สื่อการสอนต้นฉบับ ตรวจสอบช่องว่างในการครอบคลุมหลักสูตรและข้อกำหนดปัจจุบันของโรงเรียนก่อนนำไปใช้ในการประเมินผล

YFM01: เอกสารการสอนหลักสูตร

เวอร์ชัน: ฉบับ3, เมษายน2019; สอนครั้งแรก2018; ประเมินหน่วยตั้งแต่2019

นี่คือหมายเหตุการสอนต้นฉบับ โดยแต่ละบทเรียนจะถูกติดป้ายกำกับตามระดับความยาก

FP1 · คณิตศาสตร์เชิงซ้อนและรากของสมการกำลังสอง

หากรากไม่ใช่จำนวนจริง?

สมการ x²+1=0 ไม่มีรากเป็นจำนวนจริง การขยายระบบจำนวนช่วยให้เราสามารถแสดงและคำนวณกับรากทั้งสองได้
บทเรียนนี้ศึกษา คู่สมมูลเชิงซ้อน: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ

วิธีปฏิบัติ

เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
บวกองค์ประกอบ คูณวงเล็บ และใช้จำนวน-query เพื่อทำให้ตัวส่วนของการหารเป็นจำนวนจริง
รากไม่จริงของสมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์จริงเกิดขึ้นเป็นคู่-query

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

ตัวอย่าง

สำหรับ z=3+4i, |z|=5 และคู่สมมูลของ z=3-4i ค่าผกผันคือ (3-4i)/25 สำหรับ x²-6x+13=0 รากคือ 3±2i การคูณด้วยคู่สมมูลทำให้ตัวส่วนที่เป็นจำนวนจริง

การคำนวณเชิงซ้อนและรากของสมการกำลังสอง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลบวกของรากที่สอง
ฟังก์ชันท.Elementsary tangent แบบย้อนกลับเพียงอย่างเดียวอาจให้ผลลัพธ์ที่ผิดควอดรันต์
อย่าสับสนระหว่างโมดูลัสกับโมดูลัสกำลังสอง

Watch out

ไม่เป็นความจริง: สำหรับ a+bi โมดูลัสของมันคือ a+b โมดูลัสคือ √(a²+b²): สำหรับ 3+4i มีค่าเป็น 5 ไม่ใช่ 7

การนำไปใช้

FP1 ใช้ arithmetic ที่ซับซ้อน, modulus, รูป Argand และรากสมการกำลังสอง
กำลังของดีมอยเวอและรากของเอกภาพสงวนไว้สำหรับ FP2 เท่านั้น

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

จำนวนสมนัย: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ
เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
ระวัง: รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลรวมของรากที่สอง

FP1 · พาราโบลาและไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พารามิเตอร์ที่หมุนสามารถวาดวงรีได้อย่างไร?

วงรีสามารถวาดโดยพารามิเตอร์ที่หมุนได้แม้ว่าจะอธิบายยากว่าเป็นฟังก์ชัน y=f(x) เดียว
บทเรียนนี้ศึกษา พาราโบลา: เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดโฟกัสคงที่และเส้น.directrix คงที่เท่ากัน

วิธีปฏิบัติ

For y²=4ax, the focus is (a,0), directrix x=-a and vertex (0,0).
สำหรับ xy=c² แก่พิกัดเป็นเส้นประชิด
อ่านค่าพารามิเตอร์จากสัมประสิทธิ์ อย่าสันนิษฐานว่าเท่ากับ 4a

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y^2=12x,\quad xy=9$$

ตัวอย่าง

For y²=12x, a=3: the focus is (3,0) and directrix x=-3. At x=3, y=±6; at (3,6), distance to the focus and directrix is 6. For xy=9, the point (3,3) lies on the hyperbola and x=0,y=0 are its asymptotes.

Parabolas and rectangular hyperbolas — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

สัมประสิทธิ์ของ x คือ 4a ไม่ใช่ a
รวมทั้งสองเครื่องหมายเมื่อแก้สมการ y²
เส้นประชิดถูกเข้าใกล้ แต่ไม่ใช่จุดตัดที่มีจำกัดของ xy=c²

Watch out

ไม่เป็นจริง: สำหรับ y²=4ax พิกัด x ของจุดโฟกัสคือ 4a การกำจัดตัวแปรอาจทำให้สูญเสียข้อจำกัด: x=t², y=t จะได้ x=y², แต่ x≥0 และทิศทางของการเคลื่อนที่ต้องระบุแยกต่างหาก

การนำไปใช้

FP1 รองรับเรขาคณิตพิกัดสำหรับวงพาราโบลาและไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยม
พื้นที่วงรีและการกำหนดพารามิเตอร์วงรีไม่อยู่ในขอบเขต

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Parabola: The locus of points equally distant from a fixed focus and a fixed directrix.
For y²=4ax, the focus is (a,0), directrix x=-a and vertex (0,0).
ระวัง: สัมประสิทธิ์ของ x คือ 4a ไม่ใช่ a

FP1 · การดำเนินการเมทริกซ์, อินเวอร์ส และการแปลงระนาบ

เวกเตอร์พื้นฐานไปอยู่ที่ไหน?

แผนที่ยืดแนวหนึ่งและบิดอีกแนวหนึ่ง เมทริกซ์บันทึกการแปลงของแต่ละเวกเตอร์พื้นฐาน
บทเรียนนี้ศึกษา ดีเทอร์มิแนนต์: สเกลาร์ที่กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถกลับด้านได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย

วิธีปฏิบัติ

เมทริกซ์ 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์ ad-bc และมีอินเวอร์ส [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์
แปลงเวกเตอร์คอลัมน์ด้วยการคูณด้วยเมทริกซ์จากทางซ้าย
เมทริกซ์ที่อยู่ทางขวาจะทำงานก่อนในผลคูณ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

ตัวอย่าง

สำหรับ A=[[2,1],[0,3]], det A=6. A(1,2)=(4,6). อินเวอร์สของเมทริกซ์คือ [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. ตรวจสอบโดยการคูณ A กับอินเวอร์สเพื่อผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

การดำเนินการเมทริกซ์, อินเวอร์ส และการแปลงระนาบ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่
A determinant of zero means the transformation loses a dimension and has no inverse.
ค่าเฉพาะและการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเป็นเนื้อหาขั้นสูง ไม่ใช่เนื้อหาเวกเตอร์ GCSE ปกติ

Watch out

ไม่เป็นจริง: เมทริกซ์สี่เหลี่ยมทุกตัวมีอินเวอร์ส เมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีดิเทอร์มิแนนต์ 0 เป็นเมทริกซ์เอกฐานและไม่มีอินเวอร์ส

การนำไปใช้

FP1 ใช้การดำเนินการเมทริกซ์ขนาด 2×2, การหาอินเวอร์ส และการแปลงระนาบ
ค่าเฉพาะและการทำให้เป็นทแยงมุม 3×3 อยู่ใน FP3 ไม่ใช่หน่วยนี้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ดิเทอร์มิแนนต์: สเกลาร์ที่ใช้กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถหาอินเวอร์สได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย
เมทริกซ์ 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์ ad-bc และมีอินเวอร์ส [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์
ระวัง: การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่

FP1 · การแบ่งครึ่งและวิธีหาค่ารากของนิวตัน

ความน่าเชื่อถือของค่าประมาณมีอย่างไร?

สมการไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนที่สะดวก ค่าประมาณยังต้องการหลักฐานว่ามีความน่าเชื่อถือ
บทเรียนนี้ศึกษา การทำซ้ำ: การอัปเดตซ้ำที่แต่ละค่าประมาณใหม่คำนวณจากค่าก่อนหน้า

วิธีปฏิบัติ

สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ให้แบ่งช่วงรากครึ่งหนึ่งและเก็บครึ่งที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกับจุดปลาย
นิวตันอัปเดต x เป็น x-f(x)/f prime(x) โดยที่อนุพันธ์ต้องไม่เท่ากับศูนย์

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$

ตัวอย่าง

สำหรับ f(x)=x²-2, f(1)=-1 และ f(2)=2. ที่จุดกลาง 1.5, f=0.25 ดังนั้นช่วงใหม่คือ [1,1.5]. ที่จุดกลาง 1.25, f=-0.4375 ดังนั้นช่วงถัดไปคือ [1.25,1.5]. ใช้วิธี Newton จาก 1.5 จะได้ 1.4166667.

การหารากด้วยการแบ่งช่วงและวิธี Newton — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ต้องมีการเปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง
Newton อาจล้มเหลวหากอนุพันธ์เป็นศูนย์ หรือหากค่าซ้ำออกนอกโดเมนที่มีประโยชน์

Watch out

Not true: Every sign change proves a root, including one across a discontinuity. A sign change shows a root only if the function is continuous there: 1/x changes sign across x=0 but has no root.

การนำไปใช้

วิธีเชิงตัวเลขของ FP1 เกี่ยวข้องกับการหาราก: การแบ่งช่วงครึ่ง, การประมาณค่า และวิธีของ Newton
การอินทิเกรตเชิงตัวเลขไม่รวมอยู่ในบทเรียนนี้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การทำซ้ำ: การอัปเดตแบบซ้ำๆ ที่ซึ่งค่าประมาณใหม่แต่ละค่าคำนวณจากค่าประมาณก่อนหน้า
สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ให้แบ่งช่วงรากครึ่งหนึ่งและเก็บครึ่งที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกับจุดปลาย
ระวัง: ต้องมีการเปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง

FP1 · ผลรวมจำกัดและการพิสูจน์โดยอุปนัย

โพลิโนมิอัลสามารถแทนที่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลใกล้จุดหนึ่งได้หรือไม่?

ใกล้จุดที่ทราบค่าแล้ว ฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามารถถูกแทนที่ด้วยการประมาณค่าด้วยโพลิโนมิอัล การประมาณค่านี้จำเป็นต้องมีจุดศูนย์กลางและสเกลที่เหมาะสม
บทเรียนนี้ศึกษา สัญลักษณ์ซิกมา: สัญลักษณ์ที่รวมพจน์ที่มีดัชนีเหนือช่วงจำกัดที่กำหนดไว้

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ k=1 ถึง n, ผลรวม k=n(n+1)/2, ผลรวม k²=n(n+1)(2n+1)/6 และผลรวม k³=[n(n+1)/2]².
ความแตกต่างระหว่างพจน์ติดกันอาจเกิดผลเทเลสโคปได้
ในการพิสูจน์โดยอุปนัย ให้ตรวจสอบกรณีเริ่มต้นและแสดงว่ากรณีถัดไปเป็นผลมาจากสมมติฐาน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$

ตัวอย่าง

สำหรับ n=5, ผลรวม k=15, ผลรวม k²=1+4+9+16+25=55 และผลรวม k³=1+8+27+64+125=225. ในการพิสูจน์สูตรผลรวม การเพิ่มพจน์ที่ (n+1) เข้ากับนิพจน์ที่ยอมรับแล้ว จะต้องให้ผลลัพธ์เป็นสูตรที่มี n แทนด้วย n+1

Finite sums and induction — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

ผลรวมของกำลังสองไม่เท่ากับกำลังสองของผลรวม
ระบุช่วงดัชนีและตรวจสอบกรณีแรก; ขั้นตอนอุปนัยเพียงอย่างเดียวไม่ใช่การพิสูจน์อุปนัยที่สมบูรณ์

Watch out

ไม่เป็นจริง: ผลรวมของพจน์กำลังสองเท่ากับกำลังสองของผลรวม พหุนามเทย์เลอร์เป็นการประมาณค่า ซึ่งมักมีความแม่นยำเฉพาะบริเวณใกล้จุดศูนย์กลางเท่านั้น

การนำไปใช้

FP1-series ที่จำกัดและการพิสูจน์โดยอุปนัยรองรับเพียงเท่านั้น
การประมาณค่ามาคลาเรนและเทย์เลอร์อยู่ในหน่วยเพิ่มเติมทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ระดับสูงและถูกตัดออก

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สัญลักษณ์ซิกมา: สัญลักษณ์ที่รวมพจน์ที่มีดัชนีเหนือช่วงจำกัดที่กำหนดไว้
สำหรับ k=1 ถึง n, ผลรวม k=n(n+1)/2, ผลรวม k²=n(n+1)(2n+1)/6 และผลรวม k³=[n(n+1)/2]².
ระวัง: ผลรวมของกำลังสองไม่เท่ากับกำลังสองของผลรวม

FP1 · การอนุมาน, ความขัดแย้ง และการพิสูจน์โดยอุปนัย

รูปแบบใดจะกลายเป็นการพิสูจน์?

การตรวจสอบจำนวนเต็มหลายตัวอาจชี้ให้เห็นถึงลวดลายอะไรจะเปลี่ยนลวดลายนั้นให้กลายเป็นบทพิสูจน์สำหรับจำนวนเต็มทุกตัว?
This lesson studies counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.

