัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ค่าดีคริมิแนนต์ (Discriminant): ค่า b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของ ax²+bx+c=0
แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
ระวัง: การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ

P1 ·เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส

ความชันของเส้นทางกลายเป็นสมการได้อย่างไร?

เส้นทางยกสูง 6 เมตร ในระยะทางแนวนอน 3 เมตร ความชันเชื่อมโยงแผนภาพเข้ากับสมการ
บทเรียนนี้ศึกษา ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน

วิธีปฏิบัติ

เส้นตรงผ่าน (x₁,y₁) มีความชัน m มีสมการ y-y₁=m(x-x₁)
เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
ความชันตั้งฉากที่มีค่าจำกัดคูณกันได้ -1
สมการวงกลมคือ (x-a)²+(y-b)²=r²

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y-y_1=m(x-x_1),\qquad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

ตัวอย่าง

ผ่านจุด (2,5) ด้วยความชัน 3, สมการคือ y-5=3(x-2), ดังนั้น y=3x-1. เส้นตั้งฉากที่ผ่านจุดเดียวกันจะมีสมการ y-5=-(x-2)/3. วงกลม (x-2)²+(y+1)²=25 มีจุดศูนย์กลางที่ (2,-1) และรัศมี 5.

เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c
อ่านเครื่องหมายของจุดศูนย์กลางวงกลมให้รอบคอบ
รังสีที่ลากไปหาเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเสมอ

Watch out

ไม่ถูกต้อง: เส้นตั้งฉากที่ไม่ใช่แนวตั้งมีความชันเท่ากัน ความชันตั้งฉากที่มีค่าจำกัดคูณกันได้ −1: ความชัน 2 ต้องใช้ −1/2 เส้นขนานมีความชันเท่ากัน

การนำไปใช้

ก่อนหาค่าตัดกันระหว่างเส้นตรงและวงกลม ให้ทำนายก่อนว่ามีจุดตัดเป็นศูนย์ หนึ่ง หรือ สอง จุด
การแทนค่าจะได้สมการกำลังสองซึ่งค่าดิสคริมิแนนต์ใช้ตรวจสอบการทำนาย

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน
เส้นตรงผ่าน (x₁,y₁) มีความชัน m มีสมการ y-y₁=m(x-x₁)
ข้อควรระวัง: เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c

P1 · สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

เกร็ดต้องวางอยู่ด้านใด

A ladder reaches a height of 4 m while its foot is 3 m from a wall. Which sides are known, and which angle do we need?
บทเรียนนี้ศึกษา ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิธีปฏิบัติ

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์ หรือพื้นที่=ab sin C/2

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

ตัวอย่าง

ความยาวเกร็ดคือ c=√(3²+4²)=5 เมตร มุมเทียบกับพื้นดินเป็นไปตามสมการ tanθ=4/3 ดังนั้น θ≈53.1°. ด้วยสองด้าน 6 และ 8 ที่ล้อมรอบมุม 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52

สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
ความผิดพลาดในการตั้งค่าโหมดมุมของเครื่องคิดเลขอาจทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ดูสมเหตุสมผลแต่ผิด
รักษาค่าที่ไม่ได้ปัดเศษไว้สำหรับขั้นตอนถัดไป

Watch out

ไม่จริง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับทุกสามเหลี่ยม รวมถึงสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ให้ใช้กฎของโคไซน์

การนำไปใช้

ใช้แผนภาพหรือมุมมองด้านข้างสำหรับปัญหาสามมิติ ก่อนที่จะใช้กฎของสามเหลี่ยม
อธิบายว่าทำไมสามเหลี่ยมที่เลือกจึงมีความยาวหรือมุมที่ต้องการ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
ระวัง: ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก

P1 · เรเดียน อุตินัยกรณ์และสมการตรีโกณมิติ

ขอบวงล้อเคลื่อนที่ได้ไกลแค่ไหน

A rotating wheel sweeps an arc. Radians let its angle connect directly to the distance travelled along the rim.
บทเรียนนี้ศึกษา radian: มุมที่เกิดจากเส้นโค้งwhose ความยาวเท่ากับรัศมี

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
ใช้เอกลักษณ์ sin²θ+cos²θ=1 และเอกลักษณ์ของมุมเพื่อจัดรูปหรือหาคำตอบ
จงระบุคำตอบทั้งหมดในช่วงที่กำหนดให้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

ตัวอย่าง

สำหรับ r=4 และ θ=π/3, s=4π/3 และ A=8π/3. การแก้สมการ sin x=1/2 บน 0≤x<2π ได้ x=π/6 และ 5π/6. สำหรับ sin2x=1/2, แก้สมการบน 0≤2x<4π ก่อนแล้วหารด้วย 2

Radian, Identity และสมการตรีโกณมิติ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

A calculator's inverse sine gives one principal value.
เครื่องคิดเลขจะไม่แสดงคำตอบทั้งหมด
การหารด้วย sin x อาจทำให้สูญเสียคำตอบที่ sin x=0; ให้ตรวจสอบกรณีนี้ก่อนเสมอ

Watch out

Not true: The principal inverse sine value is the only solution in a full turn. Sine takes most values twice in a full turn: sin x=0.5 gives 30° and 150°.

การนำไปใช้

เลือกใช้เอกลักษณ์ที่ลดรูปสมการให้อยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวเดียว
รักษาค่ามุมที่รู้จักและแม่นยำไว้เท่าที่จะทำได้ และตรวจสอบแต่ละคำตอบกับสมการต้นฉบับ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Radian: The angle subtended by an arc whose length equals the radius.
สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
Watch for: A calculator's inverse sine gives one principal value.

P1 · การหาอนุพันธ์และจุดคงที่

ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?

ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
จุดวิกฤตสอดคล้องกับ dy/dx=0
ตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ หรืออนุพันธ์อันดับสองเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ เพื่อจำแนกประเภท

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\quad m=f^{\prime}(x_0)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=2, ความชันคือ 9 และ y=2. เส้นสัมผัสคือ y-2=9(x-2). ความชันของเส้นฉากคือ -1/9.

Derivatives and stationary points — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

ความชันอนุพันธ์ให้ค่าความชัน ไม่ใช่ค่าพิกัด Y
คำนวณ y และ dy/dx แยกกันที่พิกัด x ที่กำหนดให้ ความชันของเส้นฉากคือค่าผกผันเชิงลบของความชันสัมผัสที่ไม่เป็นศูนย์

Watch out

ไม่ถูกต้อง: เส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉากที่จุดเดียวกันมีความชันเท่ากัน อนุพันธ์เป็นศูนย์อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้: y=x³ ที่ x=0 neither เป็นจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด

การนำไปใช้

P1 ครอบคลุมอนุพันธ์พหุนาม ความชัน เส้นสัมผัส และเส้นตั้งฉาก
การหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดและการจำแนกจุดวิกฤตสอนใน P2 ไม่ได้แนะนำในส่วนนี้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัส
สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
ระวัง: อนุพันธ์ให้ค่าความชัน ไม่ใช่ค่าพิกัด y

P1 · อินทิกรัล พื้นที่และการสะสม

How much change has accumulated?

กราฟความเร็วบอกการเคลื่อนที่ ณ วินาทีหนึ่ง เราสามารถหาการกระจัดสะสมตลอดช่วงเวลาได้อย่างไร?
บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันต้นแบบ (antiderivative): ซึ่งเป็นฟังก์ชัน whose derivative equals the given integrand.

วิธีปฏิบัติ

อินทิเกรตกำลังของพหุนามโดยเพิ่มเลขชี้กำลังหนึ่งแล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
เพิ่มค่าคงที่สุ่มและใช้จุดที่กำหนดเพื่อหาค่าคงที่นั้น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

ตัวอย่าง

อินทิกรัลกลับของ 3x² คือ x³+C เพราะการหาอนุพันธ์ของ x³ จะได้ 3x². หาก F(1)=5, แล้ว 1+C=5, ดังนั้น C=4 และ F(x)=x³+4.

Integrals, area and accumulation — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

อินทิกรัลไม่จำกัดต้องมีค่าคงที่
การอินทิเกรตแต่ละพจน์จะเปลี่ยนเลขชี้กำลัง; การนำกฎการหาอนุพันธ์มาคัดลอกจะได้ผลลัพธ์ที่ผิด

Watch out

ไม่เป็นความจริง: อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนใด ๆ มีฟังก์ชันต้นแบบที่เป็นไปได้เพียงหนึ่งเดียว พื้นที่ใต้แกนถูกนับเป็นลบ ดังนั้นอินทิกรัลจำกัดจำนวนอาจมีค่าน้อยกว่าพื้นที่รวม หรือแม้แต่ศูนย์

การนำไปใช้

P1 ใช้การอินทิเกรตพหุนามไม่จำกัดจำนวนและจุดหนึ่งเพื่อกำหนดค่าคงที่
อินทิกรัลจำกัดจำนวน พื้นที่ และกฎสี่เหลี่ยมคางหมู เป็นเนื้อหาของ P2

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ผลอินทิเกรต: ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์เท่ากับตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดให้
อินทิเกรตกำลังของพหุนามโดยเพิ่มเลขชี้กำลังหนึ่งแล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
ระวัง: อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนต้องมีค่าคงที่

P2 · การพิสูจน์โดยตรรกะ ความขัดแย้ง และการอุปมา

รูปแบบใดจะกลายเป็นการพิสูจน์?

การตรวจสอบจำนวนเต็มหลายตัวอาจชี้ให้เห็นถึงลวดลายอะไรจะเปลี่ยนลวดลายนั้นให้กลายเป็นบทพิสูจน์สำหรับจำนวนเต็มทุกตัว?
This lesson studies counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.

วิธีปฏิบัติ

การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
A counterexample refutes an all-values claim.
การพิสูจน์โดยอุปนัยต้องการกรณีพื้นฐานและการเชื่อมโยงจาก n=k ไปยัง n=k+1; การตรวจสอบกรณีต่อเนื่องกันเพียงอย่างเดียวไม่ใช่การพิสูจน์อุปนัย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$

ตัวอย่าง

สำหรับจำนวนเต็มคี่ 2a+1 และ 2b+1, ผลรวม theirs คือ 2(a+b+1), ดังนั้นเป็นจำนวนคู่. ข้ออ้างว่า n²+n+41 เป็นจำนวนเฉพาะเสมอ ล้มเหลวที่ n=41: ค่าที่ได้คือ 41×43=1763. สำหรับ 1+...+n=n(n+1)/2, ขั้นตอนอุปนัยเพิ่ม k+1 ลงในผลรวมที่ยอมรับแล้ว

Deduction, contradiction and induction — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

อย่าสมมติผลลัพธ์whileกำลังพิสูจน์มัน
ในความขัดแย้ง, ระบุผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้และปฏิเสธสมมติฐานตรงกันข้ามเริ่มต้น
การอุปนัยไม่ใช่สิ่งบังคับใน AQA 7357; มันอยู่ในขอบเขตคณิตศาสตร์เพิ่มเติมที่เหมาะสมของตนเอง

Watch out

ไม่เป็นจริง: การตรวจสอบจำนวนเต็มสิบตัวแรกเป็นการพิสูจน์ข้อกล่าวอ้างสำหรับจำนวนเต็มบวกทุกจำนวน รูปแบบอาจถูกต้องสำหรับสิบเคสแรกแล้วล้มเหลวในภายหลัง การพิสูจน์ต้องครอบคลุมทุกกรณี

การนำไปใช้

การพิสูจน์ของ AQA รวมถึงการอนุมาน, การพิจารณากรณีครบถ้วน และการขัดแย้ง
IAL P2 introduces exhaustion and counterexample, while P4 introduces contradiction.
รักษาวิธีการให้ตรงกับหน่วยที่ระบุ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.
การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
ระวัง: อย่าสันนิษฐานว่าข้อสรุปเป็นจริงขณะกำลังพิสูจน์

P2 · สมการกำลังสองอสมการ

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

ล้อมรั้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ x(10-x) ความกว้างใดให้พื้นที่อย่างน้อย 21 ตารางเมตร?
บทเรียนนี้ศึกษา discriminant: ปริมาณ b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของสมการ ax²+bx+c=0

วิธีปฏิบัติ

แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
อสมการกำลังสองต้องการพิจารณาเครื่องหมายบนช่วง ไม่ใช่แค่รากเท่านั้น
discriminant (ค่าดีคริมิแนนต์) ใช้ระบุรากซ้ำหรือรากจริงที่หายไป

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ
แผนภาพต้องแสดงว่าด้านใดของรากแต่ละตัวเป็นจริงต่ออสมการ
เรขาคณิตอาจจำกัดค่า x เพิ่มเติม

Watch out

การนำไปใช้

ใช้จุดยอดเพื่อตีความค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
ตรวจสอบจุดปลายและจุดหนึ่งระหว่างราก; ผลคำนวณทางพีชคณิตและกราฟควรบอกเรื่องราวเดียวกัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ค่าดีคริมิแนนต์ (Discriminant): ค่า b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของ ax²+bx+c=0
แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
ระวัง: การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ

P2 · เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส

ความชันของเส้นทางกลายเป็นสมการได้อย่างไร?

เส้นทางยกสูง 6 เมตร ในระยะทางแนวนอน 3 เมตร ความชันเชื่อมโยงแผนภาพเข้ากับสมการ
บทเรียนนี้ศึกษา ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน

วิธีปฏิบัติ

เส้นตรงผ่าน (x₁,y₁) มีความชัน m มีสมการ y-y₁=m(x-x₁)
เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
ความชันตั้งฉากที่มีค่าจำกัดคูณกันได้ -1
สมการวงกลมคือ (x-a)²+(y-b)²=r²

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y-y_1=m(x-x_1),\qquad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c
อ่านเครื่องหมายของจุดศูนย์กลางวงกลมให้รอบคอบ
รังสีที่ลากไปหาเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเสมอ

Watch out

การนำไปใช้

ก่อนหาค่าตัดกันระหว่างเส้นตรงและวงกลม ให้ทำนายก่อนว่ามีจุดตัดเป็นศูนย์ หนึ่ง หรือ สอง จุด
การแทนค่าจะได้สมการกำลังสองซึ่งค่าดิสคริมิแนนต์ใช้ตรวจสอบการทำนาย

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน
เส้นตรงผ่าน (x₁,y₁) มีความชัน m มีสมการ y-y₁=m(x-x₁)
ข้อควรระวัง: เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c

P2 · ลำดับชุดผลรวมและความสัมพันธ์แบบซ้ำ

การเปลี่ยนแปลงเป็นการบวกหรือคูณ?

