Алгебраические дроби и исключенные значения · Повышенный уровень
Введено| English | Значение |
|---|---|
| excluded value/eksˈkluːdɪd ˈvæljuː/ | исключённое значение |
Сокращённая дробь может выглядеть как прямая линия, но всё же иметь одну пропущенную точку. Сокращение множителя не возвращает недопустимый вход обратно в исходную формулу.
- Сокращённая дробь может выглядеть как прямая линия, но всё же иметь одну пропущенную точку. Сокращение множителя не возвращает недопустимый вход обратно в исходную формулу.
- Этот урок посвящён исключённому значению: значению аргумента, при котором исходный знаменатель или делитель равен нулю.
Выберите математическую структуру
- Разложите числитель и знаменатель на множители перед сокращением общего множителя. Член, присоединённый сложением, не является сокращаемым множителем. Запишите ограничения из исходного выражения сначала. Для сложения или вычитания используйте общий знаменатель, сохраняя скобки вокруг всего числителя. Перемножьте разложенные числители и знаменатели. Для деления умножьте на обратное значение и исключите входы, делающие делитель равным нулю, а также входы, делающие любую исходную дробь неопределённой.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Для F(x)=(x²-9)/(x-3), почему F(3) не определено, хотя упрощённая форма x+3 даёт 6?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
F(x)=x+3 справедливо только там, где существует исходное выражение: x≠3. При x=3 исходная дробь делится на ноль, поэтому 6 — это предельное значение упрощённой формы, а не F(3). Исключения необходимо записывать до сокращения.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Для F(x)=(x²-9)/(x-3), разложите x²-9=(x-3)(x+3). Таким образом, F(x)=x+3 для x≠3; F(5)=8, но F(3) не определено, не равно 6. Для сложения: 1/(x-1)+2/(x+1)=[(x+1)+2(x-1)]/[(x-1)(x+1)]=(3x-1)/(x²-1), где x≠±1. При x=3 обе формы дают 1. Для вычитания числитель равен (x+1)-2(x-1)=3-x, поэтому знак минус действует на оба слагаемых. Умножение [(x-1)/(x+2)]×[(x+2)/(x+1)] даёт (x-1)/(x+1), но исходное выражение исключает x=-2 и x=-1. Деление [(x²-1)/(x²+3x+2)]÷[(x-1)/(x+2)] даёт 1, однако x=-2,-1,1 исключены: x=1 делает делитель равным нулю. Наконец, F(x)=6 упрощается до x+3=6. Его единственный кандидат x=3 запрещён, поэтому это уравнение не имеет решений. Проверяйте кандидатов в исходном уравнении перед тем, как сообщать их.
Алгебраические дроби и исключенные значения
Разложите каждый числитель и знаменатель на множители перед сокращением общего множителя
Классифицируйте утверждения из разобранного примера, затем объясните единицы измерения или инвариант, обосновывающий каждое решение.
Для F(x)=(x²-9)/(x-3) найдите F(5).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5 допустимо; после сокращения множителей F(5)=5+3=8.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Никогда не сокращайте x в выражении (x+2)/x. Упрощённый знаменатель не показывает всех ограничений исходного выражения. В задаче на деление проверяйте, когда делитель равен нулю. Метод перекрёстного умножения может дать исключённого кандидата; формальный корень не является автоматически решением.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Сокращение множителя знаменателя всегда делает его исключённый вход допустимым. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Найдите 1/(x-1)+2/(x+1) при x=3.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1/2+2/4=1, что совпадает с (3x-1)/(x²-1).
Сокращение множителя знаменателя всегда делает его исключенное значение допустимым.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Никогда не сокращайте x в выражении (x+2)/x. Упрощенный знаменатель не отражает все исходные ограничения. В задаче на деление проверяйте, когда делитель равен нулю. Метод перекрестного умножения может дать исключенный кандидат; формальный корень не является автоматически решением.
Интерпретируйте новую ситуацию
- AQA A4 Higher включает алгебраические дроби и корректное сокращение. Пример уравнения проверяет, находится ли кандидат в исходной области определения. Объясните каждое сокращение множителя, сохраните исходные ограничения и проверьте каждого кандидата в решениях уравнений. Эти операции расширяют существующий пример преобразований до полного разобранного решения арифметической прогрессии.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Сколько допустимых решений имеет уравнение (x²-9)/(x-3)=6?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Единственный кандидат из упрощенного уравнения — это 3; первоначальный знаменатель равен нулю в этой точке.
Сопоставьте каждую алгебраическую операцию с дробью к её правилу.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Исключения берутся из каждого исходного знаменателя и каждого делителя; упрощённый результат сохраняет все их.
Примените это в своем курсе
- 8300 · Higher · 3.2. Перед назначением дополнительных заданий соотнесите целевой уровень и спецификацию экзамена.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Вход, при котором исходный знаменатель или делитель равен нулю. Установите связь, покажите метод, проверьте допущения и интерпретируйте результат.