Spheres, cones, pyramids and frustums · Foundation
Введено| English | Значение |
|---|---|
| frustum/ˈfrʌstəm/ | усечённый конус |
Конусообразный стакан срезан горизонтально сверху. Небольшой отсутствующий конус необходимо вычесть из исходного конуса, чтобы узнать его объём (ёмкость).
- Конусообразный стакан срезан горизонтально сверху. Небольшой отсутствующий конус необходимо вычесть из исходного конуса, чтобы узнать его объём (ёмкость).
- Этот урок посвящён усечённой фигуре: оставшемуся телу после того, как конус или пирамида отсечены параллельно основанию.
Выберите математическую структуру
- Объёмы пирамиды и конуса равны одной трети площади основания, умноженной на высоту, проведённую перпендикулярно к ней. Объём сферы равен 4πr³/3, а площадь поверхности — 4πr². Боковая (криволинейная) поверхность конуса равна πrl, где l — образующая; для вычисления объёма используется высота h, проведённая перпендикулярно к основанию. Для усечённой фигуры вычтите удалённый подобный элемент. Составная площадь поверхности учитывает только открытые грани; соединённые грани скрыты.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
A cone has radius 3 and perpendicular height 4. Why is its slant height 5 NOT used in V=πr²h/3?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Volume depends on the perpendicular height - the direction in which cross-sectional areas accumulate. The slant height 5 (from the 3-4-5 triangle) belongs to the curved-surface formula πrl instead.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Конус с радиусом 3 см и перпендикулярной высотой 4 см имеет образующую 5 см. Объём равен 12π см³, боковая площадь — 15π см², а полная замкнутая площадь — 24π см². Сфера радиусом 3 имеет объём 36π см³ и площадь 36π см², имея различные единицы измерения. Квадратная пирамида со стороной основания 6 и высотой 4 имеет объём 6²×4/3=48 см³; каждая треугольная грань имеет образующую √(4²+3²)=5, поэтому боковая площадь равна 4×(6×5/2)=60 см², а полная площадь — 96 см². Большой конус с r=6, h=8 теряет подобный верхний конус с r=3, h=4: объём усечённого конуса равен 96π-12π=84π см³. Его образующая равна 10-5=5; боковая площадь составляет 60π-15π=45π, а два круглых основания добавляют 36π+9π, образуя итоговую сумму 90π см².
Spheres, cones, pyramids and frustums
Pyramid and cone volumes are one third of base area times perpendicular height
Classify the worked-case statements, then explain the units or invariant that justifies each decision.
Find the coefficient of pi in cone volume for r=3,h=4.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(1/3)×3²×4=12.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Высота, проведённая перпендикулярно к основанию, и образующая не являются взаимозаменяемыми понятиями. Усечённая фигура не является полным конусом, образованным остаточной высотой. Общие составные грани не вносят вклад в открытую поверхность.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Образующую конуса всегда можно подставить вместо высоты, проведённой перпендикулярно к основанию, в формулу объёма. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или предпосылку оно нарушает.
Find square-pyramid volume for base side 6,height 4.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(1/3)×36×4=48.
A cone’s slant height can always replace its perpendicular height in the volume formula.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Perpendicular height and slant height are not interchangeable. A frustum is not a full cone of the leftover height. Shared composite faces do not contribute exposed area.
Интерпретируйте новую ситуацию
- ВAdditional Foundation AQA G17 включены сферы, пирамиды, конусы, составные тела и усечённые фигуры. Используйте подобие для нахождения недостающих размеров удаляемого элемента, затем вычтите объёмы или открытые поверхности с одинаковыми единицами измерения.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Find the coefficient of pi in frustum volume for large cone r=6,h=8 minus small r=3,h=4.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
96-12=84.
Match each solid to its volume formula.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The one-third factor comes from tapering to a point; a frustum keeps the difference of two similar cones, not a cone of the leftover height.
Примените это в своем курсе
- 8300 · Foundation · 3.4. Установите целевой уровень и спецификацию перед назначением дополнительных заданий.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Оставшееся тело после того, как конус или пирамида отсечены параллельно основанию. Выберите зависимость, покажите метод, проверьте её предпосылки и интерпретируйте результат.