แผนการออมเงินเพิ่ม ¥30 ทุกสัปดาห์; โมเดลประชากรเพิ่มขึ้น 5% ต่อปี ผลต่างเท่ากันและอัตราส่วนเท่ากันต้องใช้โมเดลที่แตกต่างกัน
บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนร่วม: ตัวคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในอนุกรมเรขาคณิต

วิธีปฏิบัติ

สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
สำหรับอนุกรมเรขาคณิต u_n=ar^(n-1) และ S_n=a(1-r^n)/(1-r)
ผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิตจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ |r|<1 เท่านั้น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

ตัวอย่าง

สำหรับ a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 และ S_8=8(10+21)/2=124. สำหรับ a=12, r=1/2, ผลรวมอนันต์=12/(1-1/2)=24. สำหรับ u_(n+1)=2u_n+1 โดยที่ u_1=1, พจน์ถัดไปคือ 3,7,15.

อนุกรม,-series และการซ้ำซ้อน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1
ลำดับคือรายการ; ซีรีส์คือผลบวก
ลำดับเรขาคณิตสามารถสลับเครื่องหมายและยังลู่เข้าได้

Watch out

ไม่จริง: อนุกรมเรขาคณิตทุกชุดมีผลบวกอนันต์จำกัด ผลบวกอนันต์จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ −1<r<1; สำหรับ r=2 พจน์จะเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด

การนำไปใช้

อธิบายว่าบริบทสนับสนุนการเปลี่ยนแปลงแบบบวกหรือคูณ
ในด้านการเงิน ให้แยกแยะระหว่างเงินฝากครั้งเดียวกับกระแสเงินฝากก่อนเลือกสูตรผลรวม

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

อัตราส่วนร่วม: ค่าคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในลำดับเรขาคณิต
สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
ระวัง: พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1

P2 · การขยายพหุนามทวิคูณและการประมาณค่าที่มีนัยสำคัญ

การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังอย่างไร?

การวัดค่าที่เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังของปริมาณนั้น การขยายอนุกรมสามารถแสดงขนาดของผลกระทบอันดับแรกและอันดับสองได้
บทเรียนนี้ศึกษา สัมประสิทธิ์ทวินาม: จำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจำนวนที่กำหนดจากเซต

วิธีปฏิบัติ

สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการกระจายทวินามที่มีจำกัด
สำหรับ n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม, ขยาย (1+x)^n เป็น 1+nx+n(n-1)x²/2+... โดยที่ |x|<1
แยกตัวคูณคงที่ออกก่อนใช้รูปแบบนี้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$

ตัวอย่าง

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. สำหรับ (1+x)^(-1), พจน์สามแรกคือ 1-x+x²; ที่ x=0.1 จะได้ค่าประมาณ 0.91 เมื่อเทียบกับค่าที่แท้จริง 1/1.1≈0.909091.

การขยายทวินามและการประมาณค่าที่ยอมรับได้ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การกระจายใน 2x ต้องมีเงื่อนไข |2x|<1 สำหรับอนุกรมอนันต์ ไม่ใช่แค่ |x|<1 เท่านั้น
การขยายกำลังจำนวนเต็มบวกจะเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์จำกัด และไม่มีการจำกัดการลู่เข้าดังกล่าว

Watch out

ไม่เป็นจริง: การกระจายทวินามทุกชนิดเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์จำกัด รวมถึงกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก สำหรับกำลังลบหรือเศษส่วน การกระจายจะเป็นอนุกรมอนันต์ ซึ่งมีผลใช้ได้เฉพาะเมื่อ |x|<1 เท่านั้น

การนำไปใช้

ระบุช่วงค่าที่ใช้ได้ alongside กับค่าประมาณ
เก็บพจน์ให้เพียงพอเพื่อรองรับความแม่นยำที่ต้องการ และแยกตัวสัมประสิทธิ์ออกจากพจน์ทั้งหมดที่มี x

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สัมประสิทธิ์ทวินาม: จำนวนวิธีการเลือกวัตถุจำนวนหนึ่งจากเซตที่กำหนด
สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการกระจายทวินามที่มีจำกัด
ระวัง: การกระจายใน 2x ต้องมีเงื่อนไข |2x|<1 สำหรับอนุกรมอนันต์ ไม่ใช่แค่ |x|<1 เท่านั้น

P2 · ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ล็อกaritมและโมเดล

ทำไมโมเดลการสลายตัวจึงคงเป็นบวก?

ความเข้มข้นของยาลดลงเปอร์เซ็นต์เดียวกันทุกชั่วโมง การลบด้วยค่าคงที่จะนำไปสู่การคาดการณ์ปริมาณเป็นลบในที่สุด
บทเรียนนี้ศึกษา ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่สลายตัวลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
การทำลอการิทึมจะได้ ln y=ln A+kt
ลอการิทึมต้องมีอาร์กิวเมนต์เป็นบวก และ log(x+y) ไม่ใช่ log x+log y

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$

ตัวอย่าง

ถ้า y=80e^(-0.2t), เมื่อ y=40 จะได้ e^(-0.2t)=1/2 ดังนั้น t=ln2/0.2≈3.466 สำหรับ 3^x=20, x=ln20/ln3 การพล็อต ln y เทียบกับ t จะทำให้โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียลนี้เป็นเส้นตรง

Exponentials, logarithms and modelling — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับให้เข้ากับข้อมูลเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่การรับประกัน
ระบุหน่วยเวลาและช่วงการใช้งาน
ค่า k เป็นลบบ่งชี้ถึงการลดลง; ค่าเริ่มต้นที่เป็นลบมักขัดแย้งกับบริบทปัญหา

Watch out

ไม่เป็นจริง: สำหรับ x และ y ที่เป็นบวก, ln(x+y)=ln x+ln y ลอการิทึมของผลรวมไม่มีกฎที่เรียบง่าย; กฎการคูณคือ ln(xy)=ln x+ln y

การนำไปใช้

เปรียบเทียบผลการสังเกตจริงกับโมเดล
ความเบี่ยงเบนแบบมีระบบอาจบ่งบอกถึงเงื่อนไขที่เปลี่ยนแปลงไป
ในรายงาน ให้อธิบายความหมายของอัตราและค่าเริ่มต้น แทนที่จะให้แค่สมการเปล่าๆ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่ลดลงจะลดเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น
สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
ระวัง: ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับพารามิเตอร์แล้วเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่คำการันตี

P2 · เรเดียน อุตินัยกรณ์และสมการตรีโกณมิติ

ขอบวงล้อเคลื่อนที่ได้ไกลแค่ไหน

A rotating wheel sweeps an arc. Radians let its angle connect directly to the distance travelled along the rim.
บทเรียนนี้ศึกษา radian: มุมที่เกิดจากเส้นโค้งwhose ความยาวเท่ากับรัศมี

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
ใช้เอกลักษณ์ sin²θ+cos²θ=1 และเอกลักษณ์ของมุมเพื่อจัดรูปหรือหาคำตอบ
จงระบุคำตอบทั้งหมดในช่วงที่กำหนดให้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

A calculator's inverse sine gives one principal value.
เครื่องคิดเลขจะไม่แสดงคำตอบทั้งหมด
การหารด้วย sin x อาจทำให้สูญเสียคำตอบที่ sin x=0; ให้ตรวจสอบกรณีนี้ก่อนเสมอ

Watch out

Not true: The principal inverse sine value is the only solution in a full turn. Sine takes most values twice in a full turn: sin x=0.5 gives 30° and 150°.

การนำไปใช้

เลือกใช้เอกลักษณ์ที่ลดรูปสมการให้อยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวเดียว
รักษาค่ามุมที่รู้จักและแม่นยำไว้เท่าที่จะทำได้ และตรวจสอบแต่ละคำตอบกับสมการต้นฉบับ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Radian: The angle subtended by an arc whose length equals the radius.
สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
Watch for: A calculator's inverse sine gives one principal value.

P2 · การหาอนุพันธ์และจุดคงที่

ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?

ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
จุดวิกฤตสอดคล้องกับ dy/dx=0
ตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ หรืออนุพันธ์อันดับสองเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ เพื่อจำแนกประเภท

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=1, ความชันคือ 0 และ y=-2. ลอนุพันธ์อันดับสองคือ 6x, เป็นบวกที่ x=1, ดังนั้นนี่คือจุดต่ำสุดเฉพาะที่. ที่ x=-1, y=2 และลอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ, ทำให้เกิดจุดสูงสุดเฉพาะที่

จุดที่ผิดพลาด

อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเสมอไป: y=x³ มีจุดวิกฤตที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อไป
จุดปลายสามารถสร้างค่าสุดขั้วบนโดเมนที่กำหนดได้เช่นกัน

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ทุกจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดท้องถิ่นเสมอ อนุพันธ์เป็นศูนย์ยังสามารถเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้: y=x³ ที่ x=0 neither เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด

การนำไปใช้

ในระดับ GCSE/IGCSE ใช้เพียงขอบเขตพหุนามตามที่ระดับกำหนด; อย่าเพิ่มกฎลูกโซ่ กฎคูณ หรือกฎหารในระดับนั้น
ในระดับสูง เชื่อมโยงอนุพันธ์กับอัตราการเปลี่ยนแปลงและการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดพร้อมขอบเขตที่กำหนดให้ถูกต้อง

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัส
สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
ระวัง: อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องหมายถึงค่าสูงสุดหรือต่ำเสมอไป: y=x³ มีจุดนิ่งที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อเนื่อง

P2 · อินทิกรัล พื้นที่และการสะสม

How much change has accumulated?

กราฟความเร็วบอกการเคลื่อนที่ ณ วินาทีหนึ่ง เราสามารถหาการกระจัดสะสมตลอดช่วงเวลาได้อย่างไร?
บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันต้นแบบ (antiderivative): ซึ่งเป็นฟังก์ชัน whose derivative equals the given integrand.

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
อินทิกรัล_examples คือการสะสมที่มีเครื่องหมาย
แยกช่วงเมื่อมีการเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อต้องการหาพื้นที่รวมหรือระยะทาง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ v(t)=3t²-3 ในช่วง 0≤t≤2, การกระจัด=[t³-3t]_0^2=2. เนื่องจาก v เปลี่ยนเครื่องหมายที่ t=1, ระยะทาง=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. ค่าคงที่จะตัดกันก็ต่อเมื่อเป็นอินทิกรัลมีเครื่องหมายเท่านั้น

จุดที่ผิดพลาด

อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1
พื้นที่ที่มีเครื่องหมายอาจเป็นศูนย์ได้แม้ว่าพื้นที่ปิดทั้งหมดจะมีค่าบวก

Watch out

ไม่เป็นจริง: อินทิกรัล_examples มีค่าเท่ากับพื้นที่บวกทั้งหมด แม้กราฟจะตัดแกน Also พื้นที่ใต้แกนมีค่าลบ ดังนั้นอินทิกรัล_examples อาจมีค่าน้อยกว่าพื้นที่รวม หรือแม้แต่เป็นศูนย์

การนำไปใช้

ระบุความหมายของอินทิกรัลและใส่หน่วยให้ถูกต้อง
อัตราที่วัดต่อวินาที จะอินทิเกรตเป็นปริมาณพื้นฐาน ไม่ใช่เป็นอัตรารายอื่น
หาอนุพันธ์ของผลอินทิเกรตเพื่อยืนยันคำตอบ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ผลอินทิเกรต: ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์เท่ากับตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดให้
สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
ระวัง: อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1

P2 · การหาค่ารากและการอินทิเกรตเชิงตัวเลข

ความน่าเชื่อถือของค่าประมาณมีอย่างไร?

สมการไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนที่สะดวก ค่าประมาณยังต้องการหลักฐานว่ามีความน่าเชื่อถือ
บทเรียนนี้ศึกษา การทำซ้ำ: การอัปเดตซ้ำที่แต่ละค่าประมาณใหม่คำนวณจากค่าก่อนหน้า

วิธีปฏิบัติ

สำหรับความกว้างแถบเท่ากัน h, ค่าประมาณสี่เหลี่ยมคางหมูคือ h/2 คูณด้วยผลรวมของความสูงสองจุดปลายบวกสองเท่าของความสูงภายใน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$A\approx\frac h2(y_0+2y_1+\cdots+2y_{n-1}+y_n)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y=x² บนช่วง [0,2] ด้วยสองแถบเท่ากัน, h=1 และความสูงคือ 0,1,4. ค่าประมาณคือ (1/2)(0+2×1+4)=3. พื้นที่ที่แท้จริงคือ 8/3, ดังนั้นโค้งนูนนี้จึงให้ค่าประมาณที่เกินจริง

การหารากและการอินทิเกรตแบบตัวเลข — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ใช้ความกว้างแถบเท่ากันและรวมความสูงภายในสองครั้ง.
ความโค้งกำหนดว่าค่าประมาณจะมากกว่าหรือน้อยกว่าพื้นที่จริง; การเป็นฟังก์ชันเพิ่มเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ.

Watch out

ไม่เป็นจริง: ฟังก์ชันเพิ่มให้ค่าประมาณทราปเซซอยด์เกินจริง การเปลี่ยนเครื่องหมายบ่งบอกรากได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดนั้น: 1/x เปลี่ยนเครื่องหมายผ่าน x=0 แต่ไม่มีราก.

การนำไปใช้

P2 นำเสนอกฎทราปเซซอยด์.
Newton–Raphson และ root-finding methods อื่นๆ อยู่ในหน่วยอื่นที่ถูกตั้งชื่อ; พวกเขาไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียน P2 นี้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การทำซ้ำ: การอัปเดตแบบซ้ำๆ ที่ซึ่งค่าประมาณใหม่แต่ละค่าคำนวณจากค่าประมาณก่อนหน้า
สำหรับความกว้างแถบเท่ากัน h, ค่าประมาณสี่เหลี่ยมคางหมูคือ h/2 คูณด้วยผลรวมของความสูงสองจุดปลายบวกสองเท่าของความสูงภายใน
ระวัง: ใช้ความกว้างแถบเท่ากันและรวมความสูงภายในสองครั้ง.

