Область определения, обратные функции и композиция · Повышенный уровень
Введено| English | Значение |
|---|---|
| domain/dəˈmeɪn/ | область определения |
Какие входные данные допускаются?
- Модель квадратного корня возвращает действительный результат только для некоторых входных значений. Сама формула не определяет полную функцию.
- В этом уроке изучается область определения: множество допустимых входных значений функции.
Выберите математическую структуру
- Укажите область определения и область значений. Для обратной функции сначала убедитесь, что функция является взаимно однозначной на своей области определения. Композиция fg означает применение g первым, затем f; промежуточный выход должен быть допустимым входом для f.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Почему перед определением обратной функции необходимо ограничить область определения f(x)=x²?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Функция x² отображает оба значения 3 и -3 в 9, поэтому неограниченная обратная функция не могла бы выбрать одно значение. Ограничение до x≥0 делает функцию взаимно однозначной, а обратную √x — корректно определённой.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Для f(x)=√(x-2), x≥2 и область значений y≥0. Из y=√(x-2) следует x=y²+2. Таким образом, обратная функция f(x)=x²+2 при x≥0. Для g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Области определения, обратные функции и композиция
Укажите область определения и множество значений
Сравните модель с разобраным примером и объясните одно изменение.
Для f(x)=2x+3 найдите f inverse(11).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Решите уравнение 2x+3=11, получив x=4.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Возведение в квадрат может порождать посторонние решения. Ограничение области определения параболы необходимо перед утверждением существования обратной функции. Горизонтальный сдвиг внутри f имеет противоположный знак движению графика.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Каждая квадратичная функция на множестве всех действительных чисел имеет обратную функцию. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Для f(x)=2x+3 и g(x)=x² найдите fg(4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Сначала примените g: g(4)=16; затем f(16)=2×16+3=35.
Каждая квадратичная функция, определённая на всех действительных числах, имеет обратную функцию.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Возведение в квадрат может порождать посторонние решения. Ограничение области определения параболы необходимо перед утверждением о существовании обратной функции. Горизонтальное смещение внутри f имеет противоположный знак по отношению к движению графика.
Интерпретируйте новую ситуацию
- Проверьте f(f inverse(x))=x на области определения обратной функции. Используйте эскиз, чтобы проверить, пересекает ли горизонтальная линия исходный график более одного раза.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Для f(x)=√(x-2) найдите f(11).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Подставьте под знак корня: (11-2)=√9=3.
Сопоставьте каждое понятие композиции с его значением.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Порядок композиции важен, потому что внутренняя функция вычисляется первой; её результаты должны допускаться как входные данные внешней функции.
Примените это в своем курсе
- 8300 · Higher · 3.2. Перед назначением дополнительных заданий соотнесите целевой уровень и спецификацию экзамена.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Множество допустимых входных значений функции. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.