Момент и работа
Раскрутка лебедки — работа, но по кругу
- Крутите рукоятку лебедки по кругу, и вы явно совершаете работу — рука устает, груз поднимается.
- Однако ничего не движется по прямой; рукоятка просто описывает окружность.
- Работа, совершенная моментом силы, поворачивающимся на угол, является вращательным эквивалентом $W = Fd$.
- Она напрямую передает энергию во вращательную кинетическую энергию вращающегося тела.
Работа момента силы
- Момент силы $\tau$, поворачивающийся на угол $\theta$, совершает работу $W = \tau\,\theta$.
- Это аналог $W = Fd$, где момент силы заменяет силу, а угол (в радианах) — расстояние.
- Эта работа изменяет вращательную кинетическую энергию объекта: $W = \Delta(\tfrac12 I\omega^2)$.
- Положительная работа момента ускоряет вращение; отрицательная замедляет его.
Постоянный момент силы $5\ \text{N·m}$ поворачивает колесо на угол $4\ \text{rad}$. Какую работу он совершил в джоулях?
$W = \tau\theta = 5 \times 4 = 20\ \text{J}$.
Работа, совершенная моментом при повороте на угол $\theta$, равна:
$W = \tau\theta$ — вращательный двойник $W = Fd$.
Суммарная работа моментов сил, действующих на твердое тело, равна изменению его вращательной кинетической энергии.
Это теорема о работе и энергии во вращательном движении: $W_{\text{net}} = \Delta(\tfrac12 I\omega^2)$.
Вращательная мощность
- Скорость выполнения вращательной работы называется мощностью $P = \tau\,\omega$.
- Это аналог $P = Fv$, где момент силы заменяет силу, а угловая скорость — линейную скорость.
- Мощность автомобильного двигателя часто указывают именно так — момент умноженный на обороты.
- Больший момент или более быстрое вращение означают большую передаваемую мощность.
Момент силы $5\ \text{N·m}$ вращает вал со скоростью $\omega = 2\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Какова мощность в ваттах?
$P = \tau\omega = 5 \times 2 = 10\ \text{W}$.
Вращательная мощность равна моменту, умноженному на ____ (угловую величину).
$P = \tau\omega$ — момент, умноженный на угловую скорость.
Сопоставьте каждую величину вращательной энергии с её линейным двойником.
Каждая формула вращательной энергии соответствует линейной путем замены $\tau\to F$, $\omega\to v$, $I\to m$.
Картина энергии остается прежней
- Вращательная работа и энергия подчиняются тем же законам сохранения, что и их линейные аналоги.
- Суммарная работа всех моментов сил равна изменению вращательной кинетической энергии.
- Энергия может переходить между поступательным и вращательным движением (катящийся объект), но общая величина сохраняется.
- У каждого инструмента линейной энергии есть вращательный партнер, которым вы уже умеете пользоваться.
Работа, совершаемая моментом силы
Постоянный момент, поворачивающий тело на угол, совершает работу, пропорциональную этому углу.
Вращательная работа использует угол в радианах, а не в градусах, и суммарный момент. $W = \tau\theta$ дает верный результат только тогда, когда $\theta$ выражен в радианах — то же правило радианов, что и для всего остального вращательного движения.
Постоянный момент силы $5\ \text{N}\cdot\text{m}$ поворачивает колесо на угол $4\ \text{rad}$.
- $W = \tau\theta = 5 \times 4 = 20\ \text{J}$.
Если он делает это за время $2\ \text{s}$ при угловой скорости $\omega = 2\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, мощность составляет $P = \tau\omega = 5 \times 2 = 10\ \text{W}$.
Работа, совершенная моментом силы, равна $W = \tau\theta$ (угол в радианах), это аналог $W = Fd$. Она изменяет вращательную кинетическую энергию. Скорость её совершения — это вращательная мощность $P = \tau\omega$, аналог $P = Fv$.