P3 · โดเมน ฟังก์ชันผกผันและการประกอบ

ค่าอินพุตใดที่อนุญาตให้ใช้?

โมเดลรากที่สองให้ผลลัพธ์จริงเฉพาะบางค่าอินพุกเท่านั้น สูตรเพียงอย่างเดียวไม่ได้ระบุฟังก์ชันที่สมบูรณ์
บทเรียนนี้ศึกษา domain: เซตของค่าอินพุกที่อนุญาตให้ใช้กับฟังก์ชัน

วิธีปฏิบัติ

ระบุโดเมนและเรนจ์
สำหรับฟังก์ชันผกผัน ต้องตรวจสอบก่อนว่าฟังก์ชันนั้นเป็น one-to-one บนโดเมนของตนหรือไม่
Composition fg หมายความว่านำ g มาใช้ก่อน แล้วจึงนำ f มาใช้; ค่าผลลัพธ์กลางต้องเป็นค่าเริ่มต้นที่ยอมรับได้สำหรับ f

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$

ตัวอย่าง

For f(x)=√(x-2), x≥2 and the range is y≥0. From y=√(x-2), x=y²+2. Thus f inverse(x)=x²+2 with x≥0. For g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.

โดเมน ฟังก์ชันผกผัน และการประกอบ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การยกกำลังสองอาจนำไปสู่คำตอบที่ไม่แท้จริง (extraneous solutions)
การจำกัดโดเมนของพาราโบลาเป็นเรื่องจำเป็นก่อนจะอ้างถึงฟังก์ชันผกผัน
การเลื่อนกราฟในแนวตั้งภายใน f จะมีเครื่องหมายตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ของกราฟ

Watch out

ไม่เป็นจริง: ฟังก์ชันกำลังสองบนเซตจำนวนจริงทั้งหมดจะมีฟังก์ชันผกผันเสมอ ฟังก์ชันกำลังสองบนจำนวนจริงทั้งหมดเป็นแบบหลายเข้าสู่หนึ่งเดียว (f(1)=f(−1) สำหรับ x²) ดังนั้นต้องจำกัดโดเมนก่อน

การนำไปใช้

Check f(f inverse(x))=x on the inverse domain.
ใช้การวาดภาพเพื่อทดสอบว่าเส้นแนวนอนตัดกับกราฟเดิมมากกว่าหนึ่งครั้งหรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P3.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

โดเมน: เซตของค่าเข้าที่เป็นไปได้สำหรับฟังก์ชัน
ระบุโดเมนและเรนจ์
ระวัง: การยกกำลังสองอาจทำให้เกิดคำตอบที่ผิดพลาดได้

P3 · เรเดียน อุตินัยกรณ์และสมการตรีโกณมิติ

ขอบวงล้อเคลื่อนที่ได้ไกลแค่ไหน

A rotating wheel sweeps an arc. Radians let its angle connect directly to the distance travelled along the rim.
บทเรียนนี้ศึกษา radian: มุมที่เกิดจากเส้นโค้งwhose ความยาวเท่ากับรัศมี

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
ใช้เอกลักษณ์ sin²θ+cos²θ=1 และเอกลักษณ์ของมุมเพื่อจัดรูปหรือหาคำตอบ
จงระบุคำตอบทั้งหมดในช่วงที่กำหนดให้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

A calculator's inverse sine gives one principal value.
เครื่องคิดเลขจะไม่แสดงคำตอบทั้งหมด
การหารด้วย sin x อาจทำให้สูญเสียคำตอบที่ sin x=0; ให้ตรวจสอบกรณีนี้ก่อนเสมอ

Watch out

Not true: The principal inverse sine value is the only solution in a full turn. Sine takes most values twice in a full turn: sin x=0.5 gives 30° and 150°.

การนำไปใช้

เลือกใช้เอกลักษณ์ที่ลดรูปสมการให้อยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวเดียว
รักษาค่ามุมที่รู้จักและแม่นยำไว้เท่าที่จะทำได้ และตรวจสอบแต่ละคำตอบกับสมการต้นฉบับ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P3.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Radian: The angle subtended by an arc whose length equals the radius.
สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
Watch for: A calculator's inverse sine gives one principal value.

P3 · ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ล็อกaritมและโมเดล

ทำไมโมเดลการสลายตัวจึงคงเป็นบวก?

ความเข้มข้นของยาลดลงเปอร์เซ็นต์เดียวกันทุกชั่วโมง การลบด้วยค่าคงที่จะนำไปสู่การคาดการณ์ปริมาณเป็นลบในที่สุด
บทเรียนนี้ศึกษา ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่สลายตัวลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
การทำลอการิทึมจะได้ ln y=ln A+kt
ลอการิทึมต้องมีอาร์กิวเมนต์เป็นบวก และ log(x+y) ไม่ใช่ log x+log y

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับให้เข้ากับข้อมูลเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่การรับประกัน
ระบุหน่วยเวลาและช่วงการใช้งาน
ค่า k เป็นลบบ่งชี้ถึงการลดลง; ค่าเริ่มต้นที่เป็นลบมักขัดแย้งกับบริบทปัญหา

Watch out

การนำไปใช้

เปรียบเทียบผลการสังเกตจริงกับโมเดล
ความเบี่ยงเบนแบบมีระบบอาจบ่งบอกถึงเงื่อนไขที่เปลี่ยนแปลงไป
ในรายงาน ให้อธิบายความหมายของอัตราและค่าเริ่มต้น แทนที่จะให้แค่สมการเปล่าๆ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P3.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่ลดลงจะลดเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น
สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
ระวัง: ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับพารามิเตอร์แล้วเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่คำการันตี

P3 · การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่ ผลคูณ ผลหาร และแบบนัยยะ

ส่วนในของ-expression เปลี่ยนแปลงด้วยหรือไม่?

กราฟต้นทุนเป็นกำลังของ expression ที่มีการเปลี่ยนแปลง การหาอนุพันธ์เฉพาะกำลังภายนอกอย่างเดียวจะพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรภายใน
บทเรียนนี้ศึกษา กฎลูกโซ่: กฎที่คูณด้วยอนุพันธ์ภายนอกด้วยอนุพันธ์ภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
สำหรับ uv, หาอนุพันธ์ได้เป็น u prime v+uv prime.
สำหรับ u/v, ใช้สูตร (u prime v-uv prime)/v², โดยที่ v≠0.

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. ที่ x=0, ความชันคือ 12. สำหรับ x²+y²=25, แยกตัวแปรโดยปริยาย: 2x+2y y prime=0, ดังนั้น y prime=-x/y เมื่อ y≠0.

การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่ ผลคูณ ส่วนผล และเชิงนัย — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
ในการหาอนุพันธ์แบบนิพจน์ซ่อนตัว ทุกฟังก์ชันที่มี y จะต้องมี dy/dx เป็นปัจจัยร่วม
ตัวส่วนของอัตราส่วนจะถูกยกกำลังสอง

Watch out

ไม่เป็นจริง: อนุพันธ์ของ u(x)v(x) ไม่ใช่ u prime คูณ v prime กฎผลคูณคือ (uv)′=u′v+uv′: สำหรับ x·x อนุพันธ์คือ 2x, ไม่ใช่ 1×1=1.

การนำไปใช้

เลือกรูปสมการที่เหมาะสมก่อนหาอนุพันธ์: การกระจายพหุนามสั้นๆ อาจง่ายกว่า
สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง, เขียนความสัมพันธ์ในสัญลักษณ์, หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา, แล้วแทนค่าที่วัดได้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P3.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

กฎลูกโซ่: กฏที่นำอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกมาคูณกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ
สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
ระวัง: อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์

P3 · อินทิกรัล พื้นที่ และการสะสม

How much change has accumulated?

กราฟความเร็วบอกการเคลื่อนที่ ณ วินาทีหนึ่ง เราสามารถหาการกระจัดสะสมตลอดช่วงเวลาได้อย่างไร?
บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันต้นแบบ (antiderivative): ซึ่งเป็นฟังก์ชัน whose derivative equals the given integrand.

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
อินทิกรัล_examples คือการสะสมที่มีเครื่องหมาย
แยกช่วงเมื่อมีการเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อต้องการหาพื้นที่รวมหรือระยะทาง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1
พื้นที่ที่มีเครื่องหมายอาจเป็นศูนย์ได้แม้ว่าพื้นที่ปิดทั้งหมดจะมีค่าบวก

Watch out

การนำไปใช้

ระบุความหมายของอินทิกรัลและใส่หน่วยให้ถูกต้อง
อัตราที่วัดต่อวินาที จะอินทิเกรตเป็นปริมาณพื้นฐาน ไม่ใช่เป็นอัตรารายอื่น
หาอนุพันธ์ของผลอินทิเกรตเพื่อยืนยันคำตอบ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P3.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ผลอินทิเกรต: ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์เท่ากับตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดให้
สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
ระวัง: อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1

P3 · การวนซ้ำจุดคงที่

ความน่าเชื่อถือของค่าประมาณมีอย่างไร?

สมการไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนที่สะดวก ค่าประมาณยังต้องการหลักฐานว่ามีความน่าเชื่อถือ
บทเรียนนี้ศึกษา การทำซ้ำ: การอัปเดตซ้ำที่แต่ละค่าประมาณใหม่คำนวณจากค่าก่อนหน้า

วิธีปฏิบัติ

จัดรูปสมการเป็น x=g(x), เลือกค่าเริ่มต้นแล้วทำซ้ำ.
ค่าลิมิต L ต้องสอดคล้องกับ L=g(L).
ใกล้จุดคงที่ |g prime(L)|<1 ใช้เป็นการตรวจสอบการลู่เข้าในท้องถิ่น; การตรวจสอบเครื่องหมายสามารถยืนยันรากที่ปัดเศษรายงานได้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$$

ตัวอย่าง

สำหรับ x²-x-2=0 ให้เลือก x_next=√(2+x) โดยเริ่มจาก x₀=1 จากนั้น x₁=√3≈1.73205, x₂≈1.93185 และจุดคงที่ที่เป็นบวกคือ 2 ที่ 2, g'=1/(2√4)=1/4 ดังนั้นความผิดพลาดในพื้นที่เล็กๆ จึงลดลง การจัดรูปรากที่สองนี้มองหาเฉพาะรากที่เป็นบวก ไม่สามารถให้รากลบ -1 ได้

Fixed-point iteration — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

การจัดรูปสมการแบบต่างๆ อาจมีพฤติกรรมลู่เข้าที่แตกต่างกัน
ตรวจสอบค่าวนซ้ำ (iterates),โดเมน และสมการเดิม; การอัปเดตด้วยรากที่สองไม่สามารถเข้าถึงจุดคงที่เป็นลบได้

Watch out

ไม่เป็นจริง: การจัดรูปสมการทุกแบบจะลู่เข้าหารากเดียวกันจากค่าเริ่มต้นทุกค่า การเปลี่ยนเครื่องหมายแสดงถึงรากก็ต่อเมื่อฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดนั้นเท่านั้น: 1/x เปลี่ยนเครื่องหมายข้าม x=0 แต่ไม่มีราก

การนำไปใช้

P3 ใช้การจัดรูปสมการและการวนซ้ำเชิงตัวเลข
บทเรียนนี้ไม่รวมวิธีนิวตันและอินทิเกรตเชิงตัวเลข ซึ่งอยู่ในหน่วยอื่น

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P3.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การทำซ้ำ: การอัปเดตแบบซ้ำๆ ที่ซึ่งค่าประมาณใหม่แต่ละค่าคำนวณจากค่าประมาณก่อนหน้า
จัดรูปสมการเป็น x=g(x), เลือกค่าเริ่มต้นแล้วทำซ้ำ.
ระวัง: การจัดรูปสมการแบบต่างๆ อาจมีพฤติกรรมลู่เข้าที่แตกต่างกัน

P4 · การพิสูจน์ การขัดแย้ง และการอุปนัย

รูปแบบใดจะกลายเป็นการพิสูจน์?

การตรวจสอบจำนวนเต็มหลายตัวอาจชี้ให้เห็นถึงลวดลายอะไรจะเปลี่ยนลวดลายนั้นให้กลายเป็นบทพิสูจน์สำหรับจำนวนเต็มทุกตัว?
This lesson studies counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.

วิธีปฏิบัติ

การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
A counterexample refutes an all-values claim.
การพิสูจน์โดยอุปนัยต้องการกรณีพื้นฐานและการเชื่อมโยงจาก n=k ไปยัง n=k+1; การตรวจสอบกรณีต่อเนื่องกันเพียงอย่างเดียวไม่ใช่การพิสูจน์อุปนัย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

อย่าสมมติผลลัพธ์whileกำลังพิสูจน์มัน
ในความขัดแย้ง, ระบุผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้และปฏิเสธสมมติฐานตรงกันข้ามเริ่มต้น
การอุปนัยไม่ใช่สิ่งบังคับใน AQA 7357; มันอยู่ในขอบเขตคณิตศาสตร์เพิ่มเติมที่เหมาะสมของตนเอง

Watch out

การนำไปใช้

การพิสูจน์ของ AQA รวมถึงการอนุมาน, การพิจารณากรณีครบถ้วน และการขัดแย้ง
IAL P2 introduces exhaustion and counterexample, while P4 introduces contradiction.
รักษาวิธีการให้ตรงกับหน่วยที่ระบุ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.
การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
ระวัง: อย่าสันนิษฐานว่าข้อสรุปเป็นจริงขณะกำลังพิสูจน์

P4 · สมการ อัตลักษณ์ และการจัดรูปสมการ

เมื่อไหร่ที่แผนทั้งสองมีค่าใช้จ่ายเท่ากัน?

