Оценка погрешности знакочередующегося ряда
Введено| English | Значение |
|---|---|
| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | оценка погрешности знакопеременного ряда |
How close is a partial sum?
- If you stop an alternating series after a few terms, how far off is your estimate?
- For a convergent alternating series, there's a beautifully simple bound.
- The alternating series error bound 交错级数误差界: the error is no bigger than the first omitted term.
- One term tells you the accuracy — no messy computation.
The bound
- Approximate the sum $S$ by the $n$th partial sum $S_n$. The remainder (error) is $|S-S_n|$.
- For a convergent alternating series (decreasing $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- The error is at most the absolute value of the next term — the first one you left out.
Partial sums of the alternating harmonic series zig-zag in toward ln 2; the error is at most the next term
Следующий член оценивает погрешность
Частичные суммы знакочередующегося ряда заключают истинную сумму, поэтому погрешность не превышает размера следующего (пропущенного) члена.
Для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность $|S-S_n|$ не превышает...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
Погрешность ограничена первым ____ членом, а не последним включенным.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Используйте $b_{n+1}$, член, который вы не прибавили.
Why the next term bounds it
- Because terms alternate and shrink, the true sum is always trapped between consecutive partial sums.
- So stopping at $S_n$ overshoots or undershoots by less than the size of the next term.
- The partial sums close in like a shrinking accordion around $S$.
- Hence the very next term is a guaranteed error ceiling.
Приближая $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ с помощью $3$ членов, оценка погрешности — следующий член $b_4$. Каков он?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$b_4=\tfrac14=0.25$.
Истинная сумма всегда заключена между последовательными частичными суммами знакочередующегося ряда.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Поэтому следующий член ограничивает погрешность.
Using it to guarantee accuracy
- Want the error under $0.01$? Find the first term with $b_{n+1}\le 0.01$ and stop there.
- The bound lets you decide how many terms you need for a target accuracy.
- It only applies to alternating series meeting the Alternating Series Test conditions.
- Simple, tight, and exam-friendly.
Эта оценка погрешности применима к любому сходящемуся ряду, знакочередующемуся или нет.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Только знакочередующимся рядам, удовлетворяющим условиям признака.
Чтобы гарантировать погрешность менее $0.01$, вы сохраняете члены, пока следующий член $b_{n+1}$ не станет...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Остановитесь, когда $b_{n+1}\le0.01$.
This bound works only for alternating series that satisfy the Alternating Series Test (decreasing $b_n\to0$) — it does not apply to positive-term series. The error is bounded by the first omitted term $b_{n+1}$, not the last included one. Use $b_{n+1}$, the size of the term you didn't add.
Estimate $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ with the first $3$ terms; bound the error.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- First omitted term: $b_4=\tfrac14$. So $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- The true sum $\ln 2\approx0.693$ is indeed within $0.25$ of $0.833$. ✓
The alternating series error bound: for a convergent alternating series, the error of the $n$th partial sum is at most the first omitted term, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. It applies only to alternating series meeting the test's conditions, and lets you pick how many terms guarantee a target accuracy.