Определение выпуклости функций на области определения
Введено| English | Значение |
|---|---|
| concavity/kənˈkævɪti/ | выпуклость |
| sign of the second derivative/saɪn ɒvðə ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | знак второй производной |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | вогнутость вверх |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | вогнутость вниз |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | точка перегиба |
How the curve bends
- Increasing/decreasing tells you which way the curve goes; concavity 凹凸性 tells you how it bends.
- A curve can rise while bending like a cup (opening up) or like a cap (opening down).
- The bending is controlled by the sign of the second derivative 二阶导数的符号.
- $f''$ measures how the slope $f'$ itself is changing.
Concave up: $f'' > 0$
- Where $f''(x)>0$, the graph is concave up 凹 — shaped like a smile, holding water.
- The slope $f'$ is increasing (getting more positive or less negative).
- Cup-shaped valleys are concave up.
- Tangent lines lie below a concave-up curve.
Concave down 凸 where f″ < 0 and concave up where f″ > 0; the inflection point is where f″ changes sign
График является выпуклым вверх ровно там, где...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Выпуклость вверх ⇔ $f''>0$ (наклон увеличивается).
Выпуклость вверх означает, что наклон $f'$ является...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Выпуклость вверх ⇔ $f'$ возрастает ⇔ $f''>0$.
Concave down: $f'' < 0$
- Where $f''(x)<0$, the graph is concave down — shaped like a frown.
- The slope $f'$ is decreasing.
- Cap-shaped hills are concave down.
- Tangent lines lie above a concave-down curve.
В месте, где $f''(x)<0$, график является выпуклым ____ (в форме купола).
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Отрицательная вторая производная → выпуклость вниз.
Inflection points: where the bend flips
- A point of inflection 拐点 is where concavity changes — from up to down or down to up.
- There, $f''$ changes sign (usually passing through $0$, sometimes undefined).
- Build a sign chart of $f''$, just like you did for $f'$, to find these.
- An inflection point is about the bend changing, not the slope.
Выпуклость вниз, затем вверх
y = x³
Эта кубическая функция изгибается как купол для $x<0$ и как чаша для $x>0$ — переключение в точке $0$ является точкой перегиба.
Точка перегиба требует, чтобы $f''$ меняла знак, а не просто была равна нулю.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$y=x^4$ имеет корень $f''(0)=0$, но не меняет знак → не точка перегиба.
Для функции $f(x)=x^3$, при значении $f''(x)=6x$. В какой точке $x$ находится точка перегиба?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$f''=6x$ меняет знак в точке $x=0$.
Для функции $y=x^4$, является ли точка $x=0$ точкой перегиба?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$f''=12x^2\ge0$ с обеих сторон — нет смены знака, значит, нет точки перегиба.
$f''(c)=0$ alone does not make $c$ an inflection point — $f''$ must actually change sign there. For $y=x^4$, $f''(0)=0$, but $f''\ge0$ on both sides (no sign change), so $x=0$ is not an inflection point. Check the sign on both sides, don't just solve $f''=0$.
Find the concavity and inflection point of $f(x)=x^3$.
- $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$.
- $f''<0$ for $x<0$ (concave down); $f''>0$ for $x>0$ (concave up).
- $f''$ changes sign at $x=0$ → inflection point at $(0,0)$.
Concavity is set by the sign of $f''$: $f''>0$ → concave up (cup), $f''<0$ → concave down (cap). A point of inflection is where $f''$ changes sign — the bend flips. $f''=0$ is a candidate, but you must confirm a sign change.