แผนมือถือสองแบบมีค่าใช้จ่าย 20+3x และ 44+x หยวน สำหรับ x GB เมื่อไหร่ที่ทั้งสองแผนมีค่าใช้จ่ายเท่ากัน?
บทเรียนนี้ศึกษา เอกลักษณ์: ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับทุกค่าที่อนุญาตของตัวแปร

วิธีปฏิบัติ

สมการถามว่าค่าเข้าใดทำให้สมการเป็นจริง ส่วนเอกลักษณ์จะเป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้
รักษาความเท่ากันโดยทำการSame Operation กับทั้งสองด้าน
ระบุข้อจำกัดก่อนหารด้วยตัวแปร

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$C_1=20+3x,\qquad C_2=44+x,\qquad C_1=C_2$$

ตัวอย่าง

20+3x=44+x ให้ 2x=24 และ x=12. ทั้งสองแผนจะมีค่าใช้จ่าย 56 ใน A=πr², หารด้วย π และหา root ที่สองเชิงบวกเพื่อรับ r=√(A/π), เนื่องจาก r เป็นความยาว

สมการ เอกลักษณ์ และการจัดรูปใหม่ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การตัดพจน์ออกไม่เหมือนกับการตัดตัวประกอบออก
ใน (x²+2x)/x ให้แยกตัวประกอบในเศษคงไว้ว่า x≠0
ตรวจสอบการย้ายข้างโดยแทนค่า

Watch out

ไม่เป็นจริง: การตัด x ออกจาก (x+3)/x จะได้ 3 สำหรับทุกค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ x เป็นพจน์ในเศษ ไม่ใช่ตัวประกอบ จึงไม่สามารถตัดได้: ที่ x=1, (1+3)/1=4 ไม่ใช่ 3

การนำไปใช้

ตั้งสมการจากหน่วยและความหมายของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า
คำตอบติดลบหรือเศษส่วนอาจถูกต้องทางพีชคณิตแต่เป็นไปไม่ได้สำหรับการนับจำนวน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เอกลักษณ์: สมการที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้ของตัวแปร
สมการถามว่าค่าเข้าใดทำให้สมการเป็นจริง ส่วนเอกลักษณ์จะเป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้
ระวัง: การตัดพจน์ออกไม่เหมือนกับการตัดตัวประกอบออก

P4 · การขยายทวินาม และการประมาณค่าที่มีเงื่อนไขถูกต้อง

การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังอย่างไร?

การวัดค่าที่เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังของปริมาณนั้น การขยายอนุกรมสามารถแสดงขนาดของผลกระทบอันดับแรกและอันดับสองได้
บทเรียนนี้ศึกษา สัมประสิทธิ์ทวินาม: จำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจำนวนที่กำหนดจากเซต

วิธีปฏิบัติ

สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการกระจายทวินามที่มีจำกัด
สำหรับ n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม, ขยาย (1+x)^n เป็น 1+nx+n(n-1)x²/2+... โดยที่ |x|<1
แยกตัวคูณคงที่ออกก่อนใช้รูปแบบนี้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

การกระจายใน 2x ต้องมีเงื่อนไข |2x|<1 สำหรับอนุกรมอนันต์ ไม่ใช่แค่ |x|<1 เท่านั้น
การขยายกำลังจำนวนเต็มบวกจะเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์จำกัด และไม่มีการจำกัดการลู่เข้าดังกล่าว

Watch out

การนำไปใช้

ระบุช่วงค่าที่ใช้ได้ alongside กับค่าประมาณ
เก็บพจน์ให้เพียงพอเพื่อรองรับความแม่นยำที่ต้องการ และแยกตัวสัมประสิทธิ์ออกจากพจน์ทั้งหมดที่มี x

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สัมประสิทธิ์ทวินาม: จำนวนวิธีการเลือกวัตถุจำนวนหนึ่งจากเซตที่กำหนด
สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการกระจายทวินามที่มีจำกัด
ระวัง: การกระจายใน 2x ต้องมีเงื่อนไข |2x|<1 สำหรับอนุกรมอนันต์ ไม่ใช่แค่ |x|<1 เท่านั้น

P4 · กราฟวงกลมกลม เส้นพารามิเตอร์ และการวิเคราะห์เส้นสัมผัส

พารามิเตอร์ที่หมุนสามารถวาดวงรีได้อย่างไร?

วงรีสามารถวาดโดยพารามิเตอร์ที่หมุนได้แม้ว่าจะอธิบายยากว่าเป็นฟังก์ชัน y=f(x) เดียว
บทเรียนนี้ศึกษา สมการพารามิเตอร์: การแสดงพิกัดโดยใช้ตัวแปรร่วมเดียวกัน

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ x=a cos t,y=b sin t, การกำจัด t จะได้ x²/a²+y²/b²=1
สำหรับเส้นโค้งพารามิเตอร์ dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt), โดยที่ dx/dt≠0
ตัวส่วนเป็นศูนย์อาจบ่งบอกถึงสัมผัสแนวตั้ง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

ตัวอย่าง

สำหรับ x=3cos t,y=2sin t ที่ t=π/4, ความชันคือ (2cos t)/(-3sin t)=-2/3 จุดนั้นคือ (3/√2,√2) พื้นที่ภายในวงรีคือ πab=6π; กึ่งแกนนั่นคือ 3 และ 2

รูปแสดงเส้นโค้งควอดริก, เส้นโค้งพารามิเตอร์ และการหาสมการสัมผัส — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การกำจัดตัวแปรอาจทำให้สูญเสียขอบเขตหรือทิศทางในการเคลื่อนที่
สัมผัสแนวตั้งไม่สามารถกำหนดค่า dy/dx ที่เป็นจำนวนจำกัดได้
แยกแยะระหว่างกึ่งแกนกับความกว้างเต็ม

Watch out

ไม่ถูกต้อง: การกำจัดตัวแปรจะรักษาทุกข้อจำกัดและทิศทางโดยอัตโนมัติ การกำจัดอาจทำให้สูญเสียข้อจำกัด: x=t², y=t จะได้ x=y², แต่ x≥0 และทิศทางของการเคลื่อนที่ต้องระบุแยกต่างหาก

การนำไปใช้

สำหรับเรขาคณิตเชิงพิกัดขั้นสูง ให้ใช้สมการที่กำหนดและตัวแปรที่สอดคล้องกัน
สำหรับการอินทิเกรตพารามิเตอร์ใน IAL P4 ให้ใช้ข้อกำหนดที่จำกัดตามหลักสูตรแทนการนำวงรีและไฮเพอร์โบลาจาก Pure Mathematics ทั้งหมดเข้ามา

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สมการพารามิเตอร์: รูปแบบการแทนค่าที่แสดงพิกัดโดยใช้ตัวแปรร่วม
สำหรับ x=a cos t,y=b sin t, การกำจัด t จะได้ x²/a²+y²/b²=1
ระวัง: การกำจัดตัวแปรอาจทำให้สูญเสียข้อจำกัดของโดเมนหรือทิศทางการเคลื่อนที่

P4 · การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่ ผลคูณ ผลหาร และแบบนัยยะ

ส่วนในของ-expression เปลี่ยนแปลงด้วยหรือไม่?

กราฟต้นทุนเป็นกำลังของ expression ที่มีการเปลี่ยนแปลง การหาอนุพันธ์เฉพาะกำลังภายนอกอย่างเดียวจะพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรภายใน
บทเรียนนี้ศึกษา กฎลูกโซ่: กฎที่คูณด้วยอนุพันธ์ภายนอกด้วยอนุพันธ์ภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
สำหรับ uv, หาอนุพันธ์ได้เป็น u prime v+uv prime.
สำหรับ u/v, ใช้สูตร (u prime v-uv prime)/v², โดยที่ v≠0.

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
ในการหาอนุพันธ์แบบนิพจน์ซ่อนตัว ทุกฟังก์ชันที่มี y จะต้องมี dy/dx เป็นปัจจัยร่วม
ตัวส่วนของอัตราส่วนจะถูกยกกำลังสอง

Watch out

การนำไปใช้

เลือกรูปสมการที่เหมาะสมก่อนหาอนุพันธ์: การกระจายพหุนามสั้นๆ อาจง่ายกว่า
สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง, เขียนความสัมพันธ์ในสัญลักษณ์, หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา, แล้วแทนค่าที่วัดได้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

กฎลูกโซ่: กฏที่นำอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกมาคูณกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ
สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
ระวัง: อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์

P4 · การแทนตัวแปร การหาอินทิกรัลด้วยส่วนประกอบ และเศษส่วนย่อย

เราสามารถอินทิเกรตตัวคูณทั้งสองแยกกันได้หรือไม่?

ผลคูณที่ดูง่ายอย่าง xe^x ไม่สามารถอินทิเกรตโดยการแยกอินทิเกรตแต่ละตัวคูณได้
บทเรียนนี้ศึกษา การอินทิเกรตด้วยการแทนที่: วิธีการอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ

วิธีปฏิบัติ

ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
ตามวิธีการแทนที่, อินทิกรัลของ u v prime = uv - อินทิกรัลของ u prime v
สำหรับฟังก์ชันเชิงตรรกยะ ให้หารก่อนหากจำเป็น แล้วแยกเป็นเศษส่วนย่อย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

ตัวอย่าง

สำหรับ integral xe^x dx, ตั้ง u=x และ v prime=e^x จะได้ integral คือ xe^x-e^x+C. สำหรับ integral 2x/(x²+1) dx, แทน w=x²+1, dw=2x dx; คำตอบคือ ln(x²+1)+C

Substitution, parts and partial fractions — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น
ในการแทนค่าแบบมีขอบเขต ให้เปลี่ยนขอบเขตหรือกลับไปที่ x ก่อนที่จะใช้ขอบเขตเดิม

Watch out

ไม่ถูกต้อง: อินทิกรัลของผลคูณเท่ากับผลคูณของอินทิกรัลแยกกัน ผลคูณต้องใช้วิธีเช่น การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วนหรือการแทนค่า: ∫x·x dx=x³/3 ไม่ใช่ (x²/2)(x²/2)

การนำไปใช้

ตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์
สำหรับปริมาตรของการหมุนรอบแกน x ใช้ V=π integral y² dx; อย่าสับสนระหว่างกำลังสองของฟังก์ชันกับอินทิกรัลของฟังก์ชัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วน: วิธีอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ
ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
ระวัง: การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น

P4 · สมการเชิงอนุพันธ์และการหาคำตอบด้วยวิธีตัวเลข

ค่าเริ่มต้นกำหนดอะไร?

อัตราการเติบโตของประชากรแปรผันตรงกับขนาดปัจจุบัน อัตราสมการอธิบายครอบครัวทั้งหมดจนกว่าจะมีจำนวนประชากรเริ่มต้นที่กำหนดมา
บทเรียนนี้ศึกษา initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ

วิธีปฏิบัติ

แยกตัวแปรใน dy/dx=ky, อินทิเกรตทั้งสองข้าง และใช้ initial condition
รวมคำตอบสมดุลที่ถูกตัดออกเมื่อหารด้วย y

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

ตัวอย่าง

สำหรับ dy/dx=0.5y และ y(0)=2 การแยกตัวแปรให้ ln|y|=0.5x+C ดังนั้น y=Ae^(0.5x) ค่าเริ่มต้นทำให้ A=2 หาอนุพันธ์ของผลลัพธ์เพื่อตรวจสอบสมการและแทนค่า x=0 เพื่อตรวจสอบเงื่อนไขเริ่มต้น

สมการเชิงอนุพันธ์และการหาคำตอบแบบตัวเลข — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต
การหารด้วย y อาจทำให้พลาดคำตอบสมดุล y=0
ความแม่นยำของ Euler ขึ้นอยู่กับขนาดขั้นและสมการ

Watch out

ไม่ถูกต้อง: Initial condition ไม่เคยเปลี่ยนค่าคงที่ในคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ วิธีของ Euler ขึ้นอยู่กับขนาดขั้น; ขั้นที่เล็กลงมักให้ค่าที่แม่นยำขึ้น

การนำไปใช้

หน่วยนี้ใช้ first-order separation และ initial conditions
Euler numerical integration และ second-order complementary functions ถูกตัดออกจากบทเรียนนี้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ
แยกตัวแปรใน dy/dx=ky, อินทิเกรตทั้งสองข้าง และใช้ initial condition
ระวัง: Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต

P4 · เวกเตอร์สามมิติ เส้นตรงและมุม

เส้นทางที่ไม่ขนานกันยังสามารถข้ามกันไปโดยไม่ชนกันได้หรือไม่?

เส้นตรงสองเส้นในสามมิติอาจไม่ขนานกันและไม่ตัดกัน การวาดภาพสองมิติอาจบดบังความห่างระหว่างเส้นทั้งสอง
บทเรียนนี้ศึกษา เวกเตอร์ทิศทาง: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่กำหนดทิศทางของเส้นตรง

วิธีปฏิบัติ

เส้นตรงมี r=a+λb โดยที่ a เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งและ b เป็นเวกทอร์ทิศทางที่ไม่เป็นศูนย์
เพื่อหาจุดตัด ให้เท่าเทียมกันทุกองค์ประกอบแล้วแก้สมการเพื่อหาค่าพารามิเตอร์ของเส้นตรงทั้งสอง
สำหรับมุมใช้ a·b=|a||b|cosθ โดยผลคูณสเกลาร์อยู่ในหลักสูตรที่กำหนด

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf b,\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$$

ตัวอย่าง

สำหรับ a=(1,2,3),b=(2,-1,2), λ=2 ให้ r=(5,0,7). ขนาดของ b คือ √(4+1+4)=3. ด้วย c=(1,0,-1), b·c=2-2=0, ดังนั้น b และ c ตั้งฉากกัน

เวกเตอร์เชิงพื้นที่ เส้นตรง และมุม — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การทำให้อะไรก็ตามสอดคล้องกับสมการสององค์ประกอบไม่ได้การันตีว่าสมการที่สามจะถูกต้อง
เส้นตรงที่ไม่ขนานกันอาจเป็นเส้นตรงแบบเบี่ยงเบน
เวกทอร์ทิศทางของเส้นตรงไม่ใช่เวกเตอร์ตำแหน่ง และพารามิเตอร์สเกลาร์ไม่มีหน่วยพิกัด

Watch out

ไม่เป็นจริง: เส้นตรงที่ไม่ขนานกันสองเส้นในสามมิติต้องตัดกันเสมอ ในสามมิติเส้นตรงที่ไม่ขนานกันอาจเป็นเส้นตรงแบบเบี่ยงเบน: ซึ่งไม่ตัดกัน

การนำไปใช้

ระบุให้ชัดเจนว่ามุมที่ต้องการเป็นมุมแหลม, มุมที่มีทิศทาง หรือมุมระหว่างเส้นตรง
ใช้วิธีระนาบหรือวิธีระยะทางเฉพาะสำหรับหลักสูตรก็ต่อเมื่อจำเป็นสำหรับหน่วยเรียนนั้นเท่านั้น

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย P4
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เวกเตอร์ทิศทาง: เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งระบุทิศทางของเส้นตรง
เส้นตรงมี r=a+λb โดยที่ a เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งและ b เป็นเวกทอร์ทิศทางที่ไม่เป็นศูนย์
ระวัง: การสอดคล้องกับสมการองค์ประกอบสองสมการไม่รับประกันว่าสมการที่สามจะถูกต้องด้วย

M1 · จลนศาสตร์และกฎของนิวตัน

แรงใดที่ทำให้รถเข็นมีความเร่ง?