วิธีปฏิบัติ

การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
A counterexample refutes an all-values claim.
การพิสูจน์โดยอุปนัยต้องการกรณีพื้นฐานและการเชื่อมโยงจาก n=k ไปยัง n=k+1; การตรวจสอบกรณีต่อเนื่องกันเพียงอย่างเดียวไม่ใช่การพิสูจน์อุปนัย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$

ตัวอย่าง

สำหรับจำนวนเต็มคี่ 2a+1 และ 2b+1, ผลรวม theirs คือ 2(a+b+1), ดังนั้นเป็นจำนวนคู่. ข้ออ้างว่า n²+n+41 เป็นจำนวนเฉพาะเสมอ ล้มเหลวที่ n=41: ค่าที่ได้คือ 41×43=1763. สำหรับ 1+...+n=n(n+1)/2, ขั้นตอนอุปนัยเพิ่ม k+1 ลงในผลรวมที่ยอมรับแล้ว

Deduction, contradiction and induction — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

อย่าสมมติผลลัพธ์whileกำลังพิสูจน์มัน
ในความขัดแย้ง, ระบุผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้และปฏิเสธสมมติฐานตรงกันข้ามเริ่มต้น
การอุปนัยไม่ใช่สิ่งบังคับใน AQA 7357; มันอยู่ในขอบเขตคณิตศาสตร์เพิ่มเติมที่เหมาะสมของตนเอง

Watch out

ไม่เป็นจริง: การตรวจสอบจำนวนเต็มสิบตัวแรกเป็นการพิสูจน์ข้อกล่าวอ้างสำหรับจำนวนเต็มบวกทุกจำนวน รูปแบบอาจถูกต้องสำหรับสิบเคสแรกแล้วล้มเหลวในภายหลัง การพิสูจน์ต้องครอบคลุมทุกกรณี

การนำไปใช้

การพิสูจน์ของ AQA รวมถึงการอนุมาน, การพิจารณากรณีครบถ้วน และการขัดแย้ง
IAL P2 introduces exhaustion and counterexample, while P4 introduces contradiction.
รักษาวิธีการให้ตรงกับหน่วยที่ระบุ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Counterexample: A single valid case that disproves a universal claim.
การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากรูปแบบหรือสมมติฐานที่กำหนดไว้
ระวัง: อย่าสันนิษฐานว่าข้อสรุปเป็นจริงขณะกำลังพิสูจน์

FP2 · สมการกำลังสองและอสมการ

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

ล้อมรั้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ x(10-x) ความกว้างใดให้พื้นที่อย่างน้อย 21 ตารางเมตร?
บทเรียนนี้ศึกษา discriminant: ปริมาณ b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของสมการ ax²+bx+c=0

วิธีปฏิบัติ

แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
อสมการกำลังสองต้องการพิจารณาเครื่องหมายบนช่วง ไม่ใช่แค่รากเท่านั้น
discriminant (ค่าดีคริมิแนนต์) ใช้ระบุรากซ้ำหรือรากจริงที่หายไป

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$

ตัวอย่าง

เงื่อนไขคือ x(10-x)≥21 ดังนั้น x²-10x+21≤0 แยกตัวประกอบได้ (x-3)(x-7)≤0 พาราโบลาเปิดขึ้นจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์ระหว่างราก ทำให้ได้ 3≤x≤7 พื้นที่สูงสุดคือ 25 ที่ x=5

Quadratics and inequalities — Diagram สอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ
แผนภาพต้องแสดงว่าด้านใดของรากแต่ละตัวเป็นจริงต่ออสมการ
เรขาคณิตอาจจำกัดค่า x เพิ่มเติม

Watch out

ไม่เป็นจริง: ค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นบวกหมายความว่าสมการกำลังสองไม่มีรากจริง ค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นบวกหมายถึงมีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่า ส่วนค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นลบหมายถึงไม่มีรากจริง

การนำไปใช้

ใช้จุดยอดเพื่อตีความค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
ตรวจสอบจุดปลายและจุดหนึ่งระหว่างราก; ผลคำนวณทางพีชคณิตและกราฟควรบอกเรื่องราวเดียวกัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ค่าดีคริมิแนนต์ (Discriminant): ค่า b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของ ax²+bx+c=0
แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
ระวัง: การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ

FP2 ·อนุกรม,ผลต่างจำกัด และการขยายเทย์เลอร์

โพลิโนมิอัลสามารถแทนที่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลใกล้จุดหนึ่งได้หรือไม่?

ใกล้จุดที่ทราบค่าแล้ว ฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามารถถูกแทนที่ด้วยการประมาณค่าด้วยโพลิโนมิอัล การประมาณค่านี้จำเป็นต้องมีจุดศูนย์กลางและสเกลที่เหมาะสม
บทเรียนนี้ศึกษา โพลิโนมิอัลเทย์เลอร์: โพลิโนมิอัลที่สร้างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดศูนย์กลางที่กำหนดไว้

วิธีปฏิบัติ

เมื่อ x=a, f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... เมื่อการกระจายมีความถูกต้อง
เมื่อ a=0 จะเป็นการกระจายของแมคลอเรน
ผลบวกจำกัดอาจลดรูปด้วยการตัดทอนหรือใช้สูตรผลบวกมาตรฐาน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots$$

ตัวอย่าง

สามพจน์แรกของการขยาย e^x คือ 1+x+x²/2. ที่ x=0.1 ค่าที่ได้คือ 1.105 ซึ่งใกล้เคียงกับ e^0.1≈1.105170. สำหรับผลบวกของ k² จาก k=1 ถึง 5, n(n+1)(2n+1)/6 ให้ค่า 5×6×11/6=55.

Series, finite differences and Taylor expansions — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

ตัวคูณ factorial ต้องอยู่ในตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ Taylor ทุกตัว
จุดศูนย์กลางของการกระจายไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์เสมอไป
การประมาณค่าใกล้จุดศูนย์กลางอาจผิดพลาดเมื่ออยู่ห่างออกไป

Watch out

ไม่จริง: พหุนาม Taylor มีค่าเท่ากับฟังก์ชันต้นฉบับที่ทุกค่าเข้าพหุนาม Taylor เป็นเพียงการประมาณค่า มักจะแม่นยำเฉพาะบริเวณใกล้จุดศูนย์กลางเท่านั้น

การนำไปใช้

สำหรับอนุกรมเทเลสโคปิก ให้เขียนหลายพจน์และระบุปลายทั้งสองที่ยังคงเหลืออยู่
สำหรับการประมาณค่าด้วย Taylor ระบุระดับของพหุนามและเปรียบเทียบกับค่าที่ทราบหรือค่าความคลาดเคลื่อนตามต้องการ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

พหุนาม Taylor: พหุนามที่สร้างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดศูนย์กลางที่กำหนด
เมื่อ x=a, f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... เมื่อการกระจายมีความถูกต้อง
ระวัง: ตัวคูณ factorial ต้องอยู่ในตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ Taylor ทุกตัว

FP2 · จำนวนเชิงซ้อนและรากของจำนวนเชิงซ้อน

หากรากไม่ใช่จำนวนจริง?

สมการ x²+1=0 ไม่มีรากเป็นจำนวนจริง การขยายระบบจำนวนช่วยให้เราสามารถแสดงและคำนวณกับรากทั้งสองได้
บทเรียนนี้ศึกษา คู่สมมูลเชิงซ้อน: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ

วิธีปฏิบัติ

เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
จำนวน-queryate คือ a-bi และ z คูณจำนวน-queryate = a²+b²
โมดูลัสคือ √(a²+b²); อาร์กิวเมนต์ต้องใช้จตุภาคที่ถูกต้อง
ราก-queryate เกิดขึ้นในพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

ตัวอย่าง

จำนวนเชิงซ้อนและราก — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลบวกของรากที่สอง
ฟังก์ชันท.Elementsary tangent แบบย้อนกลับเพียงอย่างเดียวอาจให้ผลลัพธ์ที่ผิดควอดรันต์
อย่าสับสนระหว่างโมดูลัสกับโมดูลัสกำลังสอง

Watch out

การนำไปใช้

วาดแกนจำนวนจริงแนวนอนและแกนจำนวนจินตภาพแนวตั้ง
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน โมดูลัสคูณกันและอาร์กิวเมนต์บวกกัน;เลขยกกำลังขยายรูปแบบเรขาคณิตนี้ผ่านทฤษฎีบทเดอมอยฟวร์

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

จำนวนสมนัย: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ
เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
ระวัง: รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลรวมของรากที่สอง

FP2 · สมการเชิงอนุพันธ์และการแก้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข

ค่าเริ่มต้นกำหนดอะไร?

อัตราการเติบโตของประชากรแปรผันตรงกับขนาดปัจจุบัน อัตราสมการอธิบายครอบครัวทั้งหมดจนกว่าจะมีจำนวนประชากรเริ่มต้นที่กำหนดมา
บทเรียนนี้ศึกษา initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหาค่า A
วิธีของออยเลอร์ใช้ y_next=y+h f(x,y) โดยเลือกขนาดขั้น h

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

ตัวอย่าง

ด้วย dy/dx=0.5y และ y(0)=2, ได้ y=2e^(0.5x). วิธีของเออร์ลาร์ด้วย h=0.2 ให้ y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 และ y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. ค่าที่แม่นยำของค่าที่สองอยู่ที่ประมาณ 2.4428

สมการเชิงอนุพันธ์และการหาคำตอบแบบตัวเลข — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต
การหารด้วย y อาจทำให้พลาดคำตอบสมดุล y=0
ความแม่นยำของ Euler ขึ้นอยู่กับขนาดขั้นและสมการ

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ขนาดขั้นทุกขนาดให้ค่าประมาณด้วยวิธีของออยเลอร์เท่ากันเป๊ะ วิธีของออยเลอร์ขึ้นอยู่กับขนาดขั้น; ขั้นที่เล็กว่ามักให้ค่าที่แม่นยำกว่า

การนำไปใช้

สำหรับสมการเชิงเส้นอันดับสอง รวมฟังก์ชันประกอบกับอินทิกรัลเฉพาะที่เหมาะสม แล้วใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
นี่คือขอบเขตของ Further Pure; ตรวจสอบหน่วยที่ระบุชื่อ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ
สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
ระวัง: Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต

FP2 · สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง

ทำไมเราต้องกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นสองค่า?

โมเดลการกระจัดมีทั้งความเร็วและความเร่ง การแก้เพียงสมการอัตราอันดับเดียวไม่สามารถจับคู่เงื่อนไขเริ่มต้นทั้งสองได้
บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันเสริม (complementary function): ซึ่งเป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบโฮโมเจนีนัสที่เกี่ยวข้อง

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y double prime+ay prime+by=f(x), แก้สมการกำลังสองช่วยสำหรับส่วนโฮโมจีนีOUS
เพิ่มอินทิกรัลเฉพาะที่เหมาะสมสำหรับพจน์กระตุ้น
รากซ้ำและรากเชิงซ้อนต้องการรูปแบบที่ถูกต้อง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f(x),\qquad m^2+am+b=0$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y''-3y'+2y=0 สมการช่วยคือ m²-3m+2=0 ซึ่งมีราก 1,2 ดังนั้น y=Ae^x+Be^(2x) เมื่อ y(0)=1 และ y'(0)=0 จะได้ A+B=1 และ A+2B=0 ดังนั้น A=2, B=-1

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ค่าคงที่สุ่มสองค่าต้องใช้เงื่อนไขอิสระสองอย่าง
หากอินทิกรัลเฉพาะที่ลองใช้ซ้ำกับพจน์ในฟังก์ชันประกอบ ให้คูณด้วย x ตามที่จำเป็น
อย่าทิ้งคำตอบแบบสั่นที่ถูกต้องเพราะรากช่วยเป็นเชิงซ้อน

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ค่าเริ่มต้นหนึ่งค่าเพียงพอที่จะกำหนดค่าคงที่สองค่าในคำตอบทั่วไปอันดับสอง คำตอบอันดับสองมีค่าคงที่สองค่า ดังนั้นจึงต้องใช้สองเงื่อนไข

การนำไปใช้

ดิฟเฟอเรนตिएชน์-expressionสุดท้ายและแทนค่าลงในสมการดิฟเฟอเรนเชียลเดิม
ตรวจสอบเงื่อนไขเริ่มต้นทั้งสองแยกต่างหาก และตีความช่วงคำตอบที่ยอมรับได้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ฟังก์ชันประกอบ: คำตอบทั่วไปของสมการดิฟเฟอเรนเชียลเชิงเส้นโฮโมจีนีOUSที่เกี่ยวข้อง
สำหรับ y double prime+ay prime+by=f(x), แก้สมการกำลังสองช่วยสำหรับส่วนโฮโมจีนีOUS
ระวัง: ค่าคงที่สุ่มสองค่าต้องใช้เงื่อนไขอิสระสองอย่าง

FP2 · เส้นโค้งขั้วและพื้นที่

ทำไมถึงอธิบายเส้นโค้งโดยทิศทาง?

เส้นโค้งรูปกลีบดอกจะง่ายกว่าเมื่อรัศมีขึ้นอยู่กับพิกัดคาร์ทีเซียนอาจซ่อนโครงสร้างนี้ไว้ได้
บทเรียนนี้ศึกษา พิกัดขั้ว: ตำแหน่งที่อธิบายด้วยระยะ r และมุม θ จากจุดกำเนิดและรังอ้างอิงที่กำหนด

วิธีปฏิบัติ

ใช้ x=r cosθ และ y=r sinθ
พื้นที่ในพิกัดขั้วคือครึ่งหนึ่งของอินทิกรัลของ r² เทียบกับ θ ในช่วงที่เลือกอย่างเหมาะสม
ระบุความสมมาตรและการวาดซ้ำก่อนกำหนดขอบเขต

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad A=\frac12\int r^2\,d\theta$$

ตัวอย่าง

สำหรับ r=2 และ θ=π/3, x=1 และ y=√3 สำหรับวงกลม r=2 ในรอบเต็ม A=(1/2) ∫_0^(2π) 4 dθ=4π รอบครึ่งให้ 2π พอดีครึ่งหนึ่งของดิสก์

เส้นโค้งขั้วและพื้นที่ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ค่า r ลบทำให้จุดอยู่ในทิศทางตรงข้าม ไม่ใช่ระยะทางลบธรรมดาตามรังเดียวกัน
การกำหนดพารามิเตอร์อาจวาดพื้นที่เดิมหลายครั้ง ดังนั้นช่วงพารามิเตอร์เต็มอาจนับพื้นที่เกิน

Watch out

ไม่จริง: การใช้ช่วงพารามิเตอร์เต็มใดๆ นับแต่ละพื้นที่ในพิกัดขั้วได้หนึ่งครั้งเท่านั้น ช่วงต้องตรงกับรอบของเส้นโค้ง; หากช่วงยาวเกินไปจะนับพื้นที่ซ้ำสองครั้ง

การนำไปใช้

วาดจุดให้เพียงพอเพื่อกำหนดทิศทางและขอบเขต
สำหรับพื้นที่ปิดระหว่างเส้นโค้งสองเส้น ให้หาจุดตัดและตรวจสอบว่าค่า r² ของเส้นโค้งใดเป็นขอบเขตภายนอกในแต่ละช่วง

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP2.
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

พิกัดขั้ว: ตำแหน่งที่อธิบายด้วยระยะ r และมุม θ จากจุดอ้างอิงและรังอ้างอิงที่กำหนด
ใช้ x=r cosθ และ y=r sinθ
ระวัง: ค่า r ลบทำให้จุดอยู่ในทิศทางตรงข้าม ไม่ใช่ระยะทางลบธรรมดาตามรังเดียวกัน

FP3 · ฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิกและความสัมพันธ์ผกผัน

การเติบโตและการลดลงสามารถทำให้กราฟสมมาตรได้อย่างไร?

