Построение графиков функций и их производных
ВведеноDraw the whole shape from its derivatives
- The derivatives are a recipe for a graph: $f'$ gives the slopes, $f''$ gives the bends.
- Combine the two sign charts and you can sketch a curve you were never handed.
- Extrema come from $f'$; concavity and inflection come from $f''$.
- This is where all of Unit 5 comes together into one picture.
The information you assemble
- From $f'$: intervals of increase/decrease and the extrema (where $f'$ changes sign).
- From $f''$: intervals of concavity and the points of inflection (where $f''$ changes sign).
- Plus a few plotted points and any intercepts to anchor the height.
- Layer these together and the shape is forced.
Локальный экстремум функции $f$ возникает в ____ функции $f'$, где она меняет знак.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Нуль, меняющий знак, функции $f'$, обозначает экстремум функции $f$.
Какие особенности следуют из функции $f''$ (второй производной)?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Выпуклость + перегибы исходят из $f''$; возрастание/убывание + экстремумы исходят из $f'$.
Sketching $f'$ from $f$, and back
- Given the graph of $f$: where $f$ has a horizontal tangent, $f'=0$ (a zero of $f'$).
- Where $f$ rises, $f'$ is positive; where $f$ falls, $f'$ is negative.
- Where $f$ is steepest, $f'$ is at an extreme; at an inflection of $f$, $f'$ has a max or min.
- Reverse the reading to sketch $f$ from a given $f'$.
В том месте, где график функции $f$ имеет горизонтальную касательную, график функции $f'$...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Горизонтальная касательная ⇒ наклон $0$ ⇒ $f'=0$.
Там, где функция $f$ возрастает, её производная $f'$ положительна.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Возрастание ⇔ $f'>0$.
Put the marks on the sketch
- Mark each extremum (peak/valley), each inflection point (bend flip), and label the intervals.
- Match increasing+concave-up (curving up steeply) vs. increasing+concave-down (leveling off), and so on — four combinations.
- Check consistency: a local max should sit where increase turns to decrease and the curve is concave down.
- A clean sketch shows all four features agreeing.
Готовая форма
y = ax³ + cx
Пик в точке $(-1,2)$, точка перегиба в точке $(0,0)$, впадина в точке $(1,-2)$ — именно то, что предсказывают графики $f'$ и $f''$.
В точке, где функция $f$ высока, но плоская, значение функции $f'$ равно...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Читайте наклон, а не высоту: плоский ⇒ $f'=0$.
Локальный максимум должен возникать там, где $f$ переходит от возрастания к убыванию, а кривая является выпуклой...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Пик является выпуклым вниз (купол).
Don't read $f'$ off the height of $f$ — read it off the slope. Where $f$ is high but flat, $f'=0$, not "large." And a zero of $f'$ marks a possible extremum of $f$; a zero of $f''$ marks a possible inflection of $f$ — keep the two levels straight.
Sketch clues for $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$: increasing on $(-\infty,-1)$ and $(1,\infty)$, decreasing on $(-1,1)$; max at $(-1,2)$, min at $(1,-2)$.
- $f''=6x$: concave down for $x<0$, concave up for $x>0$; inflection at $(0,0)$.
- The sketch: rises to a peak at $(-1,2)$, falls through $(0,0)$, dips to $(1,-2)$, then rises.
To sketch a graph, combine what $f'$ says (increase/decrease and extrema) with what $f''$ says (concavity and inflection points), plus a few anchor points. Read $f'$ from the slope of $f$ (not its height); a zero of $f'$ is a possible extremum, a zero of $f''$ a possible inflection.