Объем методом шайб: Вращение вокруг оси x или y
Введено| English | Значение |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | шайба |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | метод шайб |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | внутренний радиус |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | внешний радиус |
A disc with a hole in it
- When you revolve a region that has a gap between two curves, each slice isn't a solid disc — it's a ring.
- That ring (a disc with a circular hole punched out) is a washer 垫圈.
- Its area is the big circle minus the small circle: $\pi R^2-\pi r^2$.
- Adding up washers is the washer method 垫圈法.
Шайба (вместо диска) появляется, когда...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Зазор оставляет отверстие → шайба.
Outer minus inner radius
- Each washer has an outer radius 外半径 $R$ (to the far curve) and an inner radius 内半径 $r$ (to the near curve).
- Its area is $\pi\big(R^2-r^2\big)$, so:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- Revolving about the $x$-axis, $R$ and $r$ are the distances from the two curves to the axis.
A washer is a disc with a hole: area πR² − πr²; adding the washers gives the volume
Две кривые образуют кольцо
y = ax² + bx
Между $y=x$ и $y=\sqrt x$ есть зазор от оси — вращение создает шайбы с внешним $\sqrt x$, внутренним $x$.
Объем методом шайб равен...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Большой круг минус маленький круг: $\pi(R^2-r^2)$.
В кольце (метод шайб) $R$ — это ____ радиус (до дальней кривой), а $r$ — внутренний радиус.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Внешний до дальней кривой, внутренний до ближайшей кривой.
Identifying $R$ and $r$
- $R$ (outer) comes from the curve farther from the axis; $r$ (inner) from the nearer curve.
- Revolving the region between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) about the $x$-axis: $R=f(x)$, $r=g(x)$.
- The hole exists because the bottom curve doesn't reach the axis.
- Square each radius separately before subtracting.
При вращении области между $y=\sqrt x$ (верхней) и $y=x$ (нижней) вокруг оси $x$ внешний радиус равен...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Кривая, расположенная дальше от оси, $\sqrt x$, является внешним радиусом.
Square first, then subtract
- The area is $\pi(R^2-r^2)$, not $\pi(R-r)^2$ — square each radius before you subtract.
- $(R-r)^2$ would wrongly include a cross term and give the wrong volume.
- So compute $R^2$ and $r^2$ each, subtract, then integrate and multiply by $\pi$.
- This is the single most common washer mistake.
Подынтегральное выражение метода шайб $R^2-r^2$ такое же, как и $(R-r)^2$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Сначала возведите каждый радиус в квадрат; $(R-r)^2$ неверно.
Для $R=\sqrt x$, $r=x$ на $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
The washer integrand is $R^2-r^2$, not $(R-r)^2$ — square the radii before subtracting. And keep $R$ (outer, to the far curve) distinct from $r$ (inner, to the near curve); swapping them, or using $(R-r)^2$, both give wrong volumes. A washer appears only when a gap separates the region from the axis.
Revolve the region between $y=x$ (bottom) and $y=\sqrt x$ (top) on $[0,1]$ about the $x$-axis.
- Outer radius $R=\sqrt x$, inner radius $r=x$ (on $[0,1]$, $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
The washer method revolves a region with a gap into rings: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, where $R$ is the outer radius (far curve) and $r$ the inner radius (near curve). Square each radius before subtracting — $R^2-r^2$, never $(R-r)^2$.