สายเคเบิลที่ห้อยลงมีรูปร่างโค้งซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผสมผสานการเติบโตและการลดลงอย่างสมมาตร
บทเรียนนี้ศึกษา โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก: ฟังก์ชัน cosh x=(e^x+e^(-x))/2

วิธีปฏิบัติ

นิยาม sinh x=(e^x-e^(-x))/2 และ cosh x=(e^x+e^(-x))/2
อัตลักษณ์ของฟังก์ชันคือ cosh²x-sinh²x=1
อนุพันธ์ของ sinh prime=cosh และ cosh prime=sinh

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\qquad \cosh^2x-\sinh^2x=1$$

ตัวอย่าง

ที่ x=ln2, e^x=2 และ e^(-x)=1/2 ดังนั้น cosh x=1.25 และ sinh x=0.75.ผลต่างกำลังสองของพวกเขาคือ 1.5625-0.5625=1. ในการหาฟังก์ชันกลับของ y=sinh x ให้แก้สมการกำลังสองใน e^x และเลือกรากที่เป็นบวก

ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกและความสัมพันธ์ผกผัน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

เอกลักษณ์ไฮเปอร์โบลิกมีเครื่องหมายลบ cosh ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนเซตจำนวนจริงทั้งหมด; ฟังก์ชันผกผันมาตรฐานใช้ x≥0
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติวงกลมทั่วไปไม่สามารถแทนค่าได้โดยไม่เปลี่ยนแปลง

Watch out

ไม่ถูกต้อง: เอกลักษณ์สำหรับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกคือ cosh²x+sinh²x=1. เอกลักษณ์ไฮเปอร์โบลิกที่ถูกต้องคือ cosh²x−sinh²x=1.

การนำไปใช้

ใช้นิยามเอ็กซ์โพเนนเชียลเพื่อพิสูจน์เอกลักษณ์และแก้สมการ
ระบุขอบเขตของฟังก์ชันก่อนหาอนุพันธ์หรือหาอินทิกรัล

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

คอสไฮเปอร์โบลิก: ฟังก์ชัน cosh x=(e^x+e^(-x))/2
นิยาม sinh x=(e^x-e^(-x))/2 และ cosh x=(e^x+e^(-x))/2
ระวัง: เอกลักษณ์ไฮเปอร์โบลิกมีเครื่องหมายลบ cosh ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนเซตจำนวนจริงทั้งหมด; ฟังก์ชันผกผันมาตรฐานใช้ x≥0

FP3 · ก้อนกรวย, เส้นโค้งพารามิเตอร์ และการพิจารณาเส้นสัมผัส

พารามิเตอร์ที่หมุนสามารถวาดวงรีได้อย่างไร?

วงรีสามารถวาดโดยพารามิเตอร์ที่หมุนได้แม้ว่าจะอธิบายยากว่าเป็นฟังก์ชัน y=f(x) เดียว
บทเรียนนี้ศึกษา สมการพารามิเตอร์: การแสดงพิกัดโดยใช้ตัวแปรร่วมเดียวกัน

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ x=a cos t,y=b sin t, การกำจัด t จะได้ x²/a²+y²/b²=1
สำหรับเส้นโค้งพารามิเตอร์ dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt), โดยที่ dx/dt≠0
ตัวส่วนเป็นศูนย์อาจบ่งบอกถึงสัมผัสแนวตั้ง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

ตัวอย่าง

สำหรับ x=3cos t,y=2sin t ที่ t=π/4, ความชันคือ (2cos t)/(-3sin t)=-2/3 จุดนั้นคือ (3/√2,√2) พื้นที่ภายในวงรีคือ πab=6π; กึ่งแกนนั่นคือ 3 และ 2

รูปแสดงเส้นโค้งควอดริก, เส้นโค้งพารามิเตอร์ และการหาสมการสัมผัส — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การกำจัดตัวแปรอาจทำให้สูญเสียขอบเขตหรือทิศทางในการเคลื่อนที่
สัมผัสแนวตั้งไม่สามารถกำหนดค่า dy/dx ที่เป็นจำนวนจำกัดได้
แยกแยะระหว่างกึ่งแกนกับความกว้างเต็ม

Watch out

ไม่ถูกต้อง: การกำจัดตัวแปรจะรักษาทุกข้อจำกัดและทิศทางโดยอัตโนมัติ การกำจัดอาจทำให้สูญเสียข้อจำกัด: x=t², y=t จะได้ x=y², แต่ x≥0 และทิศทางของการเคลื่อนที่ต้องระบุแยกต่างหาก

การนำไปใช้

สำหรับเรขาคณิตเชิงพิกัดขั้นสูง ให้ใช้สมการที่กำหนดและตัวแปรที่สอดคล้องกัน
สำหรับการอินทิเกรตพารามิเตอร์ใน IAL P4 ให้ใช้ข้อกำหนดที่จำกัดตามหลักสูตรแทนการนำวงรีและไฮเพอร์โบลาจาก Pure Mathematics ทั้งหมดเข้ามา

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สมการพารามิเตอร์: รูปแบบการแทนค่าที่แสดงพิกัดโดยใช้ตัวแปรร่วม
สำหรับ x=a cos t,y=b sin t, การกำจัด t จะได้ x²/a²+y²/b²=1
ระวัง: การกำจัดตัวแปรอาจทำให้สูญเสียข้อจำกัดของโดเมนหรือทิศทางการเคลื่อนที่

FP3 · การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่, คูณ, หาร และแบบล่องหน

ส่วนในของ-expression เปลี่ยนแปลงด้วยหรือไม่?

กราฟต้นทุนเป็นกำลังของ expression ที่มีการเปลี่ยนแปลง การหาอนุพันธ์เฉพาะกำลังภายนอกอย่างเดียวจะพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรภายใน
บทเรียนนี้ศึกษา กฎลูกโซ่: กฎที่คูณด้วยอนุพันธ์ภายนอกด้วยอนุพันธ์ภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
สำหรับ uv, หาอนุพันธ์ได้เป็น u prime v+uv prime.
สำหรับ u/v, ใช้สูตร (u prime v-uv prime)/v², โดยที่ v≠0.

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. ที่ x=0, ความชันคือ 12. สำหรับ x²+y²=25, แยกตัวแปรโดยปริยาย: 2x+2y y prime=0, ดังนั้น y prime=-x/y เมื่อ y≠0.

การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่ ผลคูณ ส่วนผล และเชิงนัย — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
ในการหาอนุพันธ์แบบนิพจน์ซ่อนตัว ทุกฟังก์ชันที่มี y จะต้องมี dy/dx เป็นปัจจัยร่วม
ตัวส่วนของอัตราส่วนจะถูกยกกำลังสอง

Watch out

ไม่เป็นจริง: อนุพันธ์ของ u(x)v(x) ไม่ใช่ u prime คูณ v prime กฎผลคูณคือ (uv)′=u′v+uv′: สำหรับ x·x อนุพันธ์คือ 2x, ไม่ใช่ 1×1=1.

การนำไปใช้

เลือกรูปสมการที่เหมาะสมก่อนหาอนุพันธ์: การกระจายพหุนามสั้นๆ อาจง่ายกว่า
สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง, เขียนความสัมพันธ์ในสัญลักษณ์, หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา, แล้วแทนค่าที่วัดได้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

กฎลูกโซ่: กฏที่นำอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกมาคูณกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ
สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
ระวัง: อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์

FP3 · การแทนที่, ส่วนประกอบ และการแยกเศษส่วนย่อย

เราสามารถอินทิเกรตตัวคูณทั้งสองแยกกันได้หรือไม่?

ผลคูณที่ดูง่ายอย่าง xe^x ไม่สามารถอินทิเกรตโดยการแยกอินทิเกรตแต่ละตัวคูณได้
บทเรียนนี้ศึกษา การอินทิเกรตด้วยการแทนที่: วิธีการอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ

วิธีปฏิบัติ

ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
ตามวิธีการแทนที่, อินทิกรัลของ u v prime = uv - อินทิกรัลของ u prime v
สำหรับฟังก์ชันเชิงตรรกยะ ให้หารก่อนหากจำเป็น แล้วแยกเป็นเศษส่วนย่อย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

ตัวอย่าง

สำหรับ integral xe^x dx, ตั้ง u=x และ v prime=e^x จะได้ integral คือ xe^x-e^x+C. สำหรับ integral 2x/(x²+1) dx, แทน w=x²+1, dw=2x dx; คำตอบคือ ln(x²+1)+C

Substitution, parts and partial fractions — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น
ในการแทนค่าแบบมีขอบเขต ให้เปลี่ยนขอบเขตหรือกลับไปที่ x ก่อนที่จะใช้ขอบเขตเดิม

Watch out

ไม่ถูกต้อง: อินทิกรัลของผลคูณเท่ากับผลคูณของอินทิกรัลแยกกัน ผลคูณต้องใช้วิธีเช่น การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วนหรือการแทนค่า: ∫x·x dx=x³/3 ไม่ใช่ (x²/2)(x²/2)

การนำไปใช้

ตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์
สำหรับปริมาตรของการหมุนรอบแกน x ใช้ V=π integral y² dx; อย่าสับสนระหว่างกำลังสองของฟังก์ชันกับอินทิกรัลของฟังก์ชัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วน: วิธีอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ
ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
ระวัง: การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น

FP3 · เวกเตอร์สามมิติ, เส้นตรง และมุม

เส้นทางที่ไม่ขนานกันยังสามารถข้ามกันไปโดยไม่ชนกันได้หรือไม่?

เส้นตรงสองเส้นในสามมิติอาจไม่ขนานกันและไม่ตัดกัน การวาดภาพสองมิติอาจบดบังความห่างระหว่างเส้นทั้งสอง
บทเรียนนี้ศึกษา เวกเตอร์ทิศทาง: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่กำหนดทิศทางของเส้นตรง

วิธีปฏิบัติ

เส้นตรงมี r=a+λb โดยที่ a เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งและ b เป็นเวกทอร์ทิศทางที่ไม่เป็นศูนย์
เพื่อหาจุดตัด ให้เท่าเทียมกันทุกองค์ประกอบแล้วแก้สมการเพื่อหาค่าพารามิเตอร์ของเส้นตรงทั้งสอง
สำหรับมุมใช้ a·b=|a||b|cosθ โดยผลคูณสเกลาร์อยู่ในหลักสูตรที่กำหนด

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf b,\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$$

ตัวอย่าง

สำหรับ a=(1,2,3),b=(2,-1,2), λ=2 ให้ r=(5,0,7). ขนาดของ b คือ √(4+1+4)=3. ด้วย c=(1,0,-1), b·c=2-2=0, ดังนั้น b และ c ตั้งฉากกัน

เวกเตอร์เชิงพื้นที่ เส้นตรง และมุม — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การทำให้อะไรก็ตามสอดคล้องกับสมการสององค์ประกอบไม่ได้การันตีว่าสมการที่สามจะถูกต้อง
เส้นตรงที่ไม่ขนานกันอาจเป็นเส้นตรงแบบเบี่ยงเบน
เวกทอร์ทิศทางของเส้นตรงไม่ใช่เวกเตอร์ตำแหน่ง และพารามิเตอร์สเกลาร์ไม่มีหน่วยพิกัด

Watch out

ไม่เป็นจริง: เส้นตรงที่ไม่ขนานกันสองเส้นในสามมิติต้องตัดกันเสมอ ในสามมิติเส้นตรงที่ไม่ขนานกันอาจเป็นเส้นตรงแบบเบี่ยงเบน: ซึ่งไม่ตัดกัน

การนำไปใช้

ระบุให้ชัดเจนว่ามุมที่ต้องการเป็นมุมแหลม, มุมที่มีทิศทาง หรือมุมระหว่างเส้นตรง
ใช้วิธีระนาบหรือวิธีระยะทางเฉพาะสำหรับหลักสูตรก็ต่อเมื่อจำเป็นสำหรับหน่วยเรียนนั้นเท่านั้น

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เวกเตอร์ทิศทาง: เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งระบุทิศทางของเส้นตรง
เส้นตรงมี r=a+λb โดยที่ a เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งและ b เป็นเวกทอร์ทิศทางที่ไม่เป็นศูนย์
ระวัง: การสอดคล้องกับสมการองค์ประกอบสองสมการไม่รับประกันว่าสมการที่สามจะถูกต้องด้วย

FP3 · การแปลงเมทริกซ์, อินเวอร์ส และค่าเฉพาะ

เวกเตอร์พื้นฐานไปอยู่ที่ไหน?

แผนที่ยืดแนวหนึ่งและบิดอีกแนวหนึ่ง เมทริกซ์บันทึกการแปลงของแต่ละเวกเตอร์พื้นฐาน
บทเรียนนี้ศึกษา ดีเทอร์มิแนนต์: สเกลาร์ที่กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถกลับด้านได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย

วิธีปฏิบัติ

เมทริกซ์ 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์ ad-bc และมีอินเวอร์ส [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์
แปลงเวกเตอร์คอลัมน์ด้วยการคูณด้วยเมทริกซ์จากทางซ้าย
เมทริกซ์ที่อยู่ทางขวาจะทำงานก่อนในผลคูณ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

ตัวอย่าง

สำหรับ A=[[2,1],[0,3]], det A=6. A(1,2)=(4,6). อินเวอร์สคือ [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. สมการลักษณะเฉพาะคือ (2-λ)(3-λ)=0 ดังนั้นค่าเฉพาะ (eigenvalues) คือ 2 และ 3.

การแปลงเมทริกซ์, อินเวอร์ส และค่า eigen — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่
A determinant of zero means the transformation loses a dimension and has no inverse.
ค่าเฉพาะและการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเป็นเนื้อหาขั้นสูง ไม่ใช่เนื้อหาเวกเตอร์ GCSE ปกติ

Watch out

การนำไปใช้

หาเวกเตอร์ eigen โดยแก้สมการ (A-λI)v=0 โดยที่ v≠0
อธิบายความหมายทางเรขาคณิต: เวกเตอร์นี้คงทิศทางเส้นไว้ภายใต้การแปลง

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย FP3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ดิเทอร์มิแนนต์: สเกลาร์ที่ใช้กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถหาอินเวอร์สได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย
เมทริกซ์ 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์ ad-bc และมีอินเวอร์ส [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์
ระวัง: การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่

M1 · จลนศาสตร์และกฎของนิวตัน

แรงใดที่ทำให้รถเข็นมีความเร่ง?

