Использование Метода Кандидатов для Определения Абсолютных (Глобальных) Экстремумов
Введено| English | Значение |
|---|---|
| Candidates Test/ˈkændɪdeɪts test/ | Критерий проверки кандидатов |
Finding the true highest and lowest
- On a closed interval, the EVT promises an absolute max and min exist. Where are they?
- They can only be at a critical point or at an endpoint — a short list of suspects.
- The Candidates Test 候选点判别法 just evaluates $f$ at every suspect and compares.
- No sign charts needed — the biggest output wins, the smallest loses.
The three steps
- 1. Find all critical points in $[a,b]$ (where $f'=0$ or is undefined).
- 2. Evaluate $f$ at each critical point and at both endpoints $a$ and $b$.
- 3. Compare the values: the largest is the absolute maximum, the smallest the absolute minimum.
- Report both the value and its location.
Candidates test: compare f at the critical points and both endpoints
Концы отрезка и критические точки
y = ax³ + cx
Абсолютный максимум/минимум на замкнутом интервале скрывается среди концов отрезка и внутренних критических точек — вычислите значения и сравните их.
Чтобы найти абсолютные экстремумы функции на интервале $[a,b]$, нужно вычислить значения функции $f$ в каких точках?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Критические точки плюс оба конца отрезка — это полный список кандидатов.
Don't forget the endpoints
- On a closed interval, the extremes often sit at the endpoints, not a critical point.
- A monotonic function (always increasing) has its max at the right end and min at the left.
- So you must always include $f(a)$ and $f(b)$ in your candidate list.
- Missing an endpoint is the most common way to get the wrong absolute extremum.
Для функции $f(x)=x^3-3x$ на отрезке $[0,2]$, при значениях $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$, каково абсолютное максимальное значение?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Наибольшее значение среди кандидатов равно $2$ (достигается на конце отрезка $x=2$).
Та же функция и те же кандидаты: каково абсолютное минимальное значение?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Наименьшее значение среди кандидатов равно $-2$ (достигается в точке $x=1$).
Можно пропустить концы отрезка и все равно быть уверенным в наличии абсолютных экстремумов.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Экстремумы часто находятся на концах отрезка; их пропуск может привести к неверному ответу.
Compare, don't classify
- Unlike the First Derivative Test, the Candidates Test doesn't care what kind each point is.
- It simply asks: of all the candidate outputs, which is biggest and which smallest?
- One evaluation per candidate, then a comparison — clean and reliable on a closed interval.
- (It needs a closed interval; on an open interval an absolute extremum may not exist.)
Тест кандидатов требует ____ интервала, где Теорема о крайних значениях гарантирует существование экстремумов.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
На открытом интервале абсолютный экстремум может не существовать.
Абсолютный максимум — это кандидат с наибольшим...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Сравнивайте выходные значения $f(x)$, а не входные.
The Candidates Test requires a closed interval $[a,b]$ and must include the endpoints. Evaluating only the critical points misses extremes that live at $a$ or $b$. And compare $f$-values, not $x$-values — the winner is the largest output, wherever it occurs.
Find the absolute extrema of $f(x)=x^3-3x$ on $[0,2]$.
- Critical points in $[0,2]$: $f'=3(x-1)(x+1)=0$ at $x=1$ (only $x=1$ is in range).
- Evaluate candidates: $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$.
- Absolute max $=2$ at $x=2$ (endpoint); absolute min $=-2$ at $x=1$.
The Candidates Test finds absolute extrema on a closed interval: list the critical points and both endpoints, evaluate $f$ at each, and compare. Largest value = absolute maximum, smallest = absolute minimum. Always include the endpoints, and compare outputs, not inputs.