รถเข็นจะมีความเร่งเมื่อแรงเสียดทานต้านการเคลื่อนที่ แรงจากเครื่องยนต์เพียงอย่างเดียวไม่เท่ากับมวลคูณด้วยความเร่ง
บทเรียนนี้ศึกษา แรงลัพธ์: ผลรวมเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุที่จำลอง

วิธีปฏิบัติ

เลือกทิศทางบวกและวาดแผนภาพแรง
ใช้สมการ F=ma จากแรงลัพธ์
สำหรับความเร่งคงที่ v=u+at และ s=ut+at²/2
โมเดลอนุภาคละเลยขนาด; พื้นผิวเรียบละเลยแรงเสียดทาน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$F_{\mathrm{resultant}}=ma,\qquad s=ut+\frac12 at^2$$

ตัวอย่าง

รถเข็นมวล 5 กก. มีแรงขับเคลื่อน 18 N และแรงต้านทาน 3 N. แรงลัพธ์คือ 15 N, ดังนั้น a=15/5=3 m/s². เริ่มจากหยุดนิ่งเป็นเวลา 4 s ได้ v=0+3×4=12 m/s และ s=0×4+3×4²/2=24 m.

จลนศาสตร์และกฎของนิวตัน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

แรงปฏิกิริยาตั้งฉากอาจไม่เท่ากับน้ำหนักบนพื้นเอียง
โมเดลอนุภาคเชื่อมต่อกันต้องใช้สมการหนึ่งต่อหนึ่งอนุภาคและความสัมพันธ์ความเร่งที่สอดคล้องกัน
สูตรความเร่งคงที่ไม่สามารถใช้กับความเร่งแปรผันตามใจชอบได้

Watch out

ไม่เป็นจริง: สูตรความเร่งคงที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อความเร่งแปรผันตามเวลา สูตร suvat ต้องใช้กับความเร่งคงที่เท่านั้น; เมื่อความเร่งแปรผัน ให้ใช้แคลคูลัส

การนำไปใช้

อธิบายว่าสมมติฐานแต่ละอย่างอนุญาตให้ทำอะไรได้ และละเลยสิ่งใดไป
สำหรับกราฟความเร็ว-เวลา ความชันแทนความเร่ง และพื้นที่ที่มีเครื่องหมายแทนการกระจัด

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย M1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

แรงลัพธ์: ผลรวมของเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุที่ถูกจำลอง
เลือกทิศทางบวกและวาดแผนภาพแรง
ระวัง: แรงปฏิกิริยาตั้งฉากอาจไม่เท่ากับน้ำหนักบนทางลาด

M1 · เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง

ทำไมการกระจัดจึงสั้นกว่าระยะทางเดิน?

การเดิน 4 เมตรไปทางตะวันออกและ 3 เมตรไปทางเหนือ ให้การกระจัดเป็น 5 เมตร แม้ว่าจะเดินทางทั้งหมด 7 เมตร
บทเรียนนี้ศึกษา เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวมกัน

วิธีปฏิบัติ

บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันและลบตำแหน่งเวกเตอร์เพื่อหาการกระจัด
A translation moves every point by the same vector; a scalar multiple changes length and possibly direction.

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

ตัวอย่าง

เมื่อ a=(4,1) และ b=(1,3), a+b=(5,4). จาก A=(1,2) ไป B=(5,5), การกระจัด AB=(4,3). ขนาดของมันคือ √(4²+3²)=5.

เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB
Proving parallelism needs a scalar-multiple relation; a sketch alone is insufficient.
การขยายขนาดติดลบจะกลับด้านตำแหน่งเทียบกับจุดศูนย์กลาง

Watch out

ไม่เป็นจริง: AB และ BA มีองค์ประกอบเท่ากัน BA ไปในทิศทางตรงข้ามกับ AB ดังนั้น BA = -AB: ทุกองค์ประกอบจะเปลี่ยนเครื่องหมาย

การนำไปใช้

Use vector components, scalar multiples and magnitudes for displacements and forces.
หน่วยนี้ไม่จำเป็นต้องใช้ผลคูณสเกลาร์

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย M1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวม
บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันและลบตำแหน่งเวกเตอร์เพื่อหาการกระจัด
ระวัง: ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB

M1 · โมเมนต์ ความสมดุล และจุดศูนย์กลางมวล

ทำไมประแจที่ยาวกว่าถึงช่วยให้ทำงานได้ง่ายขึ้น?

ประแจที่ยาวกว่าหมุนน็อตได้ง่ายขึ้น ผลกระทบจากการหมุนขึ้นอยู่กับระยะตั้งฉากกับแรงด้วย
บทเรียนนี้ศึกษา โมเมนต์: แรงคูณด้วยระยะตั้งฉากจากแนวกระทำของแรงไปยังจุดหมุน

วิธีปฏิบัติ

เพื่อความสมดุล ทั้งแรงลัพธ์และโมเมนต์ลัพธ์ต้องเป็นศูนย์
ใช้จุดหมุนที่เหมาะสมเพื่อลบลบแรงที่ไม่ทราบค่าผ่านจุดนั้นออก
จุดศูนย์กลางมวลรวมคือตำแหน่งเฉลี่ยถ่วงด้วยมวล

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$M=Fd_{\perp},\qquad \sum M=0,\qquad \sum \mathbf F=\mathbf0$$

ตัวอย่าง

คาน 4 m ที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ มีน้ำหนัก 100 N และรองรับทั้งสองปลาย มีแรงเพิ่ม 60 N กระทำที่ระยะ 1 m จากด้านซ้าย การคำนวณโมเมนต์จากด้านซ้ายจะได้ 4R_right=100×2+60×1=260 ดังนั้น R_right=65 N สมดุลแนวตั้งให้ R_left=95 N

โมเมนต์ สมดุล และจุดศูนย์กลางมวล — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ใช้แขนงวดตั้งฉาก ไม่ใช่ระยะทแยงมุมไปยังจุดที่แรงกระทำ
แรงลัพธ์เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่ป้องกันไม่ให้วัตถุหมุน
ระบบรองรับที่ต้องการแรงปฏิกิริยาตั้งฉากเป็นลบอาจสูญเสียการสัมผัส

Watch out

ไม่เป็นความจริง: แรงลัพธ์เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวเพียงพอต่อการสมดุลของวัตถุแข็งตัว การสมดุลยังต้องการโมเมนต์ลัพธ์เป็นศูนย์ด้วย; แรงสองแรงเท่ากันแต่ทิศทางตรงข้ามในเส้นกระทำที่แตกต่างกันยังคงทำให้วัตถุหมุน

การนำไปใช้

สำหรับแผ่นบางที่สร้างจากส่วนต่างๆ ให้เลือกจุดกำเนิดร่วมและจัดตารางผลคูณมวล-พื้นที่ที่มีเครื่องหมายของแต่ละส่วน
พื้นที่ที่ถูกตัดออกจะมีมวลเป็นลบในการคำนวณนี้ ไม่ใช่วัสดุจริงที่มีมวลเป็นลบ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย M1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

โมเมนต์: แรงคูณด้วยระยะตั้งฉากจากเส้นกระทำของแรงไปยังจุดหมุน
เพื่อความสมดุล ทั้งแรงลัพธ์และโมเมนต์ลัพธ์ต้องเป็นศูนย์
ระวัง: ใช้แขนงวดตั้งฉาก ไม่ใช่ระยะทแยงมุมไปยังจุดที่แรงกระทำ

M1 · แผ่นเอียง แรงเสียดทาน และวัตถุที่เชื่อมต่อกัน

แรงเสียดทานถึงจุดสูงสุดแล้วหรือยัง?

กล่องบนพื้นเอียงอยู่ในสภาพหยุดนิ่ง แรงเสียดทานสามารถปรับให้สมดุลกับแรงที่ดึงลงตามแนวเอียงได้ โดยไม่จำเป็นต้องอยู่ที่ค่าสูงสุดเสมอไป
บทเรียนนี้ศึกษา แรงเสียดทานจำกัด (limiting friction): ค่าแรงเสียดทานสถิตสูงสุดก่อนเกิดการลื่นไถล ซึ่งเท่ากับ μ คูณด้วยปฏิกิริยาตั้งฉากในโมเดล

วิธีปฏิบัติ

แยกองค์ประกอบขนานและตั้งฉากกับระนาบ
องค์ประกอบของน้ำหนักคือ mg sinθ และ mg cosθ
แรงเสียดทานนิ่งสอดคล้องกับ F≤μR และเท่ากับ μR เฉพาะในกรณีจำกัดเท่านั้น
เขียนสมการแยกต่างหากสำหรับอนุภาคที่เชื่อมโยงกัน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$R=mg\cos\theta,\qquad F\le\mu R$$

ตัวอย่าง

กล่องมวล 5 kg บนทางลาดชัน 30° มีค่า R=5×9.8×cos30°≈42.44 N องค์ประกอบน้ำหนักที่ดึงลงตามทางลาดคือ 24.5 N ด้วยค่า μ=0.6, แรงเสียดทานสูงสุด≈25.46 N ดังนั้นจึงเกิดสมดุลได้โดยมีแรงเสียดทาน 24.5 N

ทางลาดชัน แรงเสียดทาน และอนุภาคที่เชื่อมต่อ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

แรงเสียดทานต้านทานการเคลื่อนที่หรือแนวโน้มที่จะเคลื่อนที่ ไม่ใช่ทิศทางพิกัดเสมอไป
เชือกเบาไม่ยืดตึงผ่านลูกกลิ้งเรียบให้แรงตึงเท่ากันและขนาดความเร่งร่วมกัน; สมมติฐานแต่ละอย่างมีหน้าที่เฉพาะ

Watch out

ไม่เป็นจริง: แรงเสียดทานนิ่งเท่ากับ μR พอดีแม้วัตถุจะไม่กำลังจะลื่นไถล แรงเสียดทานนิ่งมีค่าสูงสุดที่ μR เท่ากับ μR ก็ต่อเมื่อใกล้จะลื่นไถลเท่านั้น

การนำไปใช้

เริ่มจากแผนภาพแรงและทิศทางที่เสนอไว้ของการเคลื่อนที่
หากทิศทางที่คำนวณได้ขัดแย้งกับสมมติฐานแรงเสียดทาน ให้ทบทวนโมเดลแทนการคงเครื่องหมายที่ไม่สอดคล้องกัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย M1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

แรงเสียดทานจำกัด: แรงเสียดทานนิ่งสูงสุดก่อนลื่นไถล เท่ากับ μ คูณด้วยแรงปฏิกิริยาตั้งฉากในโมเดล
แยกองค์ประกอบขนานและตั้งฉากกับระนาบ
ระวัง: แรงเสียดทานต้านทานการเคลื่อนที่หรือแนวโน้มที่จะเคลื่อนที่ ไม่ใช่ทิศทางพิกัดเสมอไป

M2 · จลนศาสตร์และกฎของนิวตัน

แรงใดที่ทำให้รถเข็นมีความเร่ง?

รถเข็นจะมีความเร่งเมื่อแรงเสียดทานต้านการเคลื่อนที่ แรงจากเครื่องยนต์เพียงอย่างเดียวไม่เท่ากับมวลคูณด้วยความเร่ง
บทเรียนนี้ศึกษา แรงลัพธ์: ผลรวมเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุที่จำลอง

วิธีปฏิบัติ

เลือกทิศทางบวกและวาดแผนภาพแรง
ใช้สมการ F=ma จากแรงลัพธ์
สำหรับความเร่งคงที่ v=u+at และ s=ut+at²/2
โมเดลอนุภาคละเลยขนาด; พื้นผิวเรียบละเลยแรงเสียดทาน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$F_{\mathrm{resultant}}=ma,\qquad s=ut+\frac12 at^2$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

แรงปฏิกิริยาตั้งฉากอาจไม่เท่ากับน้ำหนักบนพื้นเอียง
โมเดลอนุภาคเชื่อมต่อกันต้องใช้สมการหนึ่งต่อหนึ่งอนุภาคและความสัมพันธ์ความเร่งที่สอดคล้องกัน
สูตรความเร่งคงที่ไม่สามารถใช้กับความเร่งแปรผันตามใจชอบได้

Watch out

การนำไปใช้

อธิบายว่าสมมติฐานแต่ละอย่างอนุญาตให้ทำอะไรได้ และละเลยสิ่งใดไป
สำหรับกราฟความเร็ว-เวลา ความชันแทนความเร่ง และพื้นที่ที่มีเครื่องหมายแทนการกระจัด

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit M2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

แรงลัพธ์: ผลรวมของเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุที่ถูกจำลอง
เลือกทิศทางบวกและวาดแผนภาพแรง
ระวัง: แรงปฏิกิริยาตั้งฉากอาจไม่เท่ากับน้ำหนักบนทางลาด

M2 · โมเมนต์ ความสมดุล และจุดศูนย์กลางมวล

ทำไมประแจที่ยาวกว่าถึงช่วยให้ทำงานได้ง่ายขึ้น?