รถเข็นจะมีความเร่งเมื่อแรงเสียดทานต้านการเคลื่อนที่ แรงจากเครื่องยนต์เพียงอย่างเดียวไม่เท่ากับมวลคูณด้วยความเร่ง
บทเรียนนี้ศึกษา แรงลัพธ์: ผลรวมเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุที่จำลอง

วิธีปฏิบัติ

เลือกทิศทางบวกและวาดแผนภาพแรง
ใช้สมการ F=ma จากแรงลัพธ์
สำหรับความเร่งคงที่ v=u+at และ s=ut+at²/2
โมเดลอนุภาคละเลยขนาด; พื้นผิวเรียบละเลยแรงเสียดทาน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$F_{\mathrm{resultant}}=ma,\qquad s=ut+\frac12 at^2$$

ตัวอย่าง

รถเข็นมวล 5 กก. มีแรงขับเคลื่อน 18 N และแรงต้านทาน 3 N. แรงลัพธ์คือ 15 N, ดังนั้น a=15/5=3 m/s². เริ่มจากหยุดนิ่งเป็นเวลา 4 s ได้ v=0+3×4=12 m/s และ s=0×4+3×4²/2=24 m.

จลนศาสตร์และกฎของนิวตัน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

แรงปฏิกิริยาตั้งฉากอาจไม่เท่ากับน้ำหนักบนพื้นเอียง
โมเดลอนุภาคเชื่อมต่อกันต้องใช้สมการหนึ่งต่อหนึ่งอนุภาคและความสัมพันธ์ความเร่งที่สอดคล้องกัน
สูตรความเร่งคงที่ไม่สามารถใช้กับความเร่งแปรผันตามใจชอบได้

Watch out

ไม่เป็นจริง: สูตรความเร่งคงที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อความเร่งแปรผันตามเวลา สูตร suvat ต้องใช้กับความเร่งคงที่เท่านั้น; เมื่อความเร่งแปรผัน ให้ใช้แคลคูลัส

การนำไปใช้

อธิบายว่าสมมติฐานแต่ละอย่างอนุญาตให้ทำอะไรได้ และละเลยสิ่งใดไป
สำหรับกราฟความเร็ว-เวลา ความชันแทนความเร่ง และพื้นที่ที่มีเครื่องหมายแทนการกระจัด

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย M1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

แรงลัพธ์: ผลรวมของเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุที่ถูกจำลอง
เลือกทิศทางบวกและวาดแผนภาพแรง
ระวัง: แรงปฏิกิริยาตั้งฉากอาจไม่เท่ากับน้ำหนักบนทางลาด

M1 · เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง

ทำไมการกระจัดจึงสั้นกว่าระยะทางเดิน?

การเดิน 4 เมตรไปทางตะวันออกและ 3 เมตรไปทางเหนือ ให้การกระจัดเป็น 5 เมตร แม้ว่าจะเดินทางทั้งหมด 7 เมตร
บทเรียนนี้ศึกษา เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวมกัน

วิธีปฏิบัติ

บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันและลบตำแหน่งเวกเตอร์เพื่อหาการกระจัด
A translation moves every point by the same vector; a scalar multiple changes length and possibly direction.

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

ตัวอย่าง

เมื่อ a=(4,1) และ b=(1,3), a+b=(5,4). จาก A=(1,2) ไป B=(5,5), การกระจัด AB=(4,3). ขนาดของมันคือ √(4²+3²)=5.

เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB
Proving parallelism needs a scalar-multiple relation; a sketch alone is insufficient.
การขยายขนาดติดลบจะกลับด้านตำแหน่งเทียบกับจุดศูนย์กลาง

Watch out

ไม่เป็นจริง: AB และ BA มีองค์ประกอบเท่ากัน BA ไปในทิศทางตรงข้ามกับ AB ดังนั้น BA = -AB: ทุกองค์ประกอบจะเปลี่ยนเครื่องหมาย

การนำไปใช้

Use vector components, scalar multiples and magnitudes for displacements and forces.
หน่วยนี้ไม่จำเป็นต้องใช้ผลคูณสเกลาร์

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย M1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวม
บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันและลบตำแหน่งเวกเตอร์เพื่อหาการกระจัด
ระวัง: ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB

M1 · โมเมนต์ ความสมดุล และจุดศูนย์กลางมวล

ทำไมประแจที่ยาวกว่าถึงช่วยให้ทำงานได้ง่ายขึ้น?

ประแจที่ยาวกว่าหมุนน็อตได้ง่ายขึ้น ผลกระทบจากการหมุนขึ้นอยู่กับระยะตั้งฉากกับแรงด้วย
บทเรียนนี้ศึกษา โมเมนต์: แรงคูณด้วยระยะตั้งฉากจากแนวกระทำของแรงไปยังจุดหมุน

วิธีปฏิบัติ

เพื่อความสมดุล ทั้งแรงลัพธ์และโมเมนต์ลัพธ์ต้องเป็นศูนย์
ใช้จุดหมุนที่เหมาะสมเพื่อลบลบแรงที่ไม่ทราบค่าผ่านจุดนั้นออก
จุดศูนย์กลางมวลรวมคือตำแหน่งเฉลี่ยถ่วงด้วยมวล

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$M=Fd_{\perp},\qquad \sum M=0,\qquad \sum \mathbf F=\mathbf0$$

ตัวอย่าง

คาน 4 m ที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ มีน้ำหนัก 100 N และรองรับทั้งสองปลาย มีแรงเพิ่ม 60 N กระทำที่ระยะ 1 m จากด้านซ้าย การคำนวณโมเมนต์จากด้านซ้ายจะได้ 4R_right=100×2+60×1=260 ดังนั้น R_right=65 N สมดุลแนวตั้งให้ R_left=95 N

โมเมนต์ สมดุล และจุดศูนย์กลางมวล — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ใช้แขนงวดตั้งฉาก ไม่ใช่ระยะทแยงมุมไปยังจุดที่แรงกระทำ
แรงลัพธ์เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่ป้องกันไม่ให้วัตถุหมุน
ระบบรองรับที่ต้องการแรงปฏิกิริยาตั้งฉากเป็นลบอาจสูญเสียการสัมผัส

Watch out

ไม่เป็นความจริง: แรงลัพธ์เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวเพียงพอต่อการสมดุลของวัตถุแข็งตัว การสมดุลยังต้องการโมเมนต์ลัพธ์เป็นศูนย์ด้วย; แรงสองแรงเท่ากันแต่ทิศทางตรงข้ามในเส้นกระทำที่แตกต่างกันยังคงทำให้วัตถุหมุน

การนำไปใช้

สำหรับแผ่นบางที่สร้างจากส่วนต่างๆ ให้เลือกจุดกำเนิดร่วมและจัดตารางผลคูณมวล-พื้นที่ที่มีเครื่องหมายของแต่ละส่วน
พื้นที่ที่ถูกตัดออกจะมีมวลเป็นลบในการคำนวณนี้ ไม่ใช่วัสดุจริงที่มีมวลเป็นลบ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย M1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

โมเมนต์: แรงคูณด้วยระยะตั้งฉากจากเส้นกระทำของแรงไปยังจุดหมุน
เพื่อความสมดุล ทั้งแรงลัพธ์และโมเมนต์ลัพธ์ต้องเป็นศูนย์
ระวัง: ใช้แขนงวดตั้งฉาก ไม่ใช่ระยะทแยงมุมไปยังจุดที่แรงกระทำ

M1 · แผ่นเอียง แรงเสียดทาน และวัตถุที่เชื่อมต่อกัน

แรงเสียดทานถึงจุดสูงสุดแล้วหรือยัง?

กล่องบนพื้นเอียงอยู่ในสภาพหยุดนิ่ง แรงเสียดทานสามารถปรับให้สมดุลกับแรงที่ดึงลงตามแนวเอียงได้ โดยไม่จำเป็นต้องอยู่ที่ค่าสูงสุดเสมอไป
บทเรียนนี้ศึกษา แรงเสียดทานจำกัด (limiting friction): ค่าแรงเสียดทานสถิตสูงสุดก่อนเกิดการลื่นไถล ซึ่งเท่ากับ μ คูณด้วยปฏิกิริยาตั้งฉากในโมเดล

วิธีปฏิบัติ

แยกองค์ประกอบขนานและตั้งฉากกับระนาบ
องค์ประกอบของน้ำหนักคือ mg sinθ และ mg cosθ
แรงเสียดทานนิ่งสอดคล้องกับ F≤μR และเท่ากับ μR เฉพาะในกรณีจำกัดเท่านั้น
เขียนสมการแยกต่างหากสำหรับอนุภาคที่เชื่อมโยงกัน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$R=mg\cos\theta,\qquad F\le\mu R$$

ตัวอย่าง

กล่องมวล 5 kg บนทางลาดชัน 30° มีค่า R=5×9.8×cos30°≈42.44 N องค์ประกอบน้ำหนักที่ดึงลงตามทางลาดคือ 24.5 N ด้วยค่า μ=0.6, แรงเสียดทานสูงสุด≈25.46 N ดังนั้นจึงเกิดสมดุลได้โดยมีแรงเสียดทาน 24.5 N

ทางลาดชัน แรงเสียดทาน และอนุภาคที่เชื่อมต่อ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

แรงเสียดทานต้านทานการเคลื่อนที่หรือแนวโน้มที่จะเคลื่อนที่ ไม่ใช่ทิศทางพิกัดเสมอไป
เชือกเบาไม่ยืดตึงผ่านลูกกลิ้งเรียบให้แรงตึงเท่ากันและขนาดความเร่งร่วมกัน; สมมติฐานแต่ละอย่างมีหน้าที่เฉพาะ

Watch out

ไม่เป็นจริง: แรงเสียดทานนิ่งเท่ากับ μR พอดีแม้วัตถุจะไม่กำลังจะลื่นไถล แรงเสียดทานนิ่งมีค่าสูงสุดที่ μR เท่ากับ μR ก็ต่อเมื่อใกล้จะลื่นไถลเท่านั้น

การนำไปใช้

เริ่มจากแผนภาพแรงและทิศทางที่เสนอไว้ของการเคลื่อนที่
หากทิศทางที่คำนวณได้ขัดแย้งกับสมมติฐานแรงเสียดทาน ให้ทบทวนโมเดลแทนการคงเครื่องหมายที่ไม่สอดคล้องกัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย M1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

แรงเสียดทานจำกัด: แรงเสียดทานนิ่งสูงสุดก่อนลื่นไถล เท่ากับ μ คูณด้วยแรงปฏิกิริยาตั้งฉากในโมเดล
แยกองค์ประกอบขนานและตั้งฉากกับระนาบ
ระวัง: แรงเสียดทานต้านทานการเคลื่อนที่หรือแนวโน้มที่จะเคลื่อนที่ ไม่ใช่ทิศทางพิกัดเสมอไป

M2 · จลนศาสตร์และกฎของนิวตัน

แรงใดที่ทำให้รถเข็นมีความเร่ง?

รถเข็นจะมีความเร่งเมื่อแรงเสียดทานต้านการเคลื่อนที่ แรงจากเครื่องยนต์เพียงอย่างเดียวไม่เท่ากับมวลคูณด้วยความเร่ง
บทเรียนนี้ศึกษา แรงลัพธ์: ผลรวมเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุที่จำลอง

วิธีปฏิบัติ

เลือกทิศทางบวกและวาดแผนภาพแรง
ใช้สมการ F=ma จากแรงลัพธ์
สำหรับความเร่งคงที่ v=u+at และ s=ut+at²/2
โมเดลอนุภาคละเลยขนาด; พื้นผิวเรียบละเลยแรงเสียดทาน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$F_{\mathrm{resultant}}=ma,\qquad s=ut+\frac12 at^2$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

แรงปฏิกิริยาตั้งฉากอาจไม่เท่ากับน้ำหนักบนพื้นเอียง
โมเดลอนุภาคเชื่อมต่อกันต้องใช้สมการหนึ่งต่อหนึ่งอนุภาคและความสัมพันธ์ความเร่งที่สอดคล้องกัน
สูตรความเร่งคงที่ไม่สามารถใช้กับความเร่งแปรผันตามใจชอบได้

Watch out

การนำไปใช้

อธิบายว่าสมมติฐานแต่ละอย่างอนุญาตให้ทำอะไรได้ และละเลยสิ่งใดไป
สำหรับกราฟความเร็ว-เวลา ความชันแทนความเร่ง และพื้นที่ที่มีเครื่องหมายแทนการกระจัด

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย M2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

แรงลัพธ์: ผลรวมของเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุที่ถูกจำลอง
เลือกทิศทางบวกและวาดแผนภาพแรง
ระวัง: แรงปฏิกิริยาตั้งฉากอาจไม่เท่ากับน้ำหนักบนทางลาด

M2 · โมเมนต์ ความสมดุล และจุดศูนย์กลางมวล

ทำไมประแจที่ยาวกว่าถึงช่วยให้ทำงานได้ง่ายขึ้น?

ประแจที่ยาวกว่าหมุนน็อตได้ง่ายขึ้น ผลกระทบจากการหมุนขึ้นอยู่กับระยะตั้งฉากกับแรงด้วย
บทเรียนนี้ศึกษา โมเมนต์: แรงคูณด้วยระยะตั้งฉากจากแนวกระทำของแรงไปยังจุดหมุน

วิธีปฏิบัติ

เพื่อความสมดุล ทั้งแรงลัพธ์และโมเมนต์ลัพธ์ต้องเป็นศูนย์
ใช้จุดหมุนที่เหมาะสมเพื่อลบลบแรงที่ไม่ทราบค่าผ่านจุดนั้นออก
จุดศูนย์กลางมวลรวมคือตำแหน่งเฉลี่ยถ่วงด้วยมวล

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$M=Fd_{\perp},\qquad \sum M=0,\qquad \sum \mathbf F=\mathbf0$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

ใช้แขนงวดตั้งฉาก ไม่ใช่ระยะทแยงมุมไปยังจุดที่แรงกระทำ
แรงลัพธ์เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่ป้องกันไม่ให้วัตถุหมุน
ระบบรองรับที่ต้องการแรงปฏิกิริยาตั้งฉากเป็นลบอาจสูญเสียการสัมผัส

Watch out

การนำไปใช้

สำหรับแผ่นบางที่สร้างจากส่วนต่างๆ ให้เลือกจุดกำเนิดร่วมและจัดตารางผลคูณมวล-พื้นที่ที่มีเครื่องหมายของแต่ละส่วน
พื้นที่ที่ถูกตัดออกจะมีมวลเป็นลบในการคำนวณนี้ ไม่ใช่วัสดุจริงที่มีมวลเป็นลบ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย M2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

โมเมนต์: แรงคูณด้วยระยะตั้งฉากจากเส้นกระทำของแรงไปยังจุดหมุน
เพื่อความสมดุล ทั้งแรงลัพธ์และโมเมนต์ลัพธ์ต้องเป็นศูนย์
ระวัง: ใช้แขนงวดตั้งฉาก ไม่ใช่ระยะทแยงมุมไปยังจุดที่แรงกระทำ

M2 · งาน พลังงาน กำลัง และการชนกัน

การดีดกลับที่ช้าลงบอกอะไรเรา?

