Фундаментальная теорема математического анализа и определенные интегралы
Введено| English | Значение |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | первообразная |
Compute an area without adding rectangles
- Riemann sums give the idea of a definite integral, but summing infinitely many rectangles is impractical.
- The second part of the Fundamental Theorem of Calculus gives a shortcut.
- Find an antiderivative 原函数 $F$ (a function whose derivative is $f$), then subtract its values at the limits.
- Integration becomes "undo the derivative, then plug in two numbers."
Функция $F$ со свойством $F'=f$ называется ____ для $f$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Часть 2 ФТМ вычисляет первообразную на пределах.
The evaluation theorem
- If $F'=f$ (so $F$ is an antiderivative of $f$), then:
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
- Compute $F$, evaluate it at the top limit and the bottom limit, and subtract.
- The exact signed area drops out — no rectangles, no limits of sums.
A definite integral is the signed area between the curve and the x-axis
Точная площадь, вычисленная
y = x²
Часть 2 ФТМ превращает эту заштрихованную область в $F(2)-F(0)$ — первообразную, вычисленную на пределах.
Часть 2 ФТМ гласит, что $\int_a^b f\,dx=$
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Вычислить первообразную на верхнем пределе минус нижний предел.
The evaluation bar notation
- A tidy way to show the two-step evaluation: $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$.
- Write the antiderivative in brackets with the limits, then subtract "top minus bottom."
- Keep the order: upper limit value minus lower limit value.
- Reversing it flips the sign (matching the swap-limits property).
Вычислить $\int_0^2 x^2\,dx$ используя $F(x)=\tfrac{x^3}{3}$. (Введите десятичное число.)
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\tfrac{8}{3}-0=\tfrac83\approx2.667$.
Вычисление $F(a)-F(b)$ вместо $F(b)-F(a)$ дает правильное значение.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Это меняет знак — используйте верхний минус нижний.
Вычислить $\int_1^3 2x\,dx$ используя $F(x)=x^2$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$F(3)-F(1)=9-1=8$.
Any antiderivative works
- If $F$ is one antiderivative, so is $F+C$ for any constant — but the $+C$ cancels in $F(b)-F(a)$.
- So for a definite integral you can pick the simplest antiderivative and ignore $+C$.
- (The constant only matters for indefinite integrals, lesson 6.8.)
- Double-check by differentiating your $F$: you should get $f$ back.
Для определенного интеграла константа $+C$ первообразной...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.
You must use a genuine antiderivative ($F'=f$), then compute $F(b)-F(a)$ in that order. Swapping to $F(a)-F(b)$ flips the sign. The $+C$ cancels in a definite integral, so don't fret over it here — but do verify $F'=f$, or the whole answer is wrong.
Evaluate $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$.
- An antiderivative of $x^2$ is $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ (since $F'=x^2$).
- $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{2^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{8}{3}$.
- That confirms the earlier Riemann-sum estimate of $\approx2.67$.
FTC Part 2: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, where $F$ is any antiderivative of $f$ ($F'=f$). Find $F$, evaluate at the upper minus the lower limit. The $+C$ cancels, so any antiderivative works — this turns area into simple arithmetic.