ประแจที่ยาวกว่าหมุนน็อตได้ง่ายขึ้น ผลกระทบจากการหมุนขึ้นอยู่กับระยะตั้งฉากกับแรงด้วย
บทเรียนนี้ศึกษา โมเมนต์: แรงคูณด้วยระยะตั้งฉากจากแนวกระทำของแรงไปยังจุดหมุน

วิธีปฏิบัติ

เพื่อความสมดุล ทั้งแรงลัพธ์และโมเมนต์ลัพธ์ต้องเป็นศูนย์
ใช้จุดหมุนที่เหมาะสมเพื่อลบลบแรงที่ไม่ทราบค่าผ่านจุดนั้นออก
จุดศูนย์กลางมวลรวมคือตำแหน่งเฉลี่ยถ่วงด้วยมวล

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$M=Fd_{\perp},\qquad \sum M=0,\qquad \sum \mathbf F=\mathbf0$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

ใช้แขนงวดตั้งฉาก ไม่ใช่ระยะทแยงมุมไปยังจุดที่แรงกระทำ
แรงลัพธ์เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่ป้องกันไม่ให้วัตถุหมุน
ระบบรองรับที่ต้องการแรงปฏิกิริยาตั้งฉากเป็นลบอาจสูญเสียการสัมผัส

Watch out

การนำไปใช้

สำหรับแผ่นบางที่สร้างจากส่วนต่างๆ ให้เลือกจุดกำเนิดร่วมและจัดตารางผลคูณมวล-พื้นที่ที่มีเครื่องหมายของแต่ละส่วน
พื้นที่ที่ถูกตัดออกจะมีมวลเป็นลบในการคำนวณนี้ ไม่ใช่วัสดุจริงที่มีมวลเป็นลบ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit M2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

โมเมนต์: แรงคูณด้วยระยะตั้งฉากจากเส้นกระทำของแรงไปยังจุดหมุน
เพื่อความสมดุล ทั้งแรงลัพธ์และโมเมนต์ลัพธ์ต้องเป็นศูนย์
ระวัง: ใช้แขนงวดตั้งฉาก ไม่ใช่ระยะทแยงมุมไปยังจุดที่แรงกระทำ

M2 · งาน พลังงาน กำลัง และการชนกัน

การดีดกลับที่ช้าลงบอกอะไรเรา?

ลูกบอลดีดกลับได้ช้าลงหลังจากชนกำแพง โมเมนตัมและพลังงานจลน์ตอบคำถามส่วนต่าง ๆ ของเรื่องราวการชนกัน
บทเรียนนี้ศึกษา สัมประสิทธิ์การคืนตัว: อัตราส่วนของความเร็วแยกออกจากกันต่อความเร็วเข้าหากันตามแนวการกระแทก

วิธีปฏิบัติ

งานคือแรงคูณการกระจัดในทิศทางนั้น
พลังงานจลน์คือ mv²/2 และพลังงานศักย์โน้มถ่วงคือ mgh
โมเมนตัมถูกอนุรักษ์ในการชนแบบโดดเดี่ยว; ค่าสัมประสิทธิ์การคืนตัวให้ความสัมพันธ์ของความเร็วสัมพัทธ์ ไม่ใช่การอนุรักษ์พลังงานจลน์

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$E_k=\frac12 mv^2,\qquad W=Fs,\qquad P=\frac{dE}{dt}$$

ตัวอย่าง

อนุภาคมวล 2 kg เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 6 m/s มีพลังงานจลน์ 2×6²/2=36 J หากมีแรงต้านคงที่ขนาด 3 N ทำให้อนุภาคหยุดลง งาน=3s=36 ซึ่งจะได้ s=12 m การชนกับผนังด้วยความเร็วเข้าหา 5 และมี e=0.6 จะมีความเร็วสะท้อนกลับ 3 m/s ในทิศทางตรงข้าม

งาน พลังกำลัง และการชน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ใช้การอนุรักษ์โมเมนตัมก็ต่อเมื่อแรงกระแทกภายนอกมีค่าน้อยจนละเลยได้
พลังงานจลน์โดยทั่วไปจะสูญเสียไปในการชนแบบไม่ยืดหยุ่น
กำลังคืออัตราการถ่ายโอนพลังงาน ไม่ใช่ปริมาณพลังงาน

Watch out

ไม่เป็นจริง: การชนทุกกรณีจะรักษาพลังงานจลน์ไว้ พลังงานจลน์จะอนุรักษ์ได้เฉพาะในการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์เท่านั้น; โมเมนตัมจะถูกอนุรักษ์ในทุกการชน

การนำไปใช้

ระบุเครื่องหมายทิศทางก่อนเขียนสมการการชน
สำหรับปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เชื่อมต่อกัน ให้เลือกระบบทั้งหมดเพื่อพิจารณาพลังงานเมื่อแรงตึงภายในหักล้างกัน; ระบุงานจากแรงเสียดทานอย่างชัดเจน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit M2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สัมประสิทธิ์การคืนตัว: อัตราส่วนของความเร็วแยกออกต่อความเร็วเข้าหาตามแนวสัมผัส
งานคือแรงคูณการกระจัดในทิศทางนั้น
ระวัง: จะรักษามอมენტัมได้ก็ต่อเมื่อแรงกระแทกภายนอกมีค่าน้อยมากจนละเลยได้เท่านั้น

M2 · การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ และความเร่งแปรผัน

ทำไมการเคลื่อนที่แนวนอนจึงใช้เวลาเท่ากับการเคลื่อนที่แนวตั้ง?

ลูกบอลถูกยิงในมุมหนึ่ง การเคลื่อนที่แนวนอนและแนวตั้งใช้เวลาเท่ากันแต่เป็นไปตามสมการที่แตกต่างกัน
บทเรียนนี้ศึกษา ลูกขี้หนู (Projectile): อนุภาคที่เคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงหลังการยิงในแบบจำลองที่ละเลยแรงต้านอากาศ

วิธีปฏิบัติ

แยกความเร็วดั้งต้นออกเป็นองค์ประกอบแนวนอน u cosθ และองค์ประกอบแนวตั้ง u sinθ
เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ ความเร่งในแนวนอนจะเป็นศูนย์ และความเร่งในแนวตั้งจะเป็น -g
ใช้ค่าเวลาเดียวกันสำหรับทั้งสององค์ประกอบ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x=u_x t,\qquad y=u_y t-\frac12 gt^2$$

ตัวอย่าง

สำหรับองค์ประกอบ u_x=12,u_y=16 และ g=9.8 ที่เวลา t=2 s การกระจัดแนวนอนคือ x=12×2=24 m และการกระจัดแนวตั้งคือ y=16×2-9.8×2²/2=12.4 m ที่จุดสูงสุด v_y=0 แต่ v_x ยังคงอยู่ 12

การเคลื่อนที่ของลูกขี้หนู และความเร่งแปรผัน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ความเร็วในแนวตั้งเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด ไม่หมายความว่าความเร็วรวมจะเป็นศูนย์
ระดับความสูงของการปล่อยและระดับความสูงของการลงไม่จำเป็นต้องเท่ากัน
อย่าใช้สูตรระยะทางที่สมมติว่าระดับความสูงเท่ากันโดยไม่ตรวจสอบให้แน่ใจ

Watch out

ไม่เป็นจริง: ความเร็วรวมของวัตถุที่ถูกยิงจะเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด ที่จุดยอดนั้นความเร็วในแนวตั้งจะเป็นศูนย์ แต่ความเร็วในแนวนอนยังคงมีอยู่ ดังนั้นความเร็วจึงไม่ใช่ศูนย์

การนำไปใช้

สำหรับความเร่งแปรผัน ให้อินทิเกรต a(t) เพื่อหาค่า v(t) และใช้ความเร็วดั้งต้นเพื่อหาค่าคงที่ จากนั้นอินทิเกรตเพื่อหาการกระจัด
ยืนยันหน่วยและช่วงเวลาทางฟิสิกส์

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit M2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

วัตถุถูกยิง: อนุภาคที่เคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงหลังการปล่อยในโมเดลที่ละเลยแรงต้านอากาศ
แยกความเร็วดั้งต้นออกเป็นองค์ประกอบแนวนอน u cosθ และองค์ประกอบแนวตั้ง u sinθ
ระวัง: ความเร็วในแนวตั้งเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด ไม่หมายความว่าความเร็วรวมจะเป็นศูนย์

S1 · สรุปข้อมูล ฮิสโตแกรม และการตีความ

ค่าเฉลี่ยสามารถบอกเรื่องราวทั้งหมดได้หรือไม่?

กลุ่มข้อมูลสองกลุ่มมีค่ามัธยฐานเท่ากันแต่มีการกระจายตัวต่างกัน การสรุปผลเพียงข้อเดียวไม่สามารถอธิบายทั้งตำแหน่งและการคงที่ของข้อมูลได้
บทเรียนนี้ศึกษา ความหนาของความถี่ (Frequency Density): ความถี่หารด้วยขนาดชั้น ใช้เป็นความสูงของฮิสโตแกรม

วิธีปฏิบัติ

เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและช่วงการกระจายที่เหมาะสมในบริบท
กราฟฮิสโตแกรมใช้พื้นที่แทนความถี่ ดังนั้น ความสูง = ความหนาแน่นของความถี่ / ช่วงชั้น
การประมาณค่าแบบจัดกลุ่มสมมติว่ามีค่าที่เป็นตัวแทนภายในแต่ละช่วง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

ตัวอย่าง

กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 10 ถึง 20 มีความถี่ 30 จะมีความหนาแน่น 30/10=3. กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 20 ถึง 40 มีความถี่ 20 จะมีความหนาแน่น 20/20=1. แท่งที่กว้างกว่านี้ไม่ควรทำให้เข้าใจผิดว่าเป็นความหนาแน่นที่สูงกว่า สำหรับค่า 2,4,4,6,9, ค่ามัธยฐานคือ 4 และค่าเฉลี่ยคือ 5.

สรุปข้อมูล ฮิสโตแกรม และการตีความ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

แท่งที่เตี้ยที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด
ค่าเฉลี่ยแบบจัดกลุ่มเป็นการประมาณค่าเท่านั้น
ความสัมพันธ์เชิงสถิติไม่พิสูจน์ถึงความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล และการคาดนอกช่วงข้อมูลขยายผลลัพธ์เกินขอบเขตที่สังเกตได้

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ความสูงของแท่งกราฟฮิสโตแกรมเท่ากับความถี่เสมอ แม้จะมีช่วงชั้นที่ไม่เท่ากัน ในกรณีที่มีช่วงชั้นไม่เท่ากัน ความสูงคือความหนาแน่นของความถี่ ส่วนความถี่คือพื้นที่ของแท่ง

การนำไปใช้

เลือกการแสดงผลให้เหมาะสมกับประเภทข้อมูล
ให้ผลการเปรียบเทียบเป็นตัวเลขและความหมายต่อประชากร พร้อมระบุระดับความแม่นยำที่ตัวอย่างรองรับได้ ไม่ควรสรุปเกินจริง

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit S1.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความหนาแน่นของความถี่: ความถี่หารด้วยขนาดช่วงชั้น ใช้เป็นความสูงของแท่งในกราฟฮิสโตแกรม
เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและช่วงการกระจายที่เหมาะสมในบริบท
ระวัง: แท่งที่สูงที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด

S1 · ความน่าจะเป็น, ต้นไม้ และเหตุผลแบบมีเงื่อนไข

อะไรเปลี่ยนไปหลังจากการสุ่มครั้งแรก?

ถุงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและลูกบอลสีน้ำเงิน 2 ลูก การเลือกสองลูกโดยไม่แทนที่จะเปลี่ยนโอกาสในการได้สีของลูกบอลลูกที่สอง
บทเรียนนี้ศึกษา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรัดขอบเขตตัวอย่างลงตามเงื่อนไขที่กำหนด

วิธีปฏิบัติ

คูณตามกิ่งของต้นไม้แล้วบวกกิ่งที่ไม่ทับซ้อนกัน
การสุ่มแบบมีคืน ส่วนประกอบจะคงที่
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือ P(A เมื่อ B)=P(A∩B)/P(B), สำหรับ P(B)>0

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

ตัวอย่าง

Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.

Probability, trees and conditional reasoning — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง
เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะไม่เป็นอิสระต่อกัน

Watch out

ไม่เป็นจริง: เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกต้องเป็นอิสระต่อกัน เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะขึ้นต่อกัน: หากเกิดเหตุการณ์หนึ่ง อีกเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้น P(A และ B)=0≠P(A)P(B)

การนำไปใช้

ตารางสองมิติช่วยให้เห็นตัวส่วนที่จำกัดชัดเจน
ก่อนใช้ผลคูณ P(A)P(B) ต้องให้เหตุผลว่าเหตุการณ์เป็นอิสระจากบริบทหรือข้อมูลที่กำหนดให้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit S1.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรวมตัวอย่างทั้งหมดไว้ในเงื่อนไขที่กำหนด
คูณตามกิ่งของต้นไม้แล้วบวกกิ่งที่ไม่ทับซ้อนกัน
ระวัง: แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง

S1 · การถดถอย, แบบจำลองการเงิน และค่าคงเหลือ

การทำนายได้รับการสนับสนุนจากข้อมูลหรือไม่?

เส้นตรงทำนายเวลาเดินทางด้วยรถบัสจากระยะทาง ความผิดพลาดในการคำนวณเล็กน้อยมีความสำคัญน้อยกว่าการใช้โมเดลนอกเหนือจากขอบเขตข้อมูลที่สนับสนุน
บทเรียนนี้ศึกษา ค่าเหลือเชื่อ (Residual): ค่าที่สังเกตได้ลบด้วยค่าที่โมเดลปรับแล้วทำนายไว้

วิธีปฏิบัติ

โมเดลเชิงเส้น y=a+bx มีจุดตัดแกน a และความชัน b พร้อมหน่วยทางบริบท
ตรวจสอบเศษเหลือและช่วงของข้อมูล
สำหรับเปอร์เซ็นต์เปลี่ยนแปลงซ้ำๆ ให้ใช้โมเดลเรขาคณิต สำหรับเงินกู้ยืม ต้องแยกแยะระหว่างต้นทุน อัตราดอกเบี้ย จำนวนชำระ และช่วงเวลา

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$

ตัวอย่าง

โมเดลที่ปรับให้เข้ากับข้อมูล t=8+2d คาดการณ์เวลา 18 นาที ที่ d=5 กม. หากเวลาสังเกตได้จริงคือ 21 ค่า residual คือ 3 นาที การฝากเงิน ¥1000 ที่ดอกเบี้ยทบต้นรายปี 5% จะกลายเป็น 1000×1.05³=1157.625 หลัง 3 ปี

การถดถอย โมเดลทางการเงิน และค่าเหลือเชื่อ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การเข้ากันที่ดีของโมเดลไม่พิสูจน์ถึงกลไกความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล
ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์วัดความสัมพันธ์เชิงเส้น ไม่ใช่ความชัน
ผลลัพธ์จากเครื่องคิดเลขต้องถูกแปลผลเป็นโมเดล ตรวจสอบ และตีความใหม่

Watch out

ไม่ถูกต้อง: สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สูงอนุญาตให้คาดนอกช่วงได้อย่างเชื่อถือได้ในทุกระยะ โมเดลที่สร้างจากข้อมูลจะเชื่อถือได้เฉพาะใกล้กับข้อมูลนั้นเท่านั้น การคาดนอกช่วงไกลๆ นั้นไม่เชื่อถือได้

การนำไปใช้

ในหลักสูตร IB AI ให้บันทึกแหล่งข้อมูล ขอบเขตตัวแปร สมมติฐาน และวิธีใช้เครื่องคิดเลข
เปรียบเทียบโมเดลทางเลือกและประเมินการคาดการณ์ด้วยผลต่าง残差 (residuals)
คำตอบทางการเงินต้องระบุเวลาชำระเงินและว่าดอกเบี้ยมีการทบต้นหรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit S1.