ลูกบอลดีดกลับได้ช้าลงหลังจากชนกำแพง โมเมนตัมและพลังงานจลน์ตอบคำถามส่วนต่าง ๆ ของเรื่องราวการชนกัน
บทเรียนนี้ศึกษา สัมประสิทธิ์การคืนตัว: อัตราส่วนของความเร็วแยกออกจากกันต่อความเร็วเข้าหากันตามแนวการกระแทก

วิธีปฏิบัติ

งานคือแรงคูณการกระจัดในทิศทางนั้น
พลังงานจลน์คือ mv²/2 และพลังงานศักย์โน้มถ่วงคือ mgh
โมเมนตัมถูกอนุรักษ์ในการชนแบบโดดเดี่ยว; ค่าสัมประสิทธิ์การคืนตัวให้ความสัมพันธ์ของความเร็วสัมพัทธ์ ไม่ใช่การอนุรักษ์พลังงานจลน์

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$E_k=\frac12 mv^2,\qquad W=Fs,\qquad P=\frac{dE}{dt}$$

ตัวอย่าง

อนุภาคมวล 2 kg เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 6 m/s มีพลังงานจลน์ 2×6²/2=36 J หากมีแรงต้านคงที่ขนาด 3 N ทำให้อนุภาคหยุดลง งาน=3s=36 ซึ่งจะได้ s=12 m การชนกับผนังด้วยความเร็วเข้าหา 5 และมี e=0.6 จะมีความเร็วสะท้อนกลับ 3 m/s ในทิศทางตรงข้าม

งาน พลังกำลัง และการชน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ใช้การอนุรักษ์โมเมนตัมก็ต่อเมื่อแรงกระแทกภายนอกมีค่าน้อยจนละเลยได้
พลังงานจลน์โดยทั่วไปจะสูญเสียไปในการชนแบบไม่ยืดหยุ่น
กำลังคืออัตราการถ่ายโอนพลังงาน ไม่ใช่ปริมาณพลังงาน

Watch out

ไม่เป็นจริง: การชนทุกกรณีจะรักษาพลังงานจลน์ไว้ พลังงานจลน์จะอนุรักษ์ได้เฉพาะในการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์เท่านั้น; โมเมนตัมจะถูกอนุรักษ์ในทุกการชน

การนำไปใช้

ระบุเครื่องหมายทิศทางก่อนเขียนสมการการชน
สำหรับปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เชื่อมต่อกัน ให้เลือกระบบทั้งหมดเพื่อพิจารณาพลังงานเมื่อแรงตึงภายในหักล้างกัน; ระบุงานจากแรงเสียดทานอย่างชัดเจน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย M2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

สัมประสิทธิ์การคืนตัว: อัตราส่วนของความเร็วแยกออกต่อความเร็วเข้าหาตามแนวสัมผัส
งานคือแรงคูณการกระจัดในทิศทางนั้น
ระวัง: จะรักษามอมენტัมได้ก็ต่อเมื่อแรงกระแทกภายนอกมีค่าน้อยมากจนละเลยได้เท่านั้น

M2 · การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ และความเร่งแปรผัน

ทำไมการเคลื่อนที่แนวนอนจึงใช้เวลาเท่ากับการเคลื่อนที่แนวตั้ง?

ลูกบอลถูกยิงในมุมหนึ่ง การเคลื่อนที่แนวนอนและแนวตั้งใช้เวลาเท่ากันแต่เป็นไปตามสมการที่แตกต่างกัน
บทเรียนนี้ศึกษา ลูกขี้หนู (Projectile): อนุภาคที่เคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงหลังการยิงในแบบจำลองที่ละเลยแรงต้านอากาศ

วิธีปฏิบัติ

แยกความเร็วดั้งต้นออกเป็นองค์ประกอบแนวนอน u cosθ และองค์ประกอบแนวตั้ง u sinθ
เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ ความเร่งในแนวนอนจะเป็นศูนย์ และความเร่งในแนวตั้งจะเป็น -g
ใช้ค่าเวลาเดียวกันสำหรับทั้งสององค์ประกอบ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x=u_x t,\qquad y=u_y t-\frac12 gt^2$$

ตัวอย่าง

สำหรับองค์ประกอบ u_x=12,u_y=16 และ g=9.8 ที่เวลา t=2 s การกระจัดแนวนอนคือ x=12×2=24 m และการกระจัดแนวตั้งคือ y=16×2-9.8×2²/2=12.4 m ที่จุดสูงสุด v_y=0 แต่ v_x ยังคงอยู่ 12

การเคลื่อนที่ของลูกขี้หนู และความเร่งแปรผัน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ความเร็วในแนวตั้งเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด ไม่หมายความว่าความเร็วรวมจะเป็นศูนย์
ระดับความสูงของการปล่อยและระดับความสูงของการลงไม่จำเป็นต้องเท่ากัน
อย่าใช้สูตรระยะทางที่สมมติว่าระดับความสูงเท่ากันโดยไม่ตรวจสอบให้แน่ใจ

Watch out

ไม่เป็นจริง: ความเร็วรวมของวัตถุที่ถูกยิงจะเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด ที่จุดยอดนั้นความเร็วในแนวตั้งจะเป็นศูนย์ แต่ความเร็วในแนวนอนยังคงมีอยู่ ดังนั้นความเร็วจึงไม่ใช่ศูนย์

การนำไปใช้

สำหรับความเร่งแปรผัน ให้อินทิเกรต a(t) เพื่อหาค่า v(t) และใช้ความเร็วดั้งต้นเพื่อหาค่าคงที่ จากนั้นอินทิเกรตเพื่อหาการกระจัด
ยืนยันหน่วยและช่วงเวลาทางฟิสิกส์

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย M2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

วัตถุถูกยิง: อนุภาคที่เคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงหลังการปล่อยในโมเดลที่ละเลยแรงต้านอากาศ
แยกความเร็วดั้งต้นออกเป็นองค์ประกอบแนวนอน u cosθ และองค์ประกอบแนวตั้ง u sinθ
ระวัง: ความเร็วในแนวตั้งเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด ไม่หมายความว่าความเร็วรวมจะเป็นศูนย์

M3 · ความยืดหยุ่น, การเคลื่อนที่วงกลม และพลศาสตร์แปรผัน

ความยาวใดที่ทำให้สปริงยืดออก?

สปริงที่ถูกยืดเก็บพลังงานไว้ อนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมจำเป็นต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าหาจุดศูนย์กลาง แม้ความเร็วจะคงที่ก็ตาม
บทเรียนนี้ศึกษา การยืด: คือการเพิ่มขึ้นของความยาวของเชือกยืดหยุ่นหรือสปริงเมื่อเทียบกับความยาวธรรมชาติ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับสายยืดหยุ่น แรงตึง = λx/l เมื่อถูกดึง มีความยาวธรรมชาติ l และค่าโมดูลัส λ
พลังงานยืดหยุ่น = λx²/(2l)
สำหรับการเคลื่อนที่แบบวงกลม ความเร่งรัศมี = v²/r; แยกแรงจริงในแนวรัศมี

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$T=\frac{\lambda x}{l},\qquad E=\frac{\lambda x^2}{2l},\qquad F_r=\frac{mv^2}{r}$$

ตัวอย่าง

ด้วย λ=40 N,l=2 m,x=0.3 m แรงตึง=40×0.3/2=6 N และพลังงานยืดหยุ่น=40×0.3²/(2×2)=0.9 J อนุภาคมวล 2 kg ที่ความเร็ว 3 m/s บนรัศมี 1.5 m ต้องการแรงลัพธ์เข้าด้านใน=2×3²/1.5=12 N

ความยืดหยุ่น, การเคลื่อนที่วงกลม และพลวัตแปรผัน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

แรงเข้าศูนย์กลางคือชื่อของผลรวมแรงเข้าด้านใน ไม่ใช่แรงเพิ่มที่ต้องใส่ลงในแผนภาพ
สายลู่ไม่มีแรงตึง
แยกแยะการยืดออกออกจากความยาวรวมที่ถูกดึง

Watch out

ไม่ถูกต้อง: แรงเข้าศูนย์กลางเป็นแรงเพิ่มเติมที่ต้องบวกเข้ากับแรงจริงทั้งหมด แรงเข้าศูนย์กลางคือผลรวมของแรงจริง เช่น แรงตึงหรือแรงเสียดทาน ไม่ใช่แรงเสริม

การนำไปใช้

สำหรับความเร่งแปรผัน ให้ใช้ a=dv/dt หรือ a=v dv/dx เมื่อเหมาะสม
รวมความสัมพันธ์การเคลื่อนที่ที่เลือกไว้กับโมเดลแรงหรือพลังงาน แล้วตรวจสอบช่วงการเคลื่อนที่ยอมรับได้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย M3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การยืดออก: การเพิ่มขึ้นของความยาวของสายยืดหยุ่นหรือสปริงจากความยาวธรรมชาติ
สำหรับสายยืดหยุ่น แรงตึง = λx/l เมื่อถูกดึง มีความยาวธรรมชาติ l และค่าโมดูลัส λ
ระวัง: แรงเข้าศูนย์กลางคือชื่อของผลรวมแรงเข้าด้านใน ไม่ใช่แรงเพิ่มที่ต้องใส่ลงในแผนภาพ

M3 · สมการเชิงอนุพันธ์และการแก้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข

ค่าเริ่มต้นกำหนดอะไร?

อัตราการเติบโตของประชากรแปรผันตรงกับขนาดปัจจุบัน อัตราสมการอธิบายครอบครัวทั้งหมดจนกว่าจะมีจำนวนประชากรเริ่มต้นที่กำหนดมา
บทเรียนนี้ศึกษา initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหาค่า A
วิธีของออยเลอร์ใช้ y_next=y+h f(x,y) โดยเลือกขนาดขั้น h

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต
การหารด้วย y อาจทำให้พลาดคำตอบสมดุล y=0
ความแม่นยำของ Euler ขึ้นอยู่กับขนาดขั้นและสมการ

Watch out

การนำไปใช้

สำหรับสมการเชิงเส้นอันดับสอง รวมฟังก์ชันประกอบกับอินทิกรัลเฉพาะที่เหมาะสม แล้วใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
นี่คือขอบเขตของ Further Pure; ตรวจสอบหน่วยที่ระบุชื่อ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย M3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ
สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
ระวัง: Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต

M3 · โมเมนต์, สภาวะสมดุล และจุดศูนย์กลางมวล

ทำไมประแจที่ยาวกว่าถึงช่วยให้ทำงานได้ง่ายขึ้น?

ประแจที่ยาวกว่าหมุนน็อตได้ง่ายขึ้น ผลกระทบจากการหมุนขึ้นอยู่กับระยะตั้งฉากกับแรงด้วย
บทเรียนนี้ศึกษา โมเมนต์: แรงคูณด้วยระยะตั้งฉากจากแนวกระทำของแรงไปยังจุดหมุน

วิธีปฏิบัติ

เพื่อความสมดุล ทั้งแรงลัพธ์และโมเมนต์ลัพธ์ต้องเป็นศูนย์
ใช้จุดหมุนที่เหมาะสมเพื่อลบลบแรงที่ไม่ทราบค่าผ่านจุดนั้นออก
จุดศูนย์กลางมวลรวมคือตำแหน่งเฉลี่ยถ่วงด้วยมวล

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$M=Fd_{\perp},\qquad \sum M=0,\qquad \sum \mathbf F=\mathbf0$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

ใช้แขนงวดตั้งฉาก ไม่ใช่ระยะทแยงมุมไปยังจุดที่แรงกระทำ
แรงลัพธ์เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่ป้องกันไม่ให้วัตถุหมุน
ระบบรองรับที่ต้องการแรงปฏิกิริยาตั้งฉากเป็นลบอาจสูญเสียการสัมผัส

Watch out

การนำไปใช้

สำหรับแผ่นบางที่สร้างจากส่วนต่างๆ ให้เลือกจุดกำเนิดร่วมและจัดตารางผลคูณมวล-พื้นที่ที่มีเครื่องหมายของแต่ละส่วน
พื้นที่ที่ถูกตัดออกจะมีมวลเป็นลบในการคำนวณนี้ ไม่ใช่วัสดุจริงที่มีมวลเป็นลบ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย M3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

โมเมนต์: แรงคูณด้วยระยะตั้งฉากจากเส้นกระทำของแรงไปยังจุดหมุน
เพื่อความสมดุล ทั้งแรงลัพธ์และโมเมนต์ลัพธ์ต้องเป็นศูนย์
ระวัง: ใช้แขนงวดตั้งฉาก ไม่ใช่ระยะทแยงมุมไปยังจุดที่แรงกระทำ

S1 · สรุปข้อมูล ฮิสโตแกรม และการตีความ

ค่าเฉลี่ยสามารถบอกเรื่องราวทั้งหมดได้หรือไม่?

