Признак расходимости n-го члена
Введено| English | Значение |
|---|---|
| nth Term Test/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm test/ | признак предельного члена |
A quick way to prove divergence
- Before running a fancy test, do the cheapest check: look at the terms.
- The nth Term Test 通项判别法 (or Divergence Test) uses the limit of the terms $a_n$.
- If the terms don't shrink to $0$, the series can't converge — it diverges immediately.
- It's the first thing to try, and it only ever proves divergence.
The test
- Compute $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$.
- If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (or the limit doesn't exist), the series $\sum a_n$ diverges.
- Intuition: if you keep adding pieces that don't shrink to $0$, the total can never settle.
- One limit computation, and you may be done.
If the terms do not approach 0 the series diverges; if they do, the test says nothing
Члены, не достигающие нуля
Если члены ряда стабилизируются на ненулевом значении, сумма никогда не установится — признак n-го члена доказывает расходимость.
Если $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, то $\sum a_n$...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Ненулевой предел члена → расходимость.
It can never prove convergence
- If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, the test is inconclusive — it tells you nothing.
- The series might converge or diverge; you must use another test.
- The harmonic series $\sum\tfrac1n$ has $a_n\to0$ but diverges — proof the test can't confirm convergence.
- So a "$0$" limit is a dead end for this test, not a green light.
Если $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, признак n-го члена является...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Он доказывает только расходимость; предел $0$ ничего вам не говорит.
Признак n-го члена может доказать сходимость ряда.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Он может только доказать расходимость.
Ряд $\sum\tfrac1n$ имеет $a_n\to0$, но расходится. Это показывает, что признак n-го члена...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Предел $0$ не гарантирует сходимость.
Where it fits in the strategy
- Always run the nth Term Test first — it's fast and can save you a hard test.
- Terms not $\to0$? Done: diverges.
- Terms $\to0$? Move on to a real convergence test (geometric, integral, comparison, ratio, alternating).
- It's a filter, not a full answer.
Для $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. Значит, ряд...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Выражение $\tfrac12\neq0$ → расходится.
Как быстрый фильтр, примените признак n-го члена ____ среди признаков сходимости.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Это самая дешевая проверка на расходимость.
The nth Term Test can only prove divergence. If $\lim a_n=0$, it is inconclusive — do not conclude convergence. The single most common misuse is "$a_n\to0$, so it converges" — wrong; $\sum\frac1n$ is the counterexample.
Does $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ converge?
- Terms: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. Limit: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- Since the limit is $\tfrac12\neq0$, the series diverges by the nth Term Test.
The nth Term Test: if $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (or DNE), then $\sum a_n$ diverges. If $\lim a_n=0$, the test is inconclusive (it never proves convergence). Run it first as a fast divergence filter.