Key idea

ค่าคงเหลือ: ค่าที่สังเกตได้ลบด้วยค่าที่โมเดลที่ปรับแล้วทำนายไว้
โมเดลเชิงเส้น y=a+bx มีจุดตัดแกน a และความชัน b พร้อมหน่วยทางบริบท
ระวัง: การจับคู่ที่ดีไม่พิสูจน์ว่ามีความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ

S1 · โมเดลทวินาม, ปกติ และปัวซอง

อะไรทำให้จำนวนนับสามารถคาดเดาได้?

ผู้ตรวจสอบคุณภาพนับสินค้าเสีย จำนวนนั้นเป็นค่าสุ่ม แต่โมเดลสามารถอธิบายช่วงที่เป็นไปได้ของมัน
บทเรียนนี้ศึกษา ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

วิธีปฏิบัติ

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ให้รวมความน่าจะเป็นให้เท่ากับ 1 และคำนวณ E(X) = ผลรวม xP(X=x)
สำหรับโมเดลปกติ ใช้สูตร z=(x-μ)/σ และคำนวณพื้นที่ที่เหมาะสม

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$E(X)=\sum xP(X=x),\quad z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$

ตัวอย่าง

ถ้า X รับ 0,1,2 ด้วยความน่าจะเป็น 0.2,0.5,0.3, E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1. นอกจากนี้ E(X²)=0+0.5+1.2=1.7, ดังนั้น Var(X)=1.7-1.1²=0.49. สำหรับ μ=100,σ=15, ค่าของ 130 จะมี z=2

โมเดลทวินาม ปกติ และปอยซง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ไม่ใช่ทุกการนับเป็นทวินาม: การเปลี่ยน p หรือความขึ้นอยู่กับตัวอื่นอาจทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้
สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นของค่าใดค่าหนึ่งที่มีค่าแน่นอนจะมีเป็นศูนย์
การปรับความต่อเนื่องมีความสำคัญเมื่อประมาณการการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องด้วยการแจกแจงปกติ

Watch out

ไม่เป็นจริง: ตัวแปรสุ่มที่มีสามค่าที่เป็นไปได้จำเป็นต้องเป็นแบบเบย์เซียน โมเดลแบบเบย์เซียนต้องการการทดลองที่เป็นอิสระและความน่าจะเป็นคงที่ การทดลองที่พึ่งพากันจะทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้

การนำไปใช้

S1 ครอบคลุมตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและการแจกแจงปกติ
โมเดลแบบเบย์เซียนและปอยซงที่ระบุชื่อเป็นเนื้อหาใน S2

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit S1.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ให้รวมความน่าจะเป็นให้เท่ากับ 1 และคำนวณ E(X) = ผลรวม xP(X=x)
Watch for: not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it.

S2 · โมเดลทวินาม, ปกติ และปัวซอง

อะไรทำให้จำนวนนับสามารถคาดเดาได้?

ผู้ตรวจสอบคุณภาพนับสินค้าเสีย จำนวนนั้นเป็นค่าสุ่ม แต่โมเดลสามารถอธิบายช่วงที่เป็นไปได้ของมัน
บทเรียนนี้ศึกษา ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

วิธีปฏิบัติ

โมเดลทวินามต้องการ n ที่คงที่ การทดลองที่เป็นอิสระ ผลลัพธ์สองชนิด และความน่าจะเป็น p ที่คงที่
E(X)=np และ Var(X)=np(1-p)
สำหรับโมเดลปกติ ให้ใช้ z=(x-μ)/σ
โมเดลปอยซ็องใช้สำหรับนับจำนวนที่มีอัตราคงที่และสมมติฐานความเป็นอิสระที่เหมาะสม

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ X แบนอมิอัล(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 และ Var(X)=0.8 สำหรับปริมาณปกติที่มี μ=100, σ=15, ค่า 130 มี z=2 ปอยซง mean = 3 ต่อชั่วโมง ให้ mean = 6 ตลอดสองชั่วโมง

จุดที่ผิดพลาด

ไม่ใช่ทุกการนับเป็นทวินาม: การเปลี่ยน p หรือความขึ้นอยู่กับตัวอื่นอาจทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้
สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นของค่าใดค่าหนึ่งที่มีค่าแน่นอนจะมีเป็นศูนย์
การปรับความต่อเนื่องมีความสำคัญเมื่อประมาณการการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องด้วยการแจกแจงปกติ

Watch out

ไม่เป็นจริง: จำนวนความสำเร็จทุกจำนวนมีการแจกแจงแบบทวินามโดยไม่ขึ้นกับความขึ้นกัน การแจกแจงแบบทวินามต้องการการทดลองที่เป็นอิสระและมีความน่าจะเป็นคงที่; การทดลองที่ขึ้นกันจะทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้

การนำไปใช้

เขียนเหตุการณ์ให้อยู่ในรูปอสมการก่อนใช้ฟังก์ชันการแจกแจงบนเครื่องคิดเลข
แยกแยะระหว่าง P(X<k), P(X≤k) และส่วนหางที่เติมเต็ม
ระบุสมมติฐานในบริบทที่เกี่ยวข้อง

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย S2.

Key idea

ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
โมเดลทวินามต้องการ n ที่คงที่ การทดลองที่เป็นอิสระ ผลลัพธ์สองชนิด และความน่าจะเป็น p ที่คงที่
Watch for: not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it.

S2 · การสุ่มตัวอย่างและชุดข้อมูลขนาดใหญ่

ข้อมูลส่วนไหนหายไป?

ฐานข้อมูลสภาพอากาศมีข้อมูลสูญหายและสถานีวัดหลายแห่ง การ treating แต่ละบรรทัดเหมือนกันอาจทำให้การเปรียบเทียบคลาดเคลื่อนได้
บทเรียนนี้ศึกษา กรอบตัวอย่าง: รายการหรือคำนิยามประชากรที่เลือกตัวอย่างออกมาจากนั้น

วิธีปฏิบัติ

ระบุประชากร หน่วยสุ่ม และกรอบตัวอย่าง
แยกแยะการสุ่มแบบสุ่ม, แบบระบบ, แบบแบ่งชั้น, แบบโควตา และการสุ่มแบบโอกาส
ข้อมูลที่หายไปไม่ใช่ศูนย์; ยืนยันหน่วย วันที่ และนิยามตัวแปรก่อนเปรียบเทียบตัวอย่าง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$n_i=n\frac{N_i}{N}$$

ตัวอย่าง

ประชากรมี 120 นักเรียนในกลุ่มหนึ่ง และ 80 อีกกลุ่มหนึ่ง ตัวอย่างแบ่งชั้นตามสัดส่วนขนาด 30 ต้องการ 30×120/200=18 จากกลุ่มแรก และ 12 จากกลุ่มที่สอง จากนั้นต้องมีการสุ่มภายในแต่ละกลุ่ม

จุดที่ผิดพลาด

ตัวอย่างที่มีอคติขนาดใหญ่ยังคงมีอคติ
การแบ่งชั้นไม่ใช่การเลือกผู้ที่มีอยู่ในกลุ่มนั้นๆ จากแต่ละกลุ่ม
ความคุ้นเคยกับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ของ AQA ต้องใช้ข้อมูลที่จัดเตรียมมาและเมทาดาต้าจริง ไม่ใช่ค่าสภาพอากาศที่สมขึ้นมาเอง

Watch out

ไม่เป็นจริง: การเพิ่มสองเท่าของตัวอย่างที่มีอคติจะขจัดอคติในการเลือกตัวอย่างได้ ตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้นที่เก็บด้วยวิธีที่มีอคติเดียวกันจะยังคงมีอคติเดิม; การสุ่มที่ดีกว่าเท่านั้นที่จะขจัดอคติได้

การนำไปใช้

สำหรับ AQA ให้ใช้ชุดข้อมูลขนาดใหญ่อย่างเป็นทางการในกิจกรรมสเปรดชีตภายใต้การดูแล: ระบุตัวแปร อธิบายเหตุผลสำหรับการเปรียบเทียบ ตรวจสอบข้อมูลที่ยังขาดหาย สร้างการแสดงข้อมูล และอธิบายข้อจำกัด
บันทึกการตัดสินใจพร้อมกับการวิเคราะห์

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย S2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

กรอบตัวอย่าง: รายการหรือคำนิยามของประชากรที่สุ่มตัวอย่างออกมาจากนั้น
ระบุประชากร หน่วยสุ่ม และกรอบตัวอย่าง
ระวัง: ตัวอย่างที่มีอคติขนาดใหญ่ยังคงมีอคติ

S2 · การทดสอบสมมติฐานและการสรุปผลตามบริบท

โอกาสสามารถอธิบายผลลัพธ์นี้ได้หรือไม่?

โรงงานอ้างว่าสินค้าเสียเพียง 10% ตัวอย่างที่เก็บมาพบความเสียหายน้อยกว่าที่อ้าง แต่โอกาสเพียงอย่างเดียวอาจอธิบายความแตกต่างได้บางส่วน
บทเรียนนี้ศึกษา ระดับนัยสำคัญ: ขอบเขตความน่าchosenเพื่อปฏิเสธสมมติฐานศูนย์

วิธีปฏิบัติ

ระบุ H₀ และ H₁ เป็นพารามิเตอร์ของประชากรก่อนตรวจสอบผลลัพธ์
คำนวณความน่าจะเป็นส่วนหางที่เหมาะสมภายใต้ H₀
ปฏิเสธ H₀ เมื่อมีหลักฐานสอดคล้องกับกฎระดับนัยสำคัญที่กำหนด; มิฉะนั้นระบุว่าไม่มีหลักฐานเพียงพอ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$

ตัวอย่าง

สำหรับ H₀:p=0.1 และ H₁:p>0.1 เมื่อ n=10 การสังเกตข้อบกพร่องอย่างน้อย 3 ครั้งมีโอกาส 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. ที่ระดับ 5% นี้เป็นหลักฐานที่ไม่เพียงพอที่จะสรุปว่าอัตราข้อบกพร่องเกิน 10%

การทดสอบสมมติฐานและการสรุปตามบริบท — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การไม่ปฏิเสธ H₀ ไม่ได้พิสูจน์ว่า H₀ เป็นจริง
เลือกส่วนหางจาก H₁ ไม่ใช่จากส่วนหางที่ให้ค่าเล็กที่สุด
นัยสำคัญทางสถิติไม่ได้วัดขนาดของการเปลี่ยนแปลงในทางปฏิบัติ

Watch out

ไม่เป็นจริง: การไม่ปฏิเสธสมมติฐานศูนย์พิสูจน์ว่ามันเป็นจริง การไม่ปฏิเสธสมมติฐานศูนย์หมายความว่าไม่มีหลักฐานเพียงพอที่จะปฏิเสธมันเท่านั้น

การนำไปใช้

สรุปด้วยประโยคเกี่ยวกับประชากรและข้ออ้างเดิม
ระบุสมมติฐานของโมเดลและพิจารณาว่าวิธีการสุ่มตัวอย่างสนับสนุนสมมติฐานเหล่านี้หรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย S2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ระดับนัยสำคัญ: ค่าเกณฑ์ความน่าจะเป็นที่เลือกไว้เพื่อปฏิเสธสมมติฐานศูนย์
ระบุ H₀ และ H₁ เป็นพารามิเตอร์ของประชากรก่อนตรวจสอบผลลัพธ์
ระวัง: การไม่ปฏิเสธ H₀ ไม่ได้พิสูจน์ว่า H₀ เป็นจริง

S2 · การแจกแจงต่อเนื่องและฟังก์ชันความหนาแน่น

ความสูงเท่ากับความน่าจะเป็นหรือไม่?