กลุ่มข้อมูลสองกลุ่มมีค่ามัธยฐานเท่ากันแต่มีการกระจายตัวต่างกัน การสรุปผลเพียงข้อเดียวไม่สามารถอธิบายทั้งตำแหน่งและการคงที่ของข้อมูลได้
บทเรียนนี้ศึกษา ความหนาของความถี่ (Frequency Density): ความถี่หารด้วยขนาดชั้น ใช้เป็นความสูงของฮิสโตแกรม

วิธีปฏิบัติ

เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและช่วงการกระจายที่เหมาะสมในบริบท
กราฟฮิสโตแกรมใช้พื้นที่แทนความถี่ ดังนั้น ความสูง = ความหนาแน่นของความถี่ / ช่วงชั้น
การประมาณค่าแบบจัดกลุ่มสมมติว่ามีค่าที่เป็นตัวแทนภายในแต่ละช่วง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

ตัวอย่าง

กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 10 ถึง 20 มีความถี่ 30 จะมีความหนาแน่น 30/10=3. กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 20 ถึง 40 มีความถี่ 20 จะมีความหนาแน่น 20/20=1. แท่งที่กว้างกว่านี้ไม่ควรทำให้เข้าใจผิดว่าเป็นความหนาแน่นที่สูงกว่า สำหรับค่า 2,4,4,6,9, ค่ามัธยฐานคือ 4 และค่าเฉลี่ยคือ 5.

สรุปข้อมูล ฮิสโตแกรม และการตีความ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

แท่งที่เตี้ยที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด
ค่าเฉลี่ยแบบจัดกลุ่มเป็นการประมาณค่าเท่านั้น
ความสัมพันธ์เชิงสถิติไม่พิสูจน์ถึงความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล และการคาดนอกช่วงข้อมูลขยายผลลัพธ์เกินขอบเขตที่สังเกตได้

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ความสูงของแท่งกราฟฮิสโตแกรมเท่ากับความถี่เสมอ แม้จะมีช่วงชั้นที่ไม่เท่ากัน ในกรณีที่มีช่วงชั้นไม่เท่ากัน ความสูงคือความหนาแน่นของความถี่ ส่วนความถี่คือพื้นที่ของแท่ง

การนำไปใช้

เลือกการแสดงผลให้เหมาะสมกับประเภทข้อมูล
ให้ผลการเปรียบเทียบเป็นตัวเลขและความหมายต่อประชากร พร้อมระบุระดับความแม่นยำที่ตัวอย่างรองรับได้ ไม่ควรสรุปเกินจริง

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level คณิตศาสตร์เพิ่มเติม หน่วย S1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความหนาแน่นของความถี่: ความถี่หารด้วยขนาดช่วงชั้น ใช้เป็นความสูงของแท่งในกราฟฮิสโตแกรม
เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและช่วงการกระจายที่เหมาะสมในบริบท
ระวัง: แท่งที่สูงที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด

S1 · ความน่าจะเป็น, ต้นไม้ และเหตุผลแบบมีเงื่อนไข

อะไรเปลี่ยนไปหลังจากการสุ่มครั้งแรก?

ถุงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและลูกบอลสีน้ำเงิน 2 ลูก การเลือกสองลูกโดยไม่แทนที่จะเปลี่ยนโอกาสในการได้สีของลูกบอลลูกที่สอง
บทเรียนนี้ศึกษา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรัดขอบเขตตัวอย่างลงตามเงื่อนไขที่กำหนด

วิธีปฏิบัติ

คูณตามกิ่งของต้นไม้แล้วบวกกิ่งที่ไม่ทับซ้อนกัน
การสุ่มแบบมีคืน ส่วนประกอบจะคงที่
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือ P(A เมื่อ B)=P(A∩B)/P(B), สำหรับ P(B)>0

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

ตัวอย่าง

Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.

Probability, trees and conditional reasoning — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง
เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะไม่เป็นอิสระต่อกัน

Watch out

ไม่เป็นจริง: เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกต้องเป็นอิสระต่อกัน เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะขึ้นต่อกัน: หากเกิดเหตุการณ์หนึ่ง อีกเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้น P(A และ B)=0≠P(A)P(B)

การนำไปใช้

ตารางสองมิติช่วยให้เห็นตัวส่วนที่จำกัดชัดเจน
ก่อนใช้ผลคูณ P(A)P(B) ต้องให้เหตุผลว่าเหตุการณ์เป็นอิสระจากบริบทหรือข้อมูลที่กำหนดให้

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level คณิตศาสตร์เพิ่มเติม หน่วย S1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรวมตัวอย่างทั้งหมดไว้ในเงื่อนไขที่กำหนด
คูณตามกิ่งของต้นไม้แล้วบวกกิ่งที่ไม่ทับซ้อนกัน
ระวัง: แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง

S1 · การถดถอย, แบบจำลองการเงิน และค่าคงเหลือ

การทำนายได้รับการสนับสนุนจากข้อมูลหรือไม่?

เส้นตรงทำนายเวลาเดินทางด้วยรถบัสจากระยะทาง ความผิดพลาดในการคำนวณเล็กน้อยมีความสำคัญน้อยกว่าการใช้โมเดลนอกเหนือจากขอบเขตข้อมูลที่สนับสนุน
บทเรียนนี้ศึกษา ค่าเหลือเชื่อ (Residual): ค่าที่สังเกตได้ลบด้วยค่าที่โมเดลปรับแล้วทำนายไว้

วิธีปฏิบัติ

โมเดลเชิงเส้น y=a+bx มีจุดตัดแกน a และความชัน b พร้อมหน่วยทางบริบท
ตรวจสอบเศษเหลือและช่วงของข้อมูล
สำหรับเปอร์เซ็นต์เปลี่ยนแปลงซ้ำๆ ให้ใช้โมเดลเรขาคณิต สำหรับเงินกู้ยืม ต้องแยกแยะระหว่างต้นทุน อัตราดอกเบี้ย จำนวนชำระ และช่วงเวลา

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$

ตัวอย่าง

โมเดลที่ปรับให้เข้ากับข้อมูล t=8+2d คาดการณ์เวลา 18 นาที ที่ d=5 กม. หากเวลาสังเกตได้จริงคือ 21 ค่า residual คือ 3 นาที การฝากเงิน ¥1000 ที่ดอกเบี้ยทบต้นรายปี 5% จะกลายเป็น 1000×1.05³=1157.625 หลัง 3 ปี

การถดถอย โมเดลทางการเงิน และค่าเหลือเชื่อ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การเข้ากันที่ดีของโมเดลไม่พิสูจน์ถึงกลไกความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล
ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์วัดความสัมพันธ์เชิงเส้น ไม่ใช่ความชัน
ผลลัพธ์จากเครื่องคิดเลขต้องถูกแปลผลเป็นโมเดล ตรวจสอบ และตีความใหม่

Watch out

ไม่ถูกต้อง: สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สูงอนุญาตให้คาดนอกช่วงได้อย่างเชื่อถือได้ในทุกระยะ โมเดลที่สร้างจากข้อมูลจะเชื่อถือได้เฉพาะใกล้กับข้อมูลนั้นเท่านั้น การคาดนอกช่วงไกลๆ นั้นไม่เชื่อถือได้

การนำไปใช้

ในหลักสูตร IB AI ให้บันทึกแหล่งข้อมูล ขอบเขตตัวแปร สมมติฐาน และวิธีใช้เครื่องคิดเลข
เปรียบเทียบโมเดลทางเลือกและประเมินการคาดการณ์ด้วยผลต่าง残差 (residuals)
คำตอบทางการเงินต้องระบุเวลาชำระเงินและว่าดอกเบี้ยมีการทบต้นหรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level คณิตศาสตร์เพิ่มเติม หน่วย S1

Key idea

ค่าคงเหลือ: ค่าที่สังเกตได้ลบด้วยค่าที่โมเดลที่ปรับแล้วทำนายไว้
โมเดลเชิงเส้น y=a+bx มีจุดตัดแกน a และความชัน b พร้อมหน่วยทางบริบท
ระวัง: การจับคู่ที่ดีไม่พิสูจน์ว่ามีความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ

S1 · โมเดลทวินาม, ปกติ และปัวซอง

อะไรทำให้จำนวนนับสามารถคาดเดาได้?

ผู้ตรวจสอบคุณภาพนับสินค้าเสีย จำนวนนั้นเป็นค่าสุ่ม แต่โมเดลสามารถอธิบายช่วงที่เป็นไปได้ของมัน
บทเรียนนี้ศึกษา ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

วิธีปฏิบัติ

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ให้รวมความน่าจะเป็นให้เท่ากับ 1 และคำนวณ E(X) = ผลรวม xP(X=x)
สำหรับโมเดลปกติ ใช้สูตร z=(x-μ)/σ และคำนวณพื้นที่ที่เหมาะสม

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$E(X)=\sum xP(X=x),\quad z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$

ตัวอย่าง

ถ้า X รับ 0,1,2 ด้วยความน่าจะเป็น 0.2,0.5,0.3, E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1. นอกจากนี้ E(X²)=0+0.5+1.2=1.7, ดังนั้น Var(X)=1.7-1.1²=0.49. สำหรับ μ=100,σ=15, ค่าของ 130 จะมี z=2

โมเดลทวินาม ปกติ และปอยซง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ไม่ใช่ทุกการนับเป็นทวินาม: การเปลี่ยน p หรือความขึ้นอยู่กับตัวอื่นอาจทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้
สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นของค่าใดค่าหนึ่งที่มีค่าแน่นอนจะมีเป็นศูนย์
การปรับความต่อเนื่องมีความสำคัญเมื่อประมาณการการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องด้วยการแจกแจงปกติ

Watch out

ไม่เป็นจริง: ตัวแปรสุ่มที่มีสามค่าที่เป็นไปได้จำเป็นต้องเป็นแบบเบย์เซียน โมเดลแบบเบย์เซียนต้องการการทดลองที่เป็นอิสระและความน่าจะเป็นคงที่ การทดลองที่พึ่งพากันจะทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้

การนำไปใช้

S1 ครอบคลุมตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและการแจกแจงปกติ
โมเดลแบบเบย์เซียนและปอยซงที่ระบุชื่อเป็นเนื้อหาใน S2

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level คณิตศาสตร์เพิ่มเติม หน่วย S1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ให้รวมความน่าจะเป็นให้เท่ากับ 1 และคำนวณ E(X) = ผลรวม xP(X=x)
Watch for: not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it.

S2 · โมเดลทวินาม, ปกติ และปัวซอง

อะไรทำให้จำนวนนับสามารถคาดเดาได้?

ผู้ตรวจสอบคุณภาพนับสินค้าเสีย จำนวนนั้นเป็นค่าสุ่ม แต่โมเดลสามารถอธิบายช่วงที่เป็นไปได้ของมัน
บทเรียนนี้ศึกษา ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

วิธีปฏิบัติ

โมเดลทวินามต้องการ n ที่คงที่ การทดลองที่เป็นอิสระ ผลลัพธ์สองชนิด และความน่าจะเป็น p ที่คงที่
E(X)=np และ Var(X)=np(1-p)
สำหรับโมเดลปกติ ให้ใช้ z=(x-μ)/σ
โมเดลปอยซ็องใช้สำหรับนับจำนวนที่มีอัตราคงที่และสมมติฐานความเป็นอิสระที่เหมาะสม

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ X แบนอมิอัล(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 และ Var(X)=0.8 สำหรับปริมาณปกติที่มี μ=100, σ=15, ค่า 130 มี z=2 ปอยซง mean = 3 ต่อชั่วโมง ให้ mean = 6 ตลอดสองชั่วโมง

จุดที่ผิดพลาด

ไม่ใช่ทุกการนับเป็นทวินาม: การเปลี่ยน p หรือความขึ้นอยู่กับตัวอื่นอาจทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้
สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นของค่าใดค่าหนึ่งที่มีค่าแน่นอนจะมีเป็นศูนย์
การปรับความต่อเนื่องมีความสำคัญเมื่อประมาณการการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องด้วยการแจกแจงปกติ

Watch out

ไม่เป็นจริง: จำนวนความสำเร็จทุกจำนวนมีการแจกแจงแบบทวินามโดยไม่ขึ้นกับความขึ้นกัน การแจกแจงแบบทวินามต้องการการทดลองที่เป็นอิสระและมีความน่าจะเป็นคงที่; การทดลองที่ขึ้นกันจะทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้

การนำไปใช้

เขียนเหตุการณ์ให้อยู่ในรูปอสมการก่อนใช้ฟังก์ชันการแจกแจงบนเครื่องคิดเลข
แยกแยะระหว่าง P(X<k), P(X≤k) และส่วนหางที่เติมเต็ม
ระบุสมมติฐานในบริบทที่เกี่ยวข้อง

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย S2

Key idea

ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
โมเดลทวินามต้องการ n ที่คงที่ การทดลองที่เป็นอิสระ ผลลัพธ์สองชนิด และความน่าจะเป็น p ที่คงที่
Watch for: not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it.

S2 · การสุ่มตัวอย่างและชุดข้อมูลขนาดใหญ่

ข้อมูลส่วนไหนหายไป?

ฐานข้อมูลสภาพอากาศมีข้อมูลสูญหายและสถานีวัดหลายแห่ง การ treating แต่ละบรรทัดเหมือนกันอาจทำให้การเปรียบเทียบคลาดเคลื่อนได้
บทเรียนนี้ศึกษา กรอบตัวอย่าง: รายการหรือคำนิยามประชากรที่เลือกตัวอย่างออกมาจากนั้น

วิธีปฏิบัติ

ระบุประชากร หน่วยสุ่ม และกรอบตัวอย่าง
แยกแยะการสุ่มแบบสุ่ม, แบบระบบ, แบบแบ่งชั้น, แบบโควตา และการสุ่มแบบโอกาส
ข้อมูลที่หายไปไม่ใช่ศูนย์; ยืนยันหน่วย วันที่ และนิยามตัวแปรก่อนเปรียบเทียบตัวอย่าง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$n_i=n\frac{N_i}{N}$$

ตัวอย่าง

ประชากรมี 120 นักเรียนในกลุ่มหนึ่ง และ 80 อีกกลุ่มหนึ่ง ตัวอย่างแบ่งชั้นตามสัดส่วนขนาด 30 ต้องการ 30×120/200=18 จากกลุ่มแรก และ 12 จากกลุ่มที่สอง จากนั้นต้องมีการสุ่มภายในแต่ละกลุ่ม

จุดที่ผิดพลาด

ตัวอย่างที่มีอคติขนาดใหญ่ยังคงมีอคติ
การแบ่งชั้นไม่ใช่การเลือกผู้ที่มีอยู่ในกลุ่มนั้นๆ จากแต่ละกลุ่ม
ความคุ้นเคยกับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ของ AQA ต้องใช้ข้อมูลที่จัดเตรียมมาและเมทาดาต้าจริง ไม่ใช่ค่าสภาพอากาศที่สมขึ้นมาเอง

Watch out

ไม่เป็นจริง: การเพิ่มสองเท่าของตัวอย่างที่มีอคติจะขจัดอคติในการเลือกตัวอย่างได้ ตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้นที่เก็บด้วยวิธีที่มีอคติเดียวกันจะยังคงมีอคติเดิม; การสุ่มที่ดีกว่าเท่านั้นที่จะขจัดอคติได้

การนำไปใช้

สำหรับ AQA ให้ใช้ชุดข้อมูลขนาดใหญ่อย่างเป็นทางการในกิจกรรมสเปรดชีตภายใต้การดูแล: ระบุตัวแปร อธิบายเหตุผลสำหรับการเปรียบเทียบ ตรวจสอบข้อมูลที่ยังขาดหาย สร้างการแสดงข้อมูล และอธิบายข้อจำกัด
บันทึกการตัดสินใจพร้อมกับการวิเคราะห์

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย S2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

กรอบตัวอย่าง: รายการหรือคำนิยามของประชากรที่สุ่มตัวอย่างออกมาจากนั้น
ระบุประชากร หน่วยสุ่ม และกรอบตัวอย่าง
ระวัง: ตัวอย่างที่มีอคติขนาดใหญ่ยังคงมีอคติ

S2 · การทดสอบสมมติฐานและการสรุปผลตามบริบท

โอกาสสามารถอธิบายผลลัพธ์นี้ได้หรือไม่?

