Представление функций в виде степенных рядов
Введено| English | Значение |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | степенной ряд |
Reusing known series to build new ones
- You don't have to compute every Taylor series from derivatives. Manipulate the ones you know.
- Start from the geometric series $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ or the $e^x,\sin,\cos$ series.
- Substitute, multiply, differentiate, or integrate to represent a new function as a power series 幂级数.
- It's algebra on series — fast and clever.
Substitution and multiplication
- Substitute an expression for $x$: replace $x$ with $-x^2$ in $\frac1{1-x}$ to get $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$.
- Multiply a series by a power of $x$ or a constant: $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$.
- Each move keeps a valid power series (adjust the interval of convergence for substitutions).
- No new derivatives needed — just plug and combine.
Partial sums of 1 + x + x² + … match 1/(1 − x) only for −1 < x < 1
Построены из геометрического ряда
y = a / (1 − b·x)
Подстановка $-x^2$ в $\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ строит ряд для $\tfrac{1}{1+x^2}$ — новые производные не нужны.
Подстановка $u=-x^2$ в $\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ дает $\tfrac{1}{1+x^2}=$
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$(-x^2)^n=(-1)^n x^{2n}$.
Какие операции порождают новые степенные ряды из известных?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Подстановка, масштабирование/умножение, дифференцирование, интегрирование — не случайное переставление.
Differentiating and integrating term by term
- Inside its interval of convergence, a power series can be differentiated or integrated term by term.
- Integrate $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$ to get $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$.
- Differentiate a series to get the series of the derivative.
- These moves generate famous series (like $\arctan$ and $\ln(1+x)$) from simpler ones.
В пределах интервала сходимости степенной ряд можно дифференцировать и интегрировать почленно.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Допустимое действие внутри интервала сходимости.
Интегрирование $\sum(-1)^n x^{2n}$ почленно дает ряд для...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x$.
A powerful toolkit
- Substitute, scale, multiply, differentiate, integrate — five moves, endless new series.
- This is often far faster than computing high derivatives directly.
- The new series inherits (roughly) the radius of convergence of the one you started from.
- Recognizing which move to apply is the real skill.
Интегрирование степенного ряда почленно вводит постоянную ____, определяемую известным значением.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Например, $\arctan 0=0$ определяет $C=0$.
Подстановка $x\to -x^2$ может изменить интервал сходимости.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Перевывести интервал в новой переменной.
Term-by-term differentiation and integration are valid only within the interval of convergence (and integrating adds a $+C$ — pin it down with a known value, e.g. $\arctan 0=0$). When you substitute (like $x\to -x^2$), the interval of convergence changes too — re-derive it from the new variable.
Find a power series for $\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Start from $\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ and substitute $u=-x^2$.
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ (for $|x|<1$).
To represent a function as a power series, manipulate a known series: substitute, multiply/scale, or differentiate/integrate term by term (valid within the interval of convergence; integration adds $+C$). E.g. substituting into $\frac{1}{1-x}$ and integrating yields the series for $\frac{1}{1+x^2}$ and $\arctan x$.