เวลาที่รอสามารถมีค่าใดก็ได้ในช่วง ความน่าจะเป็นมาจากพื้นที่ ไม่ใช่ความสูงของกราฟ ณ วินาทีหนึ่ง
บทเรียนนี้ศึกษา ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น: ฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบ whose integral over an interval gives its probability

วิธีปฏิบัติ

ฟังก์ชันความหนาแน่น f ต้องมีค่าไม่ติดลบและอินทิเกรตได้เท่ากับ 1 บนช่วงที่กำหนด
ฟังก์ชันการกระจายสะสม F(x) คือผลอินทิกรัลตั้งแต่ต้นจนถึง x
สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง P(X=x)=0 และ E(X) คือผลอินทิกรัลของ xf(x)

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int f(x)\,dx=1,\qquad E(X)=\int xf(x)\,dx$$

ตัวอย่าง

ให้ f(x)=kx on 0≤x≤2 และศูนย์ที่อื่น การทำให้เป็นมาตรฐานให้ integral_0^2 kx dx=2k=1, ดังนั้น k=1/2 จากนั้น P(X≤1)=integral_0^1 x/2 dx=1/4 และ E(X)=integral_0^2 x²/2 dx=4/3

Continuous distributions and density functions — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

ความหนาแน่นสามารถมีค่าเกิน 1 ได้โดยไม่ผิดกฎ แต่พื้นที่ทั้งหมดต้องเท่ากับ 1
ฟังก์ชันการกระจายสะสมไม่สามารถลดลงได้
ควรรวมบริเวณที่มีความหนาแน่นเป็นศูนย์ภายนอกช่วงที่กำหนดเข้าไว้ในการสร้างโมเดลที่สมบูรณ์

Watch out

ไม่เป็นจริง: ตัวแปรต่อเนื่องจะมี P(X=x) เท่ากับความสูงของความหนาแน่น f(x) สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง P(X=x)=0; ความน่าจะเป็นคือพื้นที่ใต้กราฟความหนาแน่น

การนำไปใช้

สำหรับการแจกแจงสม่ำเสมอ ความหนาแน่นจะเท่ากับส่วนกลับของความยาวช่วง
หาค่ากลางหรือเปอร์เซนไทล์โดยใช้ความน่าจะเป็นสะสม และใช้อินทิกรัลที่รองรับการกระจายเพื่อหาค่าโมเมนต์

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย S2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความหนาของความน่าจะเป็น: ฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบwhose integral over an interval gives its probability.
ฟังก์ชันความหนาแน่น f ต้องมีค่าไม่ติดลบและอินทิเกรตได้เท่ากับ 1 บนช่วงที่กำหนด
ระวัง: ความหนาแน่นสามารถเกิน 1 ได้โดยไม่ผิดกฎ; พื้นที่รวมต้องเท่ากับ 1

D1 · อัลกอริทึม, กราฟ และการวางแผนเชิงเส้น

เครือข่ายที่ถูกที่สุดหรือเส้นทางสั้นที่สุด?

โรงเรียนต้องเชื่อมต่อบนอาคารด้วยสายเคเบิล เส้นทางสั้นที่สุดระหว่างอาคารสองแห่งและเครือข่ายทั้งหมดที่ถูกที่สุดเป็นปัญหาคนละอย่างกัน
บทเรียนนี้ศึกษา ต้นไม้ขยายตัวน้อยสุด (minimum spanning tree): เครือข่ายที่เชื่อมต่อไม่มีวงจร ซึ่งเชื่อมทุกจุดยอดด้วยน้ำหนักรวมของเส้นขอบที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

วิธีปฏิบัติ

Kruskal เลือกเส้นเชื่อมตามน้ำหนักที่เพิ่มขึ้นโดยหลีกเลี่ยงวงรอบ
Dijkstra อัปเดต shortest tentative distances จากจุดเริ่มต้น
การวางแผนเชิงเส้นเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้นเหนือพื้นที่ที่เป็นไปได้; ตรวจสอบจุดยอดและข้อจำกัดจำนวนเต็มเมื่อจำเป็น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$Z=3x+2y,\qquad x+y\le4,\quad x\le2,\quad x,y\ge0$$

ตัวอย่าง

สำหรับจุดยอด A,B,C,D และเส้นขอบ AB=2, BC=3, AC=4, CD=1, BD=5, Kruskal เลือก CD, AB, BC รวม 6 เส้นทางสั้นสุดจาก A ไป D คือ A-B-C-D รวม 6 เช่นกัน แต่ความเท่าเทียมนี้อาจเกิดขึ้นโดยบังเอิญ เพิ่มค่า 3x+2y โดย x+y≤4, x≤2, x,y≥0: จุดยอดที่ดีที่สุดคือ (2,2), ค่า 10

อัลกอริทึม เครือข่าย และการวางแผนเชิงเส้น — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ต้นไม้ครอบคลุมไม่มีวงรอบและเชื่อมต่อกับทุกจุดยอด
เส้นเชื่อมที่มีน้ำหนักมากที่สุดไม่ได้ถูกตัดออกอัตโนมัติจากคำตอบที่ดีที่สุดทุกกรณี
อัลกอริทึมหาเส้นทางสั้นที่สุดไม่สามารถแทนที่อัลกอริทึมต้นไม้ครอบคลุมค่าน้อยสุดได้

Watch out

ไม่ถูกต้อง: เส้นทางสั้นสุดระหว่างจุดยอดสองจุดต้องเป็นต้นไม้ครอบคลุมค่าน้อยสุดของเครือข่ายทั้งหมด เส้นทางสั้นสุดเชื่อมต่อจุดยอดเพียงสองจุด ในขณะที่ต้นไม้ครอบคลุมค่าน้อยสุดเชื่อมต่อทุกจุดยอดด้วยน้ำหนักรวมอย่างน้อย ดังนั้นจึงตอบคำถามที่แตกต่างกัน

การนำไปใช้

สำหรับเส้นทางสำคัญ คำนวณเวลาเหตุการณ์ที่เร็วที่สุดและช้าที่สุดและระบุกิจกรรมที่มีเวลาเหลือเป็นศูนย์
ระบุหน่วยและตีความผลลัพธ์ที่เหมาะสมที่สุด
บัญชีเก็บข้อมูลเดิมไม่มีคู่ D1 ดังนั้นงานต้นฉบับเหล่านี้จึงไม่ได้สร้างฐานข้อสอบย้อนหลัง D1 ที่ผ่านการตรวจสอบแล้ว

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย D1.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ต้นไม้ครอบคลุมค่าน้อยสุด: เครือข่ายที่เชื่อมโยงกัน ไม่มีวงรอบ เชื่อมต่อทุกจุดยอด โดยมีน้ำหนักรวมของเส้นเชื่อมต่ำสุดเท่าที่จะเป็นไปได้
Kruskal เลือกเส้นเชื่อมตามน้ำหนักที่เพิ่มขึ้นโดยหลีกเลี่ยงวงรอบ
ระวัง: ต้นไม้ครอบคลุมไม่มีวงรอบและเชื่อมต่อกับทุกจุดยอด

D1 · เส้นทางวิกฤตและการวางแผนเวลา

กิจกรรมทุกอย่างต้องรอให้กิจกรรมอื่นเสร็จก่อนหรือไม่?

กิจกรรมในงานโรงเรียนสามารถดำเนินการไปพร้อมกันได้ การนำระยะเวลาของแต่ละกิจกรรมมาบวกกันทั้งหมดจะทำให้ประมาณเวลาสิ้นสุดที่น้อยที่สุดสูงเกินจริง
บทเรียนนี้ศึกษาเรื่อง float (เวลาที่ยืดหยุ่น): ระยะเวลาที่กิจกรรมสามารถล่าช้าได้โดยไม่ทำให้การสิ้นสุดของโครงการล่าช้าภายใต้โมเดลเครือข่าย

วิธีปฏิบัติ

For an activity network, calculate earliest event times forward and latest event times backward.
เวลาเหลือรวมสำหรับกิจกรรม i ไป j คือ L_j-E_i-duration
กิจกรรมวิกฤตมีเวลาเหลือรวมเป็นศูนย์; อาจมีเส้นทางวิกฤตมากกว่าหนึ่งเส้น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$F_{ij}=L_j-E_i-d_{ij}$$

ตัวอย่าง

กิจกรรม A=3 และ B=5 เริ่มต้นพร้อมกัน C=4 ตามหลัง A และ D=2 ตามหลังทั้ง B และ C เวลาสิ้นสุดเร็วที่สุดของ C คือ 7; D ต้องรอจนกว่า max(5,7)=7 และสิ้นสุดที่ 9 เส้นทาง A-C-D เป็นเส้นทางสำคัญ; B มี float 2

เส้นทางการสำคัญและการจัดตาราง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

อย่าบวกระยะเวลาของกิจกรรมขนานที่เป็นอิสระ
กิจกรรมที่มีเวลาเหลือรวมเป็นศูนย์อยู่ในเส้นทางวิกฤต แต่อาจมีเส้นทางดังกล่าวหลายเส้น
ข้อจำกัดทรัพยากรอาจทำให้ตารางงานมีความยาวมากกว่าขั้นต่ำทางทฤษฎีของเครือข่าย

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ระยะเวลาโครงการที่สั้นที่สุดไม่ใช่ผลรวมของระยะเวลาทุกกิจกรรม กิจกรรมที่ทำงานพร้อมกันจะทับซ้อนกัน ระยะเวลาที่สั้นที่สุดคือความยาวของเส้นทางสำคัญ

การนำไปใช้

วาดความสัมพันธ์ตามลำดับก่อนกำหนดเวลา
แยกแยะระหว่างระยะเวลาของกิจกรรมกับช่วงเวลาของเหตุการณ์
อธิบายว่าความล่าช้าส่งผลต่อวันสิ้นสุดอย่างไร และบันทึกสมมติฐานเกี่ยวกับทรัพยากรใดๆ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย D1.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เวลาว่าง: ระยะเวลาที่กิจกรรมสามารถถูกเลื่อนออกไปโดยไม่ทำให้วันสิ้นสุดล่าช้าภายใต้โมเดลเครือข่าย
For an activity network, calculate earliest event times forward and latest event times backward.
ระวัง: อย่านำระยะเวลาของกิจกรรมแบบขนานที่ไม่เกี่ยวข้องกันมารวมกัน

D1 · การจัดเรียง, การบรรจุและอัลกอริทึมเครือข่าย

วิธีการบรรจุที่รวดเร็วเป็นวิธีที่ดีที่สุดเสมอหรือไม่?

วิธีการบรรจุที่รวดเร็วช่วยเติมกล่องได้อย่างเต็มที่ แต่การจัดวางที่ถูกต้องและรวดเร็วอาจไม่ได้ใช้จำนวนกล่องน้อยที่สุด
บทเรียนนี้ศึกษาเรื่อง algorithm (อัลกอริทึม): ชุดคำสั่งที่มีลำดับและจำกัดจำนวน ที่แก้ปัญหาประเภทที่กำหนดไว้

วิธีปฏิบัติ

ติดตามอัลกอริทึมที่ระบุอย่างละเอียด รวมถึงกฎการแก้เสมอ
ในการบรรจุแบบฟิตแรก วางแต่ละสิ่งของลงในกล่องที่มีพื้นที่ว่างเป็นอันดับแรกที่สามารถรองรับสิ่งของนั้นได้
ฟิตแรกแบบลดลำดับจะจัดเรียงก่อนนำไปใช้ฟิตแรก
วิธีฮิวริสติกอาจถูกต้องโดยไม่จำเป็นต้องเป็นวิธีที่ดีที่สุดเสมอไป

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$B_{\min}\ge\left\lceil\frac{\sum s_i}{C}\right\rceil$$

ตัวอย่าง

เมื่อความจุของ bin คือ 10 และรายการคือ 6,5,4,3,2 ตามลำดับนั้น first-fit วาง 6 และ 4 ลงใน bin 1 จากนั้นวาง 5,3,2 ลงใน bin 2 ใช้ทั้งหมด 2 bins ขนาดรวมคือ 20 ดังนั้นขอบเขตล่างคือ ceil(20/10)=2; การจัดวางนี้จึงเป็นวิธีที่ดีที่สุดสำหรับกรณีนี้

การเรียงลำดับ การบรรจุ และอัลกอริทึมเครือข่าย — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ตัวอย่างความสำเร็จหนึ่งไม่ได้พิสูจน์ว่าวิธีฮิวริสติกจะดีที่สุดสำหรับทุกกรณี
รักษารายชื่อกลางไว้ในขั้นตอนการเรียงลำดับ; อย่าข้ามจากข้อมูลต้นทางไปยังรายการที่เรียงลำดับเรียบร้อยแล้วโดยตรง
การอัปเดต shortest-path ต้องเก็บข้อมูล predecessor ไว้หากมี route ที่ถูกขอ

Watch out

ไม่ถูกต้อง: วิธีฮิวริสติกสำหรับการบรรจุที่ทำงานได้ดีในตัวอย่างหนึ่งต้องเป็นวิธีที่ดีที่สุดเสมอ วิธีฮิวริสติกให้คำตอบที่ดีได้รวดเร็วแต่ไม่รับประกันว่าจะเป็นวิธีที่ดีที่สุดสำหรับข้อมูลเข้าทุกชุด

การนำไปใช้

สำหรับอัลกอริทึมของไดจกสตรา ให้เลือกฉลากชั่วคราวที่ยังไม่ได้ตัดสินใจที่มีค่าน้อยที่สุด และอัปเดตเพื่อนบ้านของมัน
สำหรับปัญหาการตรวจสอบเส้นทาง ให้แยกแยะระหว่างเส้นทางปิดและเส้นทางเปิด และระบุจุดยอดที่มีดีกรีเป็นจำนวนคี่ก่อนทำการจับคู่

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics, หน่วย D1.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

อัลกอริทึม: ชุดคำสั่งที่มีลำดับจำนวนจำกัดที่แก้ปัญหาประเภทที่กำหนดให้
ติดตามอัลกอริทึมที่ระบุอย่างละเอียด รวมถึงกฎการแก้เสมอ
ระวัง: ตัวอย่างความสำเร็จหนึ่งไม่ได้พิสูจน์ว่าวิธีฮิวริสติกจะดีที่สุดสำหรับทุกกรณี

หมายเหตุการเรียนรู้

YMA01: บทเรียนหลักสูตร

P1 · ดัชนี รากและรูปมาตรฐาน

ความยาวระดับจุลภาคมีขนาดเล็กแค่ไหน?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 · สมการกำลังสองอสมการ

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 ·เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส

ความชันของเส้นทางกลายเป็นสมการได้อย่างไร?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 · สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

เกร็ดต้องวางอยู่ด้านใด

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 · เรเดียน อุตินัยกรณ์และสมการตรีโกณมิติ

ขอบวงล้อเคลื่อนที่ได้ไกลแค่ไหน

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 · การหาอนุพันธ์และจุดคงที่

ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P1 · อินทิกรัล พื้นที่และการสะสม

How much change has accumulated?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P2 · การพิสูจน์โดยตรรกะ ความขัดแย้ง และการอุปมา

รูปแบบใดจะกลายเป็นการพิสูจน์?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P2 · สมการกำลังสองอสมการ

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P2 · เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส

ความชันของเส้นทางกลายเป็นสมการได้อย่างไร?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P2 · ลำดับชุดผลรวมและความสัมพันธ์แบบซ้ำ

การเปลี่ยนแปลงเป็นการบวกหรือคูณ?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

P2 · การขยายพหุนามทวิคูณและการประมาณค่าที่มีนัยสำคัญ