โรงงานอ้างว่าสินค้าเสียเพียง 10% ตัวอย่างที่เก็บมาพบความเสียหายน้อยกว่าที่อ้าง แต่โอกาสเพียงอย่างเดียวอาจอธิบายความแตกต่างได้บางส่วน
บทเรียนนี้ศึกษา ระดับนัยสำคัญ: ขอบเขตความน่าchosenเพื่อปฏิเสธสมมติฐานศูนย์

วิธีปฏิบัติ

ระบุ H₀ และ H₁ เป็นพารามิเตอร์ของประชากรก่อนตรวจสอบผลลัพธ์
คำนวณความน่าจะเป็นส่วนหางที่เหมาะสมภายใต้ H₀
ปฏิเสธ H₀ เมื่อมีหลักฐานสอดคล้องกับกฎระดับนัยสำคัญที่กำหนด; มิฉะนั้นระบุว่าไม่มีหลักฐานเพียงพอ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$

ตัวอย่าง

สำหรับ H₀:p=0.1 และ H₁:p>0.1 เมื่อ n=10 การสังเกตข้อบกพร่องอย่างน้อย 3 ครั้งมีโอกาส 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. ที่ระดับ 5% นี้เป็นหลักฐานที่ไม่เพียงพอที่จะสรุปว่าอัตราข้อบกพร่องเกิน 10%

การทดสอบสมมติฐานและการสรุปตามบริบท — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การไม่ปฏิเสธ H₀ ไม่ได้พิสูจน์ว่า H₀ เป็นจริง
เลือกส่วนหางจาก H₁ ไม่ใช่จากส่วนหางที่ให้ค่าเล็กที่สุด
นัยสำคัญทางสถิติไม่ได้วัดขนาดของการเปลี่ยนแปลงในทางปฏิบัติ

Watch out

ไม่เป็นจริง: การไม่ปฏิเสธสมมติฐานศูนย์พิสูจน์ว่ามันเป็นจริง การไม่ปฏิเสธสมมติฐานศูนย์หมายความว่าไม่มีหลักฐานเพียงพอที่จะปฏิเสธมันเท่านั้น

การนำไปใช้

สรุปด้วยประโยคเกี่ยวกับประชากรและข้ออ้างเดิม
ระบุสมมติฐานของโมเดลและพิจารณาว่าวิธีการสุ่มตัวอย่างสนับสนุนสมมติฐานเหล่านี้หรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย S2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ระดับนัยสำคัญ: ค่าเกณฑ์ความน่าจะเป็นที่เลือกไว้เพื่อปฏิเสธสมมติฐานศูนย์
ระบุ H₀ และ H₁ เป็นพารามิเตอร์ของประชากรก่อนตรวจสอบผลลัพธ์
ระวัง: การไม่ปฏิเสธ H₀ ไม่ได้พิสูจน์ว่า H₀ เป็นจริง

S2 · การแจกแจงต่อเนื่องและฟังก์ชันความหนาแน่น

ความสูงเท่ากับความน่าจะเป็นหรือไม่?

เวลาที่รอสามารถมีค่าใดก็ได้ในช่วง ความน่าจะเป็นมาจากพื้นที่ ไม่ใช่ความสูงของกราฟ ณ วินาทีหนึ่ง
บทเรียนนี้ศึกษา ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น: ฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบ whose integral over an interval gives its probability

วิธีปฏิบัติ

ฟังก์ชันความหนาแน่น f ต้องมีค่าไม่ติดลบและอินทิเกรตได้เท่ากับ 1 บนช่วงที่กำหนด
ฟังก์ชันการกระจายสะสม F(x) คือผลอินทิกรัลตั้งแต่ต้นจนถึง x
สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง P(X=x)=0 และ E(X) คือผลอินทิกรัลของ xf(x)

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int f(x)\,dx=1,\qquad E(X)=\int xf(x)\,dx$$

ตัวอย่าง

ให้ f(x)=kx on 0≤x≤2 และศูนย์ที่อื่น การทำให้เป็นมาตรฐานให้ integral_0^2 kx dx=2k=1, ดังนั้น k=1/2 จากนั้น P(X≤1)=integral_0^1 x/2 dx=1/4 และ E(X)=integral_0^2 x²/2 dx=4/3

Continuous distributions and density functions — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

ความหนาแน่นสามารถมีค่าเกิน 1 ได้โดยไม่ผิดกฎ แต่พื้นที่ทั้งหมดต้องเท่ากับ 1
ฟังก์ชันการกระจายสะสมไม่สามารถลดลงได้
ควรรวมบริเวณที่มีความหนาแน่นเป็นศูนย์ภายนอกช่วงที่กำหนดเข้าไว้ในการสร้างโมเดลที่สมบูรณ์

Watch out

ไม่เป็นจริง: ตัวแปรต่อเนื่องจะมี P(X=x) เท่ากับความสูงของความหนาแน่น f(x) สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง P(X=x)=0; ความน่าจะเป็นคือพื้นที่ใต้กราฟความหนาแน่น

การนำไปใช้

สำหรับการแจกแจงสม่ำเสมอ ความหนาแน่นจะเท่ากับส่วนกลับของความยาวช่วง
หาค่ากลางหรือเปอร์เซนไทล์โดยใช้ความน่าจะเป็นสะสม และใช้อินทิกรัลที่รองรับการกระจายเพื่อหาค่าโมเมนต์

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, หน่วย S2
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความหนาของความน่าจะเป็น: ฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบwhose integral over an interval gives its probability.
ฟังก์ชันความหนาแน่น f ต้องมีค่าไม่ติดลบและอินทิเกรตได้เท่ากับ 1 บนช่วงที่กำหนด
ระวัง: ความหนาแน่นสามารถเกิน 1 ได้โดยไม่ผิดกฎ; พื้นที่รวมต้องเท่ากับ 1

S3 · ช่วงความเชื่อมั่น, Chi-square และการถดถอย

ตัวเลขเฉลี่ยตัวอย่างมีความไม่แน่นอนแค่ไหน?

ตัวอย่างสองชุดให้ค่าเฉลี่ยต่างกัน เราต้องการข้อความเกี่ยวกับ sampling uncertainty ไม่ใช่คำสัญญาว่าตัวอย่างหนึ่งเท่ากับประชากร
บทเรียนนี้ศึกษา confidence interval: ช่วงที่คำนวณโดยกระบวนการที่ออกแบบมาเพื่อครอบคลุม population parameter ในอัตรา long-run ที่ระบุ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับค่าเฉลี่ยปกติที่มี σKnown, ช่วง 95% คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง±1.96σ/√n
สำหรับ chi-square, รวม (สังเกต-คาดหวัง)²/คาดหวัง พร้อมองศาอิสระที่ถูกต้อง
เลือกการทดสอบที่ตรงกับข้อมูลและสมมติฐาน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overline x\pm1.96\frac{\sigma}{\sqrt n},\qquad \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

ตัวอย่าง

ด้วยค่าเฉลี่ย=50, σ=10, n=100, ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน=1 และช่วงความเชื่อมั่น 95% คือ [48.04,51.96] สำหรับจำนวนนับที่สังเกตได้ 30 และ 20 เทียบกับค่าที่คาดไว้ 25 และ 25, ค่า chi-square=25/25+25/25=2 ก่อนที่จะพิจารณาดีกรีของอิสรภาพและเกณฑ์การปฏิเสธ

ช่วงความเชื่อมั่น chi-square และการถดถอย — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

กระบวนการความเชื่อมั่น 95% ไม่ให้ 95% ความน่าจะเป็นว่าค่าเฉลี่ยประชากรคงที่จะเคลื่อนเข้าในช่วงนี้
จำนวนที่คาดหวังและพารามิเตอร์ที่ประมาณมีผลต่อความถูกต้องและองศาอิสระของการทดสอบ chi-square

Watch out

ไม่เป็นจริง: ความสัมพันธ์สูงเพียงอย่างเดียวพิสูจน์ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุไม่ได้ ความสัมพันธ์แสดงถึงการสัมพันธ์กัน; ตัวแปรที่สามหรือโอกาสอาจอธิบายได้ ดังนั้นการหาเหตุจำเป็นต้องมีการทดลองหรือหลักฐานอื่น

การนำไปใช้

รายงานความไม่แน่นอนในบริบท
ในการถดถอย ให้ตรวจสอบค่า残差 หลีกเลี่ยงการคาดนอกขอบเขตโดยไม่จำเป็น และแยกความสัมพันธ์ที่ปรับแล้วออกจากคำอธิบายเชิงสาเหตุ
S3 และ IB AI HL ต้องการขอบเขตสโคปที่ยืนยันแล้วต่างกัน

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit S3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ช่วงความเชื่อมั่น: ช่วงที่คำนวณโดยกระบวนการที่ออกแบบมาเพื่อครอบคลุมพารามิเตอร์ประชากรด้วยอัตราระยะยาวที่กำหนดไว้
สำหรับค่าเฉลี่ยปกติที่มี σKnown, ช่วง 95% คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง±1.96σ/√n
ระวัง: กระบวนการความเชื่อมั่น 95% ไม่ให้ 95% ความน่าจะเป็นว่าค่าเฉลี่ยประชากรคงที่จะเคลื่อนเข้าในช่วงนี้

S3 · การสุ่มตัวอย่างและชุดข้อมูลขนาดใหญ่

ข้อมูลส่วนไหนหายไป?

ฐานข้อมูลสภาพอากาศมีข้อมูลสูญหายและสถานีวัดหลายแห่ง การ treating แต่ละบรรทัดเหมือนกันอาจทำให้การเปรียบเทียบคลาดเคลื่อนได้
บทเรียนนี้ศึกษา กรอบตัวอย่าง: รายการหรือคำนิยามประชากรที่เลือกตัวอย่างออกมาจากนั้น

วิธีปฏิบัติ

ระบุประชากร หน่วยสุ่ม และกรอบตัวอย่าง
แยกแยะการสุ่มแบบสุ่ม, แบบระบบ, แบบแบ่งชั้น, แบบโควตา และการสุ่มแบบโอกาส
ข้อมูลที่หายไปไม่ใช่ศูนย์; ยืนยันหน่วย วันที่ และนิยามตัวแปรก่อนเปรียบเทียบตัวอย่าง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$n_i=n\frac{N_i}{N}$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

ตัวอย่างที่มีอคติขนาดใหญ่ยังคงมีอคติ
การแบ่งชั้นไม่ใช่การเลือกผู้ที่มีอยู่ในกลุ่มนั้นๆ จากแต่ละกลุ่ม
ความคุ้นเคยกับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ของ AQA ต้องใช้ข้อมูลที่จัดเตรียมมาและเมทาดาต้าจริง ไม่ใช่ค่าสภาพอากาศที่สมขึ้นมาเอง

Watch out

การนำไปใช้

สำหรับ AQA ให้ใช้ชุดข้อมูลขนาดใหญ่อย่างเป็นทางการในกิจกรรมสเปรดชีตภายใต้การดูแล: ระบุตัวแปร อธิบายเหตุผลสำหรับการเปรียบเทียบ ตรวจสอบข้อมูลที่ยังขาดหาย สร้างการแสดงข้อมูล และอธิบายข้อจำกัด
บันทึกการตัดสินใจพร้อมกับการวิเคราะห์

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit S3
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

กรอบตัวอย่าง: รายการหรือคำนิยามของประชากรที่สุ่มตัวอย่างออกมาจากนั้น
ระบุประชากร หน่วยสุ่ม และกรอบตัวอย่าง
ระวัง: ตัวอย่างที่มีอคติขนาดใหญ่ยังคงมีอคติ

S3 · การถดถอย, แบบจำลองทางการเงิน และค่าคงเหลือ (residuals)

การทำนายได้รับการสนับสนุนจากข้อมูลหรือไม่?

เส้นตรงทำนายเวลาเดินทางด้วยรถบัสจากระยะทาง ความผิดพลาดในการคำนวณเล็กน้อยมีความสำคัญน้อยกว่าการใช้โมเดลนอกเหนือจากขอบเขตข้อมูลที่สนับสนุน
บทเรียนนี้ศึกษา ค่าเหลือเชื่อ (Residual): ค่าที่สังเกตได้ลบด้วยค่าที่โมเดลปรับแล้วทำนายไว้

วิธีปฏิบัติ

โมเดลเชิงเส้น y=a+bx มีจุดตัดแกน a และความชัน b พร้อมหน่วยทางบริบท
ตรวจสอบเศษเหลือและช่วงของข้อมูล
สำหรับเปอร์เซ็นต์เปลี่ยนแปลงซ้ำๆ ให้ใช้โมเดลเรขาคณิต สำหรับเงินกู้ยืม ต้องแยกแยะระหว่างต้นทุน อัตราดอกเบี้ย จำนวนชำระ และช่วงเวลา

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$

ตัวอย่าง

จุดที่ผิดพลาด

การเข้ากันที่ดีของโมเดลไม่พิสูจน์ถึงกลไกความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล
ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์วัดความสัมพันธ์เชิงเส้น ไม่ใช่ความชัน
ผลลัพธ์จากเครื่องคิดเลขต้องถูกแปลผลเป็นโมเดล ตรวจสอบ และตีความใหม่

Watch out

การนำไปใช้

ในหลักสูตร IB AI ให้บันทึกแหล่งข้อมูล ขอบเขตตัวแปร สมมติฐาน และวิธีใช้เครื่องคิดเลข
เปรียบเทียบโมเดลทางเลือกและประเมินการคาดการณ์ด้วยผลต่าง残差 (residuals)
คำตอบทางการเงินต้องระบุเวลาชำระเงินและว่าดอกเบี้ยมีการทบต้นหรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit S3

Key idea

ค่าคงเหลือ: ค่าที่สังเกตได้ลบด้วยค่าที่โมเดลที่ปรับแล้วทำนายไว้
โมเดลเชิงเส้น y=a+bx มีจุดตัดแกน a และความชัน b พร้อมหน่วยทางบริบท
ระวัง: การจับคู่ที่ดีไม่พิสูจน์ว่ามีความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ

D1 · อัลกอริทึม, กราฟ และการวางแผนเชิงเส้น

เครือข่ายที่ถูกที่สุดหรือเส้นทางสั้นที่สุด?

โรงเรียนต้องเชื่อมต่อบนอาคารด้วยสายเคเบิล เส้นทางสั้นที่สุดระหว่างอาคารสองแห่งและเครือข่ายทั้งหมดที่ถูกที่สุดเป็นปัญหาคนละอย่างกัน
บทเรียนนี้ศึกษา ต้นไม้ขยายตัวน้อยสุด (minimum spanning tree): เครือข่ายที่เชื่อมต่อไม่มีวงจร ซึ่งเชื่อมทุกจุดยอดด้วยน้ำหนักรวมของเส้นขอบที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

วิธีปฏิบัติ

Kruskal เลือกเส้นเชื่อมตามน้ำหนักที่เพิ่มขึ้นโดยหลีกเลี่ยงวงรอบ
Dijkstra อัปเดต shortest tentative distances จากจุดเริ่มต้น
การวางแผนเชิงเส้นเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้นเหนือพื้นที่ที่เป็นไปได้; ตรวจสอบจุดยอดและข้อจำกัดจำนวนเต็มเมื่อจำเป็น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$Z=3x+2y,\qquad x+y\le4,\quad x\le2,\quad x,y\ge0$$

ตัวอย่าง

สำหรับจุดยอด A,B,C,D และเส้นขอบ AB=2, BC=3, AC=4, CD=1, BD=5, Kruskal เลือก CD, AB, BC รวม 6 เส้นทางสั้นสุดจาก A ไป D คือ A-B-C-D รวม 6 เช่นกัน แต่ความเท่าเทียมนี้อาจเกิดขึ้นโดยบังเอิญ เพิ่มค่า 3x+2y โดย x+y≤4, x≤2, x,y≥0: จุดยอดที่ดีที่สุดคือ (2,2), ค่า 10

อัลกอริทึม เครือข่าย และการวางแผนเชิงเส้น — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ต้นไม้ครอบคลุมไม่มีวงรอบและเชื่อมต่อกับทุกจุดยอด
เส้นเชื่อมที่มีน้ำหนักมากที่สุดไม่ได้ถูกตัดออกอัตโนมัติจากคำตอบที่ดีที่สุดทุกกรณี
อัลกอริทึมหาเส้นทางสั้นที่สุดไม่สามารถแทนที่อัลกอริทึมต้นไม้ครอบคลุมค่าน้อยสุดได้

Watch out

ไม่ถูกต้อง: เส้นทางสั้นสุดระหว่างจุดยอดสองจุดต้องเป็นต้นไม้ครอบคลุมค่าน้อยสุดของเครือข่ายทั้งหมด เส้นทางสั้นสุดเชื่อมต่อจุดยอดเพียงสองจุด ในขณะที่ต้นไม้ครอบคลุมค่าน้อยสุดเชื่อมต่อทุกจุดยอดด้วยน้ำหนักรวมอย่างน้อย ดังนั้นจึงตอบคำถามที่แตกต่างกัน

การนำไปใช้

สำหรับเส้นทางสำคัญ คำนวณเวลาเหตุการณ์ที่เร็วที่สุดและช้าที่สุดและระบุกิจกรรมที่มีเวลาเหลือเป็นศูนย์
ระบุหน่วยและตีความผลลัพธ์ที่เหมาะสมที่สุด
บัญชีเก็บข้อมูลเดิมไม่มีคู่ D1 ดังนั้นงานต้นฉบับเหล่านี้จึงไม่ได้สร้างฐานข้อสอบย้อนหลัง D1 ที่ผ่านการตรวจสอบแล้ว

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics Further, หน่วย D1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ต้นไม้ครอบคลุมค่าน้อยสุด: เครือข่ายที่เชื่อมโยงกัน ไม่มีวงรอบ เชื่อมต่อทุกจุดยอด โดยมีน้ำหนักรวมของเส้นเชื่อมต่ำสุดเท่าที่จะเป็นไปได้
Kruskal เลือกเส้นเชื่อมตามน้ำหนักที่เพิ่มขึ้นโดยหลีกเลี่ยงวงรอบ
ระวัง: ต้นไม้ครอบคลุมไม่มีวงรอบและเชื่อมต่อกับทุกจุดยอด

D1 · เส้นทางวิกฤตและการวางแผนเวลา

กิจกรรมทุกอย่างต้องรอให้กิจกรรมอื่นเสร็จก่อนหรือไม่?

กิจกรรมในงานโรงเรียนสามารถดำเนินการไปพร้อมกันได้ การนำระยะเวลาของแต่ละกิจกรรมมาบวกกันทั้งหมดจะทำให้ประมาณเวลาสิ้นสุดที่น้อยที่สุดสูงเกินจริง
บทเรียนนี้ศึกษาเรื่อง float (เวลาที่ยืดหยุ่น): ระยะเวลาที่กิจกรรมสามารถล่าช้าได้โดยไม่ทำให้การสิ้นสุดของโครงการล่าช้าภายใต้โมเดลเครือข่าย

วิธีปฏิบัติ

For an activity network, calculate earliest event times forward and latest event times backward.
เวลาเหลือรวมสำหรับกิจกรรม i ไป j คือ L_j-E_i-duration
กิจกรรมวิกฤตมีเวลาเหลือรวมเป็นศูนย์; อาจมีเส้นทางวิกฤตมากกว่าหนึ่งเส้น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$F_{ij}=L_j-E_i-d_{ij}$$

ตัวอย่าง

กิจกรรม A=3 และ B=5 เริ่มต้นพร้อมกัน C=4 ตามหลัง A และ D=2 ตามหลังทั้ง B และ C เวลาสิ้นสุดเร็วที่สุดของ C คือ 7; D ต้องรอจนกว่า max(5,7)=7 และสิ้นสุดที่ 9 เส้นทาง A-C-D เป็นเส้นทางสำคัญ; B มี float 2

เส้นทางการสำคัญและการจัดตาราง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

อย่าบวกระยะเวลาของกิจกรรมขนานที่เป็นอิสระ
กิจกรรมที่มีเวลาเหลือรวมเป็นศูนย์อยู่ในเส้นทางวิกฤต แต่อาจมีเส้นทางดังกล่าวหลายเส้น
ข้อจำกัดทรัพยากรอาจทำให้ตารางงานมีความยาวมากกว่าขั้นต่ำทางทฤษฎีของเครือข่าย

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ระยะเวลาโครงการที่สั้นที่สุดไม่ใช่ผลรวมของระยะเวลาทุกกิจกรรม กิจกรรมที่ทำงานพร้อมกันจะทับซ้อนกัน ระยะเวลาที่สั้นที่สุดคือความยาวของเส้นทางสำคัญ

การนำไปใช้

วาดความสัมพันธ์ตามลำดับก่อนกำหนดเวลา
แยกแยะระหว่างระยะเวลาของกิจกรรมกับช่วงเวลาของเหตุการณ์
อธิบายว่าความล่าช้าส่งผลต่อวันสิ้นสุดอย่างไร และบันทึกสมมติฐานเกี่ยวกับทรัพยากรใดๆ

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics Further, หน่วย D1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เวลาว่าง: ระยะเวลาที่กิจกรรมสามารถถูกเลื่อนออกไปโดยไม่ทำให้วันสิ้นสุดล่าช้าภายใต้โมเดลเครือข่าย
For an activity network, calculate earliest event times forward and latest event times backward.
ระวัง: อย่านำระยะเวลาของกิจกรรมแบบขนานที่ไม่เกี่ยวข้องกันมารวมกัน

D1 · การจัดเรียง, การบรรจุและอัลกอริทึมเครือข่าย

วิธีการบรรจุที่รวดเร็วเป็นวิธีที่ดีที่สุดเสมอหรือไม่?

วิธีการบรรจุที่รวดเร็วช่วยเติมกล่องได้อย่างเต็มที่ แต่การจัดวางที่ถูกต้องและรวดเร็วอาจไม่ได้ใช้จำนวนกล่องน้อยที่สุด
บทเรียนนี้ศึกษาเรื่อง algorithm (อัลกอริทึม): ชุดคำสั่งที่มีลำดับและจำกัดจำนวน ที่แก้ปัญหาประเภทที่กำหนดไว้

วิธีปฏิบัติ

ติดตามอัลกอริทึมที่ระบุอย่างละเอียด รวมถึงกฎการแก้เสมอ
ในการบรรจุแบบฟิตแรก วางแต่ละสิ่งของลงในกล่องที่มีพื้นที่ว่างเป็นอันดับแรกที่สามารถรองรับสิ่งของนั้นได้
ฟิตแรกแบบลดลำดับจะจัดเรียงก่อนนำไปใช้ฟิตแรก
วิธีฮิวริสติกอาจถูกต้องโดยไม่จำเป็นต้องเป็นวิธีที่ดีที่สุดเสมอไป

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$B_{\min}\ge\left\lceil\frac{\sum s_i}{C}\right\rceil$$

ตัวอย่าง

เมื่อความจุของ bin คือ 10 และรายการคือ 6,5,4,3,2 ตามลำดับนั้น first-fit วาง 6 และ 4 ลงใน bin 1 จากนั้นวาง 5,3,2 ลงใน bin 2 ใช้ทั้งหมด 2 bins ขนาดรวมคือ 20 ดังนั้นขอบเขตล่างคือ ceil(20/10)=2; การจัดวางนี้จึงเป็นวิธีที่ดีที่สุดสำหรับกรณีนี้

การเรียงลำดับ การบรรจุ และอัลกอริทึมเครือข่าย — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ตัวอย่างความสำเร็จหนึ่งไม่ได้พิสูจน์ว่าวิธีฮิวริสติกจะดีที่สุดสำหรับทุกกรณี
รักษารายชื่อกลางไว้ในขั้นตอนการเรียงลำดับ; อย่าข้ามจากข้อมูลต้นทางไปยังรายการที่เรียงลำดับเรียบร้อยแล้วโดยตรง
การอัปเดต shortest-path ต้องเก็บข้อมูล predecessor ไว้หากมี route ที่ถูกขอ

Watch out

ไม่ถูกต้อง: วิธีฮิวริสติกสำหรับการบรรจุที่ทำงานได้ดีในตัวอย่างหนึ่งต้องเป็นวิธีที่ดีที่สุดเสมอ วิธีฮิวริสติกให้คำตอบที่ดีได้รวดเร็วแต่ไม่รับประกันว่าจะเป็นวิธีที่ดีที่สุดสำหรับข้อมูลเข้าทุกชุด

การนำไปใช้

สำหรับอัลกอริทึมของไดจกสตรา ให้เลือกฉลากชั่วคราวที่ยังไม่ได้ตัดสินใจที่มีค่าน้อยที่สุด และอัปเดตเพื่อนบ้านของมัน
สำหรับปัญหาการตรวจสอบเส้นทาง ให้แยกแยะระหว่างเส้นทางปิดและเส้นทางเปิด และระบุจุดยอดที่มีดีกรีเป็นจำนวนคี่ก่อนทำการจับคู่

ในหลักสูตรของคุณ

Pearson Edexcel International A Level Mathematics Further, หน่วย D1
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

อัลกอริทึม: ชุดคำสั่งที่มีลำดับจำนวนจำกัดที่แก้ปัญหาประเภทที่กำหนดให้
ติดตามอัลกอริทึมที่ระบุอย่างละเอียด รวมถึงกฎการแก้เสมอ
ระวัง: ตัวอย่างความสำเร็จหนึ่งไม่ได้พิสูจน์ว่าวิธีฮิวริสติกจะดีที่สุดสำหรับทุกกรณี

หมายเหตุการเรียนรู้

YFM01: เอกสารการสอนหลักสูตร

FP1 · คณิตศาสตร์เชิงซ้อนและรากของสมการกำลังสอง

หากรากไม่ใช่จำนวนจริง?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

FP1 · พาราโบลาและไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พารามิเตอร์ที่หมุนสามารถวาดวงรีได้อย่างไร?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

FP1 · การดำเนินการเมทริกซ์, อินเวอร์ส และการแปลงระนาบ

เวกเตอร์พื้นฐานไปอยู่ที่ไหน?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

FP1 · การแบ่งครึ่งและวิธีหาค่ารากของนิวตัน

ความน่าเชื่อถือของค่าประมาณมีอย่างไร?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

FP1 · ผลรวมจำกัดและการพิสูจน์โดยอุปนัย

โพลิโนมิอัลสามารถแทนที่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลใกล้จุดหนึ่งได้หรือไม่?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

FP1 · การอนุมาน, ความขัดแย้ง และการพิสูจน์โดยอุปนัย

รูปแบบใดจะกลายเป็นการพิสูจน์?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

FP2 · สมการกำลังสองและอสมการ

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

FP2 ·อนุกรม,ผลต่างจำกัด และการขยายเทย์เลอร์

โพลิโนมิอัลสามารถแทนที่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลใกล้จุดหนึ่งได้หรือไม่?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

FP2 · จำนวนเชิงซ้อนและรากของจำนวนเชิงซ้อน

หากรากไม่ใช่จำนวนจริง?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

FP2 · สมการเชิงอนุพันธ์และการแก้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข

ค่าเริ่มต้นกำหนดอะไร?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

FP2 · สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง

ทำไมเราต้องกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นสองค่า?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

FP2 · เส้นโค้งขั